1 ruote dentate a denti dritti, interne a denti dritti, esternea denti elicoidali ingranaggi...
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Ruote Ruote dentatedentate
a denti dritti, interne
a denti dritti, esterne
a denti elicoidali
Ingranaggi cilindriciIngranaggi cilindrici
Sono tra i più importanti organi delle macchine. Caratteristiche della loro diffusione: costanza del rapporto di trasmissione, facilità di costruzione e di montaggio. Permettono di trasmettere il moto tra assi paralleli, concorrenti o sghembi.Una coppia di ruote ingranate costituiscono un ingranaggio.
2
22
ruota elicoidale – vite senza fine
ruote con assi sghembi
ruote coniche
Ingranaggi ad assi sghembi o concorrentiIngranaggi ad assi sghembi o concorrenti
3
Ingranaggi Ingranaggi cilindricicilindrici
Il loro nome deriva dalla forma delle primitive.Gli assi dei denti possono
• essere paralleli all’asse della ruota denti dritti
• Formare un’elica intorno all’asse della ruota denti elicoidali
Rapporto di trasmissione 1/3÷1/10, tipico 1/5÷1/6 .
4
22
11
2
z
22
2
z
2 2 1
1 1 2
z
z
Passi angolari:
Rapporto di trasmissione:
Nell’intervallo t:
1 1 t 2 2 t
Rapporto di trasmissioneRapporto di trasmissione
5
33
1 1 11 2
2 2
221 2
1(1 ) 1
1
z r r ar rz r
a rr aa r r
I raggi primitivi sono funzione della geometria costruttiva, ma anche dell’interasse di montaggio a
Dall’analogia tra le ruote di frizione di raggi r1 e r2 e le circonferenze
primitive:2 1
1 2
r
r
Raggi delle primitiveRaggi delle primitive
6
44
1 1 1 11
2 2 2 22
2
2
p r rz
p r rz
L’arco di primitiva tra due denti successivi è il passo della dentatura
1 1 21 2
2 1 2
1p r z
p p pp z r
Per il corretto funzionamento:
PassoPasso
7
55
Se sulla ruota 1 si applica una coppia M1 imprimendo una rotazione con velocità 1 , la ruota 2 si muove con velocità 2 trasmettendo una coppia M2
Il contatto si realizza sulla superfici laterali dei denti.
La forma del profilo dei denti caratterizza
• il rapporto di trasmissione istantaneo
• le forze scambiate e il legame con le coppie agenti
Profilo dei dentiProfilo dei denti
8
66
1 1 1M F O H
1 1 1
2 2 2
M O H
M O H
2 2 2M F O H 1 1 1' ' 'M F O H
1 1 1 1
2 22 2
' '
' '
M O H M
M MO H
2 2 2' ' 'M F O H
Denti rettangolari: forze scambiateDenti rettangolari: forze scambiate
Un dente della
ruota 1
preme su un un dente della
ruota 2.
Il rapporto tra le coppie è pari al rapporto tra le distanze di O1 e O2 dalla retta d’azione.
La retta di azione o di pressione è la retta normale alle superfici di contatto.
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Denti rettangolari: rapporto di trasmissione istantaneoDenti rettangolari: rapporto di trasmissione istantaneo 77
1 1 1V O A 2 2 2V O A
1 1 2 2cos( ) cos( )NV V V
1 1 2 2
1 1 1 2 2 2cos( ) cos( )
O H O H
O A O A
1 1 1 2 2 2O H O H
2 1 1
1 2 2
O H
O H
Per un contatto regolare le componenti delle velocità normali alla superfici di contatto devono essere uguali.
Il rapporto di trasmissione è pari al rapporto tra le distanze di O1 e O2 dalla retta d’azione.
2 1 1
1 2 2
O H
O H
2 1 1
1 2 2
O H
O H
10
88
Nelle trasmissioni con ruote dentate si esige che imposta la coppia M1 e la velocità 1 uniformi, la coppia M2 e la velocità 2 siano uniformi. I profili a evolvente, avendo retta di azione con distanza invariante da O1 e O2 , soddisfa questo requisito.
L’evolvente è generata da un punto di una retta (evoluta o retta generatrice) che rotola senza strisciare su una circonferenza (circonferenza base o circonferenza fondamentale). La retta generatrice è sempre tangente alla circonferenza di base e normale all’evolvente.
OA
Profilo a evolvente di cerchioProfilo a evolvente di cerchio
11
99
( )
tantan anomalia
raggiocos
AP
BPd
AP BP
In coordinate polari
Funzione dell’ evolvente di cerchioFunzione dell’ evolvente di cerchio
OA
12
1100Retta d’azioneRetta d’azione
Il punto P di contatto rimane sulla retta r, tangente a entrambi le circonferenze di base. r è la retta d’azione che quindi rimane invariata.
Per un corretto funzionamento è necessario che il contatto rimanga all’interno del segmento (luogo dei contatti), dove le evolventi hanno la stessa normale.
1 2H H
13
1111
Velocità di strisciamentoVelocità di strisciamento
I profili dei denti sono profili coniugati (hanno tangente e normale
comune).
Per un corretto funzionamento le velocità e devono avere la
stessa componente normale .
1V<<<<<<<<<<<<<<
2V<<<<<<<<<<<<<<
NV<<<<<<<<<<<<<<
2 1SV V V
velocità di strisciamento
Il centro di istantanea rotazione del moto relativo si trova lungo la retta
per P normale a , cioè lungo r .SV<<<<<<<<<<<<<<
14
1122
Centro di istantanea rotazione del moto relativoCentro di istantanea rotazione del moto relativo
11 cosr
22 cos
r
Quando il contatto avviene in C , le velocità del punto di contatto dei
due denti sono uguali e la velocità è nulla. Quindi C è il centro di
istantanea rotazione.SV
<<<<<<<<<<<<<<
1 1 1 2 2 2V r V r <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
Inoltre, C è il punto di contatto tra le primitive poiché:
Quindi tra i raggi primitivi e i raggi di base esiste la relazione:
angolo di pressione
15
1133
Variazione di interasseVariazione di interasse
1 1 1
2 2 2 1 2 1
1 1 1 2 1 2
2 2 2
cos
cos'
' cos ''
' cos '
r
r z
r z
r
Il rapporto di trasmissione istantaneo non varia (quello medio dipende dal numero di denti), ma variano i raggi primitivi e l’angolo di pressione .
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1144Rocchetto - DentieraRocchetto - Dentiera
Il rapporto di trasmissione può avere valore infinito. La dentiera può essere pensata come ruota dentata limite, con la circonferenza di base che degenera in una retta. Il profilo a evolvente diventa un segmento rettilineo inclinato di rispetto alla normale alla retta di base.
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1155
Considerando lo sviluppo assiale delle ruote:
• alla circonferenza di base corrisponde il cilindro di base
• alla retta generatrice corrisponde il piano generatore
• la superficie del dente è generata da una retta parallela all’asse della ruota e giacente sul piano generatore
• le superfici dei denti si toccano lungo la linea caratteristica
• durante il movimento la linea caratteristica genera il piano di azione che coincide con il piano generatore
Ruote cilindriche a denti drittiRuote cilindriche a denti dritti
18
1166
Ruote cilindriche a denti dritti: forze scambiateRuote cilindriche a denti dritti: forze scambiate
1 1 1 cosM F F r
2 2 2 cosM F F r
2 2
1 1
u
e
W M
W M
12 1 1
2
M M M
Le forze scambiate, trascurando l’attrito, giacciono sul piano di azione.
La risultante , pensata in mezzeria, ha la direzione della retta
d’azione
F<<<<<<<<<<<<<<
cosTF F
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1177
Permettono di realizzare ingranaggi con funzionamento regolare e silenzioso.
La superficie del dente è generata da una retta giacente sul piano generatore, ma in questo caso inclinata di un angolo b con la direzione dell’asse della ruota.
L’intersezione tra la superficie del dente con un piano normale (piano frontale) all’asse del cilindro è un’evolvente.
L’intersezione tra le superfici dei denti con cilindri coassiali genera curve elicoidali con passo pe e angoli di inclinazione con l’asse della ruota crescenti con il raggio.
Ruote cilindriche a denti elicoidaliRuote cilindriche a denti elicoidali
20
1188
Ruote cilindriche a denti elicoidali: forze scambiateRuote cilindriche a denti elicoidali: forze scambiate
sina bF F
0 cos bF F
0 cos cos cost bF F F 0 sin cos sinr bF F F
1 0 1 1 1 1cos cos cosb b tM F F F r F r
2 0 2 2 2 2cos cos cosb b tM F F F r F r
Le forze scambiate, trascurando l’attrito, sono normali alle superfici a
contatto, e giacciono sul piano di azione. La risultante , pensata in
mezzeria, ha la direzione della retta generatrice inclinata di b rispetto
all’asse della ruota
F<<<<<<<<<<<<<<
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Criteri costruttivi delle ruote Criteri costruttivi delle ruote dentatedentate
22 2p r r D
mz z z
D r
Dimensionamento modulare:
• addendum = m
• dedendum = 1,25 m
• angolo di pressione = 15°÷22°
Modulo:
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Ingranaggi Ingranaggi coniciconici
Il loro nome deriva dalla forma delle primitive di funzionamento. Sono usati per trasmettere il moto tra assi concorrenti.Le superfici primitive sono due coni di semiaperture 1 e 2 che rotolano senza strisciare lungo la tangente t.Per ogni punto A di t la velocità relativa è nulla, perciò
assi ortogonali
Vettore velocità relativa diretto lungo t (asse di rotazione del moto relativo)
1 2
2 21 1 1 22 cos
r
r
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
V
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22
Valore tipico: = 1/5÷1/10Dato il rapporto di trasmissione e l’angolo tra gli assi concorrenti , l’ingranaggio si definisce con le seguenti considerazioni.
Definizione dell’ingranaggioDefinizione dell’ingranaggio
In funzione delle primitive:
1 1 2 2
2 1 1
1 2 2
sin sin
sin
sin
z
z
Tramite la velocità periferica di un qualsiasi punto A:
1 1 2 2 2 1 1
1 2 21 1 2 2
sin
sinsin , sin
AV r r r
rr OA r OA
1 2
24
33Elementi geometriciElementi geometrici
• Coni primitivi semiapertura 1 e 2
• Coni base semiapertura b1 e b2
• Piano d’azione tangente ai coni base e contenente le forze scambiate
• Angolo di pressione formato dal piano d’azione e il piano tangente ai coni primitivi (non rappresentato)
• Coni di troncatura interna ed esterna
• Le ruote sono costruite troncando i coni
• Il modulo m = D/z è definito in corrispondenza della base maggiore
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44Ingranaggi conici: forze scambiateIngranaggi conici: forze scambiate
Tra i denti sono scambiate forze con componenti radiali, tangenziali e assiali.
Ipotesi semplificative: una sola coppia di denti in presa la risultante
giace nel piano d’azione forma un angolo (angolo di
pressione) con il piano tangente alle primitive
è applicata in mezzeria del denteCoppia e componente
tangenzialecost tC r F F F
r raggio della primitiva in mezzeria
Componenti assiale e radiale
0
0
0
sin
sin sin sin
cos sin cosa
r
F F
F F F
F F F
26
Ruota elicoidale-vite senza Ruota elicoidale-vite senza finefine
Si usa per trasmettere il moto tra assi sghembi con direzioni ortogonali.
• Ruota elicoidale particolare ruota avente una specie di madrevite sulla periferia
• Vite senza fine caratterizzata dal numero di principi
• Rapporto di trasmissione usualmente elevato (anche inferiore a 1/100)
• numero dei principi della vite senza fine z1
• numero dei denti della ruota elicoidale z2
• = 2 / 1 = z1 / z2
• Rendimento basso
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RotisRotismimi
Una combinazione di ingranaggi che costituisce una catena cinematica.
Se gli assi
• di tutte le ruote sono paralleli rotismo piano
• di tutte le ruote sono incidenti rotismo sferico
• di tutte le ruote sono fissi rotismo ordinario
semplice ogni albero una sola ruota
composto gli alberi intermedi portano due
ruote
• di alcune ruote intermedie sono dotati di moto rotatorio intorno agli assi
delle ruote estreme rotismo epicicloidale
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Su ogni albero vi è una sola ruota che ingrana contemporaneamente con la precedente e la seguente.
Schematizzando le ruote con le rispettive primitive:
• Rapporto di trasmissione
• Campi di applicazione invertire il senso di rotazione trasmettere il moto a distanza
Rotismi ordinari Rotismi ordinari semplicisemplici
1 11 1 2 2
1
nP n n
n n
r zV r r r
r z
1 2 34
motrice
condotta
ruote oziose
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Gli alberi intermedi portano due ruote, ciascuna delle quali ingrana solo con un’altra. Un esempio di rotismo a tre stadi:
Rotismi ordinari Rotismi ordinari composticomposti
3 6 52 1 41 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
, ,z zz
z z z
• Rapporto di trasmissione totale
• Rapporti di trasmissione parziali
1 6 6 1
30
22
• essendo
• il rapporto di trasmissione totale risulta
• in generale dipende dai denti di tutte le ruote
6 6 1 3 52 41 6 1 2 3 4 5 6
1 3 5 1 2 4 6
z z z
z z z
2 3 4 5,
1 n
ruote motriprodotto
prod
numero denti
numero denti
ci
ruoteotto mosse
31
Rotismi Rotismi epiclicoidaliepiclicoidali
• Un rotismo si dice epicicloidale quando gli assi delle ruote intermedie sono dotati di moto di rotazione intorno agli assi delle ruote estreme.
• Consideriamo per iniziare il rotismo epicicloidale più
semplice, si ha:.– le ruote A e B hanno assi fissi e coincidenti
A ha dentatura esterna ruota solare
B ha dentatura interna corona planetaria
– le ruote C hanno assi mobili ruote planetarie o satelliti
– il portatreno P ruota intorno all’asse comune di A e B
B
bp
PA
C
a
32
22
• Si chiama così perché i punti delle primitive
dei satelliti descrivono delle epicicloidi.
• Consideriamo le configurazioni P fisso rotismo ordinario A o B fissi rotismo epicicloidale riduttore
• Classificazione del rotismo
P fisso e A e B mobili rotismo ordinario
B fisso e P e A mobili rotismo epicicloidale riduttore o
moltiplicatore
A fisso e P e B mobili rotismo epicicloidale riduttore o
moltiplicatore
A , P e B mobili rotismo combinatore (differenziale)
• Gli assi delle ruote planetarie essendo mobili non possono essere
impiegati per applicare o prelevare il moto l’uso come riduttore o
moltiplicatore è limitato a una delle 2 configurazioni
1) B fissa , P e A mobili
2) A fissa , P e B mobili
B
bp
PA
C
a
33
33
• Quando il portatreno P è fisso, il rotismo è ordinario semplice e, indicando con l’apice “o” le grandezze relative, si ha
• Il rapporto di trasmissione e del rotismo epicicloidale si calcola con la
formula di Willis, tramite la quale “si rende ordinario il rotismo” imprimendo a tutto il meccanismo una velocità –p. Per il rotismo così
ottenuto si calcola il rapporto di trasmissione.
• Rapporto di trasmissione del rotismo reso ordinario, assumendo A come motrice
0,, ppoppb
obpa
oa
0o
b pb ao o
a a p b
z
z
B
bp
PA
C
a
Rapporto di trasmissione: formula di WillisRapporto di trasmissione: formula di Willis
o oo b a a b a br r z z
34
• l’uso come riduttore è limitato a una delle 2 configurazioni
1) A fissa , P e B mobili a = 0
2) B fissa , P e A mobili b = 0
0 1 0
1
11
o p a p o a o p
a oe
p o
p oe
a o
0 1 0
1
11
1
o b p p b p o
be o
p
pe
b o
44
aA
C
pP
B
b
a
pa
pboa
ob
o z
z
B
bpPA
C
← con P motore e B condotta
← con B motore e P condotta
← con P motore e A condotta
← con A motore e P condotta
35
0
b
d
c
a
b
d
c
a
pa
pboa
ob
o r
r
r
r
z
z
z
z
• Sinora si sono considerati rotismi epicicloidali semplici: in genere si usano rotismi epicicloidali composti
• La formula di Willis è comunque valida, come si può verificare si riferisce ai 3 assi fissi del rotismo utilizzabili come ingresso e uscita del rotismo
• le espressioni dei rapporti di trasmissione e e e’ sono identiche agli analoghi dei casi precedenti valido per qualsiasi rotismo epicicloidale
• quello che cambia è il valore di o in questo caso con o prossimo a 1 si ottengono rapporti di trasmissione molto piccoli
• per l’esempio in figura si calcola, riferendosi al rotismo composto ordinario equivalente (portatreno bloccato),
• quello che cambia è il valore di o in questo caso con o prossimo a 1 si ottengono rapporti di trasmissione molto piccoli
55Rotismo epicicloidale compostoRotismo epicicloidale composto
36
• i rotismi epicicloidali riduttori sono impiegati quando occorre
avere rapporti di trasmissione emolto piccoli.
• Il limite dei rotismi epicicloidali sta nei satelliti le ruote con assi mobili limitano la potenza da trasmettere.
• Per qualsiasi rotismo epicicloidale si ha
66Rotismi epicicloidali riduttoriRotismi epicicloidali riduttori
1
11
a oe
p o
p oe
a o
1
11
1
be o
p
pe
b o
← con P motore e B condotta
← con B motore e P condotta
← con P motore e A condotta
← con A motore e P condotta
con A fissa
con B fissa
37
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
o
e ,
e'
b/p
p/b
a/p
p/a
77Rotismi epicicloidali riduttoriRotismi epicicloidali riduttori
rotismo epicicloidale semplice
1 0
rotismo epicicloidale composto
1
ao
b
a do
c b
z
z
z z
z z
1
11
1
be o
p
pe
b o
1
11
a oe
p o
p oe
a o