corpo rigido
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Il corpo rigido
N particelle interagenti
a) U → ∞ (corpo rigido)
b) U = O (gas ideale)
c) U armonica (corpo elastico)
N ~ NA = 6 × 1023
ETOT = K + U
U energia di interazione 3 approssimazioni per U
corpo rigido: (r1-r2) costante, per tutte
le coppie di punti
corpo elastico: legame tipo “molla”
gas ideale: interazioni
nulle
Possibili moti di un corpo rigido
moto di traslazione
moto di roto-traslazione
moto di rotazione
Moto di traslazione
moto di traslazione:
tutti i punti del corpo rigido hanno la stessa velocità,
descrivibile da un solo vettore, la velocità del CM
equazione del moto di traslazione = equazione del moto del CM:
∑ Fexti = Rext = M aCM
equazione del moto di traslazione
Rext = dP/dt
con P = ∑ pi = ∑ mi vi = M vCM
Il corpo rigido si muove come un punto, il CM, in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e a cui sia applicata la risultante delle forze esterne
Moto di rotazione
moto di rotazione:
ogni punto, eccetto quelli dell’asse di rotazione, descrive
una circonferenza
asse di rotazione
L e τ di un corpo rigido
massa del corpo rigido:
M = ∑ mi
(somma su tutti i punti del corpo)
momento angolare del corpo rigido:
L = ∑ li = ∑ ri x pi
somma su tutti i punti del corpo
momento risultante delle forze:
τ = ∑ τi = ∑ ri x Fi
somma su tutte le forze esterne
Relazione tra L e τ
τ = dl/dt (punto)
Se sommiamo su tutte le particelle (punti) del corpo rigido
τext = dL/dt (corpo rigido)
Con
L = ∑ li e
τext = ∑ τi
il momento angolare si conserva
se il momento delle forze esterne
applicate al corpo rigido è nullo
τext = dL/dt per le rotazioni
analogo a
Rext = dP/dt per le traslazioni
I momenti delle forze interne si annullano perché le forze interne sono tutte coppie di forze (principio di azione e reazione) agenti lungo la congiungente tra le 2 particelle considerate, quindi:
= b F = 0 F = 0
braccio b: distanza tra le rette d’azione delle due forze
coppiaτ
Le equazioni cardinali del moto di un corpo rigido
risolvendole si ricavano le funzioni P(t) e L(t)
che definiscono i moti di traslazione e di rotazione del corpo rigido
Prima equazione cardinale
Moto di traslazione
Rext = dP/dt
Seconda equazione cardinale
Moto di rotazione τext = dL/dt
Equilibrio di un corpo rigido
Equazioni del moto
Rext = dP/dt τext = dL/dt
Un corpo rigido è in equilibrio se
ogni suo punto è in quiete e rimane in quiete.
Le condizioni di equilibrio si ottengono dalle equazioni cardinali
Condizioni di equilibrio
Rext = 0 τext = 0
Equilibrio di una tavola
condizioni di equilibrio
Rext = 0 → asse verticale: FP + FQ = Ft
τext = 0 → asse passante per P: 2,4 FQ =1,8 Ft
due equazioni con due incognite: FQ, FP
tavola omogenea del peso di 48N e lunga 3,6 m i vincoli FP e FQ, e la forza peso Ft (posta nel centro di massa) sono tutti lungo l’asse verticale
soluzione
FQ = 36 N
FP = 12 N
Equilibrio di una scala
condizioni di equilibrio
Rext = 0 → asse orizzontale: FaP = FNM
Rext = 0 → asse verticale: FNP = Ft
τext = 0 → asse passante per P: H FNM= L/2 Ft
tre equazioni con tre incognite: FNM, FaP, FNP
si chiede il valore minimo (per l’equilibrio della scala) del coefficiente di attrito statico tra scala e pavimento, con FaP≤μSFNP
soluzione
FNM = L/H Ft/2
FaP = L/H Ft/2
FNP = Ft
→ μS ≥½ L/H
mentre l’attrito statico tra scala e pavimento è indispensabile per l ’ equi l ibr io ( senza la sca la scivolerebbe), quello tra scala e muro non lo è e può essere trascurato
P
Il centro di gravità
Ft: la forza peso di un corpo
Ft = ∑ mi g = M g (M= ∑ mi )
indipendente dal punto di
applicazione delle forze Fi = mi g
il punto di applicazione delle forze è importante nel calcolo dei momenti delle forze.
Calcolo il momento totale dovuto alla gravità, che è diretto lungo z:
τz = ∑ - xi mi g
(il segno per il verso della rotazione)
Centro di gravità (cg): il punto in cui applicare la risultante Mg ottenendo lo stesso momento ottenuto dalle Fi=mig:
- xcgMg = ∑ - xi mi g →
xcg = ∑ xi mi/M = xCM
il centro di gravità coincide con il centro di massa.
Equilibrio del corpo rigido
condizioni di equilibrio
Rext = 0 τext = 0
Se un corpo è vincolato in un punto (es. corpi sospesi o appoggiati su superfici) distinguiamo 3 configurazioni di equilibrio
equil. indifferente
G=
equilibrio stabile
G
equilibrio instabile
G
Una configurazione di equilibrio stabile prevede che il baricentro si trovi nella posizione più bassa possibile
Equilibrio del corpo rigido (appoggiato)
equil. indifferente equilibrio stabile equilibrio instabile
Un corpo vincolato attraverso un’ appoggio su una superficie è in equilibrio stabile fino a che la verticale tracciata a partire dal baricentro cade all’interno della base di appoggio.
Determinazione sperimentale del cg
il baricentro si trova sempre sulla verticale passante per il punto di sospensione. Se così non fosse, il momento della forza peso rispetto al punto di sostegno non sarebbe nullo: l’oggetto ruoterebbe fino a raggiungere, in una posizione diversa, una nuova configurazione di equilibrio.
Le leve
Fulcro = centro di rotazione
FA : forza attiva con momento τA rispetto al fulcro FR: forza resistente con momento τR rispetto al fulcro
• momenti τA e τR opposti
• equilibrio leva: |τA|=|τR|
• se forze ⊥ asta → bA FA = bR FR
bA e bR sono i rispettivi bracci
se bA > bR → la forza da applicare è minore di quella resistente