travi in esse ad asse rettilineo: la linea elastica
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Quaderni di Scienza delle Costruzioni
Meccanica delle Strutture
Travi Inflesse ad Asse Rettilineo:
la Linea Elastica
Esercizi svolti
Giuseppe Vairo
Universit degli Studi di Roma “Tor Vergata”
Avvertenza
Queste note rappresentano la stesura preliminare di una raccolta di temid’esame svolti e relativi all’insegnamento di Scienza delle Costruzioni. Lanotazione adottata e gli argomenti trattati si riferiscono al corso di “Scienzadelle Costruzioni 1”(9 crediti formativi) rivolto agli allievi dei corsi di Laureain Ingegneria Energetica e Ingegneria Meccanica.
Data la loro natura preliminare contengono certamente errori di stampaed imprecisioni. Si pregano pertanto gli allievi di volerci segnalare entrambi,nonche di indicarci quei passaggi che non risultassero comprensibili ad unaprima lettura.
Roma, Aprile 2020 prof. ing. Giuseppe Vairo
Tema 1
Per la struttura riportata in Fig. 1 determinare l’espressione analitica dellefunzioni di rotazione ed abbassamento integrando le equazioni della linea elas-tica (primo ordine). Si disegnino i diagrammi delle caratteristiche di sol-lecitazione e si fornisca una rappresentazione qualitativa della configurazionedeformata per la linea d’asse della struttura.
Fig. 1 Struttura relativa al tema 1.
La struttura proposta e isostatica. La Fig. 2 mostra le reazioni vinco-lari ed i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione al variare dellacoordinata assiale z. In particolare, risulta:
N(z) = 0 ∀ z
T (z) =
F z ∈ (0, `) (su AB)F z ∈ (`, 2`) (su BC)0 z ∈ (2`, 3`) (su CD)−F z ∈ (3`, 4`) (su DE)
M(z) =
−F (`− z) z ∈ (0, `) (su AB)−F (`− z) z ∈ (`, 2`) (su BC)F` z ∈ (2`, 3`) (su CD)F (4`− z) z ∈ (3`, 4`) (su DE)
Pertanto, trascurando gli effetti di deformabilita tagliante (cioe utiliz-zando il modello di trave alla Eulero-Bernoulli), l’integrazione delle equazioniindefinite della linea elastica sui diversi tratti matematici della struttura for-nisce:
wAB(z) = C1, φAB(z) = −F`zEI
+Fz2
2EI+ C2
vAB(z) =F`z2
2EI− Fz3
6EI− C2z + C3
1
2 G. Vairo - Universita degli Studi di Roma “Tor Vergata”
Fig. 2 Reazioni vincolari e caratteristiche della sollecitazione (tema 1).
wBC(z) = C4, φBC(z) = −F`zEI
+Fz2
2EI+ C5
vBC(z) =F`z2
2EI− Fz3
6EI− C5z + C6
wCD(z) = C7, φCD(z) =F`z
EI+ C8
vCD(z) = −F`z2
2EI− C8z + C9
wDE(z) = C10, φDE(z) =4F`z
EI− Fz2
2EI+ C11
vDE(z) = −2F`z2
EI+F`z3
6EI− C11z + C12
Travi Inflesse ad Asse Rettilineo: la Linea Elastica 3
Fig. 3 Configurazione deformata per la linea d’asse della struttura (tema 1).
dove le Ci rappresentano costanti di integrazione da determinare attraversol’imposizione di opportune condizioni al contorno di tipo cinematico. In par-ticolare, le 12 condizioni al contorno che risolvono in modo unico il problemarisultano:
1)wA = wAB(0) = 0
2) vA = vAB(0) = 0
3)φA = φAB(0) = 0
4)w−B = w+B ⇒ wAB(`) = wBC(`)
5) v−B = v+B ⇒ vAB(`) = vBC(`)
6)w−C = w+C ⇒ wBC(2`) = wCD(2`)
7) v−C = v+C ⇒ vBC(2`) = vCD(2`)
8)φ−C = φ+C ⇒ φBC(2`) = φCD(2`)
9) vC = 0 ⇒ vBC(2`) = 0
10)w−D = w+D ⇒ wCD(3`) = wDE(3`)
11)φ−D = φ+D ⇒ φCD(3`) = φDE(3`)
12) vE = 0 ⇒ vDE(4`) = 0
Si osservi che le precedenti condizioni consentono di verificare immedi-atamente l’annullarsi dello spostamento orizzontale w per ogni valore dellacoordinata z. Cio poteva prevedersi a priori (omettendo quindi l’integrazionedell’equazione differenziale relativa a w e le corrispondenti condizioni albordo), risultando ovunque nullo lo sforzo normale e non essendo presentidistorsioni di tipo assiale.
La Fig. 3 mostra qualitativamente la configurazione deformata della linead’asse per la struttura in esame.
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Tema 2
Per la struttura riportata in Fig. 4 determinare l’espressione analitica dellefunzioni di rotazione ed abbassamento integrando le equazioni della linea elas-tica (primo ordine). Si disegnino i diagrammi delle caratteristiche di sol-lecitazione e si fornisca una rappresentazione qualitativa della configurazionedeformata per la linea d’asse della struttura.
Fig. 4 Struttura relativa al tema 2.
La struttura proposta e isostatica. La Fig. 5 mostra le reazioni vincolaried i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione al variare della coordi-nata assiale z. Si vuole ricordare che su strutture isostatiche le distorsioni edi cedimenti vincolari non inducono reazioni vincolari e quindi caratteristichedella sollecitazione. In particolare, risulta:
N(z) = 0 ∀ z
T (z) =
0 z ∈ (0, `) (su AB)−m/` z ∈ (`, 2`) (su BC)−m/` z ∈ (2`, 3`) (su CD)0 z ∈ (3`, 4`) (su DE)
M(z) =
m z ∈ (0, `) (su AB)m` (2`− z) z ∈ (`, 2`) (su BC)m` (2`− z) z ∈ (2`, 3`) (su CD)−m z ∈ (3`, 4`) (su DE)
Trascurando gli effetti di deformabilita tagliante ed evitando di consider-are il parametro di spostamento w, identicamente nullo a priori, l’integrazionedelle equazioni indefinite della linea elastica sui diversi tratti matematici dellastruttura fornisce:
φAB(z) =mz
EI+ C1
vAB(z) = −mz2
2EI− C1z + C2
Travi Inflesse ad Asse Rettilineo: la Linea Elastica 5
Fig. 5 Reazioni vincolari e caratteristiche della sollecitazione (tema 2).
φBC(z) = 2mz
EI− mz2
2`EI+ C3
vBC(z) = −mz2
EI+
mz3
6`EI− C3z + C4
φCD(z) =2mz
EI− mz2
2`EI+ µz + C5
vCD(z) = −mz2
EI+
mz3
6`EI− µz2
2− C5z + C6
φDE(z) = −mzEI
+ µz + C7
vDE(z) =mz2
2EI− µz2
2− C7z + C8
dove le Ci rappresentano costanti di integrazione da determinare attraversol’imposizione di opportune condizioni al contorno di tipo cinematico.
Si osservi che, nel rispetto della convenzione secondo cui sono positivele distorsioni che fanno compiere lavoro positivo alle caratteristiche di sol-lecitazione duali positive, la quantita µ = −2α∆t/h e negativa, avendo as-
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Fig. 6 Configurazione deformata per la linea d’asse della struttura (tema 2).
sunto positiva la variazione termica ∆t ed essendo: α il coefficiente di di-latazione lineare del materiale, h la dimensione trasversale della sezione retta.
Tenuto conto dei cedimenti vincolari anelastici assegnati, le 8 condizionial contorno che risolvono in modo unico il problema sono:
1)φA = φAB(0) = ϕ
2) v−B = v+B ⇒ vAB(`) = vBC(`)
3)φ−B = φ+B ⇒ φAB(`) = φBC(`)
4) vB = 0 ⇒ vAB(`) = 0;
5) v−C = v+C ⇒ vBC(2`) = vCD(2`)
6) v−D = v+D ⇒ vCD(3`) = vDE(3`)
7)φ−D = φ+D ⇒ φCD(3`) = φDE(3`)
8) vD = δ ⇒ vDE(3`) = δ
La Fig. 6 mostra qualitativamente la configurazione deformata della linead’asse per la struttura in esame.
Travi Inflesse ad Asse Rettilineo: la Linea Elastica 7
Tema 3
Per la struttura riportata in Fig. 7 determinare l’espressione analitica dellefunzioni di rotazione ed abbassamento integrando le equazioni della linea elas-tica (primo ordine). Si assuma q > m/`2. Si disegnino i diagrammi dellecaratteristiche di sollecitazione e si fornisca una rappresentazione qualitativa(trascurando la deformabilita assiale della struttura) della configurazione de-formata per la linea d’asse della struttura.
Fig. 7 Struttura relativa al tema 3.
La struttura proposta e isostatica e le caratteristiche della sollecitazionepossono ricavarsi operando per sovrapposizione degli effetti. Le figure 8 e 9riportano rispettivamente le reazioni vincolari ed i diagrammi delle caratter-istiche della sollecitazione al variare della coordinata assiale z nel caso in cuiagiscano separatamente il carico distribuito q e la coppia m.
In particolare, risulta:
N(z) = −m`
∀ z
T (z) =
−qz z ∈ (0, `) (su AB)−m
` z ∈ (`, 2`) (su BC)m` z ∈ (2`, 3`) (su CD)m` z ∈ (3`, 4`) (su DE)
M(z) =
q2 (`2 − z2) z ∈ (0, `) (su AB)−m
` (z − `) z ∈ (`, 2`) (su BC)m` (z − 3`) z ∈ (2`, 3`) (su CD)m` (z − 3`) z ∈ (3`, 4`) (su DE)
Pertanto, trascurando gli effetti di deformabilita tagliante, l’integrazionedelle equazioni indefinite della linea elastica sui diversi tratti matematici dellastruttura fornisce:
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Fig. 8 Reazioni vincolari e caratteristiche della sollecitazione dovute al solo caricodistribuito q (tema 3).
Fig. 9 Reazioni vincolari e caratteristiche della sollecitazione dovute alla sola coppiam (tema 3).
wAB(z) = − mz
`EA+ C1, φAB(z) =
q`2z
2EI− qz3
6EI+ C2
vAB(z) =q`2z2
4EI− qz4
24EI+ C2z + C3
Travi Inflesse ad Asse Rettilineo: la Linea Elastica 9
wBC(z) = − mz
`EA+ C4, φBC(z) =
mz
EI− mz2
2`EI+ C5
vBC(z) = −mz2
2EI+
mz3
6`EI− C5z + C6
wCD(z) = − mz
`EA+ C7, φCD(z) =
mz2
2`EI− 3mz
EI+ C8
vCD(z) = − mz3
6`EI+
3mz2
2EI− C8z + C9
wDE(z) = − mz
`EA+ C10, φDE(z) =
mz2
2`EI− 3mz
EI+ C11
vDE(z) = − mz3
6`EI+
3mz2
2EI− C11z + C12
dove le Ci rappresentano costanti di integrazione da determinare attraversol’imposizione di opportune condizioni al contorno. In particolare, le 12 con-dizioni al contorno che risolvono in modo unico il problema risultano:
1)wA = wAB(0) = 0
2)φA = φAB(0) = 0
3) vB = vAB(`) = 0
4)w−B = w+B ⇒ wAB(`) = wBC(`)
5) v−B = v+B ⇒ vAB(`) = vBC(`)
6)w−C = w+C ⇒ wBC(2`) = wCD(2`)
7) v−C = v+C ⇒ vBC(2`) = vCD(2`)
8)φ−C = φ+C ⇒ φBC(2`) = φCD(2`)
9) − EIv′′′+C + EIv′′′−C = kvC (1)
⇒ EI[v′′′CD(2`)− v′′′BC(2`)] = −kvBC(2`)
10)
√2
2(w−D − v
−D) =
√2
2(w+
D − v+D)
⇒ wCD(3`)− vCD(3`) = wDE(3`)− vDE(3`)
11)wE = 0 ⇒ wDE(4`) = 0
12) vE = 0 ⇒ vDE(4`) = 0
10 G. Vairo - Universita degli Studi di Roma “Tor Vergata”
Fig. 10 Configurazione deformata per la linea d’asse della struttura (tema 3).
dove tutte le condizioni al contorno, ad eccezione della 9, sono di tipocinematico (cioe coinvolgono esclusivamente grandezze cinematiche). La con-dizione 9, invece, tiene conto del cedimento vincolare elastico per il carrelloin C e rappresenta una condizione al contorno di tipo accoppiato, nel sensoche lega grandezze di natura statica (il salto di taglio in C) con parametricinematici (lo spostamento vC).
La Fig. 10 mostra qualitativamente la configurazione deformata della linead’asse per la struttura in esame, avendo trascurato la sua deformabilita assialeed avendo operato per sovrapposizione degli effetti.
Travi Inflesse ad Asse Rettilineo: la Linea Elastica 11
Tema 4
Per la struttura riportata in Fig. 11 determinare l’espressione analitica dellefunzioni di rotazione ed abbassamento integrando le equazioni del quarto or-dine della linea elastica. Si disegnino i diagrammi delle caratteristiche di sol-lecitazione e si fornisca una rappresentazione qualitativa della configurazionedeformata per la linea d’asse della struttura.
Fig. 11 Struttura relativa al tema 4.
La struttura proposta e isostatica. Evitando di considerare il parametrodi spostamento w, identicamente nullo a priori, l’integrazione delle equazionidella linea elastica del quarto ordine sui diversi tratti matematici della strut-tura fornisce:
vAB(z) =qz4
24EI+ C1
z3
6+ C2
z2
2+ C3z + C4
vBC(z) =qz4
24EI+ C5
z3
6+ C6
z2
2+ C7z + C8
vCD(z) = C9z3
6+ C10
z2
2+ C11z + C12
vDE(z) = C13z3
6+ C14
z2
2+ C15z + C16
dove le Ci rappresentano costanti di integrazione da determinare attraversol’imposizione di opportune condizioni al contorno sia di tipo cinematico chestatico.
In particolare, le 16 condizioni al contorno che risolvono in modo unico ilproblema risultano:
1)φA = 0 ⇒ v′AB(0) = 0
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Fig. 12 Reazioni vincolari e caratteristiche della sollecitazione (tema 4).
2) v−B = 0 ⇒ vAB(`) = 0
3)φ+B = φ−B ⇒ v′AB(`) = v′BC(`)
4) v+C = v−C ⇒ vBC(2`) = vCD(2`)
5)φ+D = φ−D ⇒ v′CD(3`) = v′DE(3`)
6) v+D = v−D ⇒ vCD(3`) = vDE(3`)
7) vE = 0 ⇒ vDE(4`) = 0
Travi Inflesse ad Asse Rettilineo: la Linea Elastica 13
Fig. 13 Configurazione deformata per la linea d’asse della struttura (tema 4).
8)TA = 0 ⇒ v′′′AB(0) = 0
9)T+B = 0 ⇒ v′′′BC(`) = 0
10)M+B = M−B ;⇒ v′′AB(`) = v′′BC(`)
11)M−C = 0 ⇒ v′′BC(2`) = 0
12)M+C = 0 ⇒ v′′CD(2`) = 0
13)T+C = T−C ;⇒ v′′′BC(2`) = v′′′CD(2`)
14)M+D = M−D ;⇒ v′′CD(3`) = v′′DE(3`)
15)ME = 0 ⇒ v′′DE(4`) = 0,
16)T+D − T
−D = −RD ⇒ T+
D − T−D = kvvD
⇒ EI[v′′′CD(3`)− v′′′DE(3`)] = kvvDE(3`)
Le prime 7 condizioni al contorno sono di natura strettamente cinemat-ica, quelle dalla 8 alla 15 sono di natura statica, mentre l’ultima condizione,tenuto conto del cedimento vincolare elastico per il carrello in D, rappresentauna condizione al contorno di tipo accoppiato, nel senso che lega grandezzedi natura statica (il salto di taglio in D) con parametri cinematici (lo sposta-mento vD).
La Fig. 12 mostra le reazioni vincolari ed i diagrammi delle caratteristichedella sollecitazione al variare della coordinata assiale z, mentre la Fig. 13mostra qualitativamente la configurazione deformata della linea d’asse per lastruttura in esame.
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Tema 5
Per la struttura riportata in figura 14 determinare l’espressione analitica dellefunzioni di spostamento e rotazione integrando le equazioni del quarto or-dine della linea elastica. Si disegnino i diagrammi delle caratteristiche di sol-lecitazione e si fornisca una rappresentazione qualitativa della configurazionedeformata per la linea d’asse della struttura.
Fig. 14 Struttura relativa al tema 5.
La struttura proposta e isostatica.Nell’ipotesi di deformabilita assiale della struttura, risultando presenti
forze (reattive in questo caso) con componente orizzontale non nulla, enecessario considerare il parametro di spostamento w. L’integrazione delleequazioni della linea elastica del quarto ordine sui diversi tratti matematicidella struttura fornisce:
wAB(z) = C1z + C2
vAB(z) = C3z3
6+ C4
z2
2+ C5z + C6
wBC(z) = C7z + C8
vBC(z) = C9z3
6+ C10
z2
2+ C11z + C12
wCD(z) = C13z + C14
vCD(z) = C15z3
6+ C16
z2
2+ C17z + C18
dove le Ci rappresentano costanti di integrazione da determinare attraversol’imposizione di condizioni al contorno sia di tipo cinematico che statico.
In particolare, osservando che i versori e ed e⊥ indicati in figura risultano
rispettivamente pari a e =√22 (−j + k), e⊥ =
√22 (j + k), le 18 condizioni al
contorno che risolvono il problema sono:
Travi Inflesse ad Asse Rettilineo: la Linea Elastica 15
Fig. 15 Reazioni vincolari e caratteristiche della sollecitazione dovute alla sola forzaF (tema 5).
1) sA · e =
√2
2(vAj + wAk) · (−j + k) = 0 ⇒ vAB(0) = wAB(0)
2)w+B = w−B ⇒ wAB(`) = wBC(`)
3) v+B = v−B ⇒ vAB(`) = vBC(`)
4) vB = 0 ⇒ vAB(`) = 0
5)φ+B = φ−B ⇒ v′AB(`) = v′BC(`)
6)φ+C = φ−C ⇒ v′BC(2`) = v′CD(2`)
7) (s+C − s−C) · e = 0 ⇒ wBC(2`)− wCD(2`) = vBC(2`)− vCD(2`)
16 G. Vairo - Universita degli Studi di Roma “Tor Vergata”
Fig. 16 Reazioni vincolari e caratteristiche della sollecitazione dovute alla sola coppiam (tema 5).
8)wD = 0 ⇒ wCD(3`) = 0
9) vD = 0 ⇒ vCD(3`) = 0
10)MA = −m ⇒ EIv′′AB(0) = m
11)RA · e⊥ =
√2
2(−TAj−NAk) · (j + k) = 0 ⇒ EIv′′′AB(0) = EAw′AB(0)
12)N+B = N−B ⇒ w′AB(`) = w′BC(`)
13)M+B = M−B ⇒ v′′AB(`) = v′′BC(`)
14)N+C = N−C ⇒ w′BC(2`) = w′CD(2`)
15)M+C = M−C ⇒ v′′BC(2`) = v′′CD(2`)
16)T+C − T
−C = −F ⇒ EI[v′′′CD(2`)− v′′′BC(2`)] = F
17)R−C · e⊥ =
√2
2(T−C j +N−C k) · (j + k) = 0 ⇒ EIv′′′BC(2`) = EAw′BC(2`)
18)MD = 0 ⇒ v′′CD(3`) = 0
Travi Inflesse ad Asse Rettilineo: la Linea Elastica 17
Fig. 17 Configurazione deformata per la linea d’asse della struttura (tema 5).
Le caratteristiche della sollecitazione possono ricavarsi, operando persovrapposizione degli effetti, attraverso semplici considerazioni di staticagrafica. Le figure 15 e 16 riportano rispettivamente le reazioni vincolari ele caratteristiche della sollecitazione nel caso in cui agiscano separatamentela forza F e la coppia m. Infine, in Fig. 17 e illustrata qualitativamente la con-figurazione deformata per la linea d’asse della struttura, considerando sempreciascun ente di carico agente singolarmente.
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Tema 6
Per la struttura riportata in Fig. 18 determinare l’espressione analitica dellefunzioni di rotazione ed abbassamento integrando le equazioni del quarto or-dine della linea elastica. Si disegnino i diagrammi delle caratteristiche di sol-lecitazione e si fornisca una rappresentazione qualitativa della configurazionedeformata per la linea d’asse della struttura.
Fig. 18 Struttura relativa al tema 6.
La struttura proposta e isostatica. Il parametro di spostamento w puoconsiderarsi identicamente nullo a priori in quanto non esistono forze (attivee/o reattive) o distorsioni (concentrate e/o distribuite) con componente oriz-zontale non nulla. Pertanto, l’integrazione delle equazioni della linea elasticadel quarto ordine sui diversi tratti matematici della struttura fornisce:
vAB(z) = C1z3
6+ C2
z2
2+ C3z + C4
vBC(z) = C5z3
6+ C6
z2
2+ C7z + C8
vCD(z) = C9z3
6+ C10
z2
2+ C11z + C12
vDE(z) = C13z3
6+ C14
z2
2+ C15z + C16
dove le Ci rappresentano costanti di integrazione da determinare imponendoopportune condizioni al contorno sia di tipo cinematico che statico.
In particolare, le 16 condizioni al contorno che risolvono in modo unico ilproblema risultano:
1) vA = δ ⇒ vAB(0) = δ
2) v−B = v+B ⇒ vAB(`) = vBC(`)
3)φ−B = φ+B ⇒ v′AB(`) = v′BC(`)
Travi Inflesse ad Asse Rettilineo: la Linea Elastica 19
4) v−C = v+C ⇒ vBC(2`) = vCD(2`)
5)φ−C = φ+C ⇒ v′BC(2`) = v′CD(2`)
6)φ−D = φ+D ⇒ v′CD(3`) = v′DE(3`)
7) vE = 0 ⇒ vDE(4`) = 0
8)φE = −ϕ ⇒ v′DE(4`) = ϕ
9)MA = 0 ⇒ v′′AB(0) = 0
10)T+B = T−B ⇒ v′′′AB(`) = v′′′AB(`)
11)M+B = M−B ;⇒ v′′AB(`) = v′′BC(`)
12)T+C − T
−C = −F ⇒ −EIv′′′CD(2`) + EIv′′′BC(2`) = −F
13)M+C = M−C ⇒ v′′CD(2`) = v′′BC(2`)
14)TD = 0;⇒ v′′′CD(3`) = 0
15)T+D = T−D ;⇒ v′′′CD(3`) = v′′′DE(3`)
16)M+D = M−D ⇒ v′′CD(3`) = v′′DE(3`),
Le prime 8 condizioni al contorno sono di natura strettamente cinematica,quelle dalla 9 alla 16, invece, di natura statica.
La Fig. 19 mostra le reazioni vincolari ed i diagrammi delle caratteristichedella sollecitazione al variare della coordinata assiale z, mentre la Fig. 20mostra qualitativamente la configurazione deformata della linea d’asse per lastruttura in esame, ottenuta operando per sovrapposizione degli effetti.
20 G. Vairo - Universita degli Studi di Roma “Tor Vergata”
Fig. 19 Reazioni vincolari e caratteristiche della sollecitazione (tema 6).
Fig. 20 Configurazione deformata per la linea d’asse della struttura (tema 6).