angoloangolo - università degli studi di padova
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Trigonometria - Corso di matematica - Alessia Ceccato 1
AngoloAngoloAngoloAngolo
Si chiama Si chiama angoloangolo ciascuna delle due parti di piano in cui esso è diviso da ciascuna delle due parti di piano in cui esso è diviso da due semirette uscenti da uno stesso punto O.due semirette uscenti da uno stesso punto O.
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Circonferenza goniometricaCirconferenza goniometricaCirconferenza goniometricaCirconferenza goniometrica
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Circonferenza goniometricaCirconferenza goniometricaCirconferenza goniometricaCirconferenza goniometrica
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Il radianteIl radianteIl radianteIl radiante
Definizione:Il rapporto tra la Il rapporto tra la lunghezza dell’arcolunghezza dell’arcorettificato e il raggio è un numero puro,rettificato e il raggio è un numero puro,in quanto rapporto di due lunghezze.in quanto rapporto di due lunghezze.Quando l’arco rettificato è lungo quanto Quando l’arco rettificato è lungo quanto il raggio (come l’arco AB in figura), il raggio (come l’arco AB in figura), diremo che misura un radiante.diremo che misura un radiante.Anche l’angoloAnche l’angolo AOBAOBmisura un radiante.misura un radiante.
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Corrispondenza gradi-radiantiCorrispondenza gradi-radiantiCorrispondenza gradi-radiantiCorrispondenza gradi-radianti
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Corrispondenza gradi-radiantiCorrispondenza gradi-radiantiCorrispondenza gradi-radiantiCorrispondenza gradi-radianti
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Angoli positivi e negativiAngoli positivi e negativiAngoli positivi e negativiAngoli positivi e negativi
Un Un angoloangolo si dice si dice orientatoorientato quando è stabilito quale dei due lati deve quando è stabilito quale dei due lati deve considerarsi come primo lato.considerarsi come primo lato.
Un Un angoloangolo orientato si dice orientato si dice positivopositivo quando è descritto dal lato origine quando è descritto dal lato origine mediante una rotazione antioraria, mediante una rotazione antioraria, negativonegativo in caso contrario. in caso contrario.
Si chiama Si chiama misura di un angolo orientatomisura di un angolo orientato la sua misura assoluta presa con la sua misura assoluta presa con il segno + o con il segno – a seconda che l'angolo sia positivo o negativo.il segno + o con il segno – a seconda che l'angolo sia positivo o negativo.
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Seno e cosenoSeno e cosenoSeno e cosenoSeno e coseno
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Seno e cosenoSeno e cosenoSeno e cosenoSeno e coseno
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La funzione SENOLa funzione SENOLa funzione SENOLa funzione SENO
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La funzione SENOLa funzione SENOLa funzione SENOLa funzione SENO
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La funzione SENOLa funzione SENOLa funzione SENOLa funzione SENO
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La funzione SENOLa funzione SENOLa funzione SENOLa funzione SENO
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La funzione SENOLa funzione SENOLa funzione SENOLa funzione SENO
NON E' INVERTIBILE
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La funzione ARCOSENOLa funzione ARCOSENOLa funzione ARCOSENOLa funzione ARCOSENO
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La funzione SENOLa funzione SENOLa funzione SENOLa funzione SENO
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La funzione ARCOSENOLa funzione ARCOSENOLa funzione ARCOSENOLa funzione ARCOSENO
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La funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENO
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La funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENO
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La funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENO
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La funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENO
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La funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENO
NON E' INVERTIBILE
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La funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENO
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La funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENO
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La funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENOLa funzione COSENO
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La funzione TANGENTELa funzione TANGENTELa funzione TANGENTELa funzione TANGENTE
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La funzione TANGENTELa funzione TANGENTELa funzione TANGENTELa funzione TANGENTE
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La funzione TANGENTELa funzione TANGENTELa funzione TANGENTELa funzione TANGENTE
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La funzione TANGENTELa funzione TANGENTELa funzione TANGENTELa funzione TANGENTE
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La funzione TANGENTELa funzione TANGENTELa funzione TANGENTELa funzione TANGENTE
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La funzione TANGENTELa funzione TANGENTELa funzione TANGENTELa funzione TANGENTE
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La funzione TANGENTELa funzione TANGENTELa funzione TANGENTELa funzione TANGENTE
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La funzione ARCOTANGENTELa funzione ARCOTANGENTELa funzione ARCOTANGENTELa funzione ARCOTANGENTE
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RelazioniRelazioniRelazioniRelazioni
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• Esempi: cos (x) = ½ x ∈ [0, π/2]
232/11)sin( 2 =−=x
22
421)cos( −=−−=x
],2
[22)sin( ππ∈= xx
RelazioniRelazioniRelazioniRelazioni
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• sin2(x) + cos2(x) = 1
)(cos1)(tan1 2
2
xx =+
)(tan11)(cos 2
2
xx
+=
)(tan11)cos( 2 x
x+
±=
RelazioniRelazioniRelazioniRelazioni
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• La cui somma è π/2:sin(π/2−α) = cos(α)cos(π/2−α) = sin(α)tan(π/2−α) = cot(α)cot(π/2−α) = tan(α)
x
y
Angoli complementariAngoli complementariAngoli complementariAngoli complementari
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sin(π/2+α) = cos(α)cos(π/2+α) = - sin(α)tan(π/2+α) = - cot(α)cot(π/2+α) = - tan(α)
x
y
Angoli anti-complementariAngoli anti-complementariAngoli anti-complementariAngoli anti-complementari
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• La cui somma è π:sin(π−α) = sin(α)cos(π−α) = - cos(α)tan(π−α) = - tan(α)cot(π−α) = - cot(α)
x
y
Angoli supplementariAngoli supplementariAngoli supplementariAngoli supplementari
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sin(π+α) = - sin(α)cos(π+α) = - cos(α)tan(π+α) = tan(α)cot(π+α) = cot(α)
x
y
Angoli anti-supplementariAngoli anti-supplementariAngoli anti-supplementariAngoli anti-supplementari
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sin(2π−α) =sin(−α)= - sin(α)cos(2π−α) =cos(−α)= cos(α)tan(2π−α) =tan(−α)= - tan(α)cot(2π−α) =cot(-α)= - cot(α)
x
y
Angoli esplementari ed oppostiAngoli esplementari ed oppostiAngoli esplementari ed oppostiAngoli esplementari ed opposti
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cos (α ± β) = cos α cos β + sen α sen β
sen (α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β tg α ± tg βtg (α ± β ) = 1 + tg α tg β
Addizione e sottrazioneAddizione e sottrazioneAddizione e sottrazioneAddizione e sottrazione
sinα=cos( π/2-α)
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sen 2α = 2 sen α cos α
cos 2α = cos2 α - sen2 α = 1 - 2sen2 = 2cos2 – 1
2 tg αtg 2 α = 1 - tg2 α
DuplicazioneDuplicazioneDuplicazioneDuplicazione
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Queste formule di ricavano da quella di duplicazione del coseno sostituendo α /2 ad α
sen α /2 = ± 1 – cos α √ 2
cos α /2 = ± 1 + cos α √ 2
sen α 1 – cos αtg α /2 = = 1 + cos α sen α
BisezioneBisezioneBisezioneBisezione
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p + q p - q sen p + sen q = 2 sen cos 2 2
p + q p - q p + q p - q sen p - sen q = 2 cos sensen p - sen q = 2 cos sen 2 22 2
p + q p - q p + q p - q cos p + cos q = 2 cos coscos p + cos q = 2 cos cos 2 22 2
p + q p - q p + q p - q cos p - cos q = - 2 sen sencos p - cos q = - 2 sen sen 2 22 2
Formule di prostaferesiFormule di prostaferesiFormule di prostaferesiFormule di prostaferesi
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Identità goniometricheIdentità goniometricheIdentità goniometricheIdentità goniometriche
Si chiama Si chiama identità goniometricaidentità goniometrica ogni uguaglianza tra espressioni, contenenti ogni uguaglianza tra espressioni, contenenti funzioni goniometriche di uno o più angoli che è verificata qualsiasi siano i valori funzioni goniometriche di uno o più angoli che è verificata qualsiasi siano i valori attribuiti alle misure degli angoli. Eccettuati gli eventuali valori per i quali almeno attribuiti alle misure degli angoli. Eccettuati gli eventuali valori per i quali almeno una delle due espressioni perde di significato.una delle due espressioni perde di significato.
Es cos(p+q)=cos(p)cos(q)-sen(p)sen(q)Es cos(p+q)=cos(p)cos(q)-sen(p)sen(q)
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Esercizi
ααα
αα 22
22
2
cos1
cos111 =+⋅−+ tg
sentg
αα
αααα
ααα
ααααα
αααα
ααα
22
22
22
22
2
2222
2
222
2
22
2
cos1
cos1
cos1
coscos
cos1
cos1
cos1
cos1
cos1
cos1
cos1
cos1
cos1
cos1
=
=+
=+
=+−+
=+⋅−+
sen
sen
sen
sensen
sen
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trigonometria
Per risolvere un triangolo rettangolo bisogna determinare le misure dei lati e degli angoli che lo compongono.
Studiamo, quindi le relazioni che intercorrono tra le misure lineari e circolari di un triangolo rettangolo
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Risoluzione dei triangoli rettangoli
Utilizzando la similitudine dei triangoli riusciamo a risolvere facilmente i triangoli retttangoli
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In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto al cateto o per il coseno dell’angolo adiacente al cateto
a = c sen α = c cos β
b = c sen β = c cos α
Teorema 1Teorema 1Teorema 1Teorema 1
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In un triangolo qualunque le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.
γβα senc
senb
sena ==
Teorema dei seniTeorema dei seniTeorema dei seniTeorema dei seni
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Equazioni trigonometricheEquazioni trigonometricheEquazioni trigonometricheEquazioni trigonometriche
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Equazioni trigonometricheEquazioni trigonometricheEquazioni trigonometricheEquazioni trigonometriche
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Equazioni trigonometricheEquazioni trigonometricheEquazioni trigonometricheEquazioni trigonometriche
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Equazioni trigonometricheEquazioni trigonometricheEquazioni trigonometricheEquazioni trigonometriche