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1
Il metodo dei minimi quadrati
Molto spesso due grandezze fisiche x e y , misurabili direttamente, sono legate tra loro da una legge del tipo:
Dove A e B sono costanti
(ad esempio in un moto uniformemente accelerato la velocita` v e` una funzione lineare del tempo t : dove a e` l’accelerazione costante)
Misurando N diversi valori x1,x2,….xN e i corrispondenti y1,y2,…yN a causa delle incertezza sempre presenti i punti (xi,yi) cadranno in prossimita` alla retta che descrive la relazione tra le due grandezze fisiche
€
y = A + Bx
€
v = vo + at
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2
I punti (xi,yi) cadono vicino alla retta che descrive la relazione lineare tra x e y
Siano x e y in relazione lineare⇒ trovare la linea retta che meglio si adatta alle misure ossia trovare la miglior stima per le costanti A e B basandoci sui dati (xi,yi). Il metodo analitico che permette di determinare la “migliore” linea retta che interpola una serie di punti sperimentali e` chiamato regressione lineare o metodo dei minimi quadrati applicato all’interpolazione di una retta.
Ipotesi: 1) gli errori nelle misure della grandezza x siano trascurabili rispetto a quelli relativi alla grandezza y (x e` misurata in maniera molto piu` precisa di y)
2) le N misure di y abbiano la stessa precisione ossia le misure yi siano governate da una distribuzione di Gauss con lo stesso errore quadratico medio σy.
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3
Se conoscessimo A e B allora ∀ xi potremmo calcolare il valore “vero” del corrispondente yi
*
La probabilita` di ottenere il valore osservato yi e`
e la probabilita` di ottenere l’insieme di misure y1,…. yN e` il prodotto (se le yi misure sono indipendenti)
dove l’esponente
€
yi* = A + Bxi
€
P(yi)∝1σ y
e−(yi −A−Bxi )2 / 2σ y
2
€
P(y1,.....yN ) = P(y1).....P(yN )∝1σ y
N e−χ 2 / 2
€
χ 2 =(yi − A − Bxi)
2
σ y2
i=1
N
∑
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4
Le migliori stime per le costanti incognite A e B sono quei valori per cui la probabilita` P(y1,…yN) e` massima ossia la somma dei quadrati χ2 e` minima. Per trovare questi valori differenziamo χ2 rispetto ad A e B e poniamo le derivate uguali a zero:
Queste due equazioni possono essere cosi` riscritte
Da cui si ottengono le costanti A e B
€
∂χ 2
∂A=−2σ y2 (yi − A − Bxi) = 0i=1
N
∑
∂χ 2
∂B=−2σ y2 xi(yi − A − Bxi) = 0i=1
N
∑
€
AN + B xi∑ = yi∑A xi∑ + B xi
2∑ = xi∑ yiEquazioni normali
€
A =xi2 yi − xi∑ xiyi∑∑∑
Δ
B =N xiyi∑ − xi∑ yi∑
ΔDove
€
Δ = N xi2∑ − xi∑( )
2
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5
La retta risultante che ha come intercetta sull’asse delle Y A e come coefficiente angolare B, parametri determinati con i dati sperimentali di x e y e` detta retta dei minimi quadrati o retta di regressione di y in x.
Quali sono le incertezze in queste stime?
• Incertezza nella misura di y
La misura di ogni yi e` distribuita attorno al suo valore vero A+Bxi secondo una distribuzione gaussiana (ipotesi) con σy parametro che ne rappresenta la larghezza , cosi` pure gli scarti yi-A-Bxi sono distribuiti attorno a zero con la stessa larghezza σy. Una buona stima di σy e` quindi
Ovviamente nella formula precedente sostituiamo alle costanti teoriche A e B le nostre migliori stime ottenute dai dati sperimentali, si puo` dimostrare che in questo caso il valore di σy si ottiene dividendo per N-2 anziche` per N
Una stima indipendente dell’incertezza delle yi dovrebbe essere in accordo con quanto calcolato con la formula precedente
€
σ y =1N
yi − A − Bxi( )2∑
€
σ y =1
N − 2yi − A − Bxi( )2∑
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6
Alcune considerazioni sul significato di σy
Rappresenta la distanza media dei punti dalla retta di interpolazione. Se σy e` circa uguale all’incertezza attesa dy, i dati sono consistenti con la relazione lineare stabilita se invece σy e` molto piu` grande di dy ci sono motivi per dubitare della relazione lineare da cui dovrebbero essere legate le variabili x e y
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• Incertezze sulle costanti A e B
A e B sono costanti ricavate dai dati sperimentali e quindi le incertezze su A e B sono date dalla propagazione degli errori in termini di σy
e
I risultati qui ottenuti derivano dall’ipotesi che le misure di y abbiano tutte la stessa incertezza σy e che le incertezze delle misure di x siano trascurabili
Se non si verificano queste ipotesi e ad esempio le incertezze sulle misure di y non sono tutte uguali si puo` ricorrere al metodo dei minimi quadrati pesati
Supponiamo quindi che le yi abbiano errori quadratici medi σyi diversi tra loro in tal caso
wi=1 /σyi2
€
σA =σ y
xi2∑
Δ
€
σB =σ yNΔ
€
Δ = N xi2∑ − xi∑( )
2
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€
A =ω ixi
2 ω iyi − ω ixi ω ixiyi∑∑∑∑Δ
B =ω i ω ixiyi∑ − ω ixi∑ ω iyi∑∑
Δ
Δ = ω i∑ ω ixi2 − ω ixi∑( )∑
2
σA =ω ixi
2∑Δ
σB =ω i∑Δ
Metodo dei minimi quadrati pesato per una retta y=A+Bx
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Quando anche le misure di x hanno un errore non trascurabile e` possibile con opportuni criteri tenere conto degli errori su x aumentando opportunamente gli errori della y
Se abbiamo a che fare con due grandezze x e y legate tra di loro da una realzione di tipo non lineare, tale realzione puo` in molti casi essere facilmente linearizzata mediante semplici cambiamenti di variabili. Alcuni esempi:
€
y = A + Bxh Se h e` nota possiamo porre xh=v e y=u ottenendo cosi` u=A+Bv
€
y = Bxh Ove h deve essere determinata possiamo porre u=logy, v=logx e a=log B e b=h ottenendo cosi` u=a+bv
€
y = AeBx Dobbiamo determinare A e B. Poniamo u=logy, v=x e a= B e b=logA ottenendo cosi` u=a+bv
La conversione da non lineare a lineare e` spesso di utilita` non solo per poter applicare l’adattamento coi minimi quadrati ma anche per verificare facilmente per via grafica la relazione fra le due grandezze fisiche
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Abbiamo fin qui trattato il caso di due varibili che soddisfano una relazione lineare y=A+Bx ed abbiamo visto come calcolare le costanti A e B. Questo e` un caso particolare ma anche molti altri casi in cui la relazione non sia lineare possono essere risolti in modo simile.Ad esempio:
y=A+Bx+Cx2+….+ Hxn
Le costanti A B C …e H possono essere calcolate in maniera del tutto analoga a quanto abbiamo visto finora per il caso di una retta
Nel caso di regressione multipla ossia ad esempio
z=A+Bx+Cy
Il problema puo` essere analizzato attraverso una generalizzazione diretta del caso a due variabili
Attenzione alle ipotesi fatte. Se vogliamo linerizzare ad esempio la funzione y=Bex usando il cambiamento di variabile come descritto sopra e` da tener presente che se i valori misurati yi sono tutti ugualmente incerti i valori ui=log yi non lo sono. Infatti
€
σ u =dudyσ y =
σ y
ySe σy e` lo stesso per tutte le misure σu invece cresce quando yi decresce
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Coefficiente di correlazione lineare
Per stabilire in che misura un insieme di coppie di due variabili (x1,y1),…(xN,yN) soddisfino una relazione lineare della forma
y=A+Bx
si introduce il coefficiente di correlazione lineare che e` un parametro adimensionale di valore compreso tra -1 e +1.
Introduciamo le medie e le variazioni degli N valori di xi e yi nel modo seguente:
La misura in cui un insieme di punti (x1,y1),…., (xN,yN) soddisfano l’ipotesi di una relazione lineare tra x e y e` quantificata dal coefficiente di correlazione lineare
€
x = 1N
xii∑
Var(x) =xi − x ( )2
i∑
N=
xi2
i∑
N− x 2 e analogamente per la y
€
e la covarianza
σ xy =1N
xi − x ( )i∑ yi − y ( )
se le misure di x e y sono indipendenti allora la covarianza tende a 0
€
r =σ xy
σ xσ y
=xi − x ( ) yi − y ( )
i∑
xi − x ( )2 yi − y ( )2
i∑
i∑
il numero -1≤ r ≤1 e` un indice di quanto bene i punti (xi,yi)si adattano ad una retta.
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Se dopo un numero finito di misure il coefficiente di correlazione e` piccolo allora si potra` concludere che x e y sono NON correlate
Ma come possiamo decidere oggettivamente che cosa e` grande o che cosa e` piccolo?
Si puo` calcolare la probabilita` che r sia piu` grande di qualche valore specifico
E` possibile calcolare la probabilita` che N misure di due variabili NON correlate x e y diano un coeff. r >ro
Il calcolo di P non e` semplice per cui risulta piu` pratico controllare su delle tabelle a quale probabilita` corrisponde un coefficiente di correlazione maggiore di ro
€
PN r ≥ r0( )
ro N
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
3 6 10 20 50
100100 100 100 100
94 85 78 67 49
87 70 58 40 16
81 56 40 20 3
74 43 25 8 0.4
67 31 14 2
59 21 7 0.5
51 12 2 0.1
41 6 0.5
29 1
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
In tabella: probabilita` che N misure di due variabili NON correlate x e y diano un coefficiente di correlazione con |r|≥ro. I valori di probabilita` sono in % e gli spazi vuoti indicano valori inferiori allo 0.05%. Una correlazione e` “altamente significativa” se la probabilita` corrispondente e` minore dell’1%
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Esiste una correlazione tra intercetta e pendenza della retta, ad esempio se tutti gli xi e yi sono positivi e se all’aumentare della pendenza diminuisce l’intercetta e viceversa allora la correlazione tra i due parametri e` in questo caso negativa. Se si assume che le misure yi siano tra di loro indipendenti
La covarianza cov(A,B) e` definita come:
e il coefficiente di correlazione uguale :
€
cov(A,B) =σ y2
− xii=1
N
∑
N xi
2 − xii=1
N
∑%
& '
(
) *
2
i=1
N
∑
€
ρ(A,B) =
− xii=1
N
∑
N x12
i=1
N
∑
NB: il coef. di correlazione in questo caso non dipende in alcun modo da y, ma solo dai valori di x questo implica che per ottenere due valori scorrelati della pendenza e dell’intercetta della retta basta fare delle misure simmetriche intorno all’origine delle coordinate (ρ=0)
Se il fit ci fornisce un valore di B maggiore di quello vero allora il valore di A risultera` molto probabilmente minore di quello vero: tra i due parametri esistera` una correlazione di tipo negativo
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Correlazione tra pendenza e intercetta : all’aumentare della pendenza l’intercetta decresce, la correlazione tra i due parametri e` negativa
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Le differenze tra i valori delle yi e il valore della y sulla retta interpolante in corrispondenza dell’ascissa xi sono dette residui
€
δi = yi − y i = yi − A + Bxi( )
€
il valore medio di
δ =1N
δii∑ =1N
(yi − y ) − B(xi − x )[ ]i∑ = 0
l'andamento dei residui δi in funzione della x ci permette di stabilire se ci sia effettivamente un relazione lineare tra x e y oppure y = f(x) piu` complessa
Test dei residui
Se la relazione ipotizzata per descrivere i dati e` corretta i residui devono essere positivi o negativi in modo casuale . Per evidenziare ad esempio una leggera deviazione da un andamento lineare (per esempio una leggera concavita` verso l’alto) il grafico dei residui risulta molto sensibile come mostrano le due figure
δ
0
δ
0
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Esempio di analisi dati
Calibrazione del potenziometro di una cassetta
Posizione Resistenza [Ω] f.s.[Ω] Errore max [Ω] dev. standard [Ω]
10 177 600 0.6 0.3
50 200 600 1.1 0.6
100 240 600 1.5 0.5
…..
Fit lineare y = 1.6948 + 0.55757x R= 0.98752
A=….+- B=….+- σy=….+- ρ(A,B)
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Le barre di errore sono σy
Se i residui sono regolarmente disposti attorno a zero
Il fit lineare è corretto e si puo` procedere
A=….+- B=….+- σy=….+- ρ(A,B)=…… Attenzione a riportare correttamente il numero di cifre. Con l’equazione della retta si possono calcolare valori di y non noti e attribuire a questi valori il loro errore
€
σ y2 = x 2σB
2 +σA2 + 2xσ AσBρ(A,B)