appunti di matematica: i limiti e la continuità le...
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APPUNTI
DI MATEMATICA:
I limiti e la continuità
Le derivate
Prof.ssa Prenol R.
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INTERVALLI e INTORNI Definizione di intervallo: è un sottoinsieme di numeri reali e può essere
- illimitato: graficamente viene rappresentato da una semiretta - limitato: graficamente corrisponde ad un segmento
bxa ba; Intervallo chiuso bxa ba; Intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra bxa ba; Intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra bxa ba; Intervallo aperto ax ;a Intervallo chiuso illimitato superiormente ax ;a Intervallo aperto illimitato superiormente ax a; Intervallo chiuso illimitato inferiormente ax a; Intervallo aperto illimitato inferiormente
Defininizione di intorno: Intorno completo: dato un numero reale 0x si dice intorno completo di 0x un qualsiasi intervallo aperto
contenente 0x : 0x
Intorno circolare: è l’intervallo aperto avente centro nel punto 0x : 0x
Intorno destro di 0x : 0x
Intorno sinistro di 0x : 0x
Intorno di -: a Intorno di +: a Se A è un sottoinsieme di R e 0x è un punto di A:
- 0x è un punto isolato di A se esiste un intorno di 0x che non contiene elementi di A diversi da 0x ;
- 0x è un punto di accumulazione di A se ogni intorno di 0x contiene infiniti elementi di A.
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DEFINIZIONE DI LIMITE
Definizione formale di limite: si dice che la funzione f x ha per limite il numero reale l per x che tende a 0x e si
scrive
0
lim ( )x x
f x l
quando comunque si scelga un intorno di l, I(l), si può determinare un intorno completo di 0x , I( 0x ), tale che per
ogni punto x appartenente a I( 0x ), escluso al più 0x , f x appartiene all’intorno di l, I(l).
Limite Significato geometrico
0
lim ( )x x
f x l
Vedi figura sopra
0
lim ( )x x
f x
0xx è asintoto verticale
0
lim ( )x x
f x
0xx è asintoto verticale
lim ( )x
f x l
ly è asintoto orizzontale
lim ( )x
f x l
ly è asintoto orizzontale
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lim ( )x
f x
lim ( )x
f x
lim ( )x
f x
lim ( )x
f x
Limite destro e limite sinistro
01lim ( )
x xf x l
02lim ( )
x xf x l
l1 (l2) è il limite destro (sinistro) per la funzione f (x) quando x si avvicina a x0 in un intorno destro (sinistro) di x0 Esiste
0
lim ( )x x
f x l
se e solo se esistono entrambi 0
lim ( )x x
f x
e 0
lim ( )x x
f x
e sono entrambi uguali a l.
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IL CALCOLO DEI LIMITI Per calcolare il limite di una funzione in un punto, bisogna innanzitutto chiedersi se il punto appartiene al dominio della funzione: se la risposta è affermativa, è sufficiente calcolare il valore della funzione nel punto considerato. Esempio:
Calcolare 12lim
3
xx
x.
Poiché il dominio della funzione è dato da ℝ - –1 ed il punto 2 appartiene al dominio, per calcolare tale limite si
può semplicemente sostituire il valore 2 all’incognita: 41
1323
12lim
3
xx
x.
I limiti possono essere calcolati solo nei punti di accumulazione del dominio. I punti di accumulazione sono o i punti che appartengono al dominio, per i quali, come abbiamo visto, non sussiste nessun problema di calcolo, oppure i punti di frontiera del dominio, cioè i punti che non appartengono al dominio ma che sono indefinitamente vicini al dominio, cioè tali che in ogni loro intorno, preso piccolo a piacere, esistono infiniti punti del dominio. In altre parole, non si possono calcolare i limiti in punti isolati del dominio, che tuttavia non incontreremo nel nostro studio. Per le funzioni razionali fratte, che sono invece oggetto del nostro studio, i punti di frontiera sono esattamente i punti che escludiamo dal dominio perché annullano il denominatore ed inoltre i cosiddetti punti all’infinito: + e -. Per le funzioni razionali fratte non esistono punti isolati del dominio. Esempio Determinare i punti di frontiera delle seguenti funzioni:
1. 13)( 23 xxxxf
Poiché la funzione è razionale intera, gli unici punti di frontiera sono + e -. Siamo quindi interessati a calcolare i limiti
3 2lim 3 1x
x x x
e 3 2lim 3 1x
x x x
2. 41)( 2
2
xxxf
Il dominio della funzione è dato da ℝ - –2; 2, quindi i punti di frontiera della funzione sono: -2, 2, + e -. Dovremo quindi capire come calcolare i limiti:
41lim 2
2
2
xx
x,
41lim 2
2
2
xx
x,
41lim 2
2
2
xx
x,
41lim 2
2
2
xx
x,
41lim 2
2
xx
x,
41lim 2
2
xx
x.
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Per il calcolo dei limiti bisogna tener presenti i seguenti teoremi: 1. Il limite della somma è uguale alla somma dei limiti: se lim ( )
xf x l
e lim ( )
xg x m
dove ,l m , allora
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x
f x g x f x g x l m
.
2. Il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti: se lim ( )x
f x l
e lim ( )x
g x m
dove ,l m , allora
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x
f x g x f x g x l m
.
3. Il limite della potenza è uguale alla potenza del limite: se lim ( )x
f x l
e 0n , allora lim ( ) n n
xf x l
.
4. Il limite della funzione inversa: se lim ( )x
f x l
, 0l , allora 1 1 1lim( ) lim ( )x
xf x f x l
.
5. Il limite del quoziente è uguale al quoziente dei limiti: se lim ( )x
f x l
e lim ( )x
g x m
dove ,l m e 0m
alloralim ( )( )lim
( ) lim ( )x
xx
f xf x lg x g x m
.
I precedenti teoremi valgono per limiti finiti, eventualmente anche per x che tende all’infinito, ma si possono estendere anche al caso di limiti infiniti. Dobbiamo allora introdurre un’”aritmetica” dei limiti nel caso di limiti infiniti. Occorre trovare un simbolismo aritmetico per i due simboli + e -. Se pensiamo ai simboli l, 0, + e - come limiti di funzioni, allora si ha:
1. l + (+) = (+) + l = + per ogni numero reale l 2. l + (-) = (-) + l = - per ogni numero reale l
7. 0l l
8. 0l se l > 0 e
0l se l < 0
9. 0l se l > 0 e
0l se l < 0
10. 0 0
,
0 0
11. 0 0 0
, 0 0 0
3. l ⋅ (+) = (+) ⋅ l =
4. l ⋅ (-) = (-) ⋅ l =
5. (+) ⋅ (+) = (-) ⋅ (-) = + 6. (+) ⋅ (-) = (+) ⋅ (-) = - Non siamo in grado di stabilire un formalismo aritmetico per le seguenti espressioni:
00
0
Tali espressioni, di cui non possiamo stabilire a priori il risultato, prendono il nome di forme di indecisione o forme indeterminate e devono essere studiate caso per caso. Esistono altre tre forme di indecisione, ma non le elenchiamo perché non le incontreremo nel nostro studio.
se l > 0
se l < 0 se l > 0
se l < 0
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ALCUNI ESEMPI DI CALCOLO DI LIMITI Esempio 1
3 23 2lim 2 2 2x
x x
3 23 2lim 2 2 ( ) 2 2x
x x
Esempio 2
2 21
1 1 1lim01 1 1x x
Esempio 3
2
6 2 16 1 11lim2 2 2 0x
xx
2
6 2 16 1 11lim2 2 2 0x
xx
Nota: al numeratore sostituiamo 2 senza distinguere se provenendo da destra o da sinistra: è ininfluente nel calcolo, mentre cambia la situazione al denominatore. Se viene richiesto di calcolare il limite senza distinguere se da destra o da sinistra, si procede nel seguente modo:
2
6 2 16 1 11lim2 2 2 0x
xx
cioè non si specifica se tende a + o a -. Esempio 4
2 2
222
1 2 1 5 5lim4 4 4 02 4x
xx
2 2
222
1 2 1 5 5lim4 4 4 02 4x
xx
Esempio 5
22
2 2 5 5lim 04 44x x
22
2 2 5 5lim 04 44x x
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COME RISOLVERE LE FORME INDETERMINATE La forma indeterminata + –
Calcoliamo 3 2lim 2 3x
x x
“Sostituendo” – alla x, otterremmo 3 22 3 2 3 e quest’ultima scrittura dà
luogo ad un forma inderminata. Per “risolvere” la forma indeterminata, si “raccoglie a fattor comune” cioè 3x :
33 2 33 3
2 3 2 3lim 2 3 lim 1 1 1 0 0x x
x x xx x
La forma indeterminata
1) 1° caso. Il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore:
Calcoliamo
3 23 2
22
3 2 33 2 3lim2 1 2 1x
x xx
: si tratta di una forma indeterminata (F.I.).
Per risolverla procediamo come per la precedente forma indeterminata, raccogliendo cioè a numerarore e a denominatore x elevato al massimo esponente:
33 2
2
3 2 3lim lim2 1x x
xx x
x
3
2
2 33x x
x
2
33lim1 2 22
x
x
x
2) 2° caso. Il grado del numeratore è minore del grado del denominatore:
Calcoliamo
3 23 2
44
3 2 33 2 3lim2 1 2 1x
x xx
: si tratta di una forma indeterminata (F.I.).
Per risolverla procediamo come al solito, raccogliendo cioè a numerarore e a denominatore x elevato al massimo esponente:
33 2
4
3 2 3lim lim2 1x x
xx x
x
3
4
2 33x x
x
4
3 3lim 01 2 22
x xx
In questo caso succede che la retta 0y , cioè l’asse delle ascisse, è asintoto orizzontale per la funzione in
questione. 3) 3° caso. Il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore:
Calcoliamo
3 23 2
33
3 2 33 2 3lim2 1 2 1x
x xx
: si tratta di una forma indeterminata (F.I.).
Per risolverla procediamo come al solito, raccogliendo cioè a numerarore e a denominatore x elevato al massimo esponente:
33 2
3
3 2 3lim lim2 1x x
xx x
x
3
3
2 33x x
x
3
31 22x
In questo caso succede che la retta 23
y , cioè l’asse delle ascisse, è asintoto orizzontale per la funzione in
questione.
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La forma indeterminata 00
Quando siamo in presenza di questa forma indeterminata, vuol dire che sia numeratore sia denominatore sono scomponibili ed hanno lo stesso fattore comune: 0xx .
Esempi
Calcoliamo il limite: 00
4444
42lim 2
2
2
xxx
x: si tratta di una forma indeterminata (F.I.).
Per risolverla osserviamo che sia numeratore sia denominatore sono scomponibili:
Numeratore: 222 xxxx (raccoglimento totale)
Denominatore: 2242 xxx (differenza di due quadrati)
Possiamo quindi riscrivere il limite dato nel seguente modo:
2
22 2
22lim lim4x x
x xx xx
2x 2
2 1lim2 4 22 x
xxx
Calcoliamo il limite: 00
11211
12lim 2
2
1
xxx
x: si tratta di una forma indeterminata (F.I.).
Per risolverla scomponiamo numeratore e denominatore: Numeratore: 1222 xxxx (trinomio particolare)
Denominatore: 1112 xxx (differenza di due quadrati)
2
21 1
2 12lim lim1x x
x xx xx
1x 1
2 3lim1 21 x
xxx
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LE FUNZIONI CONTINUE Def. Siano f (x) una funzione definita in un intervallo [a; b] e x0 un punto interno all’intervallo. La funzione f (x) si dice continua nel punto x0 quando esiste il limite di f (x) per x x0 e tale limite è uguale al valore f (x0) della funzione calcolata in x0. Una funzione f x è quindi continua in x0 se sono verificate tre condizioni:
1. f x è definita in x0, cioè esiste 0xf
2. esiste finito 0
lim ( )x x
f x l
(cioè 0 0
lim ( ) lim ( )x x x x
f x f x l
)
3. lxf 0
Def. Una funzione definita in [a; b] si dice continua nell’intervallo [a; b] se è continua in ogni punto dell’intervallo. In maniera intuitiva si può dire che una funzione è continua in un intervallo quando è possibile tracciare il suo grafico senza interruzioni. I punti di discontinuità di una funzione Punti di discontinuità di prima specie: un punto x0 si
dice punto di discontinuità di prima specie per la funzione f(x) quando, per x x0, il limite destro e il limite sinistro di f (x) sono entrambi finiti ma diversi tra loro. La differenza |l2 – l1| si dice salto della funzione.
Questa funzione ha una discontinuità di prima specie nel punto 0 ed una discontinuità di seconda specie nel punto -1
Punti di discontinuità di seconda specie: un punto x0 si dice punto di discontinuità di seconda specie per la funzione f (x) quando, per x x0, almeno uno dei limiti, destro o sinistro, di f (x) è infinito oppure non esiste.
Punti di discontinuità di terza specie (o eliminabile): un punto x0 si dice punto di discontinuità di terza specie per la funzione f (x) quando: - esiste ed è finito il limite l di f (x) per x x0 - f (x) non è definita in oppure, se lo è, risulta
0f x l .
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GLI ASINTOTI DI UNA FUNZIONE Def. Una retta è detta asintoto di una funzione se la distanza di un generico punto del grafico da tale retta tende a 0 quando l’ascissa o l’ordinata del punto tendono a . Abbiamo già incontrato gli asintoti verticali e orizzontali. Esistono tuttavia anche gli asintoti obliqui:
Se il grafico della funzione y = f (x) ha un asintoto obliquo di equazione y = mx + q con m 0 allora m e q sono dati dai seguenti limiti:
( )limx
f xmx
lim ( )x
q f x mx
Esempio
Data la funzione 22 1
1xyx
determinare le equazioni degli eventuali asintoti obliqui.
Perché la funzione abbia un asintoto obliquo è necessario innanzitutto che il limite della funzione per x sia infinito. Infatti:
222 1lim lim
1x x
xxx
212x
x
lim 2
11x
x
x
Calcoliamo allora
22 2
2
( ) 2 1 1 2 1lim lim lim lim1x x x x
xf x x xm
x x x x x
2
2
12x
x
2
11x
Poiché m risulta finito possiamo calcolare anche
22
2
2 1 2 12 1lim ( ) lim 2 lim1 1
2lim
x x x
x
x x xxq f x mx xx x
x
21 2x 2 1 2lim lim
1 1x x
xx x
x x
12x
x
2
11x
Quindi la funzione data ha come asintoto la retta di equazione 2 2y x .
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DERIVATA DI UNA FUNZIONE Sia y = f (x) una funzione definita nell’intervallo [a; b] e siano 0x e 0x h due numeri reali interni all’intervallo. DEFINIZIONE: Il rapporto incrementale relativo a 0x è il numero
0 0( ) ( )f x h f xyx h
SIGNIFICATO GEOMETRICO: considerati nel piano cartesiano i punti P( 0x ; 0( )f x ) e Q( 0x h ; 0f x h )
il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della retta passante per P e per Q.
DEFINIZIONE: La derivata del funzione f nel punto 0x interno all’intervallo è il limite, se esiste ed è finito, per
h che tende a 0, del rapporto incrementale relativo a 0x e si indica 0'f x :
0 00 0
( ) ( )'( ) limh
f x h f xf xh
SIGNIFICATO GEOMETRICO: La derivata di una funzione in un punto 0x rappresenta il coefficiente
angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa 0x .
RETTA TANGENTE AL GRAFICO IN UN PUNTO DI UNA FUNZIONE Data la funzione ( )y f x , l’equazione della tangente al grafico di f nel punto (x0; y0), quando esiste e non è parallela all’asse y, è
0 0 0'( )( )y y f x x x . TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE
1) Derivata della somma/differenza: '( ) ( ) '( ) '( )f x g x f x g x
2) Derivata del prodotto: '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x g x f x g x f x g x
3) Derivata del quoziente:
'
2( ) '( ) ( ) ( ) '( )( ) ( )
f x f x g x f x g xg x g x
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CRESCENZA/DECRESCENZA DI UNA FUNZIONE DEFINIZIONE:
- Una funzione ( )y f x in un intervallo I si dice crescente se, comunque si scelgano x1 e x2 appartenenti ad I,
con x1 < x2, si ha che 1 2f x f x .
- Una funzione ( )y f x in un intervallo I si dice decrescente se, comunque si scelgano x1 e x2 appartenenti ad
I, con x1 < x2, si ha che 1 2f x f x .
TEOREMA (per determinare crescenza/decrescenza di una funzione):
Data una funzione ( )y f x , continua in un intervallo I e derivabile nei suoi punti interni, si ha che
- Se '( ) 0f x x I allora la funzione è crescente in I - Se '( ) 0f x x I allora la funzione è decrescente in I
DEFINIZIONE: Un punto 0x si dice stazionario per ( )y f x se 0' 0f x
Nei punti stazionari il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione è nullo, cioè la retta tangente è parallela all’asse x.
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MASSIMI/MINIMI DI UNA FUNZIONE DEFINIZIONE: Data la funzione ( )y f x definita nell’intervallo I:
- M è un massimo assoluto di f (x) se ( )M f x x I ; - m è minimo assoluto di f (x) se ( )m f x x I ;
- x0 I con 0f x M si dice punto di massimo assoluto;
- x0 I con 0f x m si dice punto di minimo assoluto.
DEFINIZIONE: Data la funzione ( )y f x definita nell’intervallo I, il punto x0 I si dice di:
- massimo relativo di f (x) se esiste un intorno 0I x di punto x0 tale che 0f x f x 0x I x ;
- minimo relativo di f (x) se esiste un intorno 0I x di punto x0 tale che 0f x f x 0x I x .
1M , 2M , 3M sono massimi nell’intervallo ;a b , di
cui 1M è assoluto mentre 2M 3M sono relativi. Quindi a è punto di massimo assoluto e O e b sono punti di massimo relativo nell’intervallo ;a b .
1m e 2m sono i minimi nell’intervallo ;a b , di cui 2m
è assoluto e 1m relativo. Quindi 1x è punto di minimo relativo e 2x è punto di
minimo assoluto nell’intervallo ;a b .
TEOREMA (per determinare i punti di massimo e minimo relativo di una funzione):
Data la funzione ( )y f x , definita e continua in un intorno completo 0I x del punto x0 e derivabile nello
stesso intorno per ogni x ≠ x0, se per ogni x ≠ x0 dell’intorno - si ha 0' 0f x per 0x x e 0' 0f x per 0x x , allora x0 è un punto di massimo relativo:
x0
segno di '( )f x + andamento della funzione
cresce decresce
- si ha 0' 0f x per 0x x e 0' 0f x per 0x x , allora x0 è un punto di minimo relativo:
x0 segno di '( )f x + andamento della funzione decresce cresce