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Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +5
4y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita del sistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = αy(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore di α inmodo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k). Calcolareanche gli altri modi del sistema.
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 1.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 3, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsiva delsistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativa al-l’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valore massimodella sinusoide rispetto al valor medio).
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Esercizio 3. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e data dalsegnale:
{g(k)}+∞k=0
=
{
5,10
3,20
9,40
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti il segnaledi ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf (k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 4
0, k ≥ 5.
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 3 y(t) = u(t)− 2u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf (t) relativa all’ingresso agradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√3, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta libera
del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√3 t 1(t).
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RISULTATI
Esercizio 1.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 2.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
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Esercizio 3.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 4.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
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Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 4 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K = 2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la rispostalibera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−2 t 1(t).
Esercizio 2. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
10,20
3,40
9,80
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 1
0, k ≥ 2.
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Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 2.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 2, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +1
2y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
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RISULTATI
Esercizio 1.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 2.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
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Esercizio 3.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 4.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
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Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
2,4
3,8
9,16
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 2
0, k ≥ 3.
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +5
16y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
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Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 5 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√5, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√5 t 1(t).
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 3.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 5, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
![Page 11: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/11.jpg)
RISULTATI
Esercizio 1.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 2.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
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Esercizio 3.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 4.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
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Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 4.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 4, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 2 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√2 t 1(t).
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Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +17
4y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
Esercizio 4. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
4,8
3,16
9,32
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 3
0, k ≥ 4.
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RISULTATI
Esercizio 1.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 2.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
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Esercizio 3.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 4.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
![Page 17: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/17.jpg)
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +1
2y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 5.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 2, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
![Page 18: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/18.jpg)
Esercizio 3. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
10,20
3,40
9,80
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 1
0, k ≥ 2.
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 4 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K = 2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la rispostalibera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−2 t 1(t).
![Page 19: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/19.jpg)
RISULTATI
Esercizio 1.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 2.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
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Esercizio 3.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 4.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
![Page 21: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/21.jpg)
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 5 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√5, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√5 t 1(t).
Esercizio 2. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
2,4
3,8
9,16
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 2
0, k ≥ 3.
![Page 22: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/22.jpg)
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 6.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 5, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +5
16y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
![Page 23: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/23.jpg)
RISULTATI
Esercizio 1.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 2.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
![Page 24: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/24.jpg)
Esercizio 3.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 4.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
![Page 25: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/25.jpg)
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
4,8
3,16
9,32
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 3
0, k ≥ 4.
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +17
4y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
![Page 26: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/26.jpg)
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 2 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√2 t 1(t).
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 7.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 4, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
![Page 27: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/27.jpg)
RISULTATI
Esercizio 1.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 2.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
![Page 28: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/28.jpg)
Esercizio 3.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 4.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
![Page 29: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/29.jpg)
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 8.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 3, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 3 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√3, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√3 t 1(t).
![Page 30: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/30.jpg)
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +5
4y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
Esercizio 4. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
5,10
3,20
9,40
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 4
0, k ≥ 5.
![Page 31: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/31.jpg)
RISULTATI
Esercizio 1.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 2.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
![Page 32: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/32.jpg)
Esercizio 3.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 4.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
![Page 33: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/33.jpg)
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +5
16y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 9.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 5, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
![Page 34: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/34.jpg)
Esercizio 3. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
2,4
3,8
9,16
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 2
0, k ≥ 3.
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 5 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√5, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√5 t 1(t).
![Page 35: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/35.jpg)
RISULTATI
Esercizio 1.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 2.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
![Page 36: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/36.jpg)
Esercizio 3.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 4.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
![Page 37: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/37.jpg)
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 2 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√2 t 1(t).
Esercizio 2. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
4,8
3,16
9,32
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 3
0, k ≥ 4.
![Page 38: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/38.jpg)
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 10.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 4, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +17
4y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
![Page 39: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/39.jpg)
RISULTATI
Esercizio 1.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 2.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
![Page 40: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/40.jpg)
Esercizio 3.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 4.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
![Page 41: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/41.jpg)
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
5,10
3,20
9,40
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 4
0, k ≥ 5.
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +5
4y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
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Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 3 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√3, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√3 t 1(t).
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 11.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 3, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
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RISULTATI
Esercizio 1.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 2.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
![Page 44: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/44.jpg)
Esercizio 3.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 4.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
![Page 45: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/45.jpg)
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 12.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 2, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 4 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K = 2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la rispostalibera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−2 t 1(t).
![Page 46: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/46.jpg)
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +1
2y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
Esercizio 4. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
10,20
3,40
9,80
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 1
0, k ≥ 2.
![Page 47: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/47.jpg)
RISULTATI
Esercizio 1.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 2.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
![Page 48: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/48.jpg)
Esercizio 3.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 4.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
![Page 49: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/49.jpg)
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +17
4y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 13.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 4, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
![Page 50: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/50.jpg)
Esercizio 3. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
4,8
3,16
9,32
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 3
0, k ≥ 4.
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 2 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√2 t 1(t).
![Page 51: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/51.jpg)
RISULTATI
Esercizio 1.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 2.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
![Page 52: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/52.jpg)
Esercizio 3.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 4.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
![Page 53: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/53.jpg)
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 3 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√3, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√3 t 1(t).
Esercizio 2. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
5,10
3,20
9,40
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 4
0, k ≥ 5.
![Page 54: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/54.jpg)
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 14.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 3, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +5
4y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
![Page 55: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/55.jpg)
RISULTATI
Esercizio 1.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 2.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
![Page 56: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/56.jpg)
Esercizio 3.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 4.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
![Page 57: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/57.jpg)
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
10,20
3,40
9,80
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 1
0, k ≥ 2.
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +1
2y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
![Page 58: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/58.jpg)
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 4 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K = 2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la rispostalibera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−2 t 1(t).
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 15.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 2, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
![Page 59: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/59.jpg)
RISULTATI
Esercizio 1.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 2.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
![Page 60: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/60.jpg)
Esercizio 3.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 4.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
![Page 61: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/61.jpg)
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 16.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 5, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 5 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√5, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√5 t 1(t).
![Page 62: Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 ...control.dii.unisi.it/sistdin-SI/prova_in_itinere_sistdin...Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016 Candidato:](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022051408/6012ec195fc9790c2908d4b3/html5/thumbnails/62.jpg)
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +5
16y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
Esercizio 4. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
2,4
3,8
9,16
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 2
0, k ≥ 3.
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RISULTATI
Esercizio 1.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 2.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
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Esercizio 3.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 4.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =