matematica - appunti di matematica 4
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MatematicaAppunti di Matematica 4
Michele prof. PeriniIISS Copernico Pasoli - Liceo Scientifico
A.S. 2021-2022
Michele prof. Perini Matematica 1 / 161
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1 Limiti di successioniDefinizioneProprietà e teoremiVerificaNumero di Nepero
2 Esponenziale naturaleDefinizioneGrafico
3 Logaritmo naturaleDefinizioneGrafico
4 Potenze ad esponente reale5 Esponenziali e logaritmi
Equazioni esponenzialiMichele prof. Perini Matematica 2 / 161
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Disequazioni esponenzialiEquazioni logaritmicheDisequazioni logaritmiche
6 TrigonometriaTriangoli rettangoliArea di un triangoloTeorema della corda e dei seniTeorema del cosenoCoseno e prodotto scalare
7 Trasformazioni lineari 2DAffinitàTrasformazioni lineariRotazioniRotazioni inverse
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SimilitudiniIsometrieConiche e rotazioniConiche affinità e completamento del quadrato
8 C Numeri complessiDefinizionePiano di GaussUnità immaginariaForma trigonometricaForma esponenzialeEquazioni polinomialiTeorema fondamentale dell’algebra1
9 Vettori 3DDefinizione
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ModuloScalare per vettoreSommaProdotto scalareRettePianiDeterminanti 3×3Prodotto vettorialeVolume del parallelepipedoDistanza punto-pianoDistanza tra rette
10 Solidi 3DPrismaParallelepipedo
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Parallelepipedo rettangoloDiagonale del parallelepipedo rettangoloPiramidePiramide rettaSolidi di rotazioneSolidi platonici
11 VolumeParallelepipedo rettangoloPrincipio di CavalieriPrismaCilindroSimplessoPiramideCono
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Sfera12 Calcolo combinatorio
FattorialePermutazioniDisposizioniCombinazioniPermutazioni con ripetizioneDisposizioni con ripetizioneCombinazioni con ripetizioneBinomio di NewtonTriangolo di Tartaglia
13 ProbabilitàDefinizione classicaEventi e spazi campionari
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Definizione assiomaticaFormula di BayesLegge dei grandi numeri
1nei complessi vale il seguente importante teorema (qui solamenteenunciato) che estende la versione sui numeri reali, detta debole
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Limiti di successioni Definizione
Limite di una successione, simbologiaIl limite di una successione sn, se esiste, si indicacon il simbolo:
limn→+∞ sn =
+∞l ∈R−∞
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Limiti di successioni Definizione
limn→+∞ sn = l ∈R
Il limite di una successione è un numero reale l se
∀ε> 0, ∃n : |sn − l | < ε, ∀n > n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Limiti di successioni Definizione
limn→+∞ sn =+∞
Il limite di una successione è +∞ se
∀M > 0, ∃n : sn > M , ∀n > n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
20
30
40
50
60
70
80
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Limiti di successioni Definizione
limn→+∞ sn =−∞
Il limite di una successione è −∞ se
∀M > 0, ∃n : sn <−M , ∀n > n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
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Limiti di successioni Definizione
ATTENZIONE: la definizione di limite di unasuccessione formalizza il concetto di avvicinamentodel valore della successione al limite al crescere di nma non fornisce alcuna indicazione su come siapossibile determinare il valore del limite. Ladefinizione di limite di successione permette didimostrare le seguenti proprietà/teoremi e verificarel’esattezza del risultato di un dato limite.
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Limiti di successioni Proprietà e teoremi
Alcune proprietà e teoremi sui limiti:Unicità del limite: il limite di una successione, se
esiste, è unico.Teorema della permanenza del segno: se
limn→+∞ an = l > 0 allora esiste n taleche an > 0, ∀n > n.
Teorema dei carabinieri: se limn→+∞ an = l ∈R elimn→+∞ cn = l ∈R e ∀n > n si ha chean ≤ bn ≤ cn allora limn→+∞ bn = l ∈R.
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Limiti di successioni Proprietà e teoremi
Sintesi delle proprietà della somma tra limiti del tipolimn→+∞ an = a e limn→+∞ bn = b per limiti finiti einfiniti (in tabella si riporta l’esisto dilimn→+∞(an +bn)):
+ a ∈R a =+∞ a =−∞b ∈R a +b +∞ −∞
b =+∞ +∞ +∞ ?b =−∞ −∞ ? −∞
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Limiti di successioni Proprietà e teoremi
Sintesi delle proprietà del prodotto tra limiti del tipolimn→+∞ an = a e limn→+∞ bn = b per limiti finiti einfiniti (in tabella si riporta l’esisto dilimn→+∞(an ·bn)):
· a > 0 a = 0 a < 0 a =+∞ a =−∞b > 0 ab 0 ab +∞ −∞b = 0 0 0 0 ? ?b < 0 ab 0 ab −∞ +∞
b =+∞ +∞ ? −∞ +∞ −∞b =−∞ −∞ ? +∞ −∞ +∞
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Limiti di successioni Proprietà e teoremi
Sintesi delle proprietà del quoziente tra limiti deltipo limn→+∞ an = a e limn→+∞ bn = b per limitifiniti e infiniti (con bn 6= 0 ∀n > n, in tabella siriporta l’esisto di limn→+∞(an�bn)):
� a > 0 a = 0 a < 0 a =+∞ a =−∞b > 0 a�b 0 a�b +∞ −∞b = 0 ∞ ? ∞ ∞ ∞b < 0 a�b 0 a�b −∞ +∞
b =+∞ 0 0 0 ? ?b =−∞ 0 0 0 ? ?
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Limiti di successioni Verifica
Verifica del limite limn→+∞ 1n = 0, n ∈N0:∣∣∣∣ 1
n−0
∣∣∣∣< ε
1
n< ε
n > 1
ε≥
[1
ε
]2 = n
l’ultima scrittura mostra che∀ε> 0, ∃n :
∣∣ 1n
∣∣< ε, ∀n > n.2con le parentesi quadre si denota qui la funzione parte intera
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Limiti di successioni Verifica
Verifica del limite limn→+∞ n−1n+1 = 1, n ∈N:∣∣∣∣n −1
n +1−1
∣∣∣∣< ε
∣∣∣∣ −2
n +1
∣∣∣∣< ε
n > 2
ε−1 ≥
[2
ε−1
]3 = n, ε≤ 2
l’ultima scrittura mostra che∀ε,0 < ε≤ 2, ∃n :
∣∣n−1n+1 −1
∣∣< ε, ∀n > n.3con le parentesi quadre si denota qui la funzione parte intera
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Limiti di successioni Numero di NeperoIl numero di Nepero (e) è un numero trascendente definitocome limite di particolari successioni4:
e = limn→+∞
(1+ 1
n
)n
= limn→+∞
(1− 1
n
)−n
≈ 2,71828
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 152.4
2.6
2.8
3
3.2
4qui ci limitiamo a visualizzare le successioni ma queste consentonouna dimostrazione formale dell’esistenza e unicità del numero di Neperocome loro limite.
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Esponenziale naturale Definizione
Esponenziale naturaleLa funzione esponenziale naturale si può definirecome:
exp(x) = exa = limn→+∞
(1+ x
n
)n
aquesta notazione è giustificata dalle proprietà dell’esponenziale
La funzione esponenziale gode delle proprietà:1 ex > 0, ∀x ∈R2 ex1+x2 = ex1ex2
3 e0 = 14 e−x = 1
ex
5 ex ≥ x +1, ∀x ∈R6 ex ≤ 1
1−x , se x < 1
7 ∀x1 < x2 → ex1 < ex2
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Esponenziale naturale GraficoGrafico della funzione esponenziale(y = ex = exp(x)):
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
y
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Logaritmo naturale Definizione
Logaritmo naturaleLa funzione logaritmo naturale si può definire comeinversa della funzione esponenziale naturale(l’esponenziale è una funzione biiettiva da R a]0;+∞[) e si indica con la simbologia:
ln(x) :]0;+∞[→R
come per tutte le funzioni e le loro inverse vale larelazione:
e ln(x) = ln(ex) = x
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Logaritmo naturale Definizione
Sulla funzione logaritmo naturale così definita sipossono dimostrare le seguenti proprietà:
1 ln(x) > 0, se x > 12 ln(x1 · x2) = ln(x1)+ ln(x2), x1 > 0∧x2 > 03 ln(1) = 04 ln
(x−1
)=− ln(x)5 ln(x) ≥ 1− 1
x , se x > 06 ln(x) ≤ x −1, se x > 07 ∀0 < x1 < x2 → ln(x1) < ln(x2)
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Logaritmo naturale GraficoGrafico della funzione logaritmo naturale(y = ln(x)):
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−2
−1.5
−1
−0.5
0.5
1
1.5
2
x
y
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Potenze ad esponente reale
Potenza ad esponente realeGrazie ad esponenziali e logaritmi naturali possiamodefinire per x > 0 e k ∈R le potenze ad esponentereale come:
xk = ek ln(x)
Utilizzando la definizione data possiamo verificare lavalidità delle consuete proprietà delle potenze (conesponente non più solamente razionale ma reale ex, y > 0):
x0 = 1
xa+b = xa xb
(x y
)k = xk yk
(xa)b = xab
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Esponenziali e logaritmi
Esponenziali ax con a > 0Definiamo l’esponenziale a base reale positiva come:
ax = ex ln(a), ∀x ∈R
Logaritmi loga(x) con 0 < a < 1∨a > 1Definiamo la funzione logaritmo a base reale come:
loga(x) = ln(x)
ln(a), se x > 0
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Esponenziali e logaritmi
Così definite le funzioni esponenziale e logaritmo abase a risultano inverse, per esse infatti vale (per0 < a < 1∨a > 1 e x > 0):
aloga(x) = loga(ax) = x
su di loro valgono anche le proprietà (con a,b,c talida rispettare l’esistenza di esponenziali e logaritmi):
loga(bc) = c loga(b)
loga(b) = logc (b)logc (a)
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Esponenziali e logaritmi Equazioni esponenziali
ax = b
C.E.: ∀x ∈R, a > 0ex ln(a) = b
se b > 0:ln(ex ln(a)) = ln(b)
x ln(a) = ln(b)
se a 6= 1 → x = ln(b)ln(a)
sea = 1∧b = 1 →∀x ∈Rse a = 1∧b 6= 1 →6 ∃x ∈R
se b ≤ 0:
6 ∃x ∈R
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Esponenziali e logaritmi Disequazioni esponenziali
ax > b
C.E.: ∀x ∈R, a > 0ex ln(a) > b
se b > 0:ln(ex ln(a)) > ln(b)
x ln(a) > ln(b)
se 0 < a < 1 → x < ln(b)ln(a)
se a > 1 → x > ln(b)ln(a)
se a = 1 → 0 > ln(b)
se b ≤ 0:
∀x ∈R
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Esponenziali e logaritmi Disequazioni esponenziali
ax < b
C.E.: ∀x ∈R, a > 0ex ln(a) < b
se b > 0:ln(ex ln(a)) < ln(b)
x ln(a) < ln(b)
se 0 < a < 1 → x > ln(b)ln(a)
se a > 1 → x < ln(b)ln(a)
se a = 1 → 0 < ln(b)
se b ≤ 0:
6 ∃x ∈R
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Esponenziali e logaritmi Equazioni logaritmiche
loga(x) = b
C.E.: x > 0, 0 < a < 1∨a > 1
ln(x)
ln(a)= b
ln(x) = b ln(a)
e ln(x) = eb ln(a)
x = ab
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Esponenziali e logaritmi Disequazioni logaritmiche
loga(x) > b
C.E.: x > 0, 0 < a < 1∨a > 1
ln(x)
ln(a)> b
ln(x) > b ln(a)
e ln(x) > eb ln(a)
x > ab
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Esponenziali e logaritmi Disequazioni logaritmiche
loga(x) < b
C.E.: x > 0, 0 < a < 1∨a > 1
ln(x)
ln(a)< b
ln(x) < b ln(a)
e ln(x) < eb ln(a)
x < ab
tenendo conto delle C.E.:
0 < x < ab
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Trigonometria Triangoli rettangoli
Relazioni lato-angolo in un triangolo rettangolo:
a
b
c
α
β
a = c · sinα= c ·cosβ
b = c · sinβ= c ·cosα
c = a
sinα= a
cosβ= b
sinβ= b
cosα
tanα= a
b
tanβ= b
a
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Trigonometria Area di un triangolo
Per un triangolo qualsiasi posizionato come in figurasi ottiene una relazione che permette di ottenerel’area del triangolo ABC .
x
y
•A(0,0)
•B(c,0)
•C (b cosα,b sinα)
α β
γab
c
~AC =(
b cosαb sinα
)~AB =
(c0
)
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Trigonometria Area di un triangolo
L’area del triangolo ABC si può ottenere dallarelazione qui sotto dimostrata(b > 0, c > 0, 0 ≤α≤π, sinα≥ 0):
S ABC = 1
2xB yC = 1
2bc sinα
In conclusione:
S ABC = 1
2bc sinα
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Trigonometria Teorema della corda e dei seniOgni triangolo può essere inscritto in una circonferenza, scegliamo diinserirne uno ABC come in figura.
x
y
• Aα
•Bβ
•C
γ
O
0 < v < w < 2π
O(0,0), A(r,0),
B(r cos(v),r sin(v)),
C (r cos(w),r sin(w))�O AB = �OB A = π− v
2�OBC = �OC B = π− (w − v)
2�OC A = �O AC = π− (2π−w)
2Michele prof. Perini Matematica 38 / 161
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Trigonometria Teorema della corda e dei seni
�AOB = v, �AOC = w, �OC A = �O AC = w −π2
,
α= π− v
2+ w −π
2= w − v
2
β= π− v
2+ π− (w − v)
2= 2π−w
2
γ= π− (w − v)
2+ w −π
2= v
2Le ultime tre relazioni dimostrano che l’angolo al centro è doppio rispettoall’angolo alla circonferenza e che tutti gli angoli alla circonferenza di unacorda di data lunghezza sono uguali tra loro. Infatti γ dipende solo da v
che dipende solo dalla lunghezza di AB = c, così anche per α e β chedipendono solo dalle corde BC = a e C A = b.
Michele prof. Perini Matematica 39 / 161
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Trigonometria Teorema della corda e dei seni
AB = c = r√
(cos(v)−1)2 + (sin(v))2 == r
√cos(v)2 + sin(v)2 +1−2cos(v) =
= 2r
√1−cos(v)
2= 2r sin
(v
2
)= 2r sin(γ)
in sintesi:c = 2r sin(γ)
Michele prof. Perini Matematica 40 / 161
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Trigonometria Teorema della corda e dei seni
AC = b = r√
(cos(w)−1)2 + (sin(w))2 == r
√cos(w)2 + sin(w)2 +1−2cos(w) =
= 2r
√1−cos(w)
2= 2r sin
(w
2
)= 2r sin
(π− w
2
)=
= 2r sin
(2π−w
2
)= 2r sin(β)
in sintesi:b = 2r sin(β)
Michele prof. Perini Matematica 41 / 161
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Trigonometria Teorema della corda e dei seni
BC = a = r√
(cos(w)−cos(v))2 + (sin(w)− sin(v))2 =
= r√
2−2cos(w)cos(v)−2sin(w)sin(v) =
= 2r
√1− (cos(w)cos(v)+ sin(w)sin(v))
2=
= 2r
√1−cos(w − v)
2= 2r sin
(w − v
2
)= 2r sin(α)
in sintesi:a = 2r sin(α)
Michele prof. Perini Matematica 42 / 161
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Trigonometria Teorema della corda e dei seniTenendo conto di quanto ottenuto possiamo enunciare i seguenti teoremi.
Teorema della cordaLa misura di una corda di una circonferenza è pari alprodotto della misura del diametro dellacirconferenza per il seno dell’angolo allacirconferenza che insiste sulla corda.
Teorema dei seniIn un triangolo con lati di misura a, b, c, con angoliopposti rispettivamente α, β e γ vale la relazione:
a
sin(α)= b
sin(β)= c
sin(γ)Michele prof. Perini Matematica 43 / 161
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Trigonometria Teorema della corda e dei seni
I teoremi della corda e dei seni si possonosintetizzare in un solo teorema.Teorema dei seni e della cordaIn un triangolo con lati di misura a, b, c, con angoliopposti rispettivamente α, β e γ e inscritto in unacirconferenza di raggio r , vale la relazione:
a
sin(α)= b
sin(β)= c
sin(γ)= 2r
Michele prof. Perini Matematica 44 / 161
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Trigonometria Teorema del cosenoInseriamo un triangolo in un piano cartesiano perottenere un teorema che è l’estensione ad untriangolo qualsiasi del teorema di Pitagora (ilteorema del coseno è noto anche come teorema diCarnot).
x
y
•A(0,0)
•B(c,0)
•C (b cosα,b sinα)
α β
γab
c
~AC =(
b cosαb sinα
)~AB =
(c0
)~BC =
(b cosα− c
b sinα
)Michele prof. Perini Matematica 45 / 161
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Trigonometria Teorema del cosenoTenendo conto del fatto chea > 0, b > 0, c > 0, 0 ≤α≤π, sinα≥ 0):
a = ∣∣ ~BC∣∣
a2 = ~BC2 = (b cosα− c)2 + (b sinα)2 =
= b2 cos2α+ c2 −2bc cosα+b2 sin2α== b2 + c2 −2bc cosα
In conclusione:
a2 = b2 + c2 −2bc cosα
Michele prof. Perini Matematica 46 / 161
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Trigonometria Coseno e prodotto scalare
Grazie al teorema di Carnot è possibile ridefinire ilprodotto scalare nei termini del modulo dei vettorimoltiplicati e dell’angolo tra essi compreso.
A B
C
α β
γab
c
∣∣ ~AB∣∣= c∣∣ ~BC∣∣= a∣∣ ~AC∣∣= b
~AB + ~BC = ~AC
Michele prof. Perini Matematica 47 / 161
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Trigonometria Coseno e prodotto scalare
~AB + ~BC = ~AC~BC = ~AC − ~AB(
~BC)2 = (
~AC − ~AB)2
a2 = b2 + c2 −2 ~AC · ~AB
confrontando quest’ultima scrittura con il teorema di Carnotsu ABC , a2 = b2 +c2 −2bc cos(α), si può ottenere la relazione:
~AC · ~AB = bc cos(α) = ∣∣ ~AC∣∣ · ∣∣ ~AB
∣∣cos(α)
In generale il prodotto scalare tra due vettori è ilprodotto del modulo dei vettori per il cosenodell’angolo tra essi compreso.
Michele prof. Perini Matematica 48 / 161
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Trigonometria Coseno e prodotto scalare
Prodotto scalareIl prodotto scalare tra due vettori ~a e ~b tra cui ècompreso l’angolo γ si può scrivere anche come:
~a ·~b = ab cos(γ)
Michele prof. Perini Matematica 49 / 161
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Trasformazioni lineari 2D Affinità
AffinitàUna affinità è una trasformazione lineare biunivocadi punti del piano in altri punti del piano. Unaaffinità A :R2 →R2 che trasforma punti dicoordinate (x, y) in punti di coordinate (x ′, y ′) puòessere descritta dal sistema di equazioni:
A :
{x ′ = ax +by +hy ′ = cx +d y + s
con ad −bc 6= 0 affinché la trasformazione siainvertibile.
Michele prof. Perini Matematica 50 / 161
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Trasformazioni lineari 2D AffinitàUna trasformazione lineare del piano può essere espressatramite una matrice:
L =(
a bc d
)la trasformazione inversa L−1 per cui si ha
LL−1 = L−1L = 12 =(
1 00 1
)è la matrice:
L−1 = 1
ad −bc
(d −b−c a
)affinché L sia invertibile deve essere det (L) = ad −bc 6= 0.
Michele prof. Perini Matematica 51 / 161
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Trasformazioni lineari 2D Affinità
Affinità e matriciIn termini matriciali una affinità A :R2 →R2 può essere scrittacome:
A :
(x ′
y ′
)=
(a bc d
)(xy
)+
(hs
)o anche:
A :
(x ′
y ′
)= L
(xy
)+~T
con L =(
a bc d
)una trasformazione lineare (invertibile con
det (L) = ad −bc 6= 0) e ~T =(
hs
)un vettore di traslazione.
Michele prof. Perini Matematica 52 / 161
![Page 53: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/53.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Affinità
Affinità dirette e inverseSe A :R2 →R2 è una affinità (con = ad −bc 6= 0):
A :
(x ′
y ′
)=
(a bc d
)(xy
)+
(hs
)la sua inversa è:
A −1 :
(xy
)= L−1
(x ′−hy ′− s
)=
= 1
ad −bc
(d −b−c a
)(x ′−hy ′− s
)Michele prof. Perini Matematica 53 / 161
![Page 54: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/54.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Affinità
Prodotto tra matrici (o prodotto riga per colonna):(a bc d
)(e fg h
)=
(ae +bg a f +bhce +d g c f +dh
)(
e fg h
)(a bc d
)=
(ae + c f be +d fag + ch bg +dh
)il prodotto tra matrici è in generale noncommutativo e può essere pensato comel’applicazione di due trasformazioni lineari, unadopo l’altra.
Michele prof. Perini Matematica 54 / 161
![Page 55: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/55.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Affinità
Giustificazione della definizione del prodotto tramatrici:(
e fg h
)(a bc d
)(xy
)=
(e fg h
)(ax +bycx +d y
)=
=(
(ae + c f )x + (be +d f )y(ag + ch)x + (bg +dh)y
)=
=(
ae + c f be +d fag + ch bg +dh
)(xy
)
Michele prof. Perini Matematica 55 / 161
![Page 56: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/56.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Trasformazioni lineari
Trasformazione lineare: L =(
a bc d
), •→•
Affinché L sia biunivoca deve essere det (L) 6= 0.
x
y
•
•
x
y
Michele prof. Perini Matematica 56 / 161
![Page 57: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/57.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Rotazioni
x
y
•
•
α
β
P (x, y) ≡ P (r cos(β),r sin(β))
P ′(x ′, y ′) ≡ P ′(r cos(α+β),r sin(α+β))
r
r
O
Michele prof. Perini Matematica 57 / 161
![Page 58: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/58.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Rotazioni
P (x, y) → P ′(x ′, y ′)
P (r cos(β),r sin(β)) → P ′(r cos(α+β),r sin(α+β))
P ′(r cos(α)cos(β)−r sin(α)sin(β),r sin(α)cos(β)+r cos(α)sin(β))
P ′(x cos(α)− y sin(α), x sin(α)+ y cos(α))
R :
{x ′ = x cos(α)− y sin(α)y ′ = x sin(α)+ y cos(α)
Michele prof. Perini Matematica 58 / 161
![Page 59: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/59.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Rotazioni
Rotazione: R =(
cos(α) −sin(α)sin(α) cos(α)
), •→•
det (R) = cos(α)2 + sin(α)2 = 1
x
y
•
•x
y
Michele prof. Perini Matematica 59 / 161
![Page 60: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/60.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Rotazioni inverse
R =(
cos(α) −sin(α)sin(α) cos(α)
)R−1 =
(cos(−α) −sin(−α)sin(−α) cos(−α)
)=
(cos(α) sin(α)−sin(α) cos(α)
)si ha:
RR−1 = R−1R = 12
Michele prof. Perini Matematica 60 / 161
![Page 61: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/61.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Similitudini
Una similitudine diretta di rapporto k può esserepensata come la composizione di una rotazione, unatrasformazione identica e una omotetia:
S = k
(1 00 1
)(cos(α) −sin(α)sin(α) cos(α)
)=
=(
k cos(α) −k sin(α)k sin(α) k cos(α)
)=
=(
a −bb a
)
Michele prof. Perini Matematica 61 / 161
![Page 62: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/62.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Similitudini
Similitudine diretta di rapporto k:
S =(
a −bb a
), •→•
det (S) = a2 +b2 = k2 6= 0.
x
y
•
•x
y
Michele prof. Perini Matematica 62 / 161
![Page 63: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/63.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Similitudini
Una similitudine invertente di rapporto k può esserepensata come la composizione di una rotazione, unasimmetria rispetto alla retta y = x e una omotetia:
S = k
(0 11 0
)(cos(α) −sin(α)sin(α) cos(α)
)=
=(
k sin(α) k cos(α)k cos(α) −k sin(α)
)=
=(
a bb −a
)
Michele prof. Perini Matematica 63 / 161
![Page 64: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/64.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Similitudini
Similitudine invertente di rapporto k:
S =(
a bb −a
), •→•
det (S) =−a2 −b2 =−k2 6= 0.
x
y
•
•x
y
Michele prof. Perini Matematica 64 / 161
![Page 65: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/65.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Isometrie
Una isometria diretta può essere pensata come lacomposizione di una rotazione e una trasformazioneidentica:
I =(
1 00 1
)(cos(α) −sin(α)sin(α) cos(α)
)=
=(
cos(α) −sin(α)sin(α) cos(α)
)=
=(
a −bb a
)
Michele prof. Perini Matematica 65 / 161
![Page 66: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/66.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Isometrie
Isometria diretta: I =(
a −bb a
), •→•
det (I ) = a2 +b2 = 1.
x
y
•
•x
y
Michele prof. Perini Matematica 66 / 161
![Page 67: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/67.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Isometrie
Una isometria invertente può essere pensata comela composizione di una rotazione e una simmetriarispetto alla retta y = x:
I =(
0 11 0
)(cos(α) −sin(α)sin(α) cos(α)
)=
=(
sin(α) cos(α)cos(α) −sin(α)
)=
=(
a bb −a
)
Michele prof. Perini Matematica 67 / 161
![Page 68: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/68.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Isometrie
Isometria invertente: I =(
a bb −a
), •→•
det (I ) =−a2 −b2 =−1.
x
y
•
•x
y
Michele prof. Perini Matematica 68 / 161
![Page 69: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/69.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Coniche e rotazioni
L’equazione generale di una conica (eventualmentedegenere) è:
Ax2 +B x y +C y2 +Dx +E y +F = 0
ci proponiamo di determinare una possibilerotazione che porti l’equazione generale in una deltipo Ax2 +C y2 +Dx +E y +F = 0 che sappiamoclassificare.
Michele prof. Perini Matematica 69 / 161
![Page 70: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/70.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Coniche e rotazioni
Le equazioni della rotazione di nostro interesse edella sua inversa sono:
R :
(x ′
y ′
)=
(cos(α) −sin(α)sin(α) cos(α)
)(xy
)
R−1 :
(xy
)=
(cos(α) sin(α)−sin(α) cos(α)
)(x ′
y ′
)
Michele prof. Perini Matematica 70 / 161
![Page 71: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/71.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Coniche e rotazioni
Applichiamo la rotazione:
Ax2 +B x y +C y2 +Dx +E y +F = 0
A(cos(α)x ′+ sin(α)y ′)2++B(cos(α)x ′+ sin(α)y ′)(−sin(α)x ′+cos(α)y ′)+
+C (−sin(α)x ′+cos(α)y ′)2+D(cos(α)x ′+sin(α)y ′)++E(−sin(α)x ′+cos(α)y ′)+F = 0
Michele prof. Perini Matematica 71 / 161
![Page 72: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/72.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Coniche e rotazioni
La conica trasformata ha equazioneA′x ′2 +B ′x ′y ′+C ′y ′2 +D ′x ′+E ′y ′+F ′ = 0, con:
A′ = A cos2(α)−B cos(α)sin(α)+C sin2(α)B ′ = 2sin(α)cos(α)(A−C )+B(cos2(α)− sin2(α))C ′ = A sin2(α)+B cos(α)sin(α)+C cos2(α)
applicando le formule di duplicazione e bisezione:A′ = A 1+cos(2α)
2 −B sin(2α)2 +C 1−cos(2α)
2B ′ = sin(2α)(A−C )+B cos(2α)C ′ = A 1−cos(2α)
2 +B sin(2α)2 +C 1+cos(2α)
2
Michele prof. Perini Matematica 72 / 161
![Page 73: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/73.jpg)
Trasformazioni lineari 2D Coniche e rotazioniGrazie alle scritture precedenti è possibile verificare(effettuando i calcoli) che risulta sempre:
B ′2 −4A′C ′ = B 2 −4AC
per B ′ = 0 come voluto si ricava:
A′C ′ =−B 2 −4AC
4
per quanto visto sulle coniche con coefficiente deltermine x y uguale a zero si ha:Ellisse (ev. degenere) A′C ′ > 0 → B 2 −4AC < 0Parabola (ev. degenere) A′C ′ = 0 → B 2 −4AC = 0Iperbole (ev. degenere) A′C ′ < 0 → B 2 −4AC > 0
Michele prof. Perini Matematica 73 / 161
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Trasformazioni lineari 2D Coniche affinità ecompletamento del quadrato
C : x2 +2x y −3y2 +2x − y +1 = 0
C : (x + y)2 −4y2 +2x − y +1 = 0
definiamo l’affinità:
A :
{x ′ = x + yy ′ = 2y
↔A −1 :
{x = x ′− 1
2 y ′
y = 12 y ′
C ′ : x ′2 − y ′2 +2x ′− 3
2y ′+1 = 0
C ′ : (x ′+1)2 −(
y ′+ 3
4
)2
=− 9
16Michele prof. Perini Matematica 74 / 161
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C Numeri complessi
N⊂Z⊂Q⊂A⊂R⊂C
N ZQ
A
R C
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C Numeri complessi Definizione
I numeri complessi estendono l’insieme dei numerireali. Un numero complesso è una coppia ordinataa = (x, y) o b = (v, w) sulla quale si definiscono leseguenti operazioni5:
Somma: a +b = (x + v, y +w) = b +a
Prodotto: ab = (xv − y w, xw + y v) = ba
Coniugato: a = (x,−y)
Modulo: |a| =p
aa =√x2 + y2
Parte reale: ℜ(a) = x
Parte immaginaria: ℑ(a) = y5le operazioni definite sui complessi tornano ad essere le consuete sui
reali se la seconda coordinata complessa è pari a 0Michele prof. Perini Matematica 76 / 161
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C Numeri complessi Piano di Gauss
Un numero complesso, in quanto coppia ordinata,può essere rappresentato su un piano cartesianodetto piano complesso o piano di Gauss.
x
y
•
α|z|
O
z = (x, y)
•
−α|z|
z = (x,−y)
z = (x, y)
|z| =√
zz =√
x2 + y2
z = |z| (cos(α),sin(α))
Michele prof. Perini Matematica 77 / 161
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C Numeri complessi Unità immaginariaI numeri complessi così definiti possono essererappresentati con l’ausilio di un separatore tra laloro parte reale e quella immaginaria detta unitàimmaginaria. Si indica questo separatore con ilsimbolo i , l’unità immaginaria gode della proprietài 2 =−1. Con questa simbologia sui complessia = x + i y e b = v + i w le operazioniprecedentemente definite diventano:
Somma: a +b = x + i y + v + i w =(x + v)+ i (y +w) = b +a
Prodotto: ab = (x + i y)(v + i w) = xv + i xw + i y v −y w = (xv − y w)+ i (xw + y v) = ba
Coniugato: a = x − i yMichele prof. Perini Matematica 78 / 161
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C Numeri complessi Forma trigonometricaCalcoliamo il prodotto tra due numeri complessia = |a| (cos(α)+ i sin(α)) e b = |b| (cos(β)+ i sin(β)):
ab = |a| |b| (cos(α)+ i sin(α))(cos(β)+ i sin(β)) == |a| |b| (cos(α)cos(β)+ i cos(α)sin(β)+ i sin(α)cos(β)− sin(α)sin(β)) == |a| |b| (cos(α)cos(β)− sin(α)sin(β)+ i (cos(α)sin(β)+ sin(α)cos(β))) =
= |a| |b| (cos(α+β)+ i sin(α+β))
Se α= 0 si ottiene in particolare:
cos(α)+ i sin(α) = cos(0)+ i sin(0) = 1
Michele prof. Perini Matematica 79 / 161
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C Numeri complessi Forma trigonometrica
Calcoliamo il reciproco di un complessoa = |a| (cos(α)+ i sin(α)):
1
a= a
aa= cos(α)− i sin(α)
|a| (cos2(α)+ sin2(α))=
= 1
|a|(cos(α)− i sin(α)) =
= 1
|a|(cos(−α)+ i sin(−α))
Michele prof. Perini Matematica 80 / 161
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C Numeri complessi Forma esponenzialeIn sintesi i complessi cos(α)+ i sin(α) ecos(β)+ i sin(β) godono delle proprietà:
(cos(α)+ i sin(α))(cos(β)+ i sin(β)) =cos(α+β)+ i sin(α+β)cos(0)+ i sin(0) = 1
1cos(α)+i sin(α) = (cos(α)+ i sin(α))−1 =cos(−α)+ i sin(−α)
Le medesime proprietà sono formalmente identichea quelle che definiscono un particolare esponenziale:
e iα = cos(α)+ i sin(α)
e iαe iβ = e i (α+β)
e i ·0 = e0 = 1
1eiα =
(e iα
)−1 = e−iα
Michele prof. Perini Matematica 81 / 161
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C Numeri complessi Forma esponenziale
In sintesi lo stesso numero complesso può esserescritto in forma:di coppia ordinata: z = (x, y)
algebrica: z = x + i y
trigonometrica: z = |z| (cos(α)+ i sin(α)) contan(α) = y
x
esponenziale: z = |z|e iα con tan(α) = yx
Michele prof. Perini Matematica 82 / 161
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C Numeri complessi Equazioni polinomiali
Risolviamo le equazioni polinomiali del tipo zn = hnell’insieme dei numeri complessi, con n ∈N0,z,h ∈C.
zn = h(|z|e iα)n = |h|e iβ
|z|n e i nα = |h|e iβ{ |z|n = |h|e i nα = e iβ →
{ |z| = n√
|h|nα=β+2kπ
z = n√
|h|e i β+2kπn = n
√|h|
(cos
(β+2kπ
n
)+ sin
(β+2kπ
n
))Michele prof. Perini Matematica 83 / 161
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C Numeri complessi Equazioni polinomialiEsempio di equazione polinomiale nei complessi:
z3 = 8(|z|e iα)3 = 8e i (0+2kπ)
|z|3 e i 3α = 8e i (0+2kπ){ |z|3 = 8e i 3α = e i (0+2kπ) →
{ |z| = 2α= 2kπ
3
z = 2e i 2kπ3 =
2(cos(0)+ i sin(0)) = 2 se k = 02(cos(2π
3 )+ i sin(2π3 )
)=−1+ ip
3 se k = 12(cos(4π
3 )+ i sin(4π3 )
)=−1− ip
3 se k = 2
Michele prof. Perini Matematica 84 / 161
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C Numeri complessi Teorema fondamentaledell’algebra6
Una equazione polinomiale di grado n nell’insiemedei numeri complessi ha sempre n soluzioni zs.
n∑k=0
ck zk = 0, cn 6= 0
cn(z − z1)α1(z − z2)α2 · · · (z − zh)αh = 0
Gli αs sono detti molteplicità delle soluzioni eindicano quante volte va conteggiata una datasoluzione dell’equazione.
6nei complessi vale il seguente importante teorema (qui solamenteenunciato) che estende la versione sui numeri reali, detta debole
Michele prof. Perini Matematica 85 / 161
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Vettori 3D DefinizioneUn vettore può essere definito come una ennuplaordinata sulla quale si definiscono le operazioni diprodotto scalare-vettore e di somma.
x
y
~AB
A
B
A(xA, y A, zA
)B
(xB , yB , zB
)~AB =
xB −xA
yB − y A
zB − zA
Michele prof. Perini Matematica 86 / 161
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Vettori 3D DefinizioneDue vettori sono equivalenti se hanno le medesimerispettive componenti. Due vettori equivalentihanno lo stesso modulo, direzione e verso.
x
y
~AB
A
B
~A′B ′
A′
B ′
~AB = xB −xA
yB − y A
zB − zA
=
= ~A′B ′ = xB ′ −xA′
yB ′ − y A′
zB ′ − zA′
Michele prof. Perini Matematica 87 / 161
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Vettori 3D Modulo
Modulo di un vettore
Dato il vettore ~v = vx
vy
vz
il suo modulo è
|~v | = v =√
v2x + v2
y + v2z
x
y
~v
~v
vxvx
vy
vy
Michele prof. Perini Matematica 88 / 161
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Vettori 3D Scalare per vettore
Prodotto scalare per vettore
~v~12 v
~32 v
~−v
α~v =α
vx
vy
vz
= αvx
αvy
αvz
|α~v | = |α| |~v |
~v ∥α~v
Michele prof. Perini Matematica 89 / 161
![Page 90: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/90.jpg)
Vettori 3D Somma
Somma tra vettori
~a
~b~c
x
y
~c =~a +~b =
= ax
ay
az
+ bx
by
bz
=
= ax +bx
ay +by
az +bz
Michele prof. Perini Matematica 90 / 161
![Page 91: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/91.jpg)
Vettori 3D Prodotto scalare
Prodotto scalare: definizione
x
y
~bγ
~a
~a ·~b =
= ax
ay
az
· bx
by
bz
=
= axbx +ay by +azbz == |~a|
∣∣∣~b∣∣∣cos(γ)
L’ultima relazione si dimostra tramite il teorema diCarnot o teorema del coseno.
Michele prof. Perini Matematica 91 / 161
![Page 92: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/92.jpg)
Vettori 3D Prodotto scalare
Prodotto scalare: proprietà~a ·~b =~b ·~a~a ·
(k~b
)= k~b ·~a
~a ·(~b +~c
)=~a ·~b +~a ·~c
~a ·~a =~a2 = |~a|2 = a2
Le proprietà possono essere facilmente dimostrate apartire dalla definizione, dimostriamo l’ultima:
~a ·~a =~a2 = ax
ay
az
· ax
ay
az
= a2x +a2
y +a2z = |~a|2
Michele prof. Perini Matematica 92 / 161
![Page 93: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/93.jpg)
Vettori 3D Prodotto scalare
Prodotto scalare e perpendicolarità
~a~b
~c =~b −~a
Per il teorema di Pitagorasi ha:
~a2 +~b2 =(~b −~a
)2
~a2 +~b2 =~a2 +~b2 −2~a ·~b~a ·~b = 0
~a ⊥~b ↔~a ·~b = 0
Michele prof. Perini Matematica 93 / 161
![Page 94: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/94.jpg)
Vettori 3D Rette
Retta parallela al vettore ~v e passante per ilpunto P (xP , yP , zP ) x
yz
= k~v + xP
yP
zP
Due rette, nello spazio, definite rispettivamente daivettori ~v e ~w sono parallele se e solo se ~v ∥ ~w , sonoperpendicolari se e solo se ~v ⊥ ~w .
Michele prof. Perini Matematica 94 / 161
![Page 95: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/95.jpg)
Vettori 3D Rette
Retta passante per il punto A(xA, y A, zA) eB(xB , yB , zB ) x
yz
= k
xA −xB
y A − yB
zA − zB
+ xA
y A
zA
Michele prof. Perini Matematica 95 / 161
![Page 96: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/96.jpg)
Vettori 3D Piani
Equazione cartesiana piano passante perP (xP , yP , zP ) e perpendicolare al vettore
~n =
abc
x −xP
y − yP
z − zP
· a
bc
= 0 →
a (x −xP )+b(y − yP
)+ c (z − zP ) = 0
Michele prof. Perini Matematica 96 / 161
![Page 97: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/97.jpg)
Vettori 3D Determinanti 3×3
Definizione di determinante di una matrice3×3
det
a b cd e fg h i
=
= a
∣∣∣∣ e fh i
∣∣∣∣−b
∣∣∣∣ d fg i
∣∣∣∣+ c
∣∣∣∣ d eg h
∣∣∣∣== a
∣∣∣∣ e fh i
∣∣∣∣−d
∣∣∣∣ b ch i
∣∣∣∣+ g
∣∣∣∣ b ce f
∣∣∣∣== . . .
Michele prof. Perini Matematica 97 / 161
![Page 98: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/98.jpg)
Vettori 3D Prodotto vettoriale
Prodotto vettoriale
~a ×~b = ax
ay
az
× bx
by
bz
= ay bz −azby
azbx −axbz
axby −ay bx
=
=∣∣∣∣∣∣
ax ay az
bx by bz
~ex ~ey ~ez
∣∣∣∣∣∣con ~ex =
100
, ~ey = 0
10
, ~ez = 0
01
Michele prof. Perini Matematica 98 / 161
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Vettori 3D Prodotto vettoriale
Perpendicolarità(~a ×~b
)·~a = 0 ↔~a ⊥
(~a ×~b
)(~a ×~b
)·~b = 0 ↔~b ⊥
(~a ×~b
)Basta eseguire i calcoli.
Michele prof. Perini Matematica 99 / 161
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Vettori 3D Prodotto vettoriale
Anticommutatività~a ×~b =−
(~b ×~a
)Basta verificare che data la definizione di prodottovettoriale, ogni componente del vettore risultatocambia segno se si scambia a con b.
Michele prof. Perini Matematica 100 / 161
![Page 101: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/101.jpg)
Vettori 3D Prodotto vettoriale
ModuloÉ sufficiente verificare l’identità:∣∣∣~a ×~b
∣∣∣= |~a| ·∣∣∣~b∣∣∣ · si nγ
(~a ×~b
)2 =(|~a| ·
∣∣∣~b∣∣∣ · si nγ)2
(~a ×~b
)2 = |~a|2 ·∣∣∣~b∣∣∣2 · si n2γ(
~a ×~b)2 = |~a|2 ·
∣∣∣~b∣∣∣2 · (1− cos2γ)
Michele prof. Perini Matematica 101 / 161
![Page 102: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/102.jpg)
Vettori 3D Prodotto vettoriale
(ay bz −azby
)2 + (azbx −axbz)2 + (axby −ay bx
)2 =
=(a2
x +a2y +a2
z
)2 ·(b2
x +b2y +b2
z
)2 −|~a|2 ·∣∣∣~b∣∣∣2 · cos2γ
· · ·|~a|2 ·
∣∣∣~b∣∣∣2 · cos2γ= (axbx +ay by +azbz
)2
Il membri dell’ultima equazione rappresentano dueespressioni equivalenti del prodotto scalare.
Michele prof. Perini Matematica 102 / 161
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Vettori 3D Volume del parallelepipedo
Aree dei parallelogrammi
~a
~b
γ
S = |~a|∣∣∣~b∣∣∣sin(γ) =
=∣∣∣~a ×~b
∣∣∣
Michele prof. Perini Matematica 103 / 161
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Vettori 3D Volume del parallelepipedo
ParallelepipedoUn parallelepipedo è una figura dello spazio le cuibasi sono due parallelogrammi. Un parallelepipedo sipuò pensare come definito da tre vettori ~a,~b,~c nellospazio.
~a
~b
~c
Michele prof. Perini Matematica 104 / 161
![Page 105: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/105.jpg)
Vettori 3D Volume del parallelepipedoIl volume del parallelepipedo può essere determinatomoltiplicando l’area di una base per l’altezza (unagiustificazione di ciò sarà data tramite il principio diCavalieri).
~a
~b
~c~a ×~b
V =∣∣∣(~a ×~b
)·~c
∣∣∣= ∣∣det(~a ~b ~c
)∣∣Michele prof. Perini Matematica 105 / 161
![Page 106: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/106.jpg)
Vettori 3D Volume del parallelepipedo
Determinanti e vettori paralleli:
Per quanto visto sul volume del parallelepipedo sipuò concludere che il determinante della matrice lecui colonne sono le componenti dei vettori ~a,~b,~c ènullo se e solo se almeno due dei vettori sonoparalleli.
~a ∥~b ∨~a ∥~c ∨~c ∥~b ↔ det(~a ~b ~c
)= 0
Michele prof. Perini Matematica 106 / 161
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Vettori 3D Distanza punto-piano
Distanza tra piano α e punto P
A,B ,C ∈α
A B
C
P
α
d(P −α) =∣∣det
(~AB ~AC ~AP
)∣∣∣∣ ~AB × ~AC∣∣
Michele prof. Perini Matematica 107 / 161
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Vettori 3D Distanza punto-piano
Distanza tra piano α e punto P (xP , yP , zP ), conequazione cartesiana del piano
Q(x0, y0, z0) ∈α→ a
bc
x −x0
y − y0
z − z0
= 0
→ ax +by + cz +d = 0, d =−(ax0 +by0 + cz0)
La distanza tra punto e piano è data dallaproiezione di ~PQ sulla direzione di ~n:
Michele prof. Perini Matematica 108 / 161
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Vettori 3D Distanza punto-piano
d(P −α) =∣∣~n ~QP
∣∣|~n| =
∣∣∣∣∣∣ a
bc
xP −x0
yP − y0
zP − z0
∣∣∣∣∣∣p
a2 +b2 + c2=
=∣∣axP +byP + czP +d
∣∣p
a2 +b2 + c2
Michele prof. Perini Matematica 109 / 161
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Vettori 3D Distanza tra retteSiano r e s due rette non parallele definite dai vettori ~a e ~b esia ~c un vettore che collega un punto su r con un punto su s.
~a
~b
~c
r
s
d(s − r ) =
∣∣∣~c(~a ×~b)∣∣∣∣∣∣~a ×~b
∣∣∣ =∣∣det
(~a ~b ~c
)∣∣∣∣∣~a ×~b∣∣∣
Michele prof. Perini Matematica 110 / 161
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Solidi 3D Prisma
Un prisma è la figurasolida la cui superficie ècostituita da un poligonodi base, giacente su unsolo piano, un poligonotraslato di una traslazione~v rispetto a quello dibase, i parallelogrammiche hanno come lati i latidel poligono di base e iloro rispettivi traslati di ~v .
Michele prof. Perini Matematica 111 / 161
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Solidi 3D Parallelepipedo
Un parallelepipedo è unprisma le cui basi sonoparallelogrammi.
Michele prof. Perini Matematica 112 / 161
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Solidi 3D Parallelepipedo rettangolo
Un parallelepipedorettangolo è unparallelepipedo le cui basie superfici laterali sonorettangoli.
Michele prof. Perini Matematica 113 / 161
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Solidi 3D Diagonale del parallelepipedo rettangolo
~a
~b
~c~d
~a +~b
~d 2 = (~a +~b)2 +~c2
~d 2 =~a2 +~b2 +~c2
d 2 = a2 +b2 + c2a
aQuesta relazione(ricavata con il teorema di Pitagora)giustifica la definizione di norma diun vettore tridimensionale come radicedella somma dei quadrati delle trecomponenti del vettore.
Michele prof. Perini Matematica 114 / 161
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Solidi 3D Piramide
V
Una piramide è la figurasolida la cui superficie ècostituita da un poligonodi base, giacente su unsolo piano, e dai triangoliformati da ogni lato delpoligono e dalle coppie disegmenti checongiungono gli estremi diun certo lato ad un punto,esterno al poligono, dettovertice V .
Michele prof. Perini Matematica 115 / 161
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Solidi 3D Piramide retta
V
H
Una piramide è retta se ilpoligono di base ècircoscritto ad unacirconferenza e il piededell’altezza della piramidecoincide con il centro ditale circonferenza. Inquesti solidi le altezze deitriangoli laterali(apotemi) sono tuttecongruenti.
Michele prof. Perini Matematica 116 / 161
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Solidi 3D Solidi di rotazione
Cilindro: un cilindro si ottiene dalla rotazionecompleta di un rettangolo attorno ad un suo lato.Cono: un cono si ottiene dalla rotazione completadi un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.Sfera: una sfera si ottiene dalla rotazione completadi un semicerchio attorno al suo diametro.
Michele prof. Perini Matematica 117 / 161
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Solidi 3D Solidi platoniciI solidi platonici sono figure solide le cui facce sono costituiteda poligoni regolari tutti identici.Se n ≥ 3 è il numero dei lati di ogni poligono regolare di base(con angoli al vertice π(n−2)
n ), le c ≥ 3 facce che concorrono adogni vertice devono soddisfare la condizione angolare:
c · π(n −2)
n< 2π→ n < 2c
c −2→ n < 2+ 4
c −2le possibili soluzioni della disequazione sono:
se c = 3 n < 6 → n = 3∨n = 4∨n = 5se c = 4 n < 4 → n = 3se c = 5 n < 10
3 → n = 3se c > 5 non ci sono n che soddisfano lecondizioni
Michele prof. Perini Matematica 118 / 161
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Solidi 3D Solidi platonici
Gli unici 5 solidi platonici sono dunque:c = 3, n = 3 Tetraedro: formato da 4 triangoli
equilateric = 3, n = 4 Cubo: formato da 6 quadratic = 3, n = 5 Dodecaedro: formato da 12 pentagonic = 4, n = 3 Ottaedro: formato da 8 triangoli
equilateric = 5, n = 3 Icosaedro: formato da 20 triangoli
equilateri
Michele prof. Perini Matematica 119 / 161
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Volume Parallelepipedo rettangolo
a
b
cV = abc
S = 2(ab +ac +bc)
Michele prof. Perini Matematica 120 / 161
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Volume Principio di Cavalieri
Assumiamo il seguente assioma:Principio di CavalieriSe due solidi possono essere disposti rispetto ad unpiano π, in modo che ogni piano parallelo a π, cheintersechi uno dei due solidi intersechi anche l’altroe individui su di essi sezioni equivalenti, allora i duesolidi hanno lo stesso volume.
Michele prof. Perini Matematica 121 / 161
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Volume Prisma
A A ′ =A
h
2p
V =A h
S = 2(A +ph)
Michele prof. Perini Matematica 122 / 161
![Page 123: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/123.jpg)
Volume Cilindro
A =πr 2 A ′ =A
hV =πr 2h
S = 2π(r 2 + r h)
Michele prof. Perini Matematica 123 / 161
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Volume SimplessoIl simplesso è unapiramide con tutte lefacce costituite datriangoli. Tre simplessi(equivalenti) come infigura formano un prismaa base triangolare. Sceltauna base con area A ealtezza h il volume delsimplesso è pari a:
V = 1
3A h
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Volume SimplessoIl simplesso è unapiramide con tutte lefacce costituite datriangoli. Tre simplessi(equivalenti) come infigura formano un prismaa base triangolare. Sceltauna base con area A ealtezza h il volume delsimplesso è pari a:
V = 1
3A h
Michele prof. Perini Matematica 124 / 161
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Volume SimplessoIl simplesso è unapiramide con tutte lefacce costituite datriangoli. Tre simplessi(equivalenti) come infigura formano un prismaa base triangolare. Sceltauna base con area A ealtezza h il volume delsimplesso è pari a:
V = 1
3A h
Michele prof. Perini Matematica 124 / 161
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Volume SimplessoIl simplesso è unapiramide con tutte lefacce costituite datriangoli. Tre simplessi(equivalenti) come infigura formano un prismaa base triangolare. Sceltauna base con area A ealtezza h il volume delsimplesso è pari a:
V = 1
3A h
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Volume Piramide
VV V ′
h
AA ′ =A
V = 1
3A h
Michele prof. Perini Matematica 125 / 161
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Volume Cono
VV V ′
h
A ′A =A ′
V = 1
3πr 2h
Michele prof. Perini Matematica 126 / 161
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Volume Sfera
h
r
r
Sezioni sfera: π(r 2 −h2)Sezioni anticlessidra:πr 2 −πh2
Vac =V
V =Vac =Vci l −2Vcono ==πr 2(2r )−2
1
3πr 2r =
= 2πr 3 − 2
3πr 3 = 4
3πr 3
Michele prof. Perini Matematica 127 / 161
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Calcolo combinatorio Fattoriale
Definizione ricorsiva: fattoriale
Con n ∈N:
n! ={
1 se n = 0n · (n −1)! se n 6= 0
Esempio:
4! = 4·3! = 4·3·2! = 4·3·2·1! = 4·3·2·1·0! = 4·3·2·1·1 = 24
Michele prof. Perini Matematica 128 / 161
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Calcolo combinatorio PermutazioniIl numero di permutazioni Pn di n oggetti (tuttidistinti) è il numero delle sequenze ordinate chepossono essere composte con tali oggetti.Ipotizziamo di vole scrivere tutte le sequenzecomponibili con le lettere A, B e C :ABC AC B B AC BC A C AB C B Ale sequenze si ottengono a partire da ognuno degli noggetti seguiti da tutte le possibili permutazioni deirimanenti n −1.Per le permutazioni valgono la proprietà:Pn = n ·Pn−1 e P1 = 1, il che ci assicura che:
Pn = n! ∀n ∈N0
Michele prof. Perini Matematica 129 / 161
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Calcolo combinatorio DisposizioniIl numero di disposizioni Dn,k di k oggetti distintipresi da un gruppo di n (tutti distinti) è il numerodelle sequenze ordinate che possono esserecomposte con tali oggetti.Per ottenere il numero delle disposizioni possiamopensare di partire dalle permutazioni Pn degli noggetti a disposizione. Ognuna delle sequenze èformata dai primi k elementi seguiti dai rimanentin −k:
ABC DE︸ ︷︷ ︸k
FG H︸ ︷︷ ︸n−k︸ ︷︷ ︸
n
Michele prof. Perini Matematica 130 / 161
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Calcolo combinatorio DisposizioniOgni permutazione degli n oggetti è formata da unadisposizione dei k oggetti ripetuta per il numero dipermutazioni dei rimanenti n −k. Il numero delledisposizioni è dunque:
Dn,k = Pn
Pn−k= n!
(n −k)!∀n ≥ k ∧n.k ∈N0
per k = n le disposizioni diventano semplicemente lepermutazioni degli n oggetti:
Dn,n = n!
(n −n)!= n!
0!= n! = Pn
Michele prof. Perini Matematica 131 / 161
![Page 135: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/135.jpg)
Calcolo combinatorio CombinazioniIl numero di combinazioni Cn,k di k oggetti distintipresi da un gruppo di n (tutti distinti) è il numerodei possibili insiemi che possono essere composticon tali oggetti.Possiamo ricavare il numero delle combinazioni apartire da quello delle disposizioni Dn,k , per lecombinazioni le k ! sequenze di k oggetti checontengono gli stessi elementi sono tra loroindistinguibili, si ha quindi:
Cn,k =(
nk
)= Dn,k
Pk= n!
(n −k)!k !∀n ≥ k ∧n.k ∈N0
Michele prof. Perini Matematica 132 / 161
![Page 136: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/136.jpg)
Calcolo combinatorio Permutazioni con ripetizione
Le permutazioni con ripetizione sono lepermutazioni di n oggetti di cui almeno alcuni sonoindistinguibili. Ipotizziamo di vole scrivere tutte lesequenze componibili con le lettere A, B e A eipotizziamo in prima istanza di poter distinguere lelettere e disporre quindi A1, B e A2:A1B A2 A1 A2B B A1 A2 B A2 A1 A2 A1B A2B A1 Ilnumero delle sequenze indistinguibili è pari allepossibili permutazioni degli elementi indistinguibili(nel nostro esempio le A).
Michele prof. Perini Matematica 133 / 161
![Page 137: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/137.jpg)
Calcolo combinatorio Permutazioni con ripetizione
In generale se e1 +e2 +·· ·+ek = n sono il numerodelle ripetizioni di ogni elemento distinto degli ncomplessivi, il numero delle permutazioni conripetizione è dato da:
P Rn = Pn
e1!e2! · · ·ek != n!
e1!e2! · · ·ek !
con e1 +e2 +·· ·+ek = n ∧n,e1,e2, . . . ,ek ∈N0.
Michele prof. Perini Matematica 134 / 161
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Calcolo combinatorio Disposizioni con ripetizione
Le disposizioni con ripetizione sono le sequenzeordinate di k oggetti (anche identici) presi da ungruppo di n tutti distinguibili tra loro. Ognuno deglielementi della sequenza può essere scelto in n modidifferenti per un totale di k elementi. Ledisposizioni con ripetizione risultano quindi essere:
DRn,k = n ·n · · ·n︸ ︷︷ ︸
k volte= nk ∀n.k ∈N0
Michele prof. Perini Matematica 135 / 161
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Calcolo combinatorio Combinazioni con ripetizione
Le combinazioni con ripetizione sono le sequenzenon ordinate di k oggetti (anche identici) presi daun gruppo di n tutti distinguibili tra loro. Lesequenze si distinguono le une dalle altre per glielementi che vi compaiono in relazione al numero divolte in cui compaiono.Possiamo ipotizzare, per esemplificare, di formare lecombinazioni dagli n = 2 oggetti A e B presi agruppi di k = 3. Le possibili combinazioni sono datein questo caso dalle terne: A A A, A AB , ABB , BBB .
Michele prof. Perini Matematica 136 / 161
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Calcolo combinatorio Combinazioni con ripetizioneNon contando l’ordine possiamo rappresentarequelle sequenze con due soli simboli: un * per ilnumero di ripetizioni di un dato elemento e una |per separare i diversi elementi. Nel nostro caso le 4sequenze precedenti diventano semplicemente: ***|,**|*, *|**, |***.In generale il numero di * è pari a k mentre ilnumero di | è pari a n −1. Le combinazioni conripetizione risultano quindi essere:
C Rn,k =
Pn+k−1
k !(n −1)!= (n +k −1)!
(n −1)!k !=
(n +k −1
k
)∀n.k ∈N0
Michele prof. Perini Matematica 137 / 161
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Calcolo combinatorio Binomio di Newton
(a +b)n =n∑
k=0
(nk
)an−kbk =
n∑k=0
n!
(n −k)!k !an−kbk
Dimostriamo la formula del binomio di Newton perinduzione. Per n = 0 la formula diventa(a +b)0 = 0!
0!0! a0b0 che è vera ∀a,b ∈R. Ora
dimostriamo che se la formula è vera per n allora èvera anche per n +1 per tutti i naturali.
(a +b)n+1 = (a +b)(a +b)n =
Michele prof. Perini Matematica 138 / 161
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Calcolo combinatorio Binomio di Newton
= (a +b)n∑
k=0
n!
(n −k)!k !an−kbk =
=n∑
k=0
n!
(n −k)!k !an−k+1bk +
n∑k=0
n!
(n −k)!k !an−kbk+1 =
= an+1 +n∑
k=1
n!
(n −k)!k !an−k+1bk+
+bn+1 +n−1∑k=0
n!
(n −k)!k !an−kbk+1 =
Michele prof. Perini Matematica 139 / 161
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Calcolo combinatorio Binomio di Newton
ponendo j = k −1 → k = j +1 nella prima delle duesommatorie si ottiene:
= an+1 +n−1∑j=0
n!
(n − j −1)!( j +1)!an− j b j+1+
+bn+1 +n−1∑k=0
n!
(n −k)!k !an−kbk+1 =
= an+1+bn+1+n−1∑k=0
(n!
(n −k)!k !+ n!
(n −k −1)!(k +1)!
)an−k bk+1 =
Michele prof. Perini Matematica 140 / 161
![Page 144: Matematica - Appunti di Matematica 4](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081606/62c429d86801586cc0714778/html5/thumbnails/144.jpg)
Calcolo combinatorio Binomio di Newton
= an+1 +bn+1 +n−1∑k=0
n!
(n −k −1)!k !+
(1
n −k+ 1
k +1
)an−k bk+1 =
= an+1+bn+1+n−1∑k=0
n!
(n −k −1)!k !
n +1
(k +1)(n −k)an−kbk+1 =
= an+1 +bn+1 +n−1∑k=0
(n +1)!
(n −k)!(k +1)!an−kbk+1 =
=n∑
k=−1
(n +1)!
(n −k)!(k +1)!an−kbk+1 =
Michele prof. Perini Matematica 141 / 161
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Calcolo combinatorio Binomio di Newtonponiamo h = k +1 → k = h −1 e otteniamo:
=n+1∑h=0
(n +1)!
(n −h +1)!(h)!an−h+1bh =
scriviamo nuovamente k al posto di h e raccogliamoi termini n +1:
=n+1∑k=0
(n +1)!
((n +1)−k)!(k)!a(n+1)−kbk =
n+1∑k=0
(n +1k +1
)a(n+1)−kbk
l’ultima espressione è proprio il binomio di Newton per unapotenza n+1. Abbiamo dimostrato che la formula del binomioè vera per n = 0 e ∀n ∈N se è vera per n allora è vera ancheper n +1; in definitiva la formula è vera ∀n ∈N.
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Calcolo combinatorio Triangolo di Tartaglia
Nel dimostrare la formula del binomio di Newtonabbiamo anche ricavato l’identità7:(
n +1k +1
)=
(nk
)+
(n
k +1
)Cn+1,k+1 =Cn,k +Cn,k+1
che è la proprietà alla base del funzionamento deltriangolo di Tartaglia per la determinazione deicoefficienti dello sviluppo del binomio.
7per dimostrarla è sufficiente svolgere i calcoli sviluppando i fattorialiMichele prof. Perini Matematica 143 / 161
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Calcolo combinatorio Triangolo di Tartaglia
C0,0
C1,0 C1,1
C2,0 C2,1 C2,2
C3,0 C3,1 C3,2 C3,3
C4,0 C4,1 C4,2 C4,3 C4,4
C5,0 C5,1 C5,2 C5,3 C5,4 C5,5
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Calcolo combinatorio Triangolo di Tartaglia
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
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Probabilità Definizione classica
Definizione classica di probabilitàLa probabilità di un evento casuale (aleatorio,stocastico) è il rapporto tra il numero dei casifavorevoli al presentarsi dell’evento (k) e il numerototale dei casi possibili (n), purchè tutti i casi sianoequiprobabili. In simboli:
p(E) = k
n
La definizione classica è operativa ma presenta delle problematiche formali. La
definizione ad esempio non risulta applicabile nel caso vi siano infiniti casi e definisce
la probabilità utilizzando il principio di equiprobabilità.
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Probabilità Eventi e spazi campionari
EventoUn evento è un insieme che si associa ad undeterminato esito di un esperimento aleatorio(casuale), indichiamo gli eventi con la notazione E1,E2, E3, E4, . . .
Evento elementareUn evento elementare è un elemento e ∈ Ei .
Spazio campionarioLo spazio campionario è un insieme che contienetutti gli eventi relativi ad un esperimento aleatorio,in simboli S = E1 ∪E2 ∪E3 ∪E4 ∪ . . .
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Probabilità Eventi e spazi campionari
Evento impossibileUn evento impossibile è un evento associato ad uninsieme vuoto ;.
Evento certoUn evento certo è un evento associato all’interospazio campionario S.
Eventi contrariDue eventi Ei ed E j si dicono contrari seEi = S −Ei = E j .
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Probabilità Eventi e spazi campionari
Eventi incompatibiliDue eventi Ei ed E j si dicono incompatibili seEi ∩E j =;.
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Probabilità Definizione assiomatica
Definizione assiomatica della probabilitàLa probabilità di un evento Ei è il numero p(Ei )associato univocamente all’evento che gode delleproprietà:
p(Ei ) ≥ 0 per ogni i
p(S) = 1
p(E1 ∪E2 ∪E3 ∪E4 ∪ . . . ) =p(E1)+p(E2)+p(E3)+p(E4)+ . . . se gli eventiEi sono tra loro tutti incompatibili
La definizione assiomatica della probabilità non dà indicazioni su come effettuare il
calcolo della probabilità ma solo sulle proprietà ad essa associate. In effetti la modalità
per associare un valore alla probabilità non è univoca.Michele prof. Perini Matematica 150 / 161
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Probabilità Definizione assiomatica
Proprietà della probabilità e insiemiS
p(S) = 1
S
p(;) = 0
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Probabilità Definizione assiomatica
Proprietà della probabilità e insiemiS
E1
E2p(E1 ∪E2) = p(E1)+p(E2)
S
E2E1p(E1∪E2) = p(E1)+p(E2)−p(E1∩E2)
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Probabilità Definizione assiomatica
Proprietà della probabilità e insiemiS
E1
p(E1) = 1−p(E1)
S
E2E1
p(E1 ∩E2) = p(E1|E2)p(E2) =
= p(E2|E1)p(E1)
essendo p(E1|E2) = p(E1∩E2)p(E2) e
p(E2|E1) = p(E1∩E2)p(E1)
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Probabilità Definizione assiomatica
Eventi indipendentiDue eventi E1 ed E2 si dicono indipendenti sep(E1 ∩E2) = p(E1)p(E2). Cioè se la loro probabilitàcondizionata, E1 sapendo che E2 è p(E1|E2) = p(E1)e quella di E2 sapendo che E1 è p(E2|E1) = p(E2).
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Probabilità Formula di Bayes
Formula di Bayes
Abbiamo già osservato (per la probabilità di eventidipendenti) che:
p(A∩E) = p(A|E)p(E) = p(E |A)p(A)
da cui ricaviamo la formula di Bayes:
p(A|E) = p(E |A)p(A)
p(E)
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Probabilità Formula di Bayes
Formula di Bayes (con diverse alternative)Ipotizziamo che le alternative A1, A2, . . . , Ai , . . . , An formino unapartizione dell’intero spazio campionario S, cioè:
Ai 6= ;Ai ∩ A j =;S = A1 ∪ A2 ∪·· ·∪ Ai ∪·· ·∪ An
In questo caso sulle probabilità degli eventi si ha che:
p(S) = 1 =n∑
i=1
p(Ai )
è possibile schematizzare come segue le probabilità relative adun certo evento E in relazione alle diverse alternative Ai .
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Probabilità Formula di Bayes
Schematizziamo le probabilità p(Ai |E):
p(E)
E
A1 · · · Ai · · · An
p(A1 |E) · · · p(Ai |E) · · · p(An |E)
p(E)p(A1 |E) · · · p(E)p(Ai |E) · · · p(E)p(An |E)
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Probabilità Formula di Bayes
Schematizziamo le probabilità p(E |Ai ):
A1 · · · Ai · · · An
p(A1) · · · p(Ai ) · · · p(An )
p(E |A1) · · · p(E |Ai ) · · · p(E |An )
E E E E E
p(A1)p(E |A1) · · · p(Ai )p(E |Ai ) · · · p(An )p(E |An )
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Probabilità Formula di Bayes∀i si ha:
p(E)p(Ai |E) = p(Ai )p(E |Ai )
dall’ultima riga dei due schemi si può ricavare che:n∑
i=1
p(E)p(Ai |E) =n∑
i=1
p(Ai )p(E |Ai )
p(E)n∑
i=1
p(Ai |E)︸ ︷︷ ︸=1
=n∑
i=1
p(Ai )P (E |Ai )
p(E) =n∑
i=1
p(Ai )p(E |Ai )
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Probabilità Formula di Bayes
in definitiva si ricava questa espressione generale peril teorema di Bayes:
p(Ai |E) = p(Ai )p(E |Ai )
p(E)= p(Ai )p(E |Ai )∑n
i=1 p(Ai )p(E |Ai )
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Probabilità Legge dei grandi numeri
Legge dei grandi numeri
La frequenza relativa ( f ) di un qualunque eventocasuale (E) converge statisticamente alla suaprobabilità (p(E)) all’aumentare del numero delleprove (N).In formule potremmo scrivere ∀ε> 0:
limN→+∞
p(∣∣p(E)− f
∣∣< ε) = 1
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