ordine. •contengono due elementi dinamici circuiti del ii · 1 circuiti del ii ordine...
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1
Circuiti del II ordine
•Contengono due elementi dinamici•Il loro comportamento è rappresentato da un’equazione differenziale del II ordine.
2
R
L
v
i
C
LKT 010 =++=++ ∫∞−
t
idtCdt
diLRivdtdiLRi
Derivando e riordinando
02
2
=++LCi
dtdi
LR
dtid
Occorre conoscere 2 c.i.: ?)0(,)0( 0 ==dt
diIi
( )000
00
010 VRILdt
diVdtdiLRI
tt
+−==++==
Circuito RLC serie autonomo
LCLR
LR
LCLR
122
01
2
2,1
2
−
±−=
=++
λ
λλ Equazione caratteristica
3
[ ]
LC
sL
R
12
0
1
20
22,1
=
=
−±−=
−
ω
α
ωααλ
Fattore di smorzamento
Pulsazione di risonanza
Frequenza libere o naturali
0.4.3.2.1
0
0
0
=<=>
αωαωαωα Caso sovrasmorzato
Caso di smorzamento critico
Caso sottosmorzato
Caso senza smorzamento
4
−ℜ∈>>
>
2,12
0
412
.1
λ
ωα
RLC
LCLR
Caso sovrasmorzato
0)( 2121 →+= tt eAeAti λλ al crescere di t
i(t)
t
Risposta sovrasmorzata
Radici reali e distinte
La risposta è la somma di 2 esponenziali, ciascuna con la sua costante di tempo
5
LR
RLC
LCLR
241
2
.2
0212
0
−=−=−====
=
ωαλλ
ωα Caso di smorzamento critico
213
321
con )(
AAAeAeAeAti ttt
+==+= −−− ααα
Non può essere le soluzione �2 c.i. ma una sola costante!!!
( )21
11
22
2
2
2
0
0
020
AtAie
AiedtdAie
dtdiei
dtdiAe
Aeffdtdfi
dtdif
idtdii
dtdi
dtd
idtdi
dtid
LCi
dtdi
LR
dtid
t
tttt
t
+=
==++=
=→=+→+=
=
++
+
=++→=++
−
−−−−
α
αααα
λ
αα
αα
ααα
αα
Posto
Radici reali e
coincidenti
7
Risposta oscillatoria smorzata esponenzialmenteτ=1/αT=2π/ωd
( )( )
( ) ( ) ( ){ }( )( ){ } ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]tsenBtBe
AsentsenAtetAeeAe
eeAeeAeAti
jR
LCLCL
R
ddt
ddt
dttj
tjjtjtj
d
d
d
ddd
ωωφωφω
φω
αωω
ωααωαλ
ωα
α
α
αφωα
ωαφωαωα
21
1
1*11
220
2202,12
0
cos
coscos
cos2
2)(
412
.2
+=
=−=
=+=ℜ
=ℜ=+=
−−=
±−=−−±−=<<
<
−
−
−++−
+−−−+−
Caso sottosmorzato
Radici complesse coniugateFrequenza naturale smorzata
8
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )φφ
φ
φωωω αα
AsenBABBBBBA
tAetsenBtBeti dt
ddt
−==
−=+=
+=+= −−
21
1
222
21
21
;cos
atan;
coscos)(
( )( ) ( )[ ] ( )φωωω
ωωωλ
α
+=+=±=±=−±=
=
tAtsenBtBtijj d
00201
0202,1
coscos)(
0.4
Caso senza smorzamento
9
LC circuito→=⇒=−= 002
RL
Rα � senza perdite�solo in teoria
L
v
i
C ( )
( )φωω
φω
+=−=
+=
tsenLAdtdiLtv
tAti
00
0
)(
cos)(
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]costante
=
=+++=+++=
=+++=+=
2
02
022
022
022
022
022
02222
21
cos21
21cos
21
21cos
21
21
21)(
LA
tsentLAtsenLAtLA
tsenACLtLACvLitw
φωφωφωφω
φωωφω
L’energia del circuito non dipende dal tempo: quando l’energia nel condensatore aumenta, l’energia nell’induttore diminuisce e viceversa
10
Smorzamento: graduale perdita dell’energia immagazzinata, dovuta alla presenza di resistori.Il fattore di smorzamento α determina la rapidità con la quale la risposta si smorza.
α=0 � circuito LC con ω0=1/LC;α<ω0
�risposta oscillatoriaR=0 Circuito
senza perdite
R≠0 risposta non smorzata, sovrasmorzata, criticamente smorzata, sottosmorzata
Oscillazioni: dovute allo scambio continuo di energia tra induttori e condensatori
La risposta sovrasmorzata e quella criticamente smorzata sono simili.La risposta sovrasmorzata ha la massima velocità di decadimento e non ha oscillazioniLa risposta criticamente smorzata ha la minima velocità di decadimento
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R L
v
i
C
LKC 01012
2
=++=++ ∫∞− LC
vdtdv
RCdtvd
dtdvCvdt
LRv t
Occorre conoscere 2 c.i.: ?)0(,)0( 0 ==dt
dvVv( )00
000
0 10 RIVRCdt
dvdtdvCI
RV
tt
+−==++==
0112 =++LCRC
λλ
Circuito RLC parallelo autonomo
V0
I0
LCRC
LCRCRC
1;2
1
12
12
1
0
20
22,1
2
2,1
==
−±−=
−
±−=
ωα
ωααλ
λ
12
−ℜ∈>>
>
2,12
0
412
1.1
λ
ωα
CRLLCRC
Caso sovrasmorzato
0)( 2121 →+= tt eAeAti λλ al crescere di t
212
0
412
1.2
λλ
ωα
===
=
CRLLCRC
Caso con smorzamento critico
( ) tetAAti α−+= 21)( al crescere di t
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( ) ( )( )tsenAtAetv
jCRLLCRC
ddt
d
d
ωω
αωω
ωαλ
ωα
α21
220
2,12
0
cos)(
412
1.3
+=
−=
±−∈<<
<
−
Caso sottosmorzato
14
Risposta al gradino di un circuito RLC serieR
L
v
i
C
sV
t=0Per t>0
LCV
LCv
dtdv
RCdtvd s=++ 12
2
regimeatransitori vvtv +=)(
tttrans eAeAtv 21
21)( λλ +=( ) t
trans etAAtv α−+= 21)(( ) ( )( )
( )
021
21
),0( c.i. dalle odeterminan sie
cos)(
=
−
=∞=
+=
t
sreg
ddt
trans
dtdvvAA
Vvv
tsenAtAetv ωωαa smorzamento criticosovrasmorzata
sottosmorzata
15
Risposta al gradino di un circuito RLC parallelot=0
Per t>0LCI
LCi
dtdi
RCdtid s=++ 12
2
regimeatransitori iiti +=)(
tttrans eAeAti 21
21)( λλ +=( ) t
trans etAAti α−+= 21)(( ) ( )( )
( )
021
21
),0( c.i. dalle odeterminan sie
cos)(
=
−
=∞=
+=
t
sreg
ddt
trans
dtdiiAA
Iii
tsenAtAeti ωωα
a smorzamento criticosovrasmorzata
sottosmorzata
R L
v
i
C
I0
sI
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Circuiti del II ordine nel caso generale
Per determinare la risposta al gradino x(t)
determinare le c.i. x(0) e
determinare il valore finale
determinare la risposta transitoria spegnendo i gen. Indipendenti (soluzione dell’eq.ne omogenea associata)
0=tdtdx
( )∞x
( )∞+= xxtx atransitori)(
determinare le costanti nella xtransitoria imponendo le c.i.
17
Equazioni di stato
( )
( ) ( );;
;;;
111
khDnh
y
y
u
u
nn
dtdx
dtdx
dtd
dtd
hk
n
××
=
=×
=
+=
+=
C
yuAx
DuCxy
BuAxx
x è il vettore di stato, A la matrice di stato, u è il vettore di ingresso, y il vettore di uscita.
Equazione di uscita
Il vettore di uscita è in ogni istante combinazione lineare del vettore di ingresso e dello stato nello stesso istante
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udtdu
dtud
dtud
ydtdy
dtyd
dtyd
m
m
nm
m
m
n
n
nn
n
n
011
1
1
011
1
1
bb.....bb
aa.....aa
+++=
=+++
−
−
−
−
−
−
La relazione ingresso-uscita
( ) ( ) ( )
( ) ( )
++
++=→
→++=+=
+=→+=
++
+++
0000
000
dtduDuBCxAC
dtdy
dtduDuBCxAC
dtduD
dtxdC
dtdy
DuxCyDuxCy
19
Equazioni differenziali ordinarie
Condizioni per u(t)•identicamente nullo per t<t0 con t0 al finito•in ogni istante deve assumere valori reali•in ogni istante deve essere specificato in modo non ambiguo
20( )1
11
21
01
1
...)(
...)(
,......,,
0....
)()()(
21
−−
−−
+++=
+++=
=+++
>+=
kk
toa
tn
ttoa
n
nn
nn
poa
tCCtCety
eCeCeCty
aaa
tytyty
k
n
λ
λλλ
λλλ
λλ
:sono termini enticorrispond i i,coincident reali radici k hanno si se b)
distinte reali radici a)
ticacaratteris eq.
ttper
21
0
Hp: u(t) noto per t>t0noti y(t) e le sue n-1 derivate in t=t0+
Equazioni differenziali ordinarie (Cnt.)
21
( ) ( )[ ]
[ ]
[ ])sin()cos()(
)sin()cos()(
)sin(...)cos(...)( 121
121
btBbtAtyjb
btBbtAety
jba
bttBtBBbttAtAAety
jba
oa
atoa
MM
MM
atoa
+=±
+=
±
+++++++=
±=−−
pure eimmaginari radici per
coniugate complesse radici di coppia una per
:sono termini enticorrispond i coniugate complesse radicidiugualicoppieM hanno si se c)
λ
Equazioni differenziali ordinarie (Cnt.)
22
� Per il calcolo dell’integrale particolare non esiste un metodo generale� In casi particolari (ingresso polinomiale, cisoidale, etc.) il calcolo e’
agevole
)cos()()cos()(
........)(........)(
)sin()cos()()sin()cos()(
)()(
)()(
1cos)(cos)(
0101
θωϕω
ωωωω
σσ
σσ
+=⇒+=
+++=⇒+++=
+=⇒+=
=⇒=
+=⇒+=
=⇒=
tBetytAetu
btbtbtyatatatu
tDtCtytBtAtu
BetyAetu
DtCtyBtAtu
ttttu
tp
t
nnp
nn
p
tp
t
p
cisoidale Ingresso f)
epolinomial e)Ingresso
esinusoidal Ingresso d) leesponenzia Ingresso c)
lineare Ingresso b)ycostante Ingresso a) p
Noto l’andamento dell’integrale si determinano i coefficienti imponendo il soddisfacimento della Relazione I/O
Equazioni differenziali ordinarie (Cnt.)
23
∑=
+=+=n
ip
tipoa yeAtytyty i
1
)()()( λ
Le costanti di integrazione Ai si determinano imponendo le condizioni iniziali
+
+
+
−
−
+
•••
01
1
02
20
)0(
n
n
dtyd
dtyd
dtdyy
LE CONDIZIONI INIZIALI SI POSSONO DETERMINARE NOTO LO STATO DEL CIRCUITO IN 0+
24
λλλλ� sono le radici dell’equazione caratteristica e prendono il nome di
frequenze libere� hanno le dimensioni dell’inverso di un tempo� sono indipendenti dall’ingresso (si pone u(t)=0), per questo prendono il
nome di libere� il loro inverso 1/ λ=τ sono le costanti di tempo� se tutte le λ sono a parte reale negativa, dopo un tempo
sufficientemente lungo i termini Aeλt si attenuano e l’uscita del circuito segue l’ingresso
�se RETE ASSOLUTAMENTE STABILE�se RETE SEMPLICEMENTE STABILE�se RETE INSTABILE
FREQUENZE LIBEREFREQUENZE LIBERE
ℜe(λ)
ℑm(λ) se la risposta transitoria converge a zero dopo un certo tempo. Pert→∞ Rimane la sola risposta di regime
{ } ie i ∀<ℜ 0λ
{ } ie i ∀<ℜ 0λ{ } 0=ℜ∋∃ iei λ{ } 0>ℜ∋∃ iei λ
25
DuCxy
BuAxx
+=
+=dtd In molti casi le componenti di u presentano
delle discontinuità all’istante t=0 .Il vettore di stato è continuo o discontinuo?
ε 0 ε t
f(t)∫ ∫+
−→→
+
−
==ε
εεε
0
0
0
000
0)(lim)(lim dttfdttf
)0()0( +− ≠ ff
Integrando l’eqne di stato tra 0- e 0+
( ) ( ) ( ) ( )−+−+ =⇒+=+=− ∫∫+
−
+
−
0000000
0
0
0
xxdtdtxx BuAx
Lo stato di una rete non degenere è continuo anche se l’ingresso èdiscontinuo
( )∫∫+
−
+
−
+=0
0
0
0
dtd BuAxx
26
TEOREMAQUANDO LA RETE NON CONTIENE PERCORSI CHIUSI (MAGLIE) DI SOLI GENERATORI DI TENSIONE E CONDENSATORI, O CO-CICLI DI SOLI GENERATORI DI CORRENTE E INDUTTORI (rete
non degenere ), ALLORA LE VARIABILI DI STATO SONO MENO DISCONTINUE DELL’INGRESSO
CONSEGUENZAQUANDO SI APPLICA UN INGRESSO CHE HA
NELL’ISTANTE INIZIALE UNA DISCONTINUITA’DI Ia SPECIE LE VARIABILI DI STATO SI
CONSERVANO, CIOE’ NON CAMBIANO TRA 0- E 0+ SALVO PER I CASI IN CUI SI ABBIANO
CONDIZIONI “PATOLOGICHE”
27
ESEMPIO
uvv cc =+ 21
C2vc2u(t)
MAGLIA CEC1
Non sono indipendentiR
( )
( )dtduC
Rv
dtdvCC
dtdvC
dtuvdC
Rv
dtdvC
dtdvC
Rv
cc
ccc
ccc
122
21
22
21
2
22
11
2
0
0
=++
=+−+
=++
( ) ( )tEtu 1−= δ
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )−+−++
−
+
−
+
−
−=−+→=++ ∫∫∫ 0000 12221
0
01
0
0
20
0221 uuCvvCCduCdt
RvdvCC cc
cc
( ) ( )−+ ≠+
= 00 221
12 cc vE
CCCv
( ) ( ) 000 21 == −−cc vv
28
a(t)
COCICLO LA
( )
( )dtdaLRi
dtdiLL
Ridt
diLdt
iadL
Ridt
diLdt
diL
aii
LL
LLL
LLL
LL
122
21
22
22
1
22
21
1
21
=++
+=−
+=
=+
iL1 iL2
( ) ( )tAta 1−= δ
Non sono indipendenti
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )−+−++
−
+
−
+
−
−=−+→=++ ∫∫∫ 0000 12221
0
01
0
02
0
0221 aaLiiLLdaLdtRidiLL LLcc
( ) ( )−+ ≠+
= 00 221
12 LL iA
LLLi
( ) ( ) 000 21 == −−LL ii
L1 L2
R
29
Sembrerebbe che esista una corrispondenza tra l’ordine del circuito ed il numero di componenti dinamiciEs. : CIRCUITO DEL Iº ORDINE – VARIABILE DI STATO vc – EQ. DIFF. DEL Iº ORDINE
Tuttavia il legame non e’ sempre uno a uno. Per stabilire l’ordine di un circuito occorre verificare il numero di condizioni iniziali (vc e iL) indipendenti che possiamo imporre all’istante t=0.In generale il numero di condizioni iniziali indipendenti coincide col numero di elementi dinamici, a meno che non esistano vincoli tra le vcoppure tra le iL dovuti alle leggi di Kirchhoff.
Ordine di un circuito
30
Per i circuiti passivi l’ordine n del circuito èn=nD-nC-nL nD n. elementi dinamicinC n. di maglie CE contenenti soli capacitori e gen. di tensionenL n. di cocicli LA contenenti soli induttori e gen. di corrente
31
R1
R2
C1
C3C2
v1
v2
v3
e(t)
ESEMPIO
con nullo 0 in stato :Noto -
=+
=+
++=
≠⋅= +−
dtdvC
Rv
dtdvC
dtdvC
Rv
dtdvC
vvve
fttfte
33
2
222
33
1
111
321
1 0)0()()()(
:
δ
( )
( )
=+++
=+++stato di Eq.
dtdeC
Rv
dtdvCC
dtdvC
dtdeC
Rv
dtdvC
dtdvCC
32
2232
13
31
123
121
Maglia C-E
32
( )( )
( ) ( )
( ) mn
I/O relazione la Ricaviamo
conserva si non stato lo
0e-0 tra leIntegriamo
=+
++
=+
+
++
+++++
++=
++=
=++=++
+
++
++
+++
+++
2
2
32
2
322
132321
1
32
31
323121
2
323
323121
323121
312
323121
321
323213
323121
1
111
)0()0(
)0()0(
)0()0()0()0()0()0(
dted
CCC
dtde
CCR
vCCCRRdt
dvCCCC
CRCRdtvd
CCCCCCCCC
eCCCCCC
CCv
eCCCCCC
CCv
eCvCCvCeCvCvCC
ESEMPIO (Cnt)
33
R1
R2
C1
C3C2
v1
v2
v3
e(t)
ESEMPIO
con nullo 0 in stato :Noto -
=+
=+
++=
≠⋅= +−
dtdvC
Rv
dtdvC
dtdvC
Rv
dtdvC
vvve
fttfte
33
2
222
33
1
111
321
1 0)0()()()(
:
δ
( )
( )
=+++
=+++stato di Eq.
dtdeC
Rv
dtdvCC
dtdvC
dtdeC
Rv
dtdvC
dtdvCC
32
2232
13
31
123
121
Maglia C-E
34
( )( )
( ) ( )
( ) mn
I/O relazione la Ricaviamo
conserva si non stato lo
0e-0 tra leIntegriamo
=+
++
=+
+
++
+++++
++=
++=
=++=++
+
++
++
+++
+++
2
2
32
2
322
132321
1
32
31
323121
2
323
323121
323121
312
323121
321
323213
323121
1
111
)0()0(
)0()0(
)0()0()0()0()0()0(
dted
CCC
dtde
CCR
vCCCRRdt
dvCCCC
CRCRdtvd
CCCCCCCCC
eCCCCCC
CCv
eCCCCCC
CCv
eCvCCvCeCvCvCC
ESEMPIO (Cnt)
35
R
C
L1
vci2
a(t)
ESEMPIO
L2
i1
Co-ciclo L-A
duesonoeffettive stato di variabili Le
con nullo 0 in stato :Noto -
21
1
)(0)0()()()(
:
iitafttfta
+=≠⋅= +
−δ
⊗
=
=++⇒
=
+=−
⇒
=
+=
−=
⇒
=
+=
+=
dtdvCta
dtdaLRi
dtdiLL
dtdvCta
dtdiLRi
dtdiL
dtdaL
dtdvCta
dtdiLRi
dtdiL
dtdi
dtda
dtdi
dtdvCta
dtdiLRi
dtdiL
iita
cc
cc
)(
)(
)(
)()(
)(
122
112
222
11
222
11
21
222
11
21
36
Esempio (Cnt)
:0e-0fra integrandodalle:0 in Condizioni
)0(1)0()0()0()0(
0)0(
)0()0()0(0
)0()0()0()(
21
2
21
121
21
1211221
+++++
+
++
+
+++
+=
+−=−=
=+
=⇒
===+
+⊗+
fLL
LLL
Lfiai
v
fLL
LiCv
fLaLiLL
cc
37
Esempio (Cnt)
libera freq.
:hasidalle :gradinoa Ingresso
01)()()(
0)0(1)(
0)()0(
)(
0)(
00)(
21
21
21
121
0
21
12
21
12
2
2121
222
21
1
>
+−=−=
>=+⋅=
>+
=⇒=+
=
=
+−=⇒=++
=⇒=++
⊗=
+−
+
+−
+
∫+
tAeLL
LAtitati
ttCAvdA
Ctv
tAeLL
LtiKALL
Li
Keti
LLRRLL
iRidtdiLL
(t)Aδa(t)
tLL
R
c
t
c
tLL
R
t
p
-
τ
λλ
λ
39
Esempio ()( )
[ ]
[ ] [ ]
+−=⇒=++=++
−==+++−+
=++
+−=
+=+
−=
=
RKLLHRHKLL
ALRKHLL
tALtKtHRtKtHLL
dtdaLRi
dtdiLL
tKtHdt
ditKtHti
LLR
(t)δtAa(t)
p
p
-
)( 0)(
-)(-
:coseno e senoin terminii oeguagliand)sin(
sincoscossin)(
)(
cossin
sincos)(
cos :alecosinusoid Ingresso
210210
10210
001
0000021
122
21
0002
002
21
10
ϖϖ
ϖϖ
ϖϖϖϖϖϖϖ
ϖϖϖ
ϖϖ
λ
ϖA
a(t)
40
Esempio (Cnt)
[ ]
[ ]
)sin(1)cos(1)(1)0(
sincos)()(
)()(
)()(
)0()(
)0()0()0()0(
sincos)()(
)()(
)()(
000
0
0
00210221
20
210
221
20
2211
20
21
1
2
221
12222
22
00210221
20
210
2
221
20
2211
20
221
20
210
10
221
20
tAC
dAC
daC
vv
tRtLLLLR
L
eLLR
LLLLL
L
Ati
iALL
LNiiNiNi
iNei
tRtLLLLR
ALi
LLRALLLH
LLRARLK
ALKRR
LL
tt
cc
t
ppp
pt
p
ϖϖ
ττϖττ
ϖϖϖϖϖ
ϖϖ
ϖϖϖϖϖ
ϖϖ
ϖϖ
ϖϖ
λ
λ
==+=
−+++
+
+++
−+
=
−+
=⇒−=⇒+=
+=
−+++
=
+++
=
++−
=
⇒−=
+
+
∫∫++
+
+++++
41
A/ω0Cvc
t
i2p
i2p(0)
t
Esempio (Cnt)
i2trasi2(0)- i2p(0)
esinusoidal regime con coincide Per ⇒+>> piiR
LLt 2221
42
Esempio (Cnt)
[ ]
:gradino al risposta della integralel' e' rampa alla risposta La :rampa a Ingresso
=⋅=
−
+−+
=+
=
⇒
=
+=
⇒⇒
=
+=
⇒
=
∫
∫+
−
+−
+−
2
0
21
21
1
021
12
1
21
12
121
12
1
1
21
1:
1:
21
2121
tCBd
CBv
eR
LLLL
BLdeLL
BLi(t)BtδRampa
tCA
vLL
eLA
i(t)δ
tCAv
LLeALi(t)AδGradino
(t)Btδa(t)
t
cr
tt
LLR
r
-
cg
tLL
R
g
-
cg
tLL
R
g-
-
ττ
τ λτ
i2r
BL1/R
vcr