analisi elastica e verifica di sezioni in c.a. inflesse e
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FACOLTÀ DI STUDI INGEGNERIA E ARCHITETTURA A. A. 2015-2016 - Corso di Laurea Magistrale in Architettura
TECNICADELLECOSTRUZIONI(9CFU)DOCENTE:ING.GIUSEPPEMACALUSO
ANALISI ELASTICA E VERIFICA DI SEZIONI IN C.A. INFLESSE E PRESSOINFLESSE:
-RICHIAMI TEORICI
-APPLICAZIONI
ANALISI ELASTICA E VERIFICA DI SEZIONI IN C.A. INFLESSE E PRESSOINFLESSE:
RICHIAMI TEORICI • Sezione Rettangolare soggetta a flessione retta
• Sezione a T soggetta a flessione retta
• Sezione Rettangolare Pressoinflessa: Caso generale (grande
eccentricità)
• Sezione Rettangolare Pressoinflessa: Caso di piccola eccentricità e
armature simmetriche
• Sezione Rettangolare Pressoinflessa: Caso di piccola eccentricità e
armature non simmetriche
• APPENDICE: Determinazione degli estremi di nocciolo della sezione
omogeneizzata
1. Sezione Rettangolare soggetta a flessione retta
In flessione retta l'asse di sollecitazione coincide con uno degli assi principali di inerzia (in
particolar modo con un asse di simmetria). In tal caso la direzione dell'asse neutro è già
determinata essendo questo ortogonale all'asse di sollecitazione stesso.
Lo stato di tensione sulla sezione è noto una volta valutata la posizione dell'asse neutro ed
il valore della tensione in un punto, parametri ricavabili dell'applicazione delle equazioni di
equilibrio alla traslazione e alla rotazione.
Fig. 1. Sezione rettangolare soggetta flessione retta.
L'asse neutro divide la sezione in due porzioni una compressa (acciaio compresso e
calcestruzzo compresso) ed una tesa (acciaio teso e calcestruzzo teso se si ipotizza che
questo sia resistente a trazione) (Fig.1).
La necessità tener conto della resistenza a trazione del calcestruzzo appartenente alla
zona tesa della sezione dipende dalla tipologia di verifica che è necessario eseguire.
E' ad ogni modo sempre opportuno verificare, qualora si tenga in considerazione questo
aspetto, che il valore di tensione di trazione sul calcestruzzo non superi i valori limite di
resistenza.
La posizione dell'asse neutro (prima incognita) è determinabile attraverso la scrittura
dell'equazione di equilibrio alla traslazione, che in flessione, tenuto conto delle condizioni
di elasticità lineare dei materiali, equivale ad imporre la condizione di annullamento del
momento statico Sn della sezione omogeneizzata rispetto all'asse neutro:
0=Sn (1)
Esplicitando Sn con riferimento alla simbologia riportata in Fig. 1 e nell’ipotesi generica di
calcestruzzo reagente a trazione si ottiene:
0)Xd(nA
2
)XH(b'n)X('nA
2
Xb
)Xd(nAxdxb'n)X('nAxdxb=S
cf
2c
cf
2c
cf
Xc-H
0cf
Xc
0n
=−−−
−δ−+=
=−−−δ−+ ∫∫ (2)
I simboli n ed n' rappresentano i coefficienti di omogeneizzazione dell'acciaio e del
calcestruzzo teso rispetto al calcestruzzo compresso e valgono rispettivamente Es/Ec ed
Ect/Ec , essendo Es il modulo elastico dell’acciaio, Ect il modulo elastico del calcestruzzo
teso ed Ec quello del calcestruzzo compresso. Si noti che se si assume che il calcestruzzo
sia non reagente a trazione allora può porsi n'=0. L'Eq. (2) rappresenta un'equazione di 2°
grado nell'incognita Xc, la quale, scartando la radice negativa fornisce la distanza dell’asse
neutro dal bordo compresso.
Dalla scrittura dell'equazione di equilibrio alla rotazione rispetto all'asse neutro ed in virtù
della validità del principio di conservazione delle sezioni piane, si ottiene un'espressione
analoga a quella di Navier per la valutazione della tensione in un punto della sezione
(seconda incognita) in funzione dell'incognita Xc precedentemente calcolata.
In particolare la tensione al bordo compresso può calcolarsi come:
cn
c XI
M=σ (3)
in cui In è il momento di inerzia della sezione omogeneizzata avente la seguente
espressione:
2
cf
3c2
cf
3c
2cf
Xc-H
0
22cf
Xc
0
2n
)Xd(nA3
)XH(b'n)X('nA
3
Xb
)Xd(nAdxxb'n)X('nAdxxb=I
−+−
+δ−+=
=−++δ−+ ∫∫ (4)
I valori di tensione su acciaio e calcestruzzo restano allora univocamente determinati ed in
particolar modo quelli di maggior interesse (tensione al bordo compresso σc, tensione al
bordo teso σct, tensione sull’acciaio compresso σ'f e sull’acciaio teso σf) sono così
calcolati:
cn
c XI
M=σ (5)
)XH(I
M'n c
nct −=σ (6)
)X(I
Mn' c
nf δ−=σ (7)
)Xd(I
Mn c
nf −=σ (8)
2. Sezione a T soggetta a flessione retta
L'analisi elastica di una sezione a T a causa della sua geometria può differire lievemente
da quanto precedentemente esposto per la sezione rettangolare.
In funzione della geometria e del possibile segno del momento esterno possono verificarsi
seguenti 3 casi fondamentali, dipendenti dalla posizione dell’asse neutro (Fig. 2):
Fig. 2. Sezione a T soggetta flessione retta: casistica in relazione alla posizione dell’asse neutro
Caso a): Il momento tende le fibre inferiori e l'asse neutro taglia l'ala della sezione;
Caso b): Il momento tende le fibre inferiori e l'asse neutro taglia l'anima della sezione;
Caso c): Il momento tende le fibre superiori e l'asse neutro taglia l'anima della sezione;
Risulta evidente che nei casi (a) e (c), se si trascura il contributo del calcestruzzo teso, lo
studio della sezione può condursi in perfetta analogia a quanto fatto per la sezione
rettangolare inflessa poiché la sezione a T, una volta parzializzata, risulta equivalente a
quella rettangolare a meno delle dimensioni delle basi (B nel caso (a) e b nel caso (c)).
E’ necessario dunque valutare a priori la posizione dell'asse neutro quando si possano
verificare i casi (a) o (b).
Per far ciò è sufficiente calcolare il valore di Xc nel caso più semplice ed analogo al quello
della sezione rettangolare (caso (a) - asse neutro che taglia l'ala) e osservando se si
verifichi che 0<Xc≤s.
Se entrambi i valori delle radici forniscono soluzioni non comprese nel suddetto intervello
allora certamente si rientra nel caso (b), dove l'asse neutro taglia l'anima della sezione
facendo variare le espressioni per il calcolo del momento statico e del momento di inerzia.
In questo caso, considerando le opportune differenze fra aree positive e negative (v. Fig.
3) e nell’ipotesi di calcestruzzo non reagente a trazione, l'annullamento del momento
statico può esprimersi come:
0)Xd(nA)X('nA2
)sX()bB(
2
XB=S cfcf
2c
2c
n =−−δ−+−
−− (9)
Fig. 3. Caso b): Asse neutro ricedente all’interno dell’anima e momento positivo.
Analogamente per il momento di inerzia si ha:
0)Xd(nA)X('nA3
)sX()bB(
3
XB=I 2
cf2
cf
3c
3c
n =−+δ−+−
−− (10)
Noti Xc e In la valutazione dello stato di tensione della sezione di effettua sempre
attraverso le espressioni (5-7).
3. Sezione Rettangolare Pressoinflessa: Caso generale (grande eccentricità)
Nel caso di grande eccentricità (centro di pressione esterno al nocciolo centrale di inerzia
della sezione omogeneizzata) l'asse neutro è interno alla sezione, che risulta parzializzata
in una parte tesa ed una compressa. Anche in questo caso la resistenza a trazione del
calcestruzzo può essere inclusa o trascurata.
Fig. 4. Sezione rettangolare soggetta a pressoflessione retta in grande eccentricità.
Le incognite che da che identificano lo stato di tensione della sezione sono anche in
questo caso la posizione dell’asse neutro ed il valore della tensione in una qualsiasi fibra.
Dalle equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione della sezione si ottiene che la
tensione su una generica fibra (ad esempio sulla fibra corrispondente al bordo
maggiormente compresso) e la distanza dell'asse neutro dal centro di compressione
possono essere valutate attraverso le seguenti espressioni (rif. Fig. 4):
cn
c XI
dN=σ (11)
n
n
s
Id = (12)
essendo d la distanza dell'asse neutro dal centro di compressione esprimibile anche
come:
cXd c += (13)
Il segmento c che individua la distanza del centro di compressione dal bordo comprsso
della sezione può a sua volta esprimersi in funzione dell’eccentricità:
2
H
N
M
2
Hec −=−= (14)
Sostituendo la Eq. (13) nella Eq.(12) si ottiene:
0)cX(SI cnn =+⋅− (15)
che rappresenta una equazione di 3° grado in Xc nella quale i termini Sn ed In (momento
statico e momento d'inerzia della sezione omogeneizzata rispetto all'asse neutro)
assumono sempre le espressioni riportate nelle Eqq. (2) e (4) ripetitivamente.
Svolgendo i prodotti e raccogliendo i termini la Eq. (15) può porsi nella forma canonica di
equazione di 3° grado una espressione del tipo:
0DCXBXAX c2
c3
c =+++ (16)
in cui i coefficienti A,B,C e D sono cosi caratterizzati:
;2
c+
3
HbHn' + c)(nA' +c)+d(dnA=D
;c+2
H bHn' - c)( nA' -c)+(dnA - =C
bc;2
(n'-1)=B
;6
bn' +
6
b-=A
2ff
ff
+δ
+δ (17)
Nel caso di calcestruzzo non reagente a trazione i coefficienti A,B,C e D si semplificano
nel modo seguente:
c)(nA' +c)+d(dnA=D
c)( nA' -c)+(dnA - =C
2
bc-=B
6
b-=A
ff
ff
+δ
+δ
(18)
Una volta ricavato il valore di Xc è possibile valutare lo stato di tensione su acciaio e
calcestruzzo per mezzo della Eq. (11) variando le distanze delle fibre dall’asse neutro ed
impiegando gli opportuni coefficienti di omogeneizzazione:
cn
c XI
dN=σ (19)
)XH(I
dN'n c
nct −=σ (20)
)X(I
dNn' c
nf δ−=σ (21)
)Xd(I
dNn c
nf −=σ (22)
4. Sezione Rettangolare Pressoinflessa: Caso di piccola eccentricità e armature
simmetriche
Nel caso di piccola eccentricità (centro di pressione interno al nocciolo centrale di inerzia
della sezione omogeneizzata) la sezione risulta interamente compressa ed è pertanto
possibile determinare lo stato di tensione attraverso una espressione binomia basata sul
principio di sovrapposizione degli effetti.
In particolar modo se le aree superiori ed inferiori di acciaio sono uguali (A'f=Af), il
baricentro della sezione omogeneizzata coincide con il suo baricentro geometrico (Fig. 5).
Fig. 5. Sezione rettangolare con armature simmetriche soggetta a pressoflessione retta in piccola
eccentricità.
Lo stato si tensione sulla sezione può essere determinato valutando separatamente gli
effetti dello sforzo normale N centrato in G e del un momento flettente M=Ne.
La tensione sulla fibra di calcestruzzo maggiormente compressa può esprimersi allora in
analogia all’espressione di Navier binomia per le sezioni costituite da materiale elastico:
GGid
maxc, XI
M
A
N+=σ (23)
in cui
2Gf
2Gf
3
G )Xd(nA)X('nA12
bHI −+δ−+= (24)
è il momento di inerzia della sezione omogeneizzata rispetto al suo baricentro, coincidente
in questo caso con quello geometrico, mentre
)An(A'bH)An(A'AA ffffcid ++=++= (25)
è l'area ideale della sezione omogeneizzata.
Di conseguenza, è possibile calcolare in maniera analoga le rimanenti tensioni su acciaio
e calcestruzzo:
)X-(HI
M
A
NG
Gidcmin −=σ (26)
δ−+=σ )X(
I
M
A
Nn' G
Gidf (27)
−=σ )X-(d
I
M
A
Nn G
Gidf (28)
5. Sezione Rettangolare Pressoinflessa: Caso di piccola eccentricità e armature non
simmetriche
Il caso è analogo al precedente ad eccezione del fatto che si hanno diverse aree di
armatura superiore ed inferiore (A'f≠Af).
L'analisi può essere sempre condotta separando gli effetti ed impiegando l'espressione
binomia ma in questo caso il baricentro meccanico della sezione non è più coincidente con
quello geometrico (Fig. 6).
Fig. 6. Sezione rettangolare con armature non simmetriche soggetta a pressoflessione retta in
piccola eccentricità.
L'espressione per la valutazione della tensione sulla fibra di calcestruzzo maggiormente
compressa è analoga a quella fornita in precedenza a meno della valutazione della
posizione del baricentro meccanico, la cui coordinata può essere valutata semplicemente
attraverso momento statico della sezione omogeneizzata rispetto ad un asse tangente la
sezione nella direzione ortogonale all'asse di simmetria (es. x-x, Fig. 6), essendo valida la
relazione
id
xxGM
A
SX = (29)
in cui Aid si assume come in Eq. (25) ed Sxx è il momento statico della sezione
omogeneizzata rispetto all’asse x-x, valutabile come:
)H(nA'nA2
bHS ff
2
xx δ−+δ+= (30)
Nota la coordinata XGM, le espressioni per la valutazione delle tensioni sull'acciaio e sul
calcestruzzo si riscrivono come segue:
GMGMid
maxc XI
M
A
N+=σ (31)
)X-(HI
M
A
NGM
GMidcmin −=σ (32)
δ−+=σ )X(
I
M
A
Nn' GM
GMidf (33)
−=σ )X-(d
I
M
A
Nn GM
GMidf (34)
essendo IGM il momento d'inerzia della sezione omogeneizzata valutato rispetto al suo
baricentro meccanico. Lo stesso, attraverso le note regole di trasporto della geometria
delle masse e con riferimento alla Fig. 6, può valutarsi come:
2GMf
2GMf
2GMG
3
GM )Xd(nA)X('nAbHd12
bHI −+δ−++= − (35)
APPENDICE
Determinazione degli estremi di nocciolo della sezione omogeneizzata
Per distinguere le condizioni di piccola e grande eccentricità della sezione rettangolare
soggetta a pressoflessione retta, è necessario determinare la posizione degli estremi del
nocciolo centrale di inerzia lungo l’asse verticale. In particolar modo è necessario
determinare la distanza di questi dal baricentro geometrico della sezione al fine di poter
eseguire un confronto con l’eccentricità fornita dal rapporto M/N.
Fig. 7. Posizione degli estremi di nocciolo lungo l’asse verticale di una sezione rettangolare
in c.a.
Tale determinazione dovrà tenere conto delle aree omogeneizzate, ma può essere svolta
sfruttando la nota relazione di antipolarità fra centro di compressione ed asse neutro. In particolar modo quando l’asse neutro è tangente al bordo della sezione, il centro di
compressione coincide con l’estremo di nocciolo (antipolo). La relazione di antipolarità
applicata a tale condizione (Fig. 7) fornisce:
GKGN2G ⋅=ρ (36)
essendo ρ2G il raggio di inerzia della sezione omogeneizzata rispetto all’asse baricentrico
che d’altra parte può esprimersi anche come:
id
G2G
A
I=ρ (37)
Combinando le Eqq. (36) e (37) e tenuto conto che, la distanza GN può determinarsi
come:
=
2
HA
IGN
id
G (38)
ed esplicitando i singoli termini si ottiene:
++
δ−+
δ−+
=
2
H)]A'A(nbH[
2
HnA
2
H'nA
12
bH
GN
ff
2
f
2
f
3
(39)
Nel caso di armature simmetriche (Af=A’f) la (39) si semplifica nel modo seguente
+
δ−+
=
2
H]nA2bH[
2
HnA2
12
bH
GN
f
2
f
3
(40)
ANALISI ELASTICA E VERIFICA DI SEZIONI IN C.A. INFLESSE E PRESSOINFLESSE:
APPLICAZIONI • Richiami normativi:
o Stato limite delle tensioni di esercizio
o Stato limite di formazione delle fessure
• Applicazione 1: Verifica allo stato limite delle tensioni di esercizio:
Sezione rettangolare semplicemente inflessa
• Applicazione 2: Verifica allo stato limite delle tensioni di esercizio:
Sezione rettangolare soggetta a pressoflessione retta in grande
eccentricità
• Applicazione 3: Verifica allo stato limite delle tensioni di esercizio:
Sezione rettangolare soggetta a pressoflessione retta in piccola
eccentricità
• Applicazione 4: Verifica allo stato limite di formazione delle fessure:
Sezione rettangolare semplicemente inflessa
Richiami normativi:
Stato limite delle tensioni di esercizio
Con riferimento alle verifiche delle tensioni di esercizio Le Norme Tecniche per le
Costruzioni (D.M. 14.01.2008) al §4.1.2.2.5 stabiliscono che:
“Valutate le azioni interne nelle varie parti della struttura, dovute alle combinazioni caratteristica e
quasi permanente delle azioni, si calcolano le massime tensioni sia nel calcestruzzo sia nelle
armature; si deve verificare che tali tensioni siano inferiori ai massimi valori consentiti di seguito
riportati.
§4.1.2.2.5.1. Tensione massima di compressione del calcestruzzo nelle condizioni di esercizio
La massima tensione di compressione del calcestruzzo σc , deve rispettare la limitazione seguente:
σc < 0,60 fck per combinazione caratteristica (rara) σc < 0,45 fck per combinazione quasi permanente.
Nel caso di elementi piani (solette, pareti, …) gettati in opera con calcestruzzi ordinari e con spessori di calcestruzzo minori di 50 mm i valori limite sopra scritti vanno ridotti del 20%. §4.1.2.2.5.2. Tensione massima dell’acciaio in condizioni di esercizio
Per l’acciaio avente caratteristiche corrispondenti a quanto indicato al Cap. 11, la tensione massima σs, per effetto delle azioni dovute alla combinazione caratteristica deve rispettare la limitazione seguente:
σs < 0,8 fyk
Nella circolare esplicativa n. 617/2009 è inoltre specificato che:
La verifica delle tensioni in esercizio si può effettuare nelle usuali ipotesi di comportamento lineare
dei materiali, trascurando la resistenza a trazione del calcestruzzo teso. Nei calcoli per azioni di
breve durata può assumersi il valore del modulo di elasticità del calcestruzzo Ec dato dalla (11.2.5)
delle NTC, ed un modulo di elasticità dell’acciaio Es pari a 210.000 N/mm2.
[…] Nei casi in cui si ritenga possibile effettuare un’unica verifica indipendente dal tempo, si può assumere un coefficiente di omogeneizzazione n fra i moduli di elasticità di acciaio e calcestruzzo pari a 15.
Stato limite di formazione delle fessure
Con riferimento alla Tab. 4.1.IV al §4.1.2.2.4.5, la verifica allo stato di limite di formazione
delle fessure è richiesta in condizioni ambientali molto aggressive ed armature molto
sensibili alla corrosione, nei confronti della combinazione frequente. La norma inoltre
specifica:
§4.1.2.2.4.6 Stato limite di decompressione e di formazione delle fessure
Le tensioni sono calcolate in base alle caratteristiche geometriche e meccaniche della
sezione omogeneizzata non fessurata.
La verifica si esegue controllando che la tensione al bordo maggiormente teso (σct) sia
inferiore alla resistenza caratteristica a trazione per flessione fcfk.
ctmctkcfkct f7.02.1f2.1f ⋅⋅=⋅=≤σ
Applicazione 1: Verifica allo stato limite delle tensioni di esercizio: Sezione
rettangolare semplicemente inflessa.
Dati: b= 30 cm H= 60 cm
Af= 3φ18 (7.63 cm2) A'f= 2φ18 (5.08 cm2)
CLS C25/30 !!!! fck=25 N/mm2
ACCIAIO B450C !!!!fyk=450 N/mm2
Ef=210000 N/mm2
n=15 n’=0
Sollecitazioni alle diverse combinazioni:
Md,rara=100 kNm Md,q.perm.=83 kNm
La posizione dell'asse neutro è indipendente dallo stato di sollecitazione e si ottiene
imponendo l'annullamento del momento statico della sezione omogeneizzata rispetto
all’asse neutro:
0)X57(63.715)3X(08.5152
X30)Xh(nA)X('nA
2
XbS cc
2c
cfcf
2c
n =−⋅×−−⋅×+=−−δ−+=
da cui si ottiene la radice positiva:
Xc= 15.8 cm
Il momento di inerzia della sezione omogeneizzata vale:
4223
2cf
2cf
3c
n
cm246221)8.1557(63.715)38.15(08.5153
8.1530
)Xd(nA)X('nA3
XbI
=−⋅×+−⋅×+=
=−+δ−+=
Noti Sn e In lo stato di tensione si determina attraverso l’espressione monomia di Navier in
funzione del momento agente alle diverse combinazioni.
Combinazione rara: stato di tensione e verifica
Per la combinazione rara i limiti tensionali per acciaio e calcestruzzo assumono i seguenti
valori
2ckc mm/N152560.0f60.0~ =⋅==σ (limite tensionale calcestruzzo compresso)
2ykf mm/N36045080.0f80.0~ =⋅==σ (limite tensionale acciaio)
Le stato di tensione generato dal momento Md,rara è cosi determinato
c22
cn
rara,dc
~mm/N41.6cm/N3.6418.15246221
10000000X
I
Mσ<====σ
f22
cn
rara,df
~mm/N92.77cm/N5,7792)38.15(246221
1000000015)X(
I
Mn' σ<==−=δ−=σ
f22
cn
rara,df
~mm/N05.251cm/N7.25104)8.1557(246221
1000000015)Xd(
I
Mn σ<==−==−=σ
Si osserva che tutti valori tensionali per acciaio e calcestruzzo rientrano al di sotto dei limiti
prescritti e pertanto la sezione risulta verificata nei confronti della combinazione rara.
Combinazione quasi permanente: stato di tensione e verifica
Per la combinazione quasi permanente si richiede la sola verifica del calcestruzzo
compresso il cui limite tensionale è il seguente
2ckc mm/N25.112545.0f45.0~ =⋅==σ (limite tensionale calcestruzzo compresso)
La tensione al bordo di calcestruzzo maggiormente compresso generata dal momento
Md,q.perm. è cosi determinata
c22
cn
perm.q,dc
~mm/N32.5cm/N31.5328.15246221
8300000X
I
Mσ<====σ
La verifica della sezione allo stato limite delle tensioni di esercizio risulta soddisfatta anche
nei confronti della combinazione quasi permanente.
Applicazione 2: Verifica allo stato limite delle tensioni di esercizio: Sezione
rettangolare soggetta a pressoflessione retta in grande eccentricità
Dati: b= 30 cm H= 50 cm
Af= 3φ18 (7.63 cm2) A'f= 3φ18 (7.63 cm2)
CLS C25/30 !!!! fck=25 N/mm2
ACCIAIO B450C !!!!fyk=450 N/mm2
Ef=210000 N/mm2
n=15 n’=0
Sollecitazioni alle diverse combinazioni:
Md,rara=30 kNm Nd,rara=100 kNm
Md,q.perm.=27 kNm Nd,q.perm.=85 kNm
In prima istanza è opportuno valutare l'eccentricità per entrambe le combinazioni:
m32.085
27
N
Me;m30.0
100
30
N
Me
perm.q,d
perm.q,d.perm.q
rara,d
rara,drara ======
In entrambi i casi l’eccentricità è maggiore della metà dell’altezza della sezione. Il centro di
compressione è dunque esterno alla sezione confermando il caso di grande eccentricità.
Lo stato di tensione è definito una volta determinata la posizione dell'asse neutro ed il
valore di tensione in una qualsiasi fibra.
La posizione dell'asse neutro può essere determinata dalla soluzione della seguente
equazione
0)cX(SI cnn =+−
in cui
2cf
2cf
3c
n )Xd(nA)X('nA3
bXI −+δ−+=
e
)Xd(nA)X('nA2
bXS cfcf
2c
n −−δ−+=
Il valore di c si determina per le diverse combinazioni in funzione dell’eccentricità
riscontrata:
m07.025.032.02
Hec;m05.025.030.0
2
Hec .perm.q.perm.qrararara =−=−==−=−=
Più speditamente è possibile determinare la posizione dell’asse neutro raccogliendo i
termini in una di un'equazione canonica di 3° grado del tipo:
0DCXBXAX c2
c3
c =+++
in cui i coefficienti A,B,C e D per le rispettive combinazioni valgono:
Combinazione rara
Arara=-b/6= -5
Brara= -bcrara/2= -75
Crara= -nAf (d+crara)- nA'f (δ+crara) =-6867.18;
Drara= nAf d(d+crara)+ nA'fδ (δ+crara)=282470
Combinazione quasi permanente
Aq.perm.=-b/6= -5
Bq.perm= -bcq.perm/2= -101.47
Cq.perm= -nAf (d+cq.perm)- nA'f (δ+cq.perm) =-7271.13
Dq.perm= nAf d(d+cq.perm)+ nA'fδ (δ+cq.perm)= 292569
Risolvendo si ottiene nei due casi:
Xc,rara=24.3 cm; Xc,q.perm.=23.54 cm;
rarad = Xc,rara+c rara =24.3+5 = 29.3 cm; .perm.qd = Xc,q.perm+cq.perm=23.54+7=30.54 cm;
Il momento di inerzia rispetto all’asse neutro della sezione omogeneizzata vale nei due
casi:
4223
2rara,cf
2rara,cf
3
raran,
cm254002)3.2447(63.715)33.24(63.7153
3.4230
)Xd(nA)X('nA3
bXI rarac,
=−⋅+−⋅+⋅
=
=−+δ−+=
4223
2q.perm.,cf
2q.perm.,cf
3
q.perm.n,
cm241687)54.2347(63.715)354.23(63.7153
54.3230
)Xd(nA)X('nA3
bXI q.perm.c,
=−⋅+−⋅+⋅
=
=−+δ−+=
Combinazione rara: stato di tensione e verifica
Per la combinazione rara i limiti tensionali per acciaio e calcestruzzo assumono i seguenti
valori
2ckc mm/N152560.0f60.0~ =⋅==σ (limite tensionale calcestruzzo compresso)
2ykf mm/N36045080.0f80.0~ =⋅==σ (limite tensionale acciaio)
Le stato di tensione generato dalle sollecitazioni relative alla combinazione rara è cosi
determinato
c22
rara,craran,
rararara,dc
~mm/N89.2cm/N82.2893.24254002
3.29100000X
I
dNσ<==
×==σ
f22
rara,craran,
rararara,df
~mm/N80.36cm/N48,367833.24254002
3.2910000015)X(
I
dNn' σ<==−
×=δ−=σ
f22
rara,craran,
rararara,df
~mm/N3.39cm/N98.3930)3.2447(254002
3.2910000015)Xd(
I
dNn σ<==−
×=−=σ
Tutti valori di tensione su acciaio e calcestruzzo risultano al di sotto dei limiti prescritti e
pertanto la sezione risulta verificata nei confronti della combinazione rara.
Combinazione quasi permanente: stato di tensione e verifica
Per la combinazione quasi permanente si richiede la sola verifica del calcestruzzo
compresso con il seguente limite tensionale
2ckc mm/N25.112545.0f45.0~ =⋅==σ (limite tensionale calcestruzzo compresso)
La tensione al bordo di calcestruzzo maggiormente compresso generata dalle
sollecitazioni all
c22
.perm.q,cq.perm.n,
.perm.q.perm.q,dc
~mm/N53.2cm/N83.25254.23241687
54.3085000X
I
dNσ<==
×==σ
La sezione risulta verificata allo stato limite delle tensioni di esercizio anche nei confronti
della combinazione quasi permanente.
Applicazione 3: Verifica allo stato limite delle tensioni di esercizio: Sezione
rettangolare soggetta a pressoflessione retta in piccola eccentricità
Dati: b= 30 cm H= 50 cm
Af= 3φ18 (7.63 cm2) A'f= 3φ18 (7.63 cm2)
CLS C28/35 !!!! fck=25 N/mm2
ACCIAIO B450C !!!!fyk=450 N/mm2
Ef=210000 N/mm2
n=15 n’=0
Sollecitazioni alle diverse combinazioni:
Md,rara=30 kNm Nd,rara=500 kNm
Md,q.perm.=27 kNm Nd,q.perm.=410 kNm
Dalla valutazione dell'eccentricità si ottiene:
m066.0410
27
N
Me;m06.0
500
30
N
Me
perm.q,d
perm.q,d.perm.q
rara,d
rara,drara ======
La distanza dell’estremo di nocciolo dal baricentro si determina come:
m098.0cm8.9
2
50]63.71525030[
302
5063.7152
12
5030
2
H]nA2bH[
2
HnA2
12
bH
GN
23
f
2
f
3
==
⋅⋅+⋅
−⋅⋅+⋅
=
+
δ−+
=
La condizione è quindi quella di piccola eccentricità, per cui è possibile condurre l'analisi
dello stato di tensione della sezione attraverso la formula binomia utilizzando il principio di
sovrapposizione degli effetti. La presenza delle armature simmetriche consente inoltre di
dedurre che il baricentro della sezione omogeneizzata (baricentro meccanico) coincide
con il baricentro geometrico e pertanto potrà farsi riferimento a questo nell'analisi
(XG=H/2). La tensione sulla fibra di calcestruzzo maggiormente compressa si può valutare
allora come:
GG
d
idmaxc, X
I
M
A
N+=σ
in cui IG e Aid valgono rispettivamente:
( ) ( ) 4223
2Gf
2Gf
3
G
cm432291254763.71532563.71512
5030
)Xd(nA)X('nA12
bHI
=−⋅×+−⋅×+×
=
=−+δ−+=
e
( ) 2ffffcid cm91.17287.637.63155030)An(A'bH)An(A'AA =+⋅+×=++=++=
La verifica viene dunque condotta nei confronti delle sollecitazioni che si generano per
effetto della combinazione rara e quasi permanente.
Combinazione rara: stato di tensione e verifica
Per la combinazione rara i limiti tensionali per acciaio e calcestruzzo assumono i seguenti
valori:
2ckc mm/N8.162860.0f60.0~ =⋅==σ (limite tensionale calcestruzzo compresso)
2ykf mm/N36045080.0f80.0~ =⋅==σ (limite tensionale acciaio)
Lo stato di tensione generato dalle sollecitazioni associate alla combinazione rara è così
determinato:
c22
GG
rara,d
id
rara,dcmax
~mm/N66.4cm/N46625432291
3000000
91.1728
500000X
I
M
A
Nσ<==+=+=σ
c22
GG
rara,d
id
rara,dcmin
~mm/N12.1cm/N112)2550(432291
3000000
91.1728
500000)X-(H
I
M
A
Nσ<==−−=−=σ
( ) f22
GG
rara,d
id
rara,df
~mm/N77.66cm/N8.6676325432291
3000000
91.1728
50000015)X(
I
M
A
Nn' σ<==
−+=
δ−+=σ
( ) f2
GG
rara,d
G
rara,df
~mm/N99.19cm/N2.19992547432291
3000000
91.1728
50000015)X-(d
I
M
I
Mn σ<==
−−=
−=σ
Tutti valori tensionali per acciaio e calcestruzzo sono inferiori al di sotto dei limiti prescritti.
La sezione risulta essere verificata nei confronti della combinazione rara.
Combinazione quasi permanente: stato di tensione e verifica
Per la combinazione quasi permanente si richiede la sola verifica del calcestruzzo
compresso con il seguente limite tensionale:
2ckc mm/N6.122845.0f45.0~ =⋅==σ (limite tensionale calcestruzzo compresso)
La tensione al bordo di calcestruzzo maggiormente compresso vale:
c22
GG
.perm.q,d
id
.qperm,dcmax
~mm/N93.3cm/N28.39325432291
2700000
91.1728
410000X
I
M
A
Nσ<==+=+=σ
La sezione risulta verificata allo stato limite delle tensioni di esercizio anche nei confronti
della combinazione quasi permanente.
Applicazione 4: Verifica allo stato limite di formazione delle fessurazione: Sezione
rettangolare semplicemente inflessa.
Dati: b= 25 cm H= 40 cm
Af= 4φ16 (8.04 cm2) A'f= 3φ16 (6.03 cm2)
CLS C25/30 !!!! fck=25 N/mm2!!!!fctm=0.30 fck2/3 = 2.56 N/mm2
ACCIAIO B450C !!!!fyk=450 N/mm2
Ef=210000 N/mm2
n=15 n’=0.35
Sollecitazioni alla combinazione frequente:
Md,freq.=40 kNm
Il valore di tensione che compete alla fibra maggiormente tesa si determina, una volta nota
la posizione dell’asse neutro come:
)XH(I
M'n c
n
.freq,dct −=σ
Tuttavia non essendo a priori noto se la sezione per effetto del momento applicato è
soggetta a fessurazione, è opportuno valutare dapprima il momento che induce l’apertura
della prima fessura (momento di fessurazione) in maniera da portelo confrontare con il
momento esterno.
Imponendo che la tensione al bordo maggiormente teso sia proprio pari alla resistenza a
trazione per flessione (σct=fcfk), è possibile riscrivere la precedente espressione ponendo
come incognita il momento, che assume in tal modo il significato di momento di
fessurazione (Mfess).
)XH('n
IfM
c
ncfkfess
−=
La posizione dell’asse neutro è sempre fornita dalla condizione di annullamento del
momento statico:
0)X37(04.8152
)X40(2535.0)3X(03.615
2
X25
)Xd(nA2
)XH(b'n)X('nA
2
Xb=S
c
2c
c
2c
cf
2c
cf
2c
n
=−⋅⋅−−
⋅−−⋅+=
=−−−
−δ−+
da cui si ottiene la radice positiva:
Xc= 16.82 cm
Il momento di inerzia della sezione omogeneizzata vale:
423
23
2cf
3c2
cf
3c
n
cm142356)337(04.8153
)82.1640(2535.0)382.16(03.615
3
82.1625
)Xd(nA3
)XH(b'n)X('nA
3
XbI
=−⋅⋅+−
⋅+−⋅⋅+=
=−+−
+δ−+=
Si determina quindi il momento di fessurazione come:
kNm91.44Ncm4491430)82.1640(35.0
142356256
)XH('n
IfM
c
ncfkfess ==
−⋅
⋅=
−=
Dal confronto il momento di fessurazione risulta essere maggiore rispetto al momento
esterno e pertanto la sezione non si fessura. La verifica allo stato limite di formazione delle
fessure è conseguentemente soddisfatta e non è necessari procedere alla valutazione
della tensione al bordo teso di calcestruzzo.