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FRATTURE
- FLESSIONE DELLA TRAVE- FRATTURE PER FLESSIONE- TORSIONE DELLA TRAVE- FRATTURE PER TORSIONE- STRUTTURE CAVE
corso integrato FISICA e STATISTICA
disciplina : FISICA MEDICA
Laurea Triennale in SCIENZE MOTORIE
2
FLESSIONE DELLA TRAVE
N1 + N
2 – p = 0
N1 – N
2 = 02
2
N2
O
pN1
2
x
y
o
N1 = N
2 =
p2
equilibrio della trave omogenea vincolata alle estremità
• equilibrio globale
3
FLESSIONE DELLA TRAVE
p – N2 = N
1 =
p2
M(x)
= – M(–x)
M(x)
= x N1 = x p
2
M(–x)
= – x p2
N1 = N
2 =
p2
• equilibrio per sezione
O
p N2
N1
x
AC
– x
4
FLESSIONE DELLA TRAVE
M(x)
= x p2 M
(– x) = – x
p2
momento
xo 2
p4
forza verticale
xo
p2
+
–p2
2
5
FLESSIONE DELLA TRAVE
O
p N2N
1
x
AC
–x
deformazione
sezione AC sottoposta a un momento esterno
momento
xo 2
p4
M(x)
= x p2
M(– x)
= – x p2
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FLESSIONE DELLA TRAVE
p
deformazione del materiale
x
••O O'
C
A
B
D
N2 = – p2
N1 = – p2
B
DA
C
O'M
N2 = – p2 M interno che
si oppone a quello esterno
•
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FLESSIONE DELLA TRAVE
deformazione del materialeper stabilire l'equilibrio si suscita all' interno del materiale un momento flettente M che si oppone al momento esterno (il momento flettente é causato dalla deformazione, conseguenza del momento esterno variabile lungo la trave)
risultato :allungamento / compressione per trazione
(trazione interna)
legge di Hooke applicata al materiale deformato
= EFS
= E
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FLESSIONE DELLA TRAVE
asse neutro
OO'
AA'
BB'
C'
R
Cy
O
C
B
y
2
2
= y R
CC' = + = OO' + 2 y tg + 2 y =
= + y = + y
2
2
R
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FLESSIONE DELLA TRAVE
= = = E = E = y R
yR
yR
y
r
Ai
asse neutro
Fi
(trave a sezione circolare)forze flettenti interne
striscia Ai
Fi = A
i
Mi = y F
i = y A
i = y2 A
i
momento flettente Mf = M
ii
ER
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FLESSIONE DELLA TRAVE
momento flettente Mf = M
ii
Mf = y2 dA =E
RA
ER
r4
4sezione circolare
sforzo interno massimo nella trave : y = r
max
= r = r =ER
4 Mf
r4
4 Mf
r3
flessione trave momento flettente sforzo interno
FLESSIONE DELLA TRAVE
Mf = y2 dA =E
RA
ER
r4
4
= 4 r4 – = r418
ER
sen44
/2 ER
12
2
r4
4ER
=
Mf = E
RA
dA = 2 x dy = 2 r2 cos2d
y2 dA =
y = r sen dy = r cos dx = r cos
r
y
x
ydy dA
x
= 2 2 r2 cos2r2 sen2d = 4 r4 sen2 cos2d =ER
0
/2
0
/2ER
12
FRATTURA PER FLESSIONE
tibia
d
piede bloccato
p – pg
F
trave vincolata a una estremità
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FRATTURA PER FLESSIONE
max
= 4 M
f
r3 tibia
Mf
tibia
r3
4 Mf
tibia
= 2.13 108 N m–2
Mf = d (p – p
g)
tibia
r3
4 Mf
tibia
d
piede bloccato
p – pg
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spostamento del baricentro di soli 24 cm: frattura probabile !
FRATTURA PER FLESSIONE
Mf = d (p – pg) ≥ tibia
r3
4 Mf
r = 1 cm
Mf (frattura) = d (p – pg) = (10–2 m)3 x 2.13 108 N m–2 = 4
= 1.67 102 N m = 1670 kgp cm
p – pg = 70 kgp
1670 kgp cm
70 kgp
d = = 24 cm
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TORSIONE DELLA TRAVE
flessione della trave : momento flettente da momenti delle forze interne
A
C
C'
C
A'
A
C'
A'
N1
p – N
2
torsione della trave :momento di torsione da forze interne opposte
deformazione
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TORSIONE DELLA TRAVE
legge di Hooke per la torsione : = hG
FA
G = modulo di scorrimento E12
osso lungo : G = 0.8 ÷ 1.2 1010 N m–2
F
base vincolata
h
A
=h
deformazione
h
F
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TORSIONE DELLA TRAVE
legge di Hooke per la torsione : = hG
FA
G = modulo di scorrimento E12
osso lungo : G = 0.8 ÷ 1.2 1010 N m–2
• sforzo di torsione t =
• stiramento per torsione t =
piccole torsioni t
legge di Hooke : t = G
tG E1
2
FA
h
TORSIONE DELLA TRAVE
deformazione trave sotto carico generico• per flessione (momenti forze interne)• per torsione (forze interne)
deformazione per flessione > deformazione per torsione
(trave cilindrica piena)
deformazione trave sotto carico di pura torsione(niente curvatura)
momento torcente esterno :
base vincolata
FF
T = F R
R
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TORSIONE DELLA TRAVE
r
h
base vincolata
r
fibre
fibre a distanza r dal centro :
raggio trave = R
= = t
=(r)
r h
F2
–
+F2
R
R
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momento torcente esterno T
T = F2
R –R + F2
–
=
= F R
relazione T
F2
–
+F2
–R
R
•
rdr
Si
•
base vincolata
in ogni sezione intermedia agisce momento interno –T
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F2
–
+F2
–R
R
•
rdr
Si
•
base vincolata
corona circolare i-esima (area Si ) :
forza torcente interna = t S
i
momento forza torcente :
rt S
i = T
i
Ti = r
t S
i = GS
i
t = G
t = G r
h
r2
h
momento torcente T = Ti
i
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TORSIONE DELLA TRAVE
Ti = r
t S
i = GS
i
r2
h
2 Gh
0
R G
2htorsione= r3 dr = R4 = T
• trave cilindrica piena= M
f E
R r4
4flessione• 2 G E
r2
hT = T
i = GdS = G2r dr =
i
S
r2
h0
R
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• momento torcente terminale Tt
• angolo di frattura per torsione t
femore ................................. tibia ..................................... fibula ................................... omero .................................. radio e ulna ......................... vertebra cervicale ............... vertebra toracica media ...... vertebra lombare .................
100 ......... 140 ......... 12 ......... 60 ......... 20 ......... 5 ......... 17 ......... 44 .........
1.5 3.4 35.7 5.9 15.4 38 24 15
t (gradi)T
t (N m)
TORSIONE DELLA TRAVE
FRATTURA PER TORSIONE
• frattura a spiralesci frattura per torsione della tibia
F
d
Tt = 100 N m = F d
d = 1 m F = 100 N
F = 100 N = 10.2 kgp
t = 3.5°
360°
spostamento della punta di
100 cm 3.5°2 = 6.1 cm !!(sgancio da allacciamenti di sicurezza)
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STRUTTURA CAVA
confronto trave cilindrica piena - cava
Rr
•
• uguali massa e densità
•
r
volumi di materia uguali : 2 r r h = R2 h
r > R r = R > 1
2 r r = R2
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STRUTTURA CAVA
2 r r = R2 r = R > 1
Ti = GS
i
r2
h
r2
h T
cavo = GS = 2 r3 r
= R2 r2
Gh
Gh
Tpieno
= R4 G2 h
struttura cava : momento torcente per conferire angolo maggiore di un fattore 22 più robusta !!
Tcavo
= Tpieno
= 2 2 Tpieno
r2
2 R2