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1
Es. Punti
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3
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6
Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano
A.A. 2008/2009. Prof. M. BramantiTema n°1
Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________
n° di matricola___________________________________________________________
n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________
Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso apubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:
Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)ú ú Dò il mio consenso Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo
tutte le soluzioni (in forma algebrica o trigonometrica) e dicendo esplicitamente quante sono:
D � %3D � & œ !% #
2. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai
grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul
grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di
passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il
grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)
Prima prova in itinere di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Tema 1_________________________________________________________________________________
2
0 B œ / � "a b � B�"k k
3. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e
corretto:
limB�_
#
#
B� BŒ �B � $B
B � &B
a blog
4. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione per0 Ba bB Ä B 0 B B œ B! !, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di in un intorno di .a bClassificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di
flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto
verticale ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto inábase alla sola stima asintotica.
0 B œ à B œ !Þ/ � " B
# � "a b Š ‹# B
B !
È$ sin
Prima prova in itinere di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Tema 1_________________________________________________________________________________
3
5. Derivata della funzione inversa. Sia
0 B œ B Ba b #log
1. Provare che è invertibile nell'intervallo .0 ß�_Š ‹"/È
2. Detta la funzione inversa di su questo intervallo, calcolare 1 0 1 / Þw #a b
6. Studio di funzione mediante derivate. Sia
0 B œ B/ Þa b "Î B�"a bStudiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico.
a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali
asintoti.
b. Calcolare la derivata prima e , in modo da sapernesemplificare l'espressione trovata
studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo.
c. Calcolare la derivata seconda e , in modo da sapernesemplificare l'espressione trovata
studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso.
Prima prova in itinere di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Tema 1_________________________________________________________________________________
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Es. Punti
1
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Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano
A.A. 2008/2009. Prof. M. BramantiTema n°2
Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________
n° di matricola___________________________________________________________
n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________
Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso apubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:
Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)ú ú Dò il mio consenso Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo
tutte le soluzioni (in forma algebrica o trigonometrica) e dicendo esplicitamente quante sono:
D � %3D � & œ !#
2. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai
grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul
grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di
passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il
grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)
Prima prova in itinere di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Tema 2_________________________________________________________________________________
2
0 B œ # � Ba b k ka blog
Prima prova in itinere di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Tema 2_________________________________________________________________________________
3
3. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e
corretto:
limcos
BÄ!
ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰ ÈÈa b a b
$ $B � " B � B
#B $BSh Ch
4. Stime all'infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di per0 Ba bB Ä �_ 0; stabilire quindi se possiede un asintoto obliquo, in caso affermativo
determinandolo.
0 B œ / $B � "a b a b$Î B�"a b
Prima prova in itinere di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Tema 2_________________________________________________________________________________
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5. Derivata e punti di non derivabilità. Della seguente funzione si chiede di:0 Ba b1. determinare l'insieme di definizione;
2. calcolare la derivata, ove esiste ( di semplificarla né di studiarne ilnon è richiesto
segno);
3. individuare e studiare gli eventuali punti di non derivabilità (cioè i punti in cui è0definita ma no, e dire se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale,0 w
di discontinuità...).
0 B œB B
" � Ba b Èarcsin
#
6. Studio di funzione mediante derivate. Sia
0 B œ B B � "Þa b È# $
Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico.
a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali
asintoti. Stima asintotica all'infinito e nei punti in cui la funzione si annulla.
b. Calcolare la derivata prima e , in modo da sapernesemplificare l'espressione trovata
studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo.
c. Calcolare la derivata seconda e , in modo da sapernesemplificare l'espressione trovata
studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso.
Prima prova in itinere di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Tema 2_________________________________________________________________________________
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Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano
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Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________
n° di matricola___________________________________________________________
n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________
Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso apubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:
Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)ú ú Dò il mio consenso Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo
tutte le soluzioni (in forma algebrica o trigonometrica) e dicendo esplicitamente quante sono:
È a b#D � " � 3 D œ !Þ%
2. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai
grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul
grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di
passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il
grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) À
Prima prova in itinere di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Tema 3_________________________________________________________________________________
2
0 B œ � B%
a b ¹ ¹Š ‹tan1
N.B. Essendo la funzione periodica, è sufficiente tracciare il grafico su un solo periodoÞ
3. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o
irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi
utilizzati
+ œ �8
8 88
coslog sin
a b Š ‹1 1
1.
4. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione per0 Ba bB Ä B 0 B B œ B! !, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di in un intorno di .a bClassificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di
flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto
verticale ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto inábase alla sola stima asintotica.
0 B œ à B œ !/ � " B
" � Ba b ˆ ‰È
k kk kB
!
$
log
Prima prova in itinere di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Tema 3_________________________________________________________________________________
3
5. Derivata della funzione inversa. Sia
0 B œ B/a b "ÎB
1. Provare che è invertibile nell'intervallo .0 _ß !a b�
2. Detta la funzione inversa di su questo intervallo, calcolare 1 0 1 Þw/
Š ‹� #È
6. Studio di funzione mediante derivate. Sia
0 B œ $B � # / Þa b a b "ÎB
Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico.
a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali
asintoti.
b. Calcolare la derivata prima e , in modo da sapernesemplificare l'espressione trovata
studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo.
c. Calcolare la derivata seconda e , in modo da sapernesemplificare l'espressione trovata
studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso.
Prima prova in itinere di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Tema 3_________________________________________________________________________________
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Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano
A.A. 2008/2009. Prof. M. BramantiTema n°4
Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________
n° di matricola___________________________________________________________
n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________
Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso apubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:
Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)ú ú Dò il mio consenso Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo
tutte le soluzioni (in forma algebrica o trigonometrica) e dicendo esplicitamente quante sono:
) D � " � " � 3 $ œ !Þa b È%
2. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai
grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul
grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di
passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il
grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)
0 B œ " � Ba b k kÈ$
Prima prova in itin. di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Svolgimento Tema 4_________________________________________________________________________________
2
3. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o
irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi
utilizzati.
+ œ8
8 8
# 8x8
4. Stime all'infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di per0 Ba bB Ä �_ 0; stabilire quindi se possiede un asintoto obliquo, in caso affermativo
determinandolo.
0 B œ )B � $B � "a b È$ $ #
Prima prova in itin. di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Svolgimento Tema 4_________________________________________________________________________________
3
5. Derivata e punti di non derivabilità. Della seguente funzione si chiede di:0 Ba b1. determinare l'insieme di definizione;
2. calcolare la derivata, ove esiste ( di semplificarla né di studiarne ilnon è richiesto
segno);
3. individuare e studiare gli eventuali punti di non derivabilità (cioè i punti in cui è0definita ma no, e dire se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale,0 w
di discontinuità...).
0 B œ" � B
B � "a b k ka blog
#
6. Studio di funzione mediante derivate. Sia
0 B œ B # � B Þa b a b# #Î$
Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico.
a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali
asintoti. Stima asintotica all'infinito e nei punti in cui la funzione si annulla.
b. Calcolare la derivata prima e , in modo da sapernesemplificare l'espressione trovata
studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo.
c. Calcolare la derivata seconda e , in modo da sapernesemplificare l'espressione trovata
studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso.
Prima prova in itin. di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Svolgimento Tema 4_________________________________________________________________________________
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A.A. 2008/2009. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n°1
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo
tutte le soluzioni (in forma algebrica o trigonometrica) e dicendo esplicitamente quante sono:
D � %3D � & œ !% #
D œ# �#3 � �* œ � #3„$3 œ3�&3
È œD œ 3 œ"ß#
È „ " � 3 à"
#È a b
D œ œ$ß%È�&3 „ �" � 3 Þ
&
#Ê a b
Le soluzioni sono 4.
2. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai
grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul
grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di
passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il
grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)
0 B œ / � "a b � B�"k k
-6 -4 -2 2 4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
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2
3. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e
corretto:
limB�_
#
#
B� BŒ �B � $B
B � &B
a blog
0 B œ / ´ / Þa b a b Š ‹ a bB� B † 2 Blog log B �$B#
B �&B#
2 B � "B � $B
B � &Ba b µ B † œ B † µ œ )ß
B )B
B � &B B” •#
#
8# #
#
e il limite cercato è
/ Þ)
4. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione per0 Ba bB Ä B 0 B B œ B! !, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di in un intorno di .a bClassificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di
flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto
verticale ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto inábase alla sola stima asintotica.
0 B œ à B œ !Þ/ � " B
# � "a b Š ‹# B
B !
È$ sin
0 B B# B #a b È Èµ œ †
† B
B # #
$
$
log log
B œ ! punto di flesso a tangente verticale.
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
5. Derivata della funzione inversa. Sia
0 B œ B Ba b #log
1. Provare che è invertibile nell'intervallo .0 ß�_Š ‹"/È
2. Detta la funzione inversa di su questo intervallo, calcolare 1 0 1 / Þw #a b1.
0 B œ #B B � B œ B # B � " ā ! B ā "Î /wa b a b Èlog log per .
Quindi in la funzione è strettamente crescente, e perciò invertibile.Š ‹"/È ß �_
Prima prova in itin. di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Svolgimento Tema 4_________________________________________________________________________________
3
2.
B B œ / B œ /Þ# #log per
Dunque
0 / œ / à 1 / œ /àa b ˆ ‰# #
1 / œ œ œ Þ" " "
0 / B # B � " $/w #
wÎBœ/
ˆ ‰ a b a blog
6. Studio di funzione mediante derivate. Sia
0 B œ B/ Þa b "Î B�"a bStudiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico.
a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali
asintoti.
b. Calcolare la derivata prima e , in modo da sapernesemplificare l'espressione trovata
studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo.
c. Calcolare la derivata seconda e , in modo da sapernesemplificare l'espressione trovata
studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso.
a. Insieme di definizione: B Á "Þ
Per B Ä " ß 0 B µ„ a b / Ä�_!
"Î B�"�
a b œB œ " B Ä " Þ asintoto verticale per �
Per B Ä „_ß 0 B µ B Ä „_a b con crescita lineare.
Cerchiamo eventuali asintoti obliqui:
0 B � B œ B µ B † Ä "Þ"
B � "a b ˆ ‰/ � ""Î B�"a b
Quindi è asintoto obliquo per C œ B � " B Ä „_Þ
b.
0 B œwa b / " � œ B � $B � " � !B /
B � " B � ""Î B�" #
# #
"Î B�"a b a b� �a b a b ˆ ‰per . Quindi:B � ß B Ÿ$� & $� &
# #
È È
B œ B œ$ � & $ � &
# #
È È punto di minimo relativo; punto di massimo relativo.
Prima prova in itin. di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Svolgimento Tema 4_________________________________________________________________________________
4
c.
0 B œ � †"
B � "ww
#a b a b/ � œ
B � $B � " #B � $ B � " � # B � " B � $B � "
B � " B � ""Î B�"
# #
#
#
%a b� �a b
a ba b a ba ba b
œ �/ � œB � $B � " #B � &B � $ � #B � 'B � #
B � " B � ""Î B�"
# # #
% $a b� �a b
a b a bœ/
B � "� B � $B � " � B � " B � " œ
"Î B�"
%#
a ba b ˆ ‰ˆ ‰ a ba b
œ/ #
B � "$B � # � ! B �
$
"Î B�"
%
a ba b a b per .
B œ #Î$ punto di flesso a tangente obliqua.
La funzione è concava verso l'alto per e per B ā " #Î$ * B * "Þ
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
6
8
-3 -2 -1 1
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1
Es. Punti
1
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5
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Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano
A.A. 2008/2009. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n°2
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo
tutte le soluzioni (in forma algebrica o trigonometrica) e dicendo esplicitamente quante sono:
D � %3D � & œ !#
D œ B � 3Cà
a b a bB � 3C � %3 B � 3C � & œ !#
œB � C � %C � & œ !#BC � %B œ !
# #
B C � # œ ! Ê B œ ! C œa b oppure �#à
Se dà:B œ !ß � C � %C � & œ !#
C œ �"à C œ &à
Se C œ �#ß B � % � ) � & œ !# dà:
B œ „ (ÞÈQuindi le soluzioni sono 4, e cioè:
D œ" �3à D œ &3à D œ ( � #3à D œ � ( � #3Þ# $ %È È
2. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai
grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul
grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di
passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il
grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)
0 B œ # � Ba b k ka blog
Prima prova in itin. di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Svolgimento Tema 2_________________________________________________________________________________
2
-6 -4 -2 2
1
2
3
4
5
3. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e
corretto:
limcos
BÄ!
ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰ ÈÈa b a b
$ $B � " B � B
#B $BSh Ch
0 B œB B
#Ba b µ � Þ
� † "
%
"##Î$ "Î$
4. Stime all'infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di per0 Ba bB Ä �_ 0; stabilire quindi se possiede un asintoto obliquo, in caso affermativo
determinandolo.
0 B œ / $B � "a b a b$Î B�"a b
0 Ba b µ $Bà0 B � $B œ / � " $B � / àa b ˆ ‰$Î B�" $Î B�"a b a b
ˆ ‰/ � " $B / Ä "à$Î B�" $Î B�"a b a bµ † $B Ä *à$
B � "
0 B � $B Ä "!a be la funzione ha asintoto obliquo
C œ $B � "!Þ
5. Derivata e punti di non derivabilità. Della seguente funzione si chiede di:0 Ba b1. determinare l'insieme di definizione;
2. calcolare la derivata, ove esiste ( di semplificarla né di studiarne ilnon è richiesto
segno);
3. individuare e studiare gli eventuali punti di non derivabilità (cioè i punti in cui è0definita ma no, e dire se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale,0 w
Prima prova in itin. di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Svolgimento Tema 2_________________________________________________________________________________
3
di discontinuità...).
0 B œB B
" � Ba b Èarcsin
#
Prima prova in itin. di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Svolgimento Tema 2_________________________________________________________________________________
4
1. La funzione è definita per B − �"ß "c d.2.
0 B œwa b Š ‹ÈarcsinB � " � B �
" � B
B B B
"�B#
"�B
#
È È#
#
#
arcsin
,
definita per .B Á „"3. Per , perciò i punti , di non derivabilità, sono puntiB Ä „" ß 0 B Ä „_ B œ „"… wa b
d'arresto a tangente verticale.
6. Studio di funzione mediante derivate. Sia
0 B œ B B � "Þa b È# $
Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico.
a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali
asintoti. Stima asintotica all'infinito e nei punti in cui la funzione si annulla.
b. Calcolare la derivata prima e , in modo da sapernesemplificare l'espressione trovata
studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo.
c. Calcolare la derivata seconda e , in modo da sapernesemplificare l'espressione trovata
studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso.
a. Insieme di definizione: ‘ÞPer B Ä „_ß 0 B µ B Ä „_a b #�"Î$ con crescita sopralineare.
0 B œ ! B œ !ß B œ �"Þa b per
Per è punto di flesso a tangente verticale,B Ä �"ß 0 B µ �"a b È$ B � " B œ, quindi
ascendente.
Per , quindi è un punto di minimo relativo.B Ä !ß 0 B µ B B œ !a b #
b.
0 B œ #Bwa b È a b a b a ba b a b$ B � " � œ œ � !
B 'B B � " � B B (B � '
$ B � " $ B � " $ B � "
# #
#Î$ #Î$ #Î$
per . Quindi:B � !ß B Ÿ �'Î(
B œ ! B œ �'
( punto di minimo relativo; punto di massimo relativo.
c.
0 B œ œ"%B � ' $
* B � "
ww%Î$
a b a ba ba bB � " �#Î$ (B �'B #
B�"
a ba b#
"Î$
œ † œ † Þ$ (B � "!B � $ "%B � #%B � *
* B � " * B � "# #
� (B � 'Ba ba b a b
# #
&Î$ &Î$
a b#
Studio il segno di :0 ww
Prima prova in itin. di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Svolgimento Tema 2_________________________________________________________________________________
5
"%B � #%B � * � ! B Ÿ à B � à�"# � $ # �"# � $ #
"% "%# per
È È
a bB � " � ! B � �"ß&Î$ per dunque:
0 B � ! Ÿ B * �"à B � ß�"# � $ # �"# � $ #
"% "%wwa b È È
per
ed in questi intervalli la funzione è concava verso l'altoÞ
B œ�"#„$ #
"%
È punti di flesso a tangente obliqua;
B œ �" punto di flesso a tangente verticale.
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano
A.A. 2008/2009. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n°3
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo
tutte le soluzioni (in forma algebrica o trigonometrica) e dicendo esplicitamente quante sono:
È a b#D � " � 3 D œ !Þ%
D œ D" � 3
#
% � �ÈPosto D œ 3 * *a bcos sin� 3 , si ha:
3 * * 3 * *1 1%a ba b a b Š ‹Š ‹ Š ‹cos sin cos sin% � 3 % œ � � � 3 � �% %
œ 3 3
* * 1
%
%
œ% œ � � � #51
œ 3 3
*
œ !ß œ "
œ � 5 œ !ß "ß #ß $ß %Þ1 1#! &
#5 per
Quindi le soluzioni sono 6, e cioè:
D œ !à D œ � � 3 � 5 œ !ß "ß #ß $ß %Þ#! & #! &
#5 #5cos sinŒ � Œ �1 1 1 1
per
2. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai
grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul
grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di
passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il
grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) À
0 B œ � B%
a b ¹ ¹Š ‹tan1
N.B. Essendo la funzione periodica, è sufficiente tracciare il grafico su un solo periodoÞ
Prima prova in itin. di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Svolgimento Tema 3_________________________________________________________________________________
2
-p€€€€4
p€€€€4
3 p€€€€€€€€4
1
2
3
4
5
3. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o
irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi
utilizzati
+ œ �8
8 88
coslog sin
a b Š ‹1 1
1.
º ºa bcos 8 "
8 8Ÿ Ä !
1
1 1,
e per il teorema del confronto cosa b88
11Ä !à
log sin sinŠ ‹1 1
8 8Ä �_ Ä ! perché .�
Perciò per il teorema sull'aritmetizzazione parziale di .+ Ä �_ß _8
4. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione per0 Ba bB Ä B 0 B B œ B! !, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di in un intorno di .a bClassificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di
flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto
verticale ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto inábase alla sola stima asintotica.
0 B œ à B œ !/ � " B
" � Ba b ˆ ‰È
k kk kB
!
$
log
0 B œ B BB B
Ba b k kk kÈ È Èµ † B œ
$
$ $sgna bB œ ! punto di cuspide.
-2 -1 1 2
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
Prima prova in itin. di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Svolgimento Tema 3_________________________________________________________________________________
3
5. Derivata della funzione inversa. Sia
0 B œ B/a b "ÎB
1. Provare che è invertibile nell'intervallo .0 _ß !a b�
2. Detta la funzione inversa di su questo intervallo, calcolare 1 0 1 Þw/
Š ‹� #È1.
0 B œ / " � œ / ā ! B * ! B ā "ÞB B � "
B Bw "ÎB "ÎB
#a b Š ‹ Œ � per e
Quindi in la funzione è strettamente crescente, e perciò invertibile.a b�_ß !2.
B/ œ B œ Þ/
"ÎB � �##È per
Dunque
0 œ à 1 œ à/ /
a b È È� ��# � � �## #
1 œ œ œ /Þ/
" " #
0 $/w
w "ÎB B�"B ÎBœ
� �È a b ˆ ‰ È�#
�#�#
6. Studio di funzione mediante derivate. Sia
0 B œ $B � # / Þa b a b "ÎB
Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico.
a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali
asintoti.
b. Calcolare la derivata prima e , in modo da sapernesemplificare l'espressione trovata
studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo.
c. Calcolare la derivata seconda e , in modo da sapernesemplificare l'espressione trovata
studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso.
a. Insieme di definizione: B Á !Þ
Per B Ä ! ß 0 B µ #„ a b / Ä�_!
"ÎB�œ
B œ ! B Ä ! Þ asintoto verticale per �
Per B Ä „_ß 0 B µ $B Ä „_a b con crescita lineare.
Cerchiamo eventuali asintoti obliqui:
0 B � $B œ $B � #/ àa b ˆ ‰/ � ""ÎB "ÎB
Prima prova in itin. di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Svolgimento Tema 3_________________________________________________________________________________
4
#/ Ä #à $B µ $B † œ $ß 0 B � $B Ä &"
B"ÎB ˆ ‰ a b/ � ""ÎB quindi
e è asintoto obliquo per C œ $B � & B Ä „_Þ
b.
0 B œwa b / $ � œ $B � $B � # � !$B � # /
B B"ÎB #
# #
"ÎBŒ �a b ˆ ‰per . Quindi:B � ß B Ÿ$� $$ $� $$
' '
È È
B œ B œ$ � $$ $ � $$
' '
È È punto di minimo relativo; punto di massimo relativo.
c.
0 B œ � †"
Bww
#a b / � œ
$B � $B � # B � $ B � #B $B � $B � #
B B"ÎB
# # #
# %Œ �a b a b6
œ�
/ œ$B � $B � # � $B � %B
B"ÎB
# #
%Œ �a b a b
œ �/ #
B ((B � # � ! B �
"ÎB
%a b per .
B œ �#Î( punto di flesso a tangente obliqua.
La funzione è concava verso l'alto per e per B ā ! �#Î( * B * !Þ
-4 -2 2 4
-10
-5
5
10
15
20
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2
-0.1
-0.075
-0.05
-0.025
0.025
0.05
1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano
A.A. 2008/2009. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n°4
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo
tutte le soluzioni (in forma algebrica o trigonometrica) e dicendo esplicitamente quante sono:
) D � " � " � 3 $ œ !Þa b È%
a b � �È Œ �Œ � Œ �D � " œ � � 3 œ � 3" " $ " % %
% # # % $ $%
cos sin1 1
D � " œ � 5 � 3 � 5 5 œ !ß "ß #ß $Þ"
# $ # $ #È Š ‹Š ‹ Š ‹cos sin1 1 1 1
, per
D œ �"„ � 3 à D œ �"„ � � 3 Þ" " $ " $ "
# ## # # #"ß# $ß%È È� � � �È È
D œ �"„ „3 à D œ �"… „ 3Þ" $ $ "
# # # # # # # #"ß# $ß%� � � �È È È È
È È
Le soluzioni sono 4.
2. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai
grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul
grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di
passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il
grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)
0 B œ " � Ba b k kÈ$
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
Prima prova in itin. di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Svolgimento Tema 4_________________________________________________________________________________
2
3. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o
irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi
utilizzati.
+ œ8
8 8
# 8x8
Successione a termini positivi, applichiamo il criterio del rapporto.
+
+œ œ
8 � " 8 � "
8�"
88�" 8�"
# 8 � " x 8 # 8 � " 8 8 # #† œ # † œ Ä * "# 8x 8 � " /" �
8�" 8 8
8
8
"8
8a b a b Œ � ˆ ‰a b a b .
Quindi, per il criterio del rapporto, + Ä !Þ8
4. Stime all'infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di per0 Ba bB Ä �_ 0; stabilire quindi se possiede un asintoto obliquo, in caso affermativo
determinandolo.
0 B œ )B � $B � "a b È$ $ #
0 Ba b µ #Bà0 B � #B œ #B " � � � " �
$ " $ "
)B )B )B )Ba b � �Ê$
$ $µ #B † † µ
"
$Œ �
µ #B † †"
$
$ "
)B %œ ß
e la funzione ha asintoto obliquo
C œ #B � Þ"
%
5. Derivata e punti di non derivabilità. Della seguente funzione si chiede di:0 Ba b1. determinare l'insieme di definizione;
2. calcolare la derivata, ove esiste ( di semplificarla né di studiarne ilnon è richiesto
segno);
3. individuare e studiare gli eventuali punti di non derivabilità (cioè i punti in cui è0definita ma no, e dire se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale,0 w
di discontinuità...).
0 B œ" � B
B � "a b k ka blog
#
1. La funzione è definita per B ā �".2. Poiché log loga b a b a ba b" � B ā ! B ā !ß " � B œ B per sgn sgn , e
0 B œwa b "�B"�B
# #
#
sgn,
a b k ka ba bB � #B " � B
" � B
log
definita per .B Á !
Prima prova in itin. di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Svolgimento Tema 4_________________________________________________________________________________
3
3. Per , perciò il punto , di non derivabilità, è angoloso.B Ä ! ß 0 B Ä „" B œ !„ wa b6. Studio di funzione mediante derivate. Sia
0 B œ B # � B Þa b a b# #Î$
Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico.
a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali
asintoti. Stima asintotica all'infinito e nei punti in cui la funzione si annulla.
b. Calcolare la derivata prima e , in modo da sapernesemplificare l'espressione trovata
studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo.
c. Calcolare la derivata seconda e , in modo da sapernesemplificare l'espressione trovata
studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso.
a. Insieme di definizione: ‘ÞPer B Ä „_ß 0 B µ B Ä �_a b #�#Î$ con crescita sopralineare.
0 B œ ! B œ !ß B œ #Þa b per
Per è punto di cuspide.B Ä #ß 0 B µ % # � #a b a bB B œ#Î$, quindi
Per , quindi è un punto di minimo relativo.B Ä !ß 0 B µ # B B œ !a b #Î$ #
b.
0 B œ #B�#wa b a b a b a b a b
a b a b# � B � œ œ � !
#B 'B # � B � #B %B $ B
$ # � B $ # � B $ # � B
#Î$# #
"Î$ "Î$ "Î$
per . Quindi:! Ÿ B Ÿ $Î#à B ā #
B œ !ß B œ # B œ $Î# punti di minimo relativo; punto di massimo relativo.
c.
0 B œ % œ�% $
*
ww
�#
#Î$a b a b
a b$ B # � B �
# � B
a b"Î$ $B B
#�B
a ba b#
#Î$
œ † œ � !$ �% �# ) &B � "&B � *
* *%
$ B # � B � $B B
# � B # � B
a b a ba b a b
a b a b#%Î$ %Î$
#
per:
&B � "&B � * � ! B Ÿ à B � à"& � $ & "# � $ &
"! "!# per
È Èed in questi intervalli la funzione è concava verso l'altoÞ