presentazione non so a chi dare i...
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Presentazione
Non so a chi dare i resti. . .
PLS 2013/2014 � Scuola Estiva 2014
Dario Benedetto
Domenico Colella (insegnante)
Eleonora Mattiuzzio (tirocinante)
Pietro Mercuri (dottore di ricerca)
Mariagrazia Montanaro (tirocinante)
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 1 / 61
Presentazione
di che parleremo
• approssimazioni
• sistemi elettorali proporzionali
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 2 / 61
Presentazione
a che scopo?
• sono argomenti rilevanti per le applicazioni
• presentano più problemi di quanti non immaginate
• permettono di sperimentare alcuni aspetti della Matematica
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 3 / 61
Presentazione
quali aspetti della Matematica?
• bellezza e purezza non le possiamo promettere. . .
• precisione del linguaggio
• astrazione• processi dimostrativi
• spirito di osservazione
• formulazione di ipotesi
• pensiero laterale
• invenzione complessa
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 4 / 61
Presentazione
quali aspetti della Matematica?
• bellezza e purezza non le possiamo promettere. . .
• precisione del linguaggio
• astrazione• processi dimostrativi
• spirito di osservazione
• formulazione di ipotesi
• pensiero laterale
• invenzione complessa
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 4 / 61
Presentazione
quali aspetti della Matematica?
• bellezza e purezza non le possiamo promettere. . .
• precisione del linguaggio
• astrazione• processi dimostrativi
• spirito di osservazione
• formulazione di ipotesi
• pensiero laterale
• invenzione complessa
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 4 / 61
Presentazione
quali aspetti della Matematica?
• bellezza e purezza non le possiamo promettere. . .
• precisione del linguaggio
• astrazione• processi dimostrativi
• spirito di osservazione
• formulazione di ipotesi
• pensiero laterale
• invenzione complessa
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 4 / 61
Presentazione
quattro tappe in salita
• �ssare le idee: approssimazioni e notazioni
• idee semplici: sistema proporzionale bipartitico
• testare le idee semplici: sistema proporzionale multipartitico
• scoprire/inventare: sistema proporzionale corretto
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Fissare le idee
approssimazioni: scheda 1 � A
determina l'approssimazione per arrotondamento, e il corrispondete errore,
per il numero 25, 63956
approssimazione errore
unitàprima cifra decimaleseconda cifra decimaleterza cifra decimalequarta cifra decimaledecine
numero = approssimazione + errore
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 6 / 61
Fissare le idee
approssimazioni: scheda 1 � A
determina l'approssimazione per arrotondamento, e il corrispondete errore,
per il numero 25, 63956
approssimazione errore
unità 26 −0, 360 44prima cifra decimale 25,6 +0, 039 56seconda cifra decimale 25,64 −0, 000 44terza cifra decimale 25,640 −0, 000 44quarta cifra decimale 25,6396 −0, 000 04decine 30 −4, 360 44
errore negativo: approssimazione per eccesso
errore positivo: approssimazione per difetto
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 7 / 61
Fissare le idee
approssimazioni: scheda 1 � B
B.1 Tutto chiaro?
approssima 0, 491 alla prima cifra decimaleapprossima 0, 491 alla seconda cifra decimaleapprossima 1, 05 alla seconda cifra decimaleapprossima 1, 05 alla prima cifra decimaleapprossima 1, 15 alla prima cifra decimale
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 8 / 61
Fissare le idee
approssimazioni: scheda 1 � B
B.1 Tutto chiaro?
approssima 0, 491 alla prima cifra decimale 0,5approssima 0, 491 alla seconda cifra decimale 0,50approssima 1, 05 alla seconda cifra decimale 1,05approssima 1, 05 alla prima cifra decimale 1,0 o 1,1?approssima 1, 15 alla prima cifra decimale 1,1 o 1,2?
B.2 Qual è la scelta giusta e perché?
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 9 / 61
Fissare le idee
approssimazioni: scheda 1 � B
B.1 Tutto chiaro?
approssima 0, 491 alla prima cifra decimale 0,5approssima 0, 491 alla seconda cifra decimale 0,50approssima 1, 05 alla seconda cifra decimale 1,05approssima 1, 05 alla prima cifra decimale 1,0 o 1,1?approssima 1, 15 alla prima cifra decimale 1,1 o 1,2?
B.2 Qual è la scelta giusta e perché?
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 9 / 61
Fissare le idee
approssimazioni: scheda 1 � B
se il numero �nisce con �5�, ci sono varie scelte �giuste�:
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 10 / 61
Fissare le idee
approssimazioni: scheda 1 � B
se il numero �nisce con �5�, ci sono varie scelte �giuste�:
• scegliere sempre l'approssimazione per eccesso
• scegliere sempre l'approssimazione per difetto
vantaggi: semplicità
svantaggi: gli errori non sono �equidistribuiti�
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 10 / 61
Fissare le idee
approssimazioni: scheda 1 � B
se il numero �nisce con �5�, ci sono varie scelte �giuste�:
• scegliere a caso l'approssimazione per eccesso o per
vantaggi: gli errori sono equidistributi
svantaggi: irriproducibilità del risultato
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 10 / 61
Fissare le idee
approssimazioni: scheda 1 � B
se il numero �nisce con �5�, ci sono varie scelte �giuste�:
• scegli l'approssimazione per eccesso se la penultima cifra è pari, quella
per difetto se la penultima cifra è dispari
11, 5→ 11 34, 5→ 35
vantaggi: gli errori sono equidistributi
svantaggi: è un po' più complessa
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 10 / 61
Fissare le idee
approssimazioni: scheda 1 � B
se il numero �nisce con �5�, ci sono varie scelte �giuste�:
d'ora in poi ignoreremo questo problema.
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 10 / 61
Fissare le idee
notazioni: scheda 1 � C
La parte intera del numero x è il più grande intero non maggiore di x
(cioè minore o uguale a x), e si indica con
bxc
La parte frazionaria, o mantissa, è invece
{x} = x − bxc
Queste funzioni veri�cano:
• x = bxc+ {x}• 0 ≤ {x} < 1, e x è intero se e solo se {x} = 0
• bxc ≤ x < bxc+ 1 = bx + 1c• bxc+ byc ≤ bx + yc ≤ bxc+ byc+ 1
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 11 / 61
Fissare le idee
notazioni: scheda 1 � C
La parte intera del numero x è il più grande intero non maggiore di x
(cioè minore o uguale a x), e si indica con
bxc
La parte frazionaria, o mantissa, è invece
{x} = x − bxc
Queste funzioni veri�cano:
• x = bxc+ {x}• 0 ≤ {x} < 1, e x è intero se e solo se {x} = 0
• bxc ≤ x < bxc+ 1 = bx + 1c• bxc+ byc ≤ bx + yc ≤ bxc+ byc+ 1
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 11 / 61
Fissare le idee
notazioni: scheda 1 � C
La parte intera del numero x è il più grande intero non maggiore di x
(cioè minore o uguale a x), e si indica con
bxc
La parte frazionaria, o mantissa, è invece
{x} = x − bxc
Queste funzioni veri�cano:
• x = bxc+ {x}• 0 ≤ {x} < 1, e x è intero se e solo se {x} = 0
• bxc ≤ x < bxc+ 1 = bx + 1c• bxc+ byc ≤ bx + yc ≤ bxc+ byc+ 1
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 11 / 61
Fissare le idee
notazioni: scheda 1 � C
La parte intera del numero x è il più grande intero non maggiore di x
(cioè minore o uguale a x), e si indica con
bxc
La parte frazionaria, o mantissa, è invece
{x} = x − bxc
C Disegna il gra�co delle funzioni bxc e di {x}
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 12 / 61
Fissare le idee
notazione decimale: scheda 1 � D
Come ben noto, ogni numero reale x tra 0 e 1 si può espandere in
notazione decimale come
x =a1
10+
a2
102+
a3
103+ · · ·+ ak
10k+ . . .
con a1, . . . ak , . . . interi tra 0 e 9, escludendo il caso in cui le cifre siano
tutte uguali a 9 da una certa cifra in poi.
Per esempio, se x = 0, 324, allora
a1 = 3 a2 = 2 a3 = 4 a5 = a6 = · · · = 0
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 13 / 61
Fissare le idee
notazione decimale: scheda 1 � D
Indichiamo con tk(x) il numero che si ottiene troncando alla k-esima cifra
l'espansione di x (cioè uguagliando a 0 tutte le cifre dopo la k-esima), e
con rk(x) il resto, cioè
rk(x) = x − tk(x).
Per esempio, se x = 0, 324, allora
t1 = 0, 3 t2 = 0, 32 t3 = t4 = · · · = 0, 324r1 = 0, 024 r2 = 0, 004 r3 = r4 = · · · = 0
D.1 Come si scrivono le funzioni tk e rk usando le funzioni b c e { }?
Risposta: tk(x) = b10k × xc/10k rk(x) = {10k × x}/10k
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 14 / 61
Fissare le idee
notazione decimale: scheda 1 � D
Indichiamo con tk(x) il numero che si ottiene troncando alla k-esima cifra
l'espansione di x (cioè uguagliando a 0 tutte le cifre dopo la k-esima), e
con rk(x) il resto, cioè
rk(x) = x − tk(x).
Per esempio, se x = 0, 324, allora
t1 = 0, 3 t2 = 0, 32 t3 = t4 = · · · = 0, 324r1 = 0, 024 r2 = 0, 004 r3 = r4 = · · · = 0
D.1 Come si scrivono le funzioni tk e rk usando le funzioni b c e { }?
Risposta: tk(x) = b10k × xc/10k rk(x) = {10k × x}/10k
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 14 / 61
Fissare le idee
notazione decimale: scheda 1 � D
Indichiamo con tk(x) il numero che si ottiene troncando alla k-esima cifra
l'espansione di x (cioè uguagliando a 0 tutte le cifre dopo la k-esima), e
con rk(x) il resto, cioè
rk(x) = x − tk(x).
Per esempio, se x = 0, 324, allora
t1 = 0, 3 t2 = 0, 32 t3 = t4 = · · · = 0, 324r1 = 0, 024 r2 = 0, 004 r3 = r4 = · · · = 0
D.1 Come si scrivono le funzioni tk e rk usando le funzioni b c e { }?
Risposta: tk(x) = b10k × xc/10k rk(x) = {10k × x}/10k
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 14 / 61
Fissare le idee
notazione decimale: scheda 1 � D
D.2 De�nisci precisamente come ottieni l'arrotondamento alla k-esima
cifra decimale.
se rk(x)× 10k < 0, 5, l'arrotondamento è tk(x),
se rk(x)× 10k > 0, 5, l'arrotondamento è tk(x) + 10−k ,
se rk(x)× 10k = 0, 5, l'arrotondamento è tk(x) se . . . , l'arrotondamento è
tk(x) + 10−k se . . .
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 15 / 61
Fissare le idee
notazione decimale: scheda 1 � D
D.2 De�nisci precisamente come ottieni l'arrotondamento alla k-esima
cifra decimale.
se rk(x)× 10k < 0, 5, l'arrotondamento è tk(x),
se rk(x)× 10k > 0, 5, l'arrotondamento è tk(x) + 10−k ,
se rk(x)× 10k = 0, 5, l'arrotondamento è tk(x) se . . . , l'arrotondamento è
tk(x) + 10−k se . . .
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 15 / 61
Idee semplici
uno scenario ipotetico
Fate parte dello sta� tecnico-politico di un nuovo partito, e volete proporre
una legge elettorale proporzionale, perché assegna i seggi a un partito
in proporzione al numero di voti
dunque ritenete che sia quella che meglio rappresenta il voto espresso dai
cittadini
Prima di cominciare a scrivere la legge elettorale, cioè l'algoritmo che
traduce i voti in seggi, è il caso di fare qualche esperimento mentale.
Cominciamo a vedere come funziona se ci sono solo due partiti.
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 16 / 61
Idee semplici
uno scenario ipotetico
Fate parte dello sta� tecnico-politico di un nuovo partito, e volete proporre
una legge elettorale proporzionale, perché assegna i seggi a un partito
in proporzione al numero di voti
dunque ritenete che sia quella che meglio rappresenta il voto espresso dai
cittadini
Prima di cominciare a scrivere la legge elettorale, cioè l'algoritmo che
traduce i voti in seggi, è il caso di fare qualche esperimento mentale.
Cominciamo a vedere come funziona se ci sono solo due partiti.
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 16 / 61
Idee semplici
due partiti: scheda 2 � A
Ipotizza che ci siano solo due partiti, X e Y , che abbiano ottenuto le
seguenti percentuali di voto
X : x = 37% = 0, 37Y : y = 63% = 0, 63
Indica con Sx il numero di seggi che attribuisci a X , e con Sy il numero di
seggi che attribuisci a Y . Se ci sono solo 100 seggi, ovviamente
Sx = 37 e Sy = 63
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 17 / 61
Idee semplici
due pariti: scheda 2 � A
Ipotizza che ci siano solo due partiti, X e Y , che abbiano ottenuto le
seguenti percentuali di voto
X : x = 37% = 0, 37Y : y = 63% = 0, 63
A.1 Se i seggi sono 10, come li attribuisci?
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 18 / 61
Idee semplici
due pariti: scheda 2 � A
Ipotizza che ci siano solo due partiti, X e Y , che abbiano ottenuto le
seguenti percentuali di voto
X : x = 37% = 0, 37Y : y = 63% = 0, 63
A.1 Se i seggi sono 10, come li attribuisci? Sx = 4 e Sy = 6
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 18 / 61
Idee semplici
due pariti: scheda 2 � A
Ipotizza che ci siano solo due partiti, X e Y , che abbiano ottenuto le
seguenti percentuali di voto
X : x = 37% = 0, 37Y : y = 63% = 0, 63
A.1 Se i seggi sono 10, come li attribuisci? Sx = 4 e Sy = 6
A.2 E se sono 20?
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 18 / 61
Idee semplici
due pariti: scheda 2 � A
Ipotizza che ci siano solo due partiti, X e Y , che abbiano ottenuto le
seguenti percentuali di voto
X : x = 37% = 0, 37Y : y = 63% = 0, 63
A.1 Se i seggi sono 10, come li attribuisci? Sx = 4 e Sy = 6
A.2 E se sono 20?
20× 0, 37 = 7, 4 20× 0, 63 = 12, 6
Sx = 7 e Sy = 13
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 18 / 61
Idee semplici
due partiti: scheda 2 � B
Scrivi, nel modo precisamente la regola generale per calcolare Sx(n) e
Sy (n), cioè il numero di distribuire n seggi tra due soli partiti, che abbiano
ottenuto le percentuali x e y .
Spiega in che senso l'approssimazione che fai è �giusta�, sia a parole che
matematicamente.
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 19 / 61
Idee semplici
due partiti: scheda 2 � B
Sx(n) = arrotondamento di nx e Sy (n) = arrotondamento di ny
Il metodo è �giusto� nel senso che rende più piccolo possibile l'errore
|Sx(n)− nx |+ |Sy (n)− ny |
Infatti, usando che x + y = 1 e Sx + Sy = n si ottiene che
Sy (n)− ny = n − Sx(n)− n(1− x) = −(Sx(n)− nx)
dunque l'errore è 2|Sx(n)− nx | che è minimo se e solo se Sx(n) è proprio
l'arrotondamento di nx .
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 20 / 61
Idee semplici
una de�nizione
Se un partito conquista la percentuale x dei voti,
bnxc è la quota minima di Hare del partito
bnxc+ 1 è la quota massima di Hare del partito
Il sistema che hai de�nito per il caso di due partiti veri�ca
Hare minima ≤ Sx(n) ≤ Hare massima
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 21 / 61
Idee semplici
proprietà: scheda 2 � C
Il sistema proporzionale per il voto tra due partiti veri�ca la seguente
proprietà:
se x < y allora Sx(n) ≤ Sy (n)
Infatti x < y ⇒ nx < ny ⇒ l'arrotondamento di nx sarà minore o uguale
di quello di ny .
C) Dimostra che Sx(n) cresce con il crescere di n, cioè
proprietà di monotonia HM : Sx(n + 1) ≥ Sx(n),
che deve valere per ogni buon sistema elettorale!
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 22 / 61
Idee semplici
proprietà: scheda 2 � C
Il sistema proporzionale per il voto tra due partiti veri�ca la seguente
proprietà:
se x < y allora Sx(n) ≤ Sy (n)
Infatti x < y ⇒ nx < ny ⇒ l'arrotondamento di nx sarà minore o uguale
di quello di ny .
C) Dimostra che Sx(n) cresce con il crescere di n, cioè
proprietà di monotonia HM : Sx(n + 1) ≥ Sx(n),
che deve valere per ogni buon sistema elettorale!
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 22 / 61
Idee semplici
proprietà: scheda 2 � C
Anche questa a�ermazione è una conseguenza del fatto che se a < b allora
l'arrotondamento di a è ≤ dell'arrotondamento di b.
Infatti
Sx(n) = arrotondamento di nx
Sx(n + 1) = arrotondamento di (n + 1)x
e nx < (n + 1)x , dunque Sx(n) < Sx(n + 1).
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 23 / 61
Testare le idee semplici
molti partiti: scheda 3 � A
Considera tre partiti con i seguenti risultati:
x = 53% y = 35% z = 12%
Supponi che ci siano in gioco 10 seggi,
come li distribuisci in modo proporzionale?
E se i seggi sono 9? o se è solo 1? o 2? o 3? o 4?
Pensaci su, magari con l'aiuto della tabella seguente.
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 24 / 61
Testare le idee semplici
molti partiti: scheda 3 � A
n n × x n × y n × z Sx Sy Sz
10 5,30 3,50 1,20
9 4,77 3,15 1,08
1 0,53 0,35 0,12
2 1,06 0,70 0,24
3 1,59 1,05 0,36
4 2,12 1,40 0,48
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 25 / 61
Testare le idee semplici
molti partiti: scheda 3 � A
in nero l'Hare minima, in rosso i seggi assegnati in base ai resti
n n × x n × y n × z Sx Sy Sz
10 5,30 3,50 1,20 5 3+1 1
9 4,77 3,15 1,08 4+1 3 1
1 0,53 0,35 0,12 0+1 0 0
2 1,06 0,70 0,24 1 0 +1 0
3 1,59 1,05 0,36 1+1 1 0
4 2,12 1,40 0,48 2 1 0+1
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 26 / 61
Testare le idee semplici
molti partiti: scheda 3 � B
Enuncia precisamente qual è il sistema elettorale proporzionale nel caso di
più di due partiti, in cui siano in palio n seggi
• si assegnano a ogni partito bnxc seggi
se il totale dei seggi assegnati è inferiore a n:
• si scrivono i resti {nx} = nx − bnxc• si mettono in ordine dal più alto al più basso
• si attribuiscono i seggi rimasti ai partiti usando l'ordine dei resti
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 27 / 61
Testare le idee semplici
molti partiti: scheda 3 � B
Enuncia precisamente qual è il sistema elettorale proporzionale nel caso di
più di due partiti, in cui siano in palio n seggi
• si assegnano a ogni partito bnxc seggi
se il totale dei seggi assegnati è inferiore a n:
• si scrivono i resti {nx} = nx − bnxc• si mettono in ordine dal più alto al più basso
• si attribuiscono i seggi rimasti ai partiti usando l'ordine dei resti
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 27 / 61
Testare le idee semplici
molti partiti: scheda 3 � B
Quello che hai de�nito è un sistema proporzionale �puro�, in cui la
distribuzione dei seggi avviene assegnando a ciascuna lista l'Hare minima, e
distribuendo i seggi rimanenti con la regola del
massimo resto
In questo modo rendi più piccolo possibile il massimo degli �errori�∣∣∣∣x − Sx
n
∣∣∣∣Una scelta del tutto ragionevole!
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 28 / 61
Testare le idee semplici
molti partiti: scheda 3 � C
Le leggi elettorali sono una materia delicatissima, dunque non ci deve
essere nessun dubbio:
è possibile che dopo aver attribuito i seggi rimanenti con la regola
del massimo resto, rimanga ancora qualche seggio da attribuire?
Fai il tuo mestiere di consulente e dimostra che non può avvenire!
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 29 / 61
Testare le idee semplici
molti partiti: scheda 3 � C
C.1) Supponi che i partiti siano k e i seggi n; cosa devi dimostrare
esattamente?
inizia assegnando a ogni partito la sua Hare minima bnxcrimangono da assegnare
n − (bnx1c+ bnx2c+ · · ·+ bnxkc)
devi dimostrare che questo numero è ≤ k , perché hai solo k resti da
prendere in considerazione
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 30 / 61
Testare le idee semplici
molti partiti: scheda 3 � C
C.1) Supponi che i partiti siano k e i seggi n; cosa devi dimostrare
esattamente?
inizia assegnando a ogni partito la sua Hare minima bnxcrimangono da assegnare
n − (bnx1c+ bnx2c+ · · ·+ bnxkc)
devi dimostrare che questo numero è ≤ k , perché hai solo k resti da
prendere in considerazione
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 30 / 61
Testare le idee semplici
molti partiti: scheda 3 � C
C.2) dimostrazione
per ogni partito
bnxc ≤ nx < bnxc+ 1
dunque
nx − 1 < bnxc ≤ nx
facendo la somma su tutti e k i partiti, si ottiene
n − k < somma delle Hare minime ≤ n
dunque il massimo numero di seggi che rimangono da assegnare è < k .
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 31 / 61
Testare le idee semplici
qualcosa non va: scheda 4 � A
Esploriamo il sistema proporzionale puro: determina la divisione in seggi
con n = 4 e con n = 5.
n n × x n × y n × z Sx Sy Sz
1 0,53 0,35 0,12
4 2,12 1,40 0,48
5 2,65 1,75 0,60
Noti qualche cosa di strano?
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 32 / 61
Testare le idee semplici
qualcosa non va: scheda 4 � A
n n × x n × y n × z Sx Sy Sz
1 0,53 0,35 0,12
4 2,12 1,40 0,48 2 1 1
5 2,65 1,75 0,60 3 2 0
Il partito Z aveva 1 seggio su 4 ma 0 seggi su 5!
Si chiama �e�etto Alabama�, perché è realmente accaduto in una elezione
in Alabama. In seguito all'aumento del numero di seggi disponibili, un
partito ha visto diminuire il numero di seggi conquistati.
Il numero di seggi attribuito a un partito non è una funzione
crescente del numero di seggi disponibili!
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 33 / 61
Testare le idee semplici
qualcosa non va: scheda 4 � B
Esploriamo un altro aspetto del sistema proporzionale puro.
Ipotizza che il partito Y si presenti diviso in due partiti alleati, Y1 e Y2, con
il 18% di voti il primo e il 17% di voti il secondo. La percentuale
complessiva dei due partiti è uguale al 35%, pari a quella del partito Y .
Determina la divisione tra i 4 partiti X , Y1, Y2, Z , nel caso di 4 seggi
disponibili, e confronta il risultato con il caso in cui Y1 e Y2 si presentano
insieme come partito Y .
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 34 / 61
Testare le idee semplici
qualcosa non va: scheda 4 � B
Caso X , Y , Z :
n n × x n × y n × z Sx Sy Sz
1 0,53 0,35 0,12
4 2,12 1,40 0,48 2 1 0+1
Caso X , Y1, Y2, Z :
n n × x n × y1 n × y2 n × z Sx Sy1 Sy2 Sz
1 0,53 0,18 0,17 0,12
4 2,12 0,72 0,68 0,48 2 0+1 0+1 0
Noti qualche cosa di strano? Spiegane le conseguenze �politiche�.
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 35 / 61
Testare le idee semplici
qualcosa non va: scheda 4 � B
Il partito Y , dividendosi in due partiti con la stessa percentuale complessiva
dei voti, ottiene un seggio in più strappando il resto che veniva attribuito al
partito Z .
Questo sistema elettorale favorisce la frammentazione: per vincere è
meglio presentarsi con più partiti di�erenti.
La conseguenza è che i partiti diventano di�erenti e anche se si presentano
come alleati, poi potrebbero non collaborare come promesso. . .
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 36 / 61
Testare le idee semplici
qualcosa non va
Il sistema proporzionale puro ha due difetti
• il numero di seggi vinti da un partito non è una funzione crescente del
numero di seggi disponibili
• favorisce la frammentazione
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 37 / 61
Scoprire
e ora?
Come inventi un sistema elettorale che non ha queste due patologie?
• procedi per tentativi
• esplori il sistema, sperando che ti venga in mente qualche cosa. . .
Seguiamo questa strada di pensiero laterale concentrandoci su un altro
aspetto.
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 38 / 61
Scoprire
voglio vincere un seggio!
I comitati elettorali dei singoli candidati passano parte del loro tempo a
calcolare quanti voti sono necessari per conquistare almeno un seggio, e in
base a questo dato decidono le strategie elettorali.
Ma quanti voti servono per conquistare almeno un seggio?
Se ci sono n seggi e un partito prende 1/n del totale dei voti, allora vince
almeno un seggio (l'Hare minima è maggiore o uguale a 1).
Questo valore però non è ottimale, bastano meno voti per vincere
sicuramente un seggio!
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 39 / 61
Scoprire
voglio vincere un seggio!
I comitati elettorali dei singoli candidati passano parte del loro tempo a
calcolare quanti voti sono necessari per conquistare almeno un seggio, e in
base a questo dato decidono le strategie elettorali.
Ma quanti voti servono per conquistare almeno un seggio?
Se ci sono n seggi e un partito prende 1/n del totale dei voti, allora vince
almeno un seggio (l'Hare minima è maggiore o uguale a 1).
Questo valore però non è ottimale, bastano meno voti per vincere
sicuramente un seggio!
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 39 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � A
A.1 Se c'è solo un seggio a disposizione (n=1) e k = 2 partiti, quanti voti
servono per conquistare sicuramente almeno un seggio?
1/2 del totale
A.1 Se k ≥ 3?
1/2
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 40 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � A
A.1 Se c'è solo un seggio a disposizione (n=1) e k = 2 partiti, quanti voti
servono per conquistare sicuramente almeno un seggio?
1/2 del totale
A.1 Se k ≥ 3?
1/2
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 40 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � A
A.1 Se c'è solo un seggio a disposizione (n=1) e k = 2 partiti, quanti voti
servono per conquistare sicuramente almeno un seggio?
1/2 del totale
A.1 Se k ≥ 3?
1/2
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 40 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � B
B.1 Se ci sono n = 2 seggi in palio e k = 2 partiti, quanti voti sono
su�cienti per ottenere almeno un seggio?
sia x il risultato del mio partito e y quello dell'altro
per avere un seggio devo avere un resto migliore, dunque
2x > 2y − 1 = 2− 2x − 1 = 1− 2x
da cui si ottiene x > 1/4
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 41 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � B
B.1 Se ci sono n = 2 seggi in palio e k = 2 partiti, quanti voti sono
su�cienti per ottenere almeno un seggio?
sia x il risultato del mio partito e y quello dell'altro
per avere un seggio devo avere un resto migliore, dunque
2x > 2y − 1 = 2− 2x − 1 = 1− 2x
da cui si ottiene x > 1/4
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 41 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � B
B.2 Se k = 3?
se uno dei partiti conquista un seggio come quota Hare minima mi riduco
al caso precedente, dunque x > 1/4
se nessun partito supera la metà dei voti mi basta avere uno dei due resti
migliori, cioè mi basta non essere il partito meno votato, dunque x > 1/3
B.3 Se k ≥ 4?
sempre x > 1/3
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 42 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � B
B.2 Se k = 3?
se uno dei partiti conquista un seggio come quota Hare minima mi riduco
al caso precedente, dunque x > 1/4
se nessun partito supera la metà dei voti mi basta avere uno dei due resti
migliori, cioè mi basta non essere il partito meno votato, dunque x > 1/3
B.3 Se k ≥ 4?
sempre x > 1/3
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 42 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � B
B.2 Se k = 3?
se uno dei partiti conquista un seggio come quota Hare minima mi riduco
al caso precedente, dunque x > 1/4
se nessun partito supera la metà dei voti mi basta avere uno dei due resti
migliori, cioè mi basta non essere il partito meno votato, dunque x > 1/3
B.3 Se k ≥ 4?
sempre x > 1/3
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 42 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � B
B.2 Se k = 3?
se uno dei partiti conquista un seggio come quota Hare minima mi riduco
al caso precedente, dunque x > 1/4
se nessun partito supera la metà dei voti mi basta avere uno dei due resti
migliori, cioè mi basta non essere il partito meno votato, dunque x > 1/3
B.3 Se k ≥ 4?
sempre x > 1/3
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 42 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � C
C.1 Se ci sono n = 3 seggi in palio e k = 2, quanti voti sono su�cienti per
ottenere almeno un seggio?
Al crescere di x aumentano i seggi che vinco, dunque mi basta considerare
il caso in cui l'altro partito prende due seggi per Hare minima (quindi
3y > 2) e io l'altro per miglior resto:
3x > 3y − 2 = 3− 3x − 2 = 1− 3x
dunque x > 1/6
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 43 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � C
C.1 Se ci sono n = 3 seggi in palio e k = 2, quanti voti sono su�cienti per
ottenere almeno un seggio?
Al crescere di x aumentano i seggi che vinco, dunque mi basta considerare
il caso in cui l'altro partito prende due seggi per Hare minima (quindi
3y > 2) e io l'altro per miglior resto:
3x > 3y − 2 = 3− 3x − 2 = 1− 3x
dunque x > 1/6
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 43 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � C
C.2 Se k = 3?
se il partito più votato ha 2 seggi per Hare minima sono nel caso
precedente, dunque x > 1/6
analizziamo il caso in cui due partiti (Y e Z ) hanno entrambi un seggio per
Hare minima; la condizione è
3x > 3y − 1 3x > 3z − 1
se z > y , basta veri�care la seconda, che equivale a
6x + 3y > 2
il minimo valore possibile per y è 1/3, dunque ancora
x > 1/6
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 44 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � C
C.2 Se k = 3?
se il partito più votato ha 2 seggi per Hare minima sono nel caso
precedente, dunque x > 1/6
analizziamo il caso in cui due partiti (Y e Z ) hanno entrambi un seggio per
Hare minima; la condizione è
3x > 3y − 1 3x > 3z − 1
se z > y , basta veri�care la seconda, che equivale a
6x + 3y > 2
il minimo valore possibile per y è 1/3, dunque ancora
x > 1/6
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 44 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � C
resta il caso in cui un solo partito prende un seggio per Hare minima:
z > 1/3, y < 1/3, x < 1/3
prendo uno dei resti se x > y oppure 3x > 3z − 1 = 2− 3x − 3y , cioè
6x + 3y > 2
il caso peggiore è x ≤ y da cui si ottiene x > 2/9
complessivamente dunque la condizione è x > 2/9 (che è maggiore di 1/6)
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 45 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � C
C.3 Se k = 4?
analizzo il caso in cui nessun partito supera 1/3 dei voti (altrimenti mi
riduco ai casi precedenti).
prendo un seggio se non sono il partito meno votato
se ho almeno 1/4 dei voti, c'è necessariamente un partito con meno voti
del mio, dunque x > 1/4
C.4 Se k > 4?
la condizione è sempre x > 1/4
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 46 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � C
C.3 Se k = 4?
analizzo il caso in cui nessun partito supera 1/3 dei voti (altrimenti mi
riduco ai casi precedenti).
prendo un seggio se non sono il partito meno votato
se ho almeno 1/4 dei voti, c'è necessariamente un partito con meno voti
del mio, dunque x > 1/4
C.4 Se k > 4?
la condizione è sempre x > 1/4
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 46 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � C
C.3 Se k = 4?
analizzo il caso in cui nessun partito supera 1/3 dei voti (altrimenti mi
riduco ai casi precedenti).
prendo un seggio se non sono il partito meno votato
se ho almeno 1/4 dei voti, c'è necessariamente un partito con meno voti
del mio, dunque x > 1/4
C.4 Se k > 4?
la condizione è sempre x > 1/4
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 46 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � C
C.3 Se k = 4?
analizzo il caso in cui nessun partito supera 1/3 dei voti (altrimenti mi
riduco ai casi precedenti).
prendo un seggio se non sono il partito meno votato
se ho almeno 1/4 dei voti, c'è necessariamente un partito con meno voti
del mio, dunque x > 1/4
C.4 Se k > 4?
la condizione è sempre x > 1/4
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 46 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � D
Osserva i risultati che hai ottenuto nei punti A, B, C, e formula un'ipotesi
sul numero minimo di voti su�ciente per ottenere un seggio.
Congettura:
per ottenere almeno un seggio su n disponibili, è su�ciente ottenere la
frazione 1/(n + 1) del totale dei voti.
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 47 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � D
Osserva i risultati che hai ottenuto nei punti A, B, C, e formula un'ipotesi
sul numero minimo di voti su�ciente per ottenere un seggio.
Congettura:
per ottenere almeno un seggio su n disponibili, è su�ciente ottenere la
frazione 1/(n + 1) del totale dei voti.
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 47 / 61
Scoprire
una osservazione sulla frammentazione
il calcolo dei seggi è equivalente al solo confronto dei resti
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 48 / 61
Scoprire
una osservazione sulla frammentazione
Esempio: x = 23% e 10 seggi.
Al partito vanno 2 seggi sicuri, e un seggio aggiuntivo se il resto
2, 3− 2 = 0, 3 è abbastanza alto rispetto agli altri.
Frammentiamo X in tre partiti: due con percentuale 9, 99% e uno con
percentuale 3, 02%
Nessuno dei tre partiti ha il seggio sicuro, ma i resti dei primi due sono
0, 999 e il resto del terzo è 0, 302
Dunque i primi due prendono un seggio a testa, il terzo prende il seggio se
e solo se il partito intero prendeva il terzo seggio.
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 49 / 61
Scoprire
una osservazione sulla frammentazione
L'assegnazione dei seggi al partito X è equivalente a frammentare il partito
X in bnxc partiti con (poco meno di ) 1/n del totale dei voti voti, e un
partito con (poco più di) {nx}/n voti, e sommare i seggi ottenuti.
Dimostra ora la congettura sulla percentuale minima dei voti per ottenere
almeno un seggio.
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 50 / 61
Scoprire
voglio un seggio: scheda 5 � F
Per l'osservazione precedente, è su�ciente dimostrarla nel caso in cui tutti i
partiti sono sotto la quota Hare minima.
Necessariamente, ci sono più di n + 1 partiti, inoltre al massimo ci sono n
partiti con più di 1/(n + 1) voti, dunque se x > 1/(n + 1) il partito
conquista un seggio.
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 51 / 61
Scoprire
reinventiamo il metodo d'Hondt / Je�erson
Lo scopo �nale è inventare/scoprire una regola per attribuire i resti in
modo che
HD : ai partiti non conviene frammentarsi
HM : se n aumenta, il numero dei seggi assegnati a ogni partito non può
diminuire
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 52 / 61
Scoprire
metodo in costruzione: scheda 6 � A
Comincia dal caso semplice: considera k = 2 partiti e attribuisci i seggi in
modo che siano veri�cate le ipotesi HD e HM .
Suggerimento: basta calcolare il numero minimo di seggi che otterrebbe un
partito se si presentasse diviso.
Sx = bx(n + 1)c e Sy = by(n + 1)c
infatti bx(n + 1)c è il numero minimo di seggi che il partito x sicuramente
otterrebbe dividendosi, by(n + 1)c è l'analogo per y e inoltre
bx(n + 1)c+ by(n + 1)c = n, e così abbiamo attribuito tutti i seggi
disponibili
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 53 / 61
Scoprire
metodo in costruzione: scheda 6 � A
Comincia dal caso semplice: considera k = 2 partiti e attribuisci i seggi in
modo che siano veri�cate le ipotesi HD e HM .
Suggerimento: basta calcolare il numero minimo di seggi che otterrebbe un
partito se si presentasse diviso.
Sx = bx(n + 1)c e Sy = by(n + 1)c
infatti bx(n + 1)c è il numero minimo di seggi che il partito x sicuramente
otterrebbe dividendosi, by(n + 1)c è l'analogo per y e inoltre
bx(n + 1)c+ by(n + 1)c = n, e così abbiamo attribuito tutti i seggi
disponibili
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 53 / 61
Scoprire
metodo in costruzione: scheda 6 � A
Per provare quest'ultima a�ermazione, tieni presente che se la somma di
due numeri è un intero h, uno avrà prate frazionaria > 0, 5, l'altro < 0, 5,
dunque la somma delle parti intere sarà h − 1.
Questo modo di attribuire i seggi è diverso dal proporzionale puro.
Considera n = 10 e x = 0, 64, y = 0, 36. Con il proporizionale puro daresti
6 seggi a X e 4 a Y , mentre 11× x = 7, 05, ×y = 3, 96, dunque daresti 7
seggi a X e 3 seggi a Y .
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 54 / 61
Scoprire
metodo in costruzione: scheda 6 � B
Supponendo che valga l'ipotesi di monotonia HM , dimostra la seguente
semplice a�ermazione
se il numero di seggi passa da n a n + 1, allora per tutti i partiti
tranne uno:
Sx(n + 1) = Sx(n)
mentre per il partito rimanente
Sx(n + 1) = Sx(n) + 1
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 55 / 61
Scoprire
metodo in costruzione: scheda 6 � C
Dunque se vale HM :
esiste un'ordine con cui vengono attribuiti i singoli seggi
Per inventare il nostro sistema elettorale dobbiamo ricostruire questo
ordine, tentando di utilizzare l'ipotesi HD . Un modo per farlo è dare a ogni
partito quello che riuscirebbe a ottenere con il proporzionale puro
dividendosi come vuole
supponi che siano stati assegnati i primi n seggi, cioè siano noti i
valori di Sx(n) per tutti i partiti; sotto quale condizione il seggio n+1
viene dato al partito x invece che a un qualunque altro partito y?
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 56 / 61
Scoprire
metodo in costruzione: scheda 6 � C
Dunque se vale HM :
esiste un'ordine con cui vengono attribuiti i singoli seggi
Per inventare il nostro sistema elettorale dobbiamo ricostruire questo
ordine, tentando di utilizzare l'ipotesi HD . Un modo per farlo è dare a ogni
partito quello che riuscirebbe a ottenere con il proporzionale puro
dividendosi come vuole
supponi che siano stati assegnati i primi n seggi, cioè siano noti i
valori di Sx(n) per tutti i partiti; sotto quale condizione il seggio n+1
viene dato al partito x invece che a un qualunque altro partito y?
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 56 / 61
Scoprire
metodo in costruzione: scheda 6 � C
Consideriamo solo i partiti X e Y . Se assegneremo il seggio a X vuol dire
che X si può dividere in molti partiti in modo che Sx + 1 resti siano più alti
di Sy + 1 resti che Y ottiene dividendosi.
Questa divisione si può fare considerando tutti i resti uguali, infatti se
fossero diversi, mettendoli uguali il resto minimo diventerebbe più alto.
Lo stesso vale per Y : per contrastare X gli conviene avere tutti i resti
uguali. Dunque la condizione è
x
Sx + 1>
y
Sy + 1
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 57 / 61
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metodo in costruzione: scheda 6 � D
Scrivi ora l'algoritmo di attribuzione dei seggi.
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 58 / 61
Scoprire
art. 13 regolamento elezioni studentesche
a) Per ogni Lista è determinato il �numero elettorale� costituito dal totale
dei voti validi ottenuti;
c) Il �numero elettorale� di ogni Lista è diviso successivamente per uno, per
due e così via sino alla concorrenza del numero dei rappresentanti da
eleggere, determinando i relativi quozienti;
d) Tutti i quozienti si graduano in ordine decrescente scegliendo poi fra essi
quelli più alti in numero uguale a quello dei rappresentanti da eleggere; a
parità assoluta di quozienti è scelto quello cui corrisponde il minor �numero
elettorale�;
e) Le rappresentanze sono assegnate alle liste in corrispondenza ai quozienti
scelti come indicato nella lettera precedente;
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 59 / 61
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un esempio
divisore X Y Z
/1 0, 531 0, 352 0, 127
/2 0, 2653 0, 1755 0, 06/3 0, 176̄4 0, 116̄8 0, 04/4 0, 13256 0, 0875 0, 03/5 0, 1069 0, 07 0, 024/6 0, 083̄10
Seggi, in rosso il confronto con il proprorzionale puron Sx Sy Sz1 1 0 02 1 1 03 2 1 04 3 2 1 1 0 15 3 2 0
n Sx Sy Sz6 4 3 2 2 0 17 4 2 18 4 3 19 5 3 1
10 6 5 3 4 1 1
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 60 / 61
Bibliogra�a
Fonti
Bibliogra�a
C. Bernardi, M. Menghini: Sistemi elettorali proporzionali. La
�soluzione�italiana Bollettino dell'Unione Matematica Italiana vol. 7 4-A
pp. 271�293 (1990)
Parole chiave: sistemi elettorali proporzionali, metodo d'Hondt, e�etto
Alabama, quoziente Dropp
db () PLS � scuola estiva 2014 4 settembre 2014 61 / 61