modelli dinamici strumenti
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8/16/2019 Modelli Dinamici strumenti
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1
Strumenti:
modelli e caratteristiche dinamiche
Argomenti:
modelli dinamici di ordine 0, 1 e 2;
esempi della fenomenologia fisica; caratteristiche dinamiche degli strumenti di ordine 0, 1 e 2;
comparazione delle caratteristiche dinamiche.
1
Modelli dinamici
1 0 1 0... ...
n m
n o o o m i i in m
d d d d A q A q A q B q B q B q
dt dt dt dt + + + = + + +
Nel caso più generale il legame ingresso-uscita di un sistema dinamicopuò essere scritto nella forma:
L’uso di tale formulazione per modellare uno strumento prevede un solotermine in ingresso, l’ingresso di misura desiderato:
Si definisce ordine dello strumento la differenza tra l’ordine massimo e
quello minimo di derivazione della variabile d’uscita, qo .
1 0...
n x
n o o o x in xd d d A q A q A q B qdt dt dt
+ + + =
mo e u zza per a escr z one e compor amen o nam co unostrumento sono sempre a coefficienti costanti e di ordine zero, primoo secondo.
Tale descrizione è solo un’approssimazione del reale comportamentodello strumento che risulta da un lato rappresentativa nei limiti dettatidalle condizioni di util izzo e dall’altro ne fissa il campo di impiego.
2
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Strumento di ordine zero:
Modelli dinamici
0 ...o A q =Strumento del primo ordine:
1 0...o o A q A q+ =&
... A A+ =&& &
Strumento del secondo ordine:2 1 0
...o o o
A q A q A q+ + =&& &
E’ necessaria una metodologia di analisi che permetta di comprendere lemodalità di funzionamento del «sistema dinamico strumento»; i passi cheseguiremo sono:
• Scelta di forzanti significative (gradino, rampa, sinusoide) per il calcolodella ris osta
o o
• Calcolo della risposta: Integrale particolare (dipendente dal casospecifico) e generale (dipendente dall’equazione omogenea ass.)
L’importanza di questo tipo di analisi è legata alla possibilità di definiresistematicamente i parametri che caratterizzano ciascun modello, ecapire come valutarli in relazione all’utilizzo che ne potremmo fare
3
Modelli dinamici
Utilizzando l’operatore di Laplace cambiamo il dominio in cui stiamo
operando passando da quello del tempo a quello delle frequenze (per
chiarezza usiamo il simbolo ∼ per individuare una funzione dellafrequenza).
1
1 1 0( ... )n n i
n n o i i
o i
A s A s A s A q B s q
(s)q (s)q
−−+ + + + =
=
% %
% % A B
I termini derivativi si trasformano in potenze di esponente pari all’ordine di
derivazione e l’espressione della funzione di trasferimento si semplifica
divenendo un rapporto tra ingresso e uscita:
1
1
o i
o
i
q (s) (s)q
q H (s) (s)
q
−
−
=
= =
% %
%
%
A B
A B
4
La funzione di trasferimento dello strumento diviene:
-
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Analisi fenomenologica
e scrittura delle
equazioni costitutive
5
S V
OV
Ordine 0: il potenziometro
S V V x Gx= =
Abbiamo già analizzato il principio di funzionamento da
un punto di vista statico. Valutiamo la possibile
esistenza di un effetto dinamico.
Nella relazione ingresso-uscita dello strumento non compare nessun
termine differenziato rispetto al tempo, quindi si tratta di uno strumento di
ordine 0.
Il guadagno G è costante in frequenza:
La funzione di trasferimento concepita analizzando esclusivamente il
comportamento elettrico è però utilizzabile solo entro i limiti di validità
L
( ) ( )OV s G x s=% %
dell’ipotesi di disaccoppiamento con quello meccanico:
• non si è considerato che il potenziometro è in realtà un corpo elastico
con infiniti gradi di libertà. Cioè si è assunto che la dinamica interna
dello strumento sia a frequenze abbastanza elevate, rispetto a quelle di
impiego, da poter essere considerato rigido nel campo di utilizzo.
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Ordine 1: il termometro
Studiamo un altro strumento di largo impiego, il termometro.
Definiamo alcuni parametri utili:
T a temperatura ambiente
T i temperatura interna
coe c en e scam o erm co
m massa del materiale del bulbo
(trascurabile la massa del materiale nella colonna)
c calore specifico del materiale del bulbo
t tempo
A superficie di scambio termico
( )a i i
q hA T T mcT = − = &L’equazione di equilibrio dei flussi è:
Sensibilità statica =>
(guadagno a regime)1G =
Costante di tempo =>mc
hAτ =( 1)
1( )
1
i i a i a
i
a
T T T s T T
T G s
T s
τ τ
τ
+ = → + =
= =+
& % %
%%
%
Equazione dinamica (primo ordine):i i a
mc T hA T hA T + =&
7
Ordine 2: accelerometro
Consideriamo un sensore di accelerazione a massa sismica.
Spostamento
Massa sismica
Ma
Lo strumento è rappresentabile da un modello dinamico elementare a 1
grado di libertà: massa, molla e smorzatore: l’uscita deve essere messa in
relazione con l’ingresso di accelerazione applicato all’accelerometro.
’
relativo della
massa (u)
Spostamento
della base (v)
Rigidezza della
trave Ku
,
con una forza d’inerzia pari a f=Ma, flette la barretta.
Come indicatore dell’effetto della forza è concettualmente utilizzabile la
posizione dell’estremo (in termini reali è meglio un trasduttore facilmente
miniaturizzabile).
Occorre analizzare l’equazione di equilibrio dinamico. 8
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2
2
( )0
d v u du M C Ku
dt dt
++ + =
Ordine 2: accelerometro
Equazione di equilibrio dinamico nel tempo:u
u - Movimento relativo della massa sismica
v - Movimento della base
In frequenza l’accelerazione della base è a(s)=s2v.
v
2 2
2
( ) 1( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( / / )
u s Ms Cs K u s M s v s M a s
a s s C Ms K M + + = − = − = −
+ +
%% % %
%
Si assume che solo l’elemento di reazione elastica sia deformabile
Equazione dinamica di secondo ordine ad un grado di libertà
che modella un solo aspetto della dinamica interna: la dinamica più
lenta dell’oggetto accelerometro, la sola di interesse metrologico9
Ordine 2: accelerometro, modello dinamico
2 2
2 1 0 2
2
2
2
( )
: :
o i
o i
o i
A s A s A q B s q
(s)q B s q
Uscita q Ingresso a s q
+ + =
=
=
% %
% %
% %
A
Allora: 2( ) Ms Cs K u Ma+ + = −% %
2con -1Uscita (s) Ingresso (s) B= ⋅ = H H A
sensibilità statica (guadagno a regime ad s nullo): 2 B M
G A K
= =
I parametri caratteristici sono:
pulsazione propria: 0
2
n
A K
A M ω = =
coefficiente di smorzamento:1
0 22 2
A C
A A KM ζ = =
10
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Ordine 2: accelerometro, modello dinamico
Diagrammi tipici di risposta in frequenza di un accelerometro:
101
180
0.05
1
100
A m p i e z z a
0.7
0.1
.
20
40
60
80
100
120
140
160
0.100.7
F a s e
10-1
100
10-
Frequenza adimensionale
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
Frequenza adimensionale
11
Ordine 2: sismografo
Consideriamo un sensore di spostamento a massa sismica.
Misura dello
spostamentoMassa sismica
L’uscita deve essere messa in relazione con l’ingresso che è lo
spostamento applicato al contenitore dell’accelerometro.
relativo della
massa (u)
Spostamentodella base (v)
Rigidezza complessiva
Il movimento, variabile nel tempo, impone un’accelerazione che agendo
sulla massa sotto forma di una forza d’inerzia, deforma il supporto elastico.
Un trasduttore di posizione rileva lo spostamento relativo della massa
rispetto alla base.
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2( )
0d v u du
M C Ku+
+ + =
Equazione di equilibrio dinamico:u
Ordine 2: sismografo
u - Movimento relativo della massa sismica
v - Movimento della base
t t
v
2
2
22 ( )( )
( ) ( / / )
u s Ms Cs K u Ms v
v s s C Ms K M
s+ + = − = −
+ +
%% %
%
L’ingresso del sistema è direttamente il movimento della base v.
Equazione dinamica di secondo ordine ad un grado di libertà
(massa, molla e smorzatore) che, come sempre, trascura la dinamica a
frequenze superiori dell’oggetto.
13
Ordine 2: sismografo, modello dinamico
: :o iUscita q u Ingresso q v= =2
2
u s M = −
%
%
L’equazione di equilibrio dinamico è la STESSA dell’accelerometro: il
sistema è sempre sensibile all’accelerazione MA l’ingresso desiderato è lo
spostamento. Quindi:
B M −
I parametri caratteristici sono:
2 2
2 1 0 2
2
21 2
2
( )
con
o i
o i
A s A s A q B s q
(s)q B s q
Uscita (s) Ingresso (s) B s−
+ + =
=
= ⋅ =
% %
% % A
H H A
v s s
sens s a ca gua agno a reg me a s e eva o :2
A M = = = −
pulsazione propria: 0
2
n
A K
A M ω = =
coefficiente di smorzamento: 1
0 22 2
A C
A A KM ζ = =
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Ordine 2: sismografo, modello dinamico
La funzione di trasferimento del sismografo è completamente diversa daquella di uno accelerometro a causa della presenza di poli e zeri.
Il guadagno di regime si ha per frequenze di lavoro superiori a quella
propria del sistema.
G costanteper f>f n
Per frequenze basse la
massa sismica si muove
come la base (u=0).
Per frequenze elevate la
massa sismica rimane
ferma e il movimento
della base (u=-v). L’uscita èin questa situazione in
contro fase rispetto
all’ingresso (G=-1).
Frequenza
normalizzata 15
Dal Modello dinamicoal Modello metrologico
16
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9
Modello dinamico Vs Modello metrologico
Le equazioni che abbiamo scritto descrivono il comportamento dinamicodel sistema “strumento”
Per ottenere il modello metrologico, cioè quello che potremo usare per
ottenere la misura, è necessario introdurre il principio di trasduzione
Questa operazione ha senso solo dopo che nell’equazione di equilibrio i
termini legati alla dinamica interna sono diventati trascurabili; nel caso
dell’accelerometro:
Il termine fornisce le forze elastiche agenti sul piezo:
Mu Cu Ku Ma+ + =&& & Ku Ma=
ElF Ku=Ku
Principio di trasduzione meccanico/elettrico
Otteniamo infine la sensibilità di progetto,
o nominale, dello strumento
Piezo ElV C F =
( )
1 El
Piezo
Piezo
F V MaC
V MC a
= =
=18
Analisi della risposta dinamica
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Strumento di ordine zero
0 0o i A q B q=Equazione caratteristica:
0o i i
Bq q Gq= =% % %Equazione normalizzata:
Sensibilità statica (guadagno a regime): 0
0
BG
A=
Legame ingresso-uscita:o i
q Gq=% %
Uno strumento di ordine 0 rappresenta lo strumento ideale dal punto di
’
0
.
Dal momento che il legame ingresso uscita è algebrico, non haimportanza la variazione nel tempo dell’ingresso, l’uscita seguirà
perfettamente l’ingresso, senza distorsione o ritardo di fase.
Lo strumento avrà un rapporto fra uscita ed ingresso sempre pari a quello
di regime. 21
Strumento di ordine zero
io b
xe E
L=Esempio: potenziometro
Esempio: estensimetro1 R
k Rε
Δ=
At tenzione: sebbene l’estensimetro abbia sempre un modello di ordine
zero una cella di carico che lo utilizza per realizzare un trasduttore di
forza esibisce in genere un comportamento del 2° ordine.
E’ importante in questo caso non confondere il modello dinamico
complessivo dello strumento cella con quello del suo componente,
estensimetro, che legge la deformazione. 22
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Strumento di ordine zero
Esempio: potenziometroRisposta alla rampa
io be E
L=
Risposta al gradino Risposta ad ingresso
genericoRisposta in frequenza
23
Strumento del primo ordine
Equazione caratteristica:
Equazione normalizzata:
1 0 0o o i A q A q B q+ =&
01o o i
B Aq q q+ =&
Legame ingresso-uscita:
Sensibilità statica (guadagno a regime):
0 0
o o iq q Gqτ + =&
0
0
[ / ]out in B
G u u A
=
Costante di tempo:1 [ ]
At
Aτ =
( )1
o
i
q G H s
q sτ = =
+
%
%
24
Funzione di trasferimento:
Esempio: termometro
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Strumento del primo ordine: risposta a gradino
0 per 0o
q t += = _ ( 1) o i STEPs q Gqτ + =% % Condizioni iniziali:
t −
_
_ _
o gen
o par i STEP
q e
q G q
=
=
integrale generale
integrale particolare
Applicando le condizioni iniziali: _ (1 )t
o i STEPq Kq e τ −
= −
t
oq −
Soluzione data da due parti:
_ i STEP
e
Gq
= −
Errore di misura: o
m i
qe q
G= −
25
Strumento del primo ordine: risposta a gradino
( ) _ 1 t
o i STEPq Gq e τ −= −
Minore è la costante di tempo, τ, maggiore è la prontezza dello strumentoovvero l’uscita raggiunge il valore asintotico in un tempo più breve.
Come desumibile dai grafici di destra dove il tempo è stato normalizzato
rispetto a τ, dopo un tempo pari a 4 τ la risposta ha raggiunto il 98% dellarisposta statica e può essere ormai definita a regime.
26
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Strumento del primo ordine
La determinazione sperimentale della costante di tempo può essere fattaa partire dalla risposta a gradino. Riscrivendo opportunamente
l’equazione abbiamo:
t oq τ −= −
t
oq
τ −
− = _ i STEPGq iSTEPGq
Ponendo: e passando ai logaritmi: (a=b*t )1
ln z t τ
= − _
1 o
i STEP
q z
Gq= −
Acquisti sperimentalmente i dati di ingresso e
uscita in diversi istanti temporali si può quindi
ln z
τ
1− t
proce ere con una regress one neare. a
pendenza della retta ottenuta è l’inverso dellacostante di tempo.
Questa procedura risulta molto più semplice che
non andare a stimare la costante di tempo in
base alla convergenza della risposta e va
sempre preferita ad essa.27
Strumento del primo ordine: risposta in frequenza
In forma adimensionale: 12
1( ) : tan ( )
( ) 1
o
i
q j A
Gqω ϕ ωτ
ωτ
−⎡ ⎤= = −⎣ ⎦+
%
%
0.98
1
1.02
1.04
1.06
1.08
1.1
A/(GA )0
Fase+1
ϕ
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.9
0.92
0.94
0.96
ωτ
28
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Strumento del primo ordine
Esempio: il termometro
T a temperatura ambiente
T i temperatura interna
m massa del materiale del bulbo
(trascurabile la massa del materiale nella colonna)
c calore specifico del materiale del bulbo
t tempo
A Superficie di scambio termico
( )a i i
q hA T T mcT = − = &L’equazione di equilibrio dei flussi è:
Sensibilità statica =>
(guadagno a regime)1G =
Costante di tempo => mchA
τ =
29
i i a
i i a
mc T hA T hA T
T T T τ
+ =
+ =
&
&
Come si può operare per avere una costante di tempo piccola?
E’ ovvio che i termini al denominatore devono essere i più grandi
possibile, mentre quelli al numeratore devono essere i più piccoli.
Strumento del primo ordine
Non tutte le variabili in gioco sono però indipendenti, per es. la superficie
del bulbo e la massa del fluido di misura. Nelle ipotesi adottate,
indicando con r il raggio del bulbo, assunto sferico per semplicità, poiché:
La costante di tempo diventa:3
23 3
mc r c rc
hA h r h
ρπ ρ τ
π = = =
3 24 43
m r A r ρπ π = =
Quindi un intervento diretto ad aumentare la superficie esterna attraverso
l’incremento del raggio, con lo scopo di diminuire la costante di tempo, in
realtà porta al suo incremento, in quanto il volume aumenta più
rapidamente della superficie
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Strumento del secondo ordine
oo B Adq
Aqd
A2
=++
Per lo strumento di secondo ordine:
2s A sA A s B s+ + =% %idt dt
sensibilità statica (guadagno a regime, s=0): 0 B
G =
I parametri caratteristici sono tre:
[ ]1
/m N K
2
0( )
o i
is M sB K x f + + = %%
0
pulsazione propria o naturale:2
0
A
An
=ω
coefficiente di smorzamento:20
1
2 A A
A=ζ
31
[ ] /K rad s M
2
B
K M
Strumento del secondo ordine
Sostituendo i parametri caratteristici nell’equazione fondamentale:
2
2
21 o i
n n
s sq Gq
ζ
ω ω
⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟
⎝ ⎠% %
La funzione di trasferimento è:
2
2
( )2
1
o
i
n n
q Gs
s sq ζ
ω ω
=
+ +
%
%
32
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Strumento del secondo ordine: risposta al gradino
2
2
21
o iSTEP
n n
s sq G q
ζ
ω ω
⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟
⎝ ⎠% %
Condizioni iniziali: +== 0 per0 t dt
dqo+== 0 per0 t qo
op iSTEPq G q=Integrale particolare
Integrale Generale assume una delle tre possibili forme, in funzione
33
della tipologia delle radici dell’equazione caratteristica:
reali e distinte (sistema sovrasmorzato)
reali ripetute (sistema criticamente smorzato)
complesse (sistema sottosmorzato)
Strumento del secondo ordine: risposta a gradino
Le tre funzioni di trasferimento, per i diversi livelli di smorzamento,
diventano:
2 22 2
( 1) ( 1)
2 2
1 11 1
2 1 2 1
n nt t o
iSTEP
qe e
Gq
ζ ζ ω ζ ζ ω ζ ζ ζ ζ ζ
ζ ζ
− + − − − −+ − − −> = − + +− −
1 (1 ) 1nt on
iSTEP
qt e
Gq
ω ζ ω −= = − + +
2
21 sin( 1 ) 1
1
nt
on
iSTEP
q et
Gq
ζω
ζ ζ ω φ ζ
−
< = − − + +−
21 1 ζ φ −= −sin
34
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Strumento del secondo ordine: risposta a gradino
1.6Risposta di un sistema a frequenza naturale unitaria
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
R i s p o s t a p o s i z i o n e
Sovrasmorzato 1.5
Smorz. critico 1.0
Sottosmorzato 0.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
N periodi
35
Sistema sovrasmorzato.
Strumento del secondo ordine: risposta a gradino
1
1.2Risposta di un sistema a frequenza naturale unitaria
0
0.2
0.4
0.6
0.8
R i s p o s t a n o r m
a l i z z a t a
Posizione
Velocità Accelerazione
Gli effetti dinamici possono essere considerati esauriti dopo 2.5 – 3.0 volte
il periodo naturale (T naturale=1/f naturale=2 π/ω naturale).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.2
N periodi
36
-
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18
Sistema sottosmorzato.
Strumento del secondo ordine: risposta a gradino
1.5
Posizione
Risposta di un sistema a frequenza naturale unitaria
-0.5
0
0.5
1
R i s p o s t a n o r m a l i z z a t a
Velocità
Accelerazione
Gli effetti dinamici possono essere considerati esauriti dopo 4-4.5 volte il
periodo naturale.
0 1 2 3 4 5 6-1
N periodi
37
Osservazioni:
poiché dopo un certo numero di periodi caratteristici, dipendenti dal
valore dello smorzamento, gli effetti dinamici sono trascurabili, si può
Strumento del secondo ordine: risposta a gradino
dire che trascorso un certo lasso di tempo, la risposta può essere
considerata statica ovvero ;
ω n è un’indicazione diretta della velocità di risposta dello strumento: perun determinato smorzamento, raddoppiando ω n si dimezza il tempo di
risposta, dato che il prodotto ω n t raggiunge lo stesso valore in metà del
tempo;
il concetto di velocità di ris osta nel dominio del tem o è il duale di
op iSTEPq G q=
quello di banda passante nel dominio della frequenza. Più uno
strumento ha un’alta velocità di risposta, ovvero di convergenza ai
valori asintotici, più sarà in grado di leggere correttamente segnali con
veloci variazioni temporali ovvero ad alte frequenze.
38
-
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19
Osservazioni (segue):
un aumento dello smorzamento riduce le oscillazioni ma rallenta la
ris osta nel senso che la rima intersezione al valore a re ime viene
Strumento del secondo ordine: settling time
ritardata. Un’indicazione numerica della rapidità della risposta è data
dal settling time ovvero il tempo che il segnale d’uscita impiega per
rientrare in una banda di ampiezza definita attorno al valore asintotico
(error band), per non uscirne più.
Il valore ottimale dello smorzamento dipende dalla banda di settling
time scelta: scegliendo ad esempio il 10%, lo smorzamento che
,
ovvero il minor settling time, è pari a 0.6.
Tale condizione viene raggiunta in circa 2.4/ ω n secondi (vedere
diagramma successivo).
39
Error band del 10%
Strumento del secondo ordine: settling time
2.4
40Settling time al 10%
-
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20
Strumento del secondo ordine: risposta in frequenza
2( )
2 1
o
i
n n
Gq
jqω
ω ζ ω
ω ω
=⎛ ⎞
− + +⎜ ⎟⎝ ⎠
%%
Forma complessa:
22
2 2
2
1( )
1 4
o
i
n n
G
q
qω
ω ζ ω
ω ω
=⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥− +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
%
%
ω
ω
ω
ω
ζ φ
n
n
−= −
2tan
1 Ampiezza: Fase:
41
Strumento del secondo ordine: risposta in frequenza
Osservazioni:
aumentando la frequenza propria, aumenta l’ampiezza dell’intervallo difrequenze per il quale la risposta si mantiene piatta (banda passante),
misurare ingressi ad alta frequenza;
il valore ottimale di smorzamento è funzione sia dalla risposta in
ampiezza che da quella in fase: la più estesa zona di ampiezzacostante in frequenza si ottiene per valore di smorzamento chevariano tra 0.6 e 0.7;
un angolo di fase nullo è impossibile da ottenere: la cosa importante èche il segnale in uscita riproduca la forma di quello in ingresso ovveronon introduca distorsione. Questo risultato come ià visto si ottiene con uno sfasamento lineare che genera solo un ritardo ma non unadistorsione. Ancora una volta uno smorzamento compreso tra 0.6 e 0.7garantisce il più ampio range di frequenza in cui la fase varialinearmente.
42
-
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21
Strumento del secondo ordine
Nell’ambito della sperimentazione, con particolare riferimento ai sensoriaccelerometrici, spesso i termini dell’equazione caratteristica del sistema
del secondo ordine vengono sostituiti con le grandezze meccaniche
corrispondenti:
Con parametri caratteristici:
2 2( )Out In
Ms Cs K x Ms x+ + =% %
sensibilità statica (guadagno a regime a s=0): [ ]1
/G m N K
=
pulsazione propria: [ ] /n rad s M
ω =
coefficiente di smorzamento 2
C
K M ζ =
43
Esempio: accelerometro piezoelettrico
Confronto di caratteristiche di strumenti disecondo ordine
La massa sismica (rigida) èappoggiata al piezelettrico, la cui
Valori tipici:Massa sismica n g
Rigidezza elevata
( E piezo≈ 80000 N/mm2)
Smorzamento % ≈ 0
Frequenza di risonanza: n kHzMassa
Rigidezza(∝ EA/t)(n>20)
44
-
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22
Esempio: accelerometro
piezoresistivo a lamina
Confronto di caratteristiche di strumenti disecondo ordine
sulla barretta elastica (si tratta di un«modello», nella realtà la geometriapuò essere profondamente diversa)
Valori tipici:
Massa sismica g
Smorzamento % ≈ 0,7
Frequenza di risonanza: n kHz
Massa
K ∝ EI/L3
(n < 1)45
Confronto di caratteristiche di strumenti disecondo ordine
Risposte tipiche
Definizione caratteristiche utili;Modulo(A/A0)≈1
an a passan e rea e
100
101
p i e z z a
0.7
0.1
0.05
100
120
140
160
180
0.05
0.100.7
a s e
Piezoceramico
10-1
100
10-1
Frequenza adimensionale
A
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
20
40
60
80
Frequenza adimensionale
Piezoresistivo
46
-
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23
Confronto di caratteristiche di strumenti disecondo ordine
Confronto di due strumenti: #1 1000Hz, 0.7 #2 20000Hz, 0.05
Definizione caratteristiche utili: Errore(Modulo(A/A0)) ≈ 0.01
Banda passante con 1% di errore sul guadagno: 255 e 1995 Hz
cioè 25.5 e 10.0% della rispettiva frequenza di risonanza
1.05 1.5
2
255Hz
(25.5%FR)
Basso smorzamento
Alto smorzamento
Deviazione 1%
Deviazione 1%
Accelerometro
piezoceramico
4710
3
0.95
1
-1%
+1%
100
101
102
103
104
105
106
0.5
1
1995Hz
(10.0%FR)
Accelerometro
piezoresistivo
FRFR
Identificazione sperimentale della funzione ditrasferimento
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-
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Funzione di trasferimento: identificazione sperimentale
Il modello dinamico può essere identificato sperimentalmente quando siadifficile riuscirci con analisi più elementari.
Il metodo parte dalla definizione della funzione di trasferimento di un
dell’uscita e dell’ingresso.
Una procedura elementare, prevede:
l’acquisizione delle storie temporali di ingresso e uscita;
il calcolo delle trasformate di Fourier dei due segnali;
la determinazione della funzione di trasferimento come rapporto tra
uscita ed ingresso calcolato ad ogni frequenza;
la rappresentazione dei diagrammi di ampiezza e fase.
La procedura richiede di essere resa più sofisticata, in modo da essere
più accurata e robusta per far fronte alle varie casistiche:
Contemporaneità delle misure
Applicazione di medie per riduzione rumore49
Funzione di trasferimento: identificazione sperimentale
Esempio: come distinguere un sistema del 2° ordine fortemente
smorzato da uno del 1°?
L’analisi dell’am iezza della
funzione di trasferimento non
dice molto: la sola differenza
rilevabile è la pendenza oltre ilginocchio .
Più rappresentativa risulta
essere il diagramma della fase:
nel sistema del 2° ordine, in
corr spon enza e a r sonanza,
si ha un valore pari a 90° che
tende a 180° all’aumentare della
frequenza.
Tale comportamento è assai
diverso nel sistema di 1° ordine50
-
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25
Funzione di trasferimento: identificazione sperimentale
% xx usci t a campi onat a% xf i ngr esso campi onat o
t x=f f t ( xx) / l engt h( xx) *Fs;t f =f f t ( xf ) / l engt h( xx) *Fs;n=l engt h( xf ) / 2;f i guret t f =t x( 1: n) . / t f ( 1: n) ; % cal col o ( el ement are) FdTsubpl ot ( 211)l ogl og( f f , sqr t ( abs( t t f ) ) )yl abel ( ' Ampi ezza' ) , t i t l e( ' Funzi one di t r asf er i ment o' )
f ase=atan2( i mag( t t f ) , real ( t t f ) ) / pi *180; , f ase( 1) =0;subpl ot ( 212) , pl ot ( f f , f ase) , yl abel ( ' Fase' )
51
Validità dei Modelli dinamici
Da ricordare che i modelli dinamici hanno un limite di validità:
Si assume che tutta la dinamica sia descritta dal grado di libertà
utilizzato ai fini metrolo ici
Questo è vero se le frequenze caratteristiche ad esso associate sono
ben separate da quelle del trasduttore (es la cassa)
Per la maggior parte dei trasduttori ciò non è un problema: es. non ha
senso utilizzare uno strumento come l’accelerometro vicino o oltre la
risonanza.
In altri casi ciò non è vero: il trasduttore di spostamento sismico il iene
nominalmente infinita (G=1 per f →∞)
In questo caso il limite di impiego sarà dato da altre caratteristiche
dinamiche, es del contenitore o delle molle di appoggio, che possono far
deviare il comportamento dello strumento dal quello del modello
metrologico.52
-
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Cosa sappiamo e/o sappiamo fare…
Disponiamo di un metodo per discutere il funzionamento dinamico di uno
strumento a partire dalla fisica che lo modella.
Abbiamo individuato alcune ti olo ie di strumento basandoci sulla
struttura delle equazioni che ne descrivono il funzionamento.
Abbiamo caratterizzato ogni tipologia di strumento con alcuni parametri
utili per la sintesi delle caratteristiche dinamiche dello strumento
Abbiamo analizzato i comportamenti dinamici per alcuni ingressi tipici, la
cui risposta evidenzia elementi utili per la scelta di uno strumento.
Le caratteristiche dinamiche rivestono un ruolo in fase di progettazione
’
comportamento metrologicamente corretto.
53
Domande?
54
-
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Approfondimenti: risposte ad ingressi standard
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Strumento del primo ordine: risposta alla rampa
0 0i oq q t q
= = ≤⎧= ⎨
& o o i SLOPE
q q Gq t τ + =& &Sostituendo:
Ingresso a rampa:
_ i SLOPE q t t ⎩ _
Applicando le condizioni iniziali: 0 per 0o
q t += =
_
t
o ge nq Ce τ −
=Integrale generale:
_ _ ( )
o par i SLOPE q Gq t τ = −&Integrale particolare:
_ ( )t
o i SLOPE q Ce Gq t τ τ
−
= + −& _ ( )t
o i SLOPE q Gq e t τ τ τ
−
= + −&
56
-
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Strumento del primo ordine: risposta alla rampa
Possiamo scrivere l’errore di misura come:
( )t
om i i SLOPE i SLOPE i SLOPE i SLOPE
qe q q t q e q t qτ τ τ
−⎛ ⎞= − = − + −⎜ ⎟& & & &
Errore in transitorio Errore a regime
, ,
_ _
m t m ss
t
m i SLOPE i SLOPE
e e
e q e qτ τ τ −
= − +& &1442443 14243
G
57
Strumento del primo ordine: risposta alla rampa
L’errore a regime è proporzionale alla costante di tempo.
58
-
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Strumento del primo ordine: risposta all’impulso
Funzione impulso di intensità A (p(t)=A/T):0
lim ( )T
A p t →
=
Fino al tempo T la risposta è analoga a quella a
gradino:( 1)
o i
GAs q Gq
T τ + = =% %
Fino al tempo T anche la condizione al contorno è
identica, quindi la soluzione diventa: (1 )t
o
GAq e
T τ
−
= −
La soluzione è valida fino al tempo T, dove vale: (1 )T
o t T GAq eT
τ −=
= −
59
Strumento del primo ordine: risposta all’impulso
Per t>T abbiamo: ( 1) 0o is q Gqτ + = =% %
E quindi:(1 )
T T
o T
GA eq Ce C
Te
τ
τ
τ
−−
−
−= =
&qu n a r sposta r su ta: _ _ o par i SLOPE q q τ = −
60
-
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Strumento del primo ordine: risposta all’impulso
Andamento p(t) Andamento q0 per T=T 0
Andamento q0 per T=T 0 /2 Andamento q0 per T=T 0 /k, k →∞
61
Strumento di secondo ordine: risposta alla rampa
2
2
21
o iSLOPE
n n
s sq G q t
ζ
ω ω
⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
%% &
Con condizioni iniziali: +== 0 per0 t
dt
dqo+== 0 per0 t qo
Le tre funzioni di trasferimento, in funzione ζ, diventano quindi:
2 22 2 2 2
( 1) ( 1)
2 2
2 1 2 1 2 1 2 121
4 1 4 1
n nt t o iSLOPE iSLOPE
n
q qq t e e
G
ζ ζ ω ζ ζ ω ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ
ω ζ ζ ζ ζ
− + − − + −⎛ ⎞− − − + − −⎜ ⎟= − + +⎜ ⎟− −⎝ ⎠
&&
&
12
12tan
2
2
−
−=
ζ
ζ ζ φ
1 (1 )2
nt o iSLOPE niSLOPE
n
q t eG
ω
ω
−= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠
&
2
2
21 sin( 1
2 1
nt
o iSLOPE iSLOPE n
n
q q eq t t
G
ζω ζ ζ ω φ
ω ζ ζ
−⎛ ⎞⎜ ⎟= − − − +⎜ ⎟−⎝ ⎠
&&
62
-
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Strumento di secondo ordine: risposta alla rampa
&
,
iSLOPE
m ssn
eω
=Errore a regime:
Sia l’errore a regime che il ritardo possono essere ridotti diminuendo lo
smorzamento, a scapito di oscillazioni di ampiezza maggiore, o
aumentando la frequenza naturale.
Ritardo a regime:,m ss
n
τ ω
=
63
Strumento di secondo ordine: risposta all’impulso
2 21 0
s sζ ⎛ ⎞+ + =
L’impulso ad un modello dinamico del secondo ordine può essere fornito
non mediante una forza ma attraverso delle opportune condizioni iniziali:
o
n nω ω ⎝ ⎠
Con condizioni iniziali: +== 0 per2 t KA
dt
dqn
o ω +== 0 per0 t qo
( )2 2
( 1) ( 1)
2
1
2 1
n nt t o
n
qe e
G A
ζ ζ ω ζ ζ ω
ω ζ
− + − − − −= −−
Le tre funzioni di trasferimento, in funzione ζ, diventano:
nt on
n
qte
G A
ω ω ω
−=
2
2
1sin( 1 )
1
nt on
n
qe t
G A
ζω ζ ω ω ζ
−= −−
64
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Strumento di secondo ordine: risposta all’impulso
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