scacchiere di nepero (alle origini dell’aritmetica binaria)
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SCACCHIERE DI NEPERO (alle origini dell’aritmetica binaria). by corrado bonfanti - 2009. Antefatto algoritmi aritmetici degli scribi dell’antico Egitto. Algoritmo della moltiplicazione per raddoppio. Un esempio: 237 45 = ?. Algoritmo della moltiplicazione per raddoppio. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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SCACCHIERE DI NEPEROSCACCHIERE DI NEPERO
(alle origini dell’aritmetica binaria)(alle origini dell’aritmetica binaria)
by corrado bonfanti - 2009
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AntefattoAntefatto
algoritmi aritmetici degli scribi dell’antico Egitto
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Algoritmo della Algoritmo della moltiplicazionemoltiplicazione per raddoppio per raddoppio
Un esempio: 237 45 = ??
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Algoritmo della Algoritmo della moltiplicazionemoltiplicazione per raddoppio per raddoppio
1
2
4
8
16
32
64
128
…...
Un esempio: 237 45 = ??
Passo 1Passo 1 Avere a disposizione la tabella (precompilata) delle potenze di 2.
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Algoritmo della Algoritmo della moltiplicazionemoltiplicazione per raddoppio per raddoppio
1
2
4
8
16
32
64
128
…...
Un esempio: 237 45 = ??
Passo 2Passo 2 Posizionare il moltiplicatore 4545 in corrispondenza della potenza di 2 immediatamente inferiore ad esso ……
4545
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Algoritmo della Algoritmo della moltiplicazionemoltiplicazione per raddoppio per raddoppio
1
2
4
8
16
32
64
128
…...
Un esempio: 237 45 = ??
Passo 2Passo 2 …… e scomporlo sottraendo di volta in volta la potenza di 2 più grande possibile.
11-1=0
55-4=1
1313-8=5
4545-32=13
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Algoritmo della Algoritmo della moltiplicazionemoltiplicazione per raddoppio per raddoppio
1
2
4
8
16
32
64
128
…...
Un esempio: 237 45 = ??
Passo 3Passo 3 Posizionare il moltiplicando 237237 sulla prima riga ……
1-1=0
5-4=1
13-8=5
45-32=13
237237
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Algoritmo della Algoritmo della moltiplicazionemoltiplicazione per raddoppio per raddoppio
1
2
4
8
16
32
64
128
…...
Un esempio: 237 45 = ??
Passo 3Passo 3 …… e raddoppiarlo ripetutamente.
1-1=0
5-4=1
13-8=5
45-32=13
237237
474
948
1896
3792
7584
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Algoritmo della Algoritmo della moltiplicazionemoltiplicazione per raddoppio per raddoppio
11
2
44
88
16
3232
64
128
…...
Un esempio: 237 45 = ??
Passo 4Passo 4 Scegliere i raddoppi corrispondenti alla scomposizione del moltiplicatore.
1-1=0
5-4=1
13-8=5
45-32=13
237
474
948
1896
3792
7584
237237
948948
18961896
75847584
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Algoritmo della Algoritmo della moltiplicazionemoltiplicazione per raddoppio per raddoppio
1
2
4
8
16
32
64
128
…...
Un esempio: 237 45 = ??
Passo 5Passo 5 Fare la somma ……
1-1=0
5-4=1
13-8=5
45-32=13
237
474
948
1896
3792
7584
237
948
1896
7584
1066510665
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Algoritmo della Algoritmo della moltiplicazionemoltiplicazione per raddoppio per raddoppio
1
2
4
8
16
32
64
128
…...
Un esempio: 237 45 = ??
1-1=0
5-4=1
13-8=5
45-32=13
237
474
948
1896
3792
7584
237
948
1896
7584
… ed ecco il risultato: 237 45 = 10665 10665
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CorollarioCorollario
1
2
4
8
16
32
64
128
……
1-1=0
5-4=1
13-8=5
45-32=13
Ritorniamo alla scomposizione di 45 ……
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1
2
4
8
16
32
64
128
…...
1-1=0
5-4=1
13-8=5
45-32=13
11
11
11
11
…… associamo 11 alle righe utilizzate ……
CorollarioCorollario
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1
2
4
8
16
32
64
128
……
1-1=0
5-4=1
13-8=5
45-32=13
11
00
11
11
00
11
…… e associamo 00 alle righe non utilizzate.
CorollarioCorollario
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1
2
4
8
16
32
64
128
……
1-1=0
5-4=1
13-8=5
45-32=13
11
00
11
11
00
11
Gli scribi egizi non potevano esserne consapevoli, ma ……
CorollarioCorollario
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1
2
4
8
16
32
64
128
……
1-1=0
5-4=1
13-8=5
4545-32=13
11
00
11
11
00
11
…… sorpresa! Avevano inventato la numerazione binarianumerazione binaria, quella che oggi si usa nei computer: 45451010 = 101101 10110122
CorollarioCorollario
Gli scribi egizi non potevano esserne consapevoli, ma ……
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4141Un esempio: 539 : 41 = ??
Passo 1Passo 1 Prendere il divisore 4141 ……
Algoritmo della Algoritmo della divisionedivisione per raddoppio e tentativi per raddoppio e tentativi
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41
82
164
328
656
Un esempio: 539 : 41 = ??
Passo 1Passo 1 …… e raddoppiarlo ripetutamente.
Algoritmo della Algoritmo della divisionedivisione per raddoppio e tentativi per raddoppio e tentativi
4141 1 =
2 =
4 =
8 =
16 =
……
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41
82
164
328
656
Un esempio: 539 : 41 = ??
Passo 2Passo 2 Dalla colonna dei raddoppi, scegliere, per tentativiper tentativi, i numeri la cui somma S sia minore del dividendo 539 e tale che la differenza 539 - S sia minore del divisore 41.
Algoritmo della Algoritmo della divisionedivisione per raddoppio e tentativi per raddoppio e tentativi
41 1 =
2 =
4 =
8 =
16 =
……
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41
82
164
328
656
Un esempio: 539 : 41 = ??
Passo 3Passo 3 I numeri che “vanno bene” nel nostro esempio sono quelli trascritti in rosso. (N.B. Si procede per tentativi, ma la soluzione è unica.)
Algoritmo della Algoritmo della divisionedivisione per raddoppio e tentativi per raddoppio e tentativi
41 1 =
2 =
4 =
8 =
16 =
……
4141
164164
328328
![Page 21: SCACCHIERE DI NEPERO (alle origini dell’aritmetica binaria)](https://reader036.vdocumenti.com/reader036/viewer/2022062301/5681372c550346895d9eb850/html5/thumbnails/21.jpg)
41
82
164
328
656
Un esempio: 539 : 41 = ??
Passo 3Passo 3 Infatti, vedi sopra.
Algoritmo della Algoritmo della divisionedivisione per raddoppio e tentativi per raddoppio e tentativi
41 1 =
2 =
4 =
8 =
16 =
4141
164164
328328
4141 + 164164 + 328328 = 533533 < 539 e
539 - 533533 = 6 < 41
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41
82
164
328
656
Un esempio: 539 : 41 = ??
Il risultato è quindi 539 : 41 = 11 + 44 + 88 = 1313 col resto di 66.
Algoritmo della Algoritmo della divisionedivisione per raddoppio e tentativi per raddoppio e tentativi
41 11 =
2 =
44 =
88 =
16 =
41
164
328
41 + 164 + 328 = 533 < 539 e
539 - 533 = 66 < 41
![Page 23: SCACCHIERE DI NEPERO (alle origini dell’aritmetica binaria)](https://reader036.vdocumenti.com/reader036/viewer/2022062301/5681372c550346895d9eb850/html5/thumbnails/23.jpg)
11
00
11
11
Un esempio: 539 : 41 = ??
CorollarioCorollario: 13131010 = 1101110122
Algoritmo della Algoritmo della divisionedivisione per raddoppio e tentativi per raddoppio e tentativi
41 11
2
44
88
16
![Page 24: SCACCHIERE DI NEPERO (alle origini dell’aritmetica binaria)](https://reader036.vdocumenti.com/reader036/viewer/2022062301/5681372c550346895d9eb850/html5/thumbnails/24.jpg)
Scacchiere binario di NeperoScacchiere binario di Nepero
(dalla Rabdologia del 1617)
![Page 25: SCACCHIERE DI NEPERO (alle origini dell’aritmetica binaria)](https://reader036.vdocumenti.com/reader036/viewer/2022062301/5681372c550346895d9eb850/html5/thumbnails/25.jpg)
Dopo più di duemila anni, all’inizio del XVII secolo, NeperoNepero adotta (probabilmente reinventandolo) il metodo egizio per la numerazione binaria.
Metodo che è il fondamento dello scacchiere binarioscacchiere binario.
![Page 26: SCACCHIERE DI NEPERO (alle origini dell’aritmetica binaria)](https://reader036.vdocumenti.com/reader036/viewer/2022062301/5681372c550346895d9eb850/html5/thumbnails/26.jpg)
SCACCHIERE BINARIO DI NEPEROSCACCHIERE BINARIO DI NEPEROAi bordi di uno scacchiere sono annotate, in ordine crescente dal basso verso l’alto, le potenze di 2
col. 8192 = 213
col. 16 = 24
riga 512 = 29
Ciascuna casella assume un valore diverso a seconda che la si consideri appartenente a una riga in diagonale ( ) oppure a una delle colonne parallele ai lati ( ).
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Un esempio: 19 13 = ??
SCACCHIERE BINARIO DI NEPEROSCACCHIERE BINARIO DI NEPERO
![Page 28: SCACCHIERE DI NEPERO (alle origini dell’aritmetica binaria)](https://reader036.vdocumenti.com/reader036/viewer/2022062301/5681372c550346895d9eb850/html5/thumbnails/28.jpg)
Un esempio: 19 13 = ??
Passo 1Passo 1 Scomporre il moltiplicando in potenze di 2 ottenendo 1919 = 1616 [=24] + 22 [=21] + 11 [=20] e impostare la sua rappresentazione posizionando i gettoni nelle caselle appropriate.
1919
SCACCHIERE BINARIO DI NEPEROSCACCHIERE BINARIO DI NEPERO
![Page 29: SCACCHIERE DI NEPERO (alle origini dell’aritmetica binaria)](https://reader036.vdocumenti.com/reader036/viewer/2022062301/5681372c550346895d9eb850/html5/thumbnails/29.jpg)
Un esempio: 19 13 = ??
1313
Passo 2Passo 2 Scomporre il moltiplicatore in potenze di 2 ottenendo 1313 = 88 [=23] + 44 [=22] + 11 [=20] e replicare nelle colonne appropriate la disposizione dei gettoni già posizionati.
SCACCHIERE BINARIO DI NEPEROSCACCHIERE BINARIO DI NEPERO
![Page 30: SCACCHIERE DI NEPERO (alle origini dell’aritmetica binaria)](https://reader036.vdocumenti.com/reader036/viewer/2022062301/5681372c550346895d9eb850/html5/thumbnails/30.jpg)
Un esempio: 19 13 = ??
Passo 3Passo 3 Individuare, secondo le righe orizzontali, il valore delle caselle “gettonate” …...
SCACCHIERE BINARIO DI NEPEROSCACCHIERE BINARIO DI NEPERO
![Page 31: SCACCHIERE DI NEPERO (alle origini dell’aritmetica binaria)](https://reader036.vdocumenti.com/reader036/viewer/2022062301/5681372c550346895d9eb850/html5/thumbnails/31.jpg)
Un esempio: 19 13 = ??
Passo 3Passo 3 Individuare, secondo le righe orizzontali, il valore delle caselle “gettonate” …… e sommarli, con le rispettive molteplicità.
Risultato 19 13 = 247247
128 + 64 +
16 + 16 + 8 + 8 +
4 + 2 +
1 =
SCACCHIERE BINARIO DI NEPEROSCACCHIERE BINARIO DI NEPERO