sommario ► sistemi ibridi ► sistemi switched ► stabilità ► controllo ► conclusioni
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Laureando Relatore
Giulio Iacobelli Francesco Martinelli
Università degli Studi di Roma
Tor Vergata
Facoltà di Ingegneria
Tesi di Laurea in Ingegneria dei Modelli e dei Sistemi
Sistemi ibridi: stabilità ed applicazioni al controllo
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SOMMARIOSOMMARIO
►Sistemi IbridiSistemi Ibridi►Sistemi SwitchedSistemi Switched►StabilitàStabilità►ControlloControllo►ConclusioniConclusioni
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Sistemi di controllo del traffico aereo
Sistemi manifatturieri
Processi chimici
Sistemi ibridiSistemi ibridiDinamica continuaDinamica
discreta
Modelli matematici
► Perché introdurre un sistema ibrido ?
► Esiste un approccio formale ad analizzare i sistemi ibridi ?
► Quali sono i problemi associati a una dinamica ibrida ?
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Dinamica continua
Dinamica discreta
Sistema di equazioni differenziali
Automa a stati finiti
0,,.
wxx
( L, A, E )
L il
A ia
E 1,, iii lal
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Sistema ibrido
Diversi approcci
Comportamento discreto Sistemi continui coneventi di COMMUTAZIONE
Inv(l) X
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Eventi di switching
Stato-dipendenti Tempo-dipendenti
Autonomi Controllati
Sistemi switchedSistemi switched
Stato-dipendenti
Tempo-dipendenti.
x
xf p= P
xf p xAp
= pA nnR
p
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Segnale di switching
discontinuità tempi di switching
switching autonomo
Superfici di switching predeterminate
Legge che definisce sconosciuta
switching controllato Evoluzione del sistema regolata
σ : [0, ∞) → P
.
x =
xf t
.
x xf p=
t
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StabilitàStabilitàChe cosa si intende per stabilità dei sistemi switched ?
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Trovare le condizioni che garantiscono l’asintotica stabilità di un sistema switched per arbitrari segnali di switching
Se un sistema switched non è asintoticamente stabile per ogni segnale di switching, identificare quali segnali stabilizzano asintoticamente il sistema
Sconosciuto
Troppo complicato per essere utile all’analisi della stabilità
Se alcuni o tutti i sottosistemi sono asintoticamente stabili
Tutti i sottosistemi sono instabili
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Stabilità di Lyapunov
(teorema di Lyapunov)
Stabilità sotto arbitrari switching
Asintotica stabilità Uniforme asintotica stabilità
Possibilità di estendere il teorema alla famiglia di sistemi switched
.
x = xf
.
x xf p= xfx
Vp
xW - P
Esistenza funzione di Lyapunov comune
GUAS
x
*x
se esiste V
txV.
= 0
(stabile)
(as. stabile)
p
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Sistemi lineari switched
.
x x = A Asintotica stabilità = Hurwitz
stabilità pTp PAPA < 0
Esistenza di xV quadratica GUESQuadratica stabilità
xx 1
.
Axx 2
.
A1A 2A as.stabili
commutano
0, 122121 AAAAAA
,
GUES
xxxV TP
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.
x = xf1
.
x = xf 2
a.s. 21 ,VV
itit tVtVii
1
,
( it , jt ), i < j it = jt
jp txV - ip txV ≤ - ip txW
p =
Stabilità sotto particolari switching
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ControlloControlloSistema di controlloTempo continuo
controllore ControlloFeedback continuo
- ostacoli dello spazio di stato
- vincoli anolonomi
Ostacoli dello spazio di stato
.
x = xf = 0f
uxfx ,.
Legge feedbackcontinua
xku
Globale asintotica stabilizzazione
X non èsemplicemente connesso
0
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0 punto di equiibrio as. stabile
Ostacolo proprietà topologiche di X
Locale as. stabilizzazione attraverso un feedback continuo sia impossibile
)( *xN Ostacolo è insito nel sistema di equazioni
Theorem (Brockett) uxfx ,.
xku origine puntoasintoticamentestabile
uxf , ux, )0,0(N )0(N
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Vincolo anolonomo in un sistema
Robot mobilecos11
.
ux
sin12
.
ux
2
.
u
Vincolo di puro rotolamento
as. stabilizzazione veicolo nell’origine
Brockett violato Non può essere stabilizzato con un feedback continuo
Attraverso cambi di coordinate
ur .
rv.
vrz .
)0( r
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La legge feedback
2ru zv
Il sistema diviene
2.
rr
r
z
.
rzz .
0
11
rttr
00 zetzt
dr
00 r 0, tztr
00 r Una legge di controllo che muova lo stato lontano da z
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Risultati dell’implementazione mediante MATLAB
1.0
6
10
0
20
10
x
x
00 r
0
0
5
0
20
10
x
x
00 r
7.1
29
30
0
20
10
x
x
00 r
0
2
0
0
20
10
x
x
00 r
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Conclusioni Conclusioni ► I sistemi ibridi che rappresentano un’interazione tra dinamica
continua e discreta e che hanno permesso di stabilizzare un sistema di controllo altrimenti non risolubile.
► Le considerazioni intorno alle due questioni fondamentali relative alla stabilità dei sistemi switched hanno consentito l’individuazione di condizioni necessarie e sufficienti alla stabilità dei sistemi stessi.
► L’implementazione di una legge di controllo a commutazione per la movimentazione di un veicolo con vincoli anolonomi.
► Come possibile sviluppo di questo lavoro si potrebbe ricercare un controllo ibrido che, oltre ad assicurare l’asintotica stabilità del veicolo, ponga dei vincoli sul numero di oscillazioni in modo tale da renderne più uniforme l’andamento asintotico e migliorarne così la stabilizzazione.