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SAPIENZA, UNIVERSITA' DI ROMA Ingegneria Elettrotecnica
Prova scritta di Fisica 2 - 19 gennaio 2018
Esercizio 1 (8 punti) Una carica è distribuita con densità lineare uniforme ! su un filo di lunghezza L. Determinare il campo elettrico ed il potenziale ad una distanza y dal filo come in figura. Esercizio 2 (8 punti) Due sfere conduttrici di raggi a, e 2a, poste a distanza tra loro molto superiore ad a, inizialmente scariche, sono collegate tramite un sottile filo conduttore (di capacità trascurabile), lungo il quale sono inseriti un generatore di forza elettromotrice f e un interruttore inizialmente aperto. Calcolare il lavoro che compie il generatore per raggiungere la nuova situazione stazionaria dopo la chiusura dell’interruttore. Esercizio 3 (8 punti) Un nastro conduttore di larghezza L e lunghezza infinta è percorso da una corrente "# ed è posto ad una distanza d da una spira quadrata di lato a percorsa da una corrente "$. Determinare la forza che il nastro esercita sulla spira, specificando se è attrattiva o repulsiva.
Esercizio 4 (8 punti) La corrente di un solenoide in aria, di densità d’avvolgimento n, è portata da 0 a un valore stazionario I nell’intervallo di tempo 0<t<T con legge i(t)= k t con k=I/T. Nella zona a campo uniforme all’interno del solenoide, centralmente e perpendicolarmente all’asse, è posta una spira quadrata d’area S, i cui lati hanno le resistenze indicate in figura. Si calcoli la differenza di potenziale VA–VB, nell’intervallo di tempo 0<t<T, assumendo n=103/m, I=5A, T=0,1s, S=100cm2, e supponendo trascurabile l’autoinduzione. Domanda Ricavare la II equazione di Maxwell (rotore del campo elettrico) dalla legge di Faraday-Lenz e commentarla.
!"
#
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Soluzioni
Esercizio 1
% & =1
4*+,
!-..$
012
0= −
!4*+,
14 + &
−1&
=!4
4*+,& 4 + &
6 & =1
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012
0=
!4*+,
log& + 4&
Esercizio 2
Esercizio 3
-:;<=>?@ =A,"#2*C
-D
4:;<=>?@(C) =
A,"#2*4
-D
4 + C − D
2
,=A,"#2*4
log4 + C
C
G = −"$H:;<=>?@ - + "$H:;<=>?@ - + H = −A,H"#"$2*4
log4 + - - + H
-(4 + - + H)
La forza è attrattiva. Esercizio 4
SAPIENZA, UNIVERSITA' DI ROMA Ingegneria Elettrotecnica
Prova scritta di Fisica 2 - 20 febbraio 2018
Esercizio 1 (8 punti) Nel vuoto, su una superficie sferica di raggio a, è uniformemente distribuita una carica elettrica con densità s. Altra carica elettrica è uniformemente distribuita in tutto il volume interno alla superficie sferica, con densità r=–3s/a. Si calcoli l’espressione del potenziale elettrostatico ! " in tutto lo spazio, ponendo ! ∞ = 0. Esercizio 2 (8 punti) Un filo rettilineo, a sezione circolare di raggio & e resistività uniforme ', è percorso da corrente (. Su un tratto lungo ℎ il filo è rivestito di una guaina dielettrica di costante *+ e spessore , piccolo rispetto ad & e ℎ. Si calcoli l’espressione del momento di dipolo elettrico. acquistato dal dielettrico, verificandone le dimensioni. Esercizio 3 (8 punti) Un solenoide lungo e compatto, di sezione circolare, lungo ℓ =30cm, è costituito da un avvolgimento con 0 =1000 spire. Sapendo che la sua induttanza 1 = 310456, si determini il raggio 8 della sua sezione circolare. Esercizio 4 (8 punti) Un disco di alluminio di raggio & ruota a velocità angolare 9 uniforme. Il disco è immerso in un campo : uniforme e collegato ad una resistenza R ed una capacità C da un interruttore che si chiude ad un istante ; = 0. Calcolare la corrente ( ; che scorre nel circuito dopo la chiusura, l’energia <= dissipata nella resistenza, <> quella immagazzinata nella capacità ed <?@ABC spesa dal motore che fa girare il disco. Trascurare la resistenza del disco e tutti gli attriti; il condensatore è scarico quando si chiude l’interruttore. Domanda Ricavare l’equazione di continuità ed usarla per dimostra la legge dei nodi in un circuito elettrico.
Soluzioni
Esercizio 1
Esercizio 2
Esercizio 3
1 =D E
F : = GHFI
ℓJ
K : = 0KLAM@+N : = 0 : ⋅ P,Q =RS0(
ℓAM@+N
0T8U
1 =GHI
VW=
V
ℓ 8 = L
I
Xℓ
WGH
= 1.5cm
Esercizio 4
Y!ZE = 9":," = 9":," =[EN
V
U
N
S
\C+]C
B^_`+C
( ; =[EN
V
U=a4`/c con d = 8e.
<= = 8(U,; =
fghiV
=a4U`/c
,;j
S=
j
Se[VEVNk
l= <>
<]@ABC = <= + <> = 2<=
SAPIENZA, UNIVERSITA' DI ROMA Ingegneria Elettrotecnica
Prova scritta di Fisica 2 – 23 marzo 2018
Esercizio 1 (8 punti) All'interno di un cilindro indefinito di raggio interno a e raggio esterno b è distribuita una carica elettrica con densità di volume r uniforme. Calcolare l'andamento del campo elettrico in funzione della distanza r dall'asse di simmetria della distribuzione. Esercizio 2 (8 punti) Un condensatore piano con armature di area S è riempito da due lastre di dielettrico, una di spessore d1 e di costante dielettrica ε1, l’altra di spessore d2 e costante dielettrica ε2. Ai capi del condensatore è applicata una d.d.p. V0. Calcolare i valori E1 e E2 del campo elettrico nei due dielettrici e la densità di carica totale di polarizzazione !"#$# sulla superficie di separazione dei due dielettrici Esercizio 3 (8 punti) Nel circuito in figura il tasto T viene chiuso a t=0. Ricavare l’espressione dell’energia UR dissipata in R1 dall’apertura del tasto fino a quando il sistema raggiunge nuovamente una situazione stazionaria. Esercizio 4 (8 punti) Una spira conduttrice circolare di raggio a e resistenza complessiva R è immersa in un campo B uniforme, diretto perpendicolarmente al piano della spira. Il modulo di B varia nel tempo come B=B0sin(wt). Ricavare il valore della potenza media dissipata nella spira. Domanda
Soluzioni Esercizio 1
Esercizio 2
Condizionidiraccordo/010 = /31345 = 6010 + 6313!8 = 90 = 93 = 99 = /5/:010 = /5/:313 = !810 = ;<
=>;<?=<;>45 = @A
;B;C>13 = @A
;B;C<
9 = /5/:0/:3
60/:3 + 63/:045
!"0 = ;C>D0
;C>9!"3 = ;C<D0
;C<9
!"#$# = !"0 − !"3 = /5/:0 − /:3
60/:3 + 63/:045
Esercizio 3
ConsiderandoilcircuitoequivalenteinfiguraO8 = P
Q>?Q<R0R8 = Q>Q<
Q>?Q<
ST = PAQA
1 − VDW/Y conZ = [/R8
\Q = R0SQ>3 6]^
5=
_4Q>3R0
6]^
5= _4T3
R06] =
^
5
= 0Q>
−[ =`a=W36] =^
50Q>
O83VD3W/Y^5 6] = PA<T
3Q>QA
Esercizio 4
O8b = −6c6] = − 66] de
3f5 sing] = −de3f5g cosg]
h ] = RS3 = R O8bR
3= d3eif53g3
R cos3 g]
h ] = 0# h ] 6]#
5 = 0#j<klmB<n<
Qn cos3 g]#5 6 g] = j<klmB<n<
3Q
SAPIENZA, UNIVERSITA' DI ROMA Ingegneria Elettrotecnica
Prova scritta di Fisica 2 – 15 giugno 2018
Esercizio 1 (8 punti) Una carica è distribuita su due fili come mostrato in figura: 1) su un filo semicircolare posto sul piano (x,y), con densità lineare ! uniforme; 2) su un filo rettilineo di lunghezza infinita perpendicolare allo stesso piano, con densità lineare !′ uniforme. Determinare l’espressone della forza # agente sul filo semicircolare. Esercizio 2 (8 punti) Il sistema di condensatori in figura, con l’interruttore T aperto, viene caricato con una differenza di potenziale $%. Ad un certo istante, mantenendo fisso $%, viene chiuso l’interruttore. Determinare la carica totale che passa nell’interruttore fino al raggiungimento della nuova situazione di equilibrio. Esercizio 3 (8 punti) Una particella di carica q viaggia a velocità &%. Durante il suo moto, attraversa una regione di larghezza D in cui è presente un campo di induzione magnetica ' noto e perpendicolare alla direzione della particella. Data la distanza x dalla traiettoria iniziale con la quale la particella esce dalla regione in cui è presente ', determinare la massa m della particella e la sua velocità finale &(. Determinare inoltre il valore limite della massa )*+, per cui la particella non riesce ad emergere a destra della regione suddetta. Esercizio 4 (8 punti) All'interno di un solenoide a sezione circolare, alimentato dalla densità di corrente quasi stazionaria nI(t)=nI0 sin(w t), è inserito un anello coassiale di dielettrico omogeneo di costante er, raggio r e sezione di area S<<p r2. Si calcoli l'espressione del vettore di polarizzazione - nel dielettrico. Calcolare inoltre la corrente di polarizzazione ip(t) presente nell'anello. Domanda Ricavare il potenziale di un dipolo elettrico a grande distanza, considerando nullo il potenziale all’infinto.
SAPIENZA - UNIVERSITA' DI ROMA FACOLTA' DI INGEGNERIA
1) Una carica puntiforme q = -1.0x10-8 C di massa m = 10-6 kg si
trova ad una distanza a = 20 cm dal centro di una sfera cava di raggio R = 5 cm caricata con una densità di carica superficiale σ = 3.18x10-7 C/m2. Sulla sfera è praticato un piccolo foro, di raggio trascurabile, attraverso il quale passa la carica puntiforme q. Determinare la velocità della carica q quando si trova ad una distanza di 2 cm dal centro della sfera.
2) All’interno di un guscio cilindrico indefinito di raggio interno a
e raggio esterno b è distribuita una carica elettrica con densità di volume ρ uniforme. Calcolare l’andamento del campo elettrico e del potenziale in funzione della distanza r dall’asse di simmetria della distribuzione.
3) Il sistema di condensatori in figura, con l’interruttore T aperto,
viene caricato con una differenza di potenziale V0 = 100 V. Ad un certo istante, mantenendo fisso V0, viene chiuso l’interruttore. Determinare la carica totale che passa nell’interruttore fino al raggiungimento della nuova situazione di equilibrio, con C1 = 1 µF, C2 = 3µF.
a
R
q
a b
V0
C1
C1
C2
C2 T
1
Nel circuito rappresentato in figura i raggi delle semicirconferenzesono a = 10 cm e b = 15 cm. Se la corrente vale i = 20 A, calcolare ilcampo di induzione magnetica nel centro O delle semicirconferenze.
a b
i
A B C DO
2
Una particella di carica q = 10−6 C viaggia a velocita v0 = 10 m/s.Durante il suo moto, attraversa una regione in cui e presente un campo diinduzione magnetica B di modulo pari a B = 0.2 T e perpendicolare alladirezione della particella. Nota la distanza x dalla traiettoria iniziale conla quale la particella esce dalla regione in cui e presente B, determinare lamassa m della particella e la sua velocita finale vf . Determinare inoltre ilvalore limite della massa mlim per cui la particella non riesce ad emergerea destra della regione suddetta. (D = 3 cm, x = 1 cm).
xv
vf
0
B
D
Soluzioni Esercizio 1
Esercizio 2
Esercizio 3 Esercizio 4
Soluzioni
1)
L’energia potenziale iniziale della carica q è J105.44
1 6
0
−×−==aqQUi πε
mentra quella finale
vale J108.14
1 5
0
−×−==RqQU f πε
dal momento che il potenziale dentro la sfera cava è costante.
La carica C104 82 −== σπRQ . Dalla conservazione dell’energia si ha: fi UUmv −=2
21 da cui
( )m/s2.5
2=
−=
mUU
v fi
2)
ar <<0 0=E 0=V
bra << ( )22
02ar
rE −=
ερ
+−=
araraV ln
2222
22
0ερ
rb < ( )22
02ab
rE −=
ερ ( )
−++−=
brba
ababaV lnln
222222
22
0ερ
3)
Nella situazione iniziale i due conduttori centrali di sinistra e di destra sono scarichi. I condensatori C1 e C2 sia di sinistra che di
destra sono in serie con la stessa carica 21
210 CC
CCVq+
= .
Dopo che l’interruttore T è stato chiuso, tra A e B c’è lo stesso potenziale e quindi i due condensatori C1 e C2 in alto sono in parallelo così come i due in basso. Nel ramo A-B c’è un potenziale V0/2. Ai capi dei due condensatori C1 c’è una carica
20
11VCq = , ai capi di C2 c’è una carica
20
22VCq = .
Il ramo conduttore centrale è ancora neutro, ma a destra c’è una carica q1 – q2 mentre a sinistra c’è una carica q2 – q1. Questo significa che la carica q2 – q1 è passata da destra a sinistra
attraversando l’interruttore T. Tale carica vale ( ) C102
401212
−=−=−VCCqq
V0
C1
C1
C2
C2 T
A B
Esercizio N. 1
dB =µ0
4πIdl × ∆r
∆r3BAB = BCD = 0 BDA =
µ0
4π
I
b2
! πb
0
dl =µ0I
4b
BBC = −µ0
4π
I
a2
! πa
0
dl =µ0I
4aBtot =
µ0I
4
"
1
b−
1
a
#
= −2.1×10−5 T (entrante nel foglio)
Esercizio N. 2
x
vf
B
D
R
v0
R - x
(R − x)2 + D2 = R2⇒ R =
x2 + D2
2x= 5 cm
qvB = mv2
R⇒ m =
RqB
v= 10−9 kg vf = v0
mlim si ha quando R = D ⇒ mlim = 0.6 × 10−9 kg
SAPIENZA, UNIVERSITA' DI ROMA Ingegneria Elettrotecnica
Prova scritta di Fisica 2 – 17 luglio 2018
Esercizio 1 (8 punti) Si abbiano due conduttori a forma di sfera (carica q1) e di buccia sferica (carica q2) concentriche, di dimensioni come in figura. Si calcoli il potenziale della sfera supponendo il sistema nel vuoto e assumendo nullo il potenziale all’infinito. Esercizio 2 (8 punti) Un condensatore di capacità C si scarica su una resistenza R. Dopo un tempo T, il condensatore perde 2/3 della sua energia. Calcolare il valore della resistenza. (C=4µF e T=10s) Esercizio 3 (8 punti) Una lastra piana e sottile di area S e spessore d di materiale paramagnetico di suscettività !" è inizialmente al di fuori di una regione sede di campo magnetico uniforme, i cui valore B0 è mantenuto costante. Calcolare la variazione Δ% dell’energia del campo magnetico per effetto dell’introduzione completa della lastra nel campo (posizione tratteggiata). (S=100cm2, d=0.2cm, B_0=1T, !"=3.14 10-4) Esercizio 4 (8 punti) Una spira rigida di lato ℓ=20cm e resistenza R=0.1W si muove di moto traslatorio come in figura con velocità costante v=2m/s. La spira è immersa in un campo ' di modulo variabile con x secondo la legge ' = ') + +, con a=0.5 T/m. Trascurando l’autoinduzione, calcolare il flusso Φ ' attraverso la spira, la corrente i che vi scorre e la forza ./01 che è necessario applicare alla spira stessa per mantenerla in moto uniforme. Domanda Un condensatore piano le cui armature sono distanti d, ha una densità superficiale di carica libera s. Il condensatore è riempito totalmente di un dielettrico isotropo, lineare, non omogeneo la cui !/ = +2 dove a è una costante e z è riferito ad un asse ortogonale alle armature con origine sull’armature positiva e diretto verso quella negativa. Si esprima in funzione delle grandezze date 3, 5, 67(2) (la densità di volume di carica di polarizzazione in punto del dielettrico a distanza z) e :7 0 e :7 < , ovvero la densità superficiale di carica di polarizzazione in z=0 e z=d.
~P = ✏0�e~E =
��e
1 + �ez =
�az
1 + azz
⇢p = �r · ~P = �@Pz
@z= · · · = � �a
(1 + az)2�p(0) = 0 �p(d) =
�ad
1 + ad
Soluzioni Esercizio 1
=>?/@A = 3 ⋅ <ℓC
DE=
FG4IJ)
<KKL
DM
DE+FG + FL4IJ)
<KKL
C
DN=
14IJ)
FG1PG−1PL
+ FG + FL1PR
Esercizio 2
S T = S)UV1/X con Y = PZ e S) la carica iniziale. [ T = − \]\1= ]^
D_UV1/X
L’energia persa dal condensatore in T è
%` = [L T P<T = − GL
`)
]^M
_UV
Mab − 1 = %) 1 − UV
Mab che deve essere pari ai 2/3 di quella
iniziale
%) 1 − UVMab = %)2/3. Quindi UV
Mab = 1/3 e Y = PZ = L`
efR
P =2gZhi3 = 4.6lΩ ≈ 5lΩ
Esercizio 3
La variazione di energia del campo nello spazio occupato dalla lastra è
p% =12
')L
q)(1 + !")r< −
12')L
q)r< =
12')L
q)r<
11 + !"
− 1 = −12')L
q)!"
1 + !"r< = −2.5st
Esercizio 4
Φ ' = ') + +, ℓ<, = ')ℓL +12+ℓ
L ℓ + 2uvwℓ
v
xy =\z\1= G
L+ℓL2 \v
\1= +ℓL{ [ = ?|
D= AℓM}
D= 0,4~
Laspirasubisceunaforzachelarallenta(nelversonegativodell’assex)."Aï = [ℓ' u + ℓ − [ℓ' u = [ℓL+ = 810VRó./01 = −."Aïdirettanelversopositivodell’assexDomandateoria
~E =~D
✏0(1 + �e)=
�
✏0(1 + �e)z
SAPIENZA, UNIVERSITA' DI ROMA Ingegneria Elettrotecnica
Prova scritta di Fisica 2 – 14 settembre 2018
Esercizio 1 (8 punti) Una carica puntiforme ! < 0 di massa nota m si trova ferma ad una distanza a dal centro di una sfera cava di raggio $ = &/2 caricata con densità di carica ) > 0. Sulla sfera è praticato un piccolo foro, di dimensioni trascurabili, attraverso il quale passa la carica puntiforme q. Determinare la carica totale della sfera, l’energia potenziale iniziale della carica q e quella quando la carica entra nella sfera cava (assumere il potenziale nullo all’infinito). Calcolare inoltre la velocità quando la carica q si trova ad una distanza R/2 dal centro della sfera. Esercizio 2 (8 punti) Sia dato il circuito in figura, con il semicilindro di resistività + nota e raggio interno & ed esterno ,. Riscrivere il circuito come un circuito ad una maglia, sostituendo il circuito a sinistra di A-B con il suo equivalente di Thevenin (feq e Req) ed il semicilindro con la resistenza RS. 1) Calcolare solo la Req. 2) Determinare la resistenza RS del semicilindro tra A e B in funzione di -. 3) Determinare la lunghezza - in modo da massimizzare la potenza dissipata nel semicilindro. Esercizio 3 (8 punti) Determinare il campo di induzione magnetica al centro di un ottagono regolare di lato & percorso da una corrente stazionaria .. (Suggerimento: calcolare prima il campo generato in O da un lato del circuito) Esercizio 4 (8 punti) Una spira quadrata di lato l e resistenza R, posta nel vuoto sul piano xy, come indicato in figura, è sottoposta all’azione di un campo magnetico non uniforme e lentamente variabile nel tempo la cui normale alla spira è espressa da /
0= /
01, 3 = 41cos(:3). Si
calcoli l’espressione della corrente I(t) indotta nella spira, trascurando l’autoinduzione. Domanda Enunciare e ricavare l’equazione di continuità.
SAPIENZA - UNIVERSITA' DI ROMA FACOLTA' DI INGEGNERIA
1) Una carica puntiforme q = -1.0x10-8 C di massa m = 10-6 kg si
trova ad una distanza a = 20 cm dal centro di una sfera cava di raggio R = 5 cm caricata con una densità di carica superficiale σ = 3.18x10-7 C/m2. Sulla sfera è praticato un piccolo foro, di raggio trascurabile, attraverso il quale passa la carica puntiforme q. Determinare la velocità della carica q quando si trova ad una distanza di 2 cm dal centro della sfera.
2) All’interno di un guscio cilindrico indefinito di raggio interno a
e raggio esterno b è distribuita una carica elettrica con densità di volume ρ uniforme. Calcolare l’andamento del campo elettrico e del potenziale in funzione della distanza r dall’asse di simmetria della distribuzione.
3) Il sistema di condensatori in figura, con l’interruttore T aperto,
viene caricato con una differenza di potenziale V0 = 100 V. Ad un certo istante, mantenendo fisso V0, viene chiuso l’interruttore. Determinare la carica totale che passa nell’interruttore fino al raggiungimento della nuova situazione di equilibrio, con C1 = 1 µF, C2 = 3µF.
a
R
q
a b
V0
C1
C1
C2
C2 T
!"!#$
%#$
Soluzioni Esercizio 1
< = 4>$?) = >&
?)@
A=
1
4>CD
!<
&=
&)!
4CD
@E=
1
4>CD
!<
$=
&)!
2CD
NB: il potenziale dentro la sfera cava è costante
1
2FG
?= @
E− @
A=
&)!
4CD
→ G =
&)!
2FCD
Esercizio 2 Utilizzando il teorema di Thevenin, il circuito è equivalente a
quelloinfiguracon$TU=
3
4$ +
$
8+
$
8= $
Il semicilindro può essere visto come tanti gusci di lunghezza >Y e sezione -ZY in parallelo:
1
$[
=
-ZY
+>Y
\
]
=
- ln,
&
+>→ $
[=
+>
- ln,
&
Ilmassimotrasferientodipotenzasihaquando$[= $
TU= $ → - =
+>
$ ln,
&
Esercizio 3
Il campo di induzione magnetica prodotto da un tratto di filo a distanza $ =]
?
cote
f
vale
Z/g=
hi.
4>
cos j Zk
Y?
=
hi.
4>$cos j Zj/
g=
hi.
4>$cos j Zj
e
f
le
f
=
hi.
2>$sin
>
8
=
hi.
>&
sin?>
8
cos>
8
→ /mim
= 8/g= 8
hi.
>&
sin?>
8
cos>
8
Esercizio 4