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Risposta meccanica di Risposta meccanica di un elastomero realeun elastomero reale
Studente: Giovanni RilloRelatore: Dr. Tullio ScopignoCorrelatore: Dr. Carino Ferrante
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Perché la gomma?Perché la gomma?Esempio di sistema
termodinamico (f, L, T)Proprietà macroscopiche peculiari
Modello microscopico basato su macromolecole (polimeri)
Alta elasticità
Coefficiente di dilatazione termica negativo
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Equilibrio termodinamico
In condizioni di equilibrio termodinamico possiamo studiare il comportamento elastico dell’elastomero
Misure statiche: forza vs elongazione
Condizioni dinamiche
In condizioni dinamiche l’elastomero non è un sistema conservativo: possiamo studiare il suo comportamento viscoelastico
Misure dinamiche: forza vs tempo a elongazione costante
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Il modello di Kuhn:Il modello di Kuhn:un network di cateneun network di catene La singola molecola può essere assimilata a una lunga
catena: i legami tra i singoli atomi costituenti la catena possono ruotare liberamente.
Deboli forze tra le singole catene Le catene sono tra di loro connesse in pochi punti, detti
crosslinks
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La singola catenaLa singola catenaLa singola catena consta di n giunzioni di lunghezza l: ogni giunzione ha una direzione completamente random nello spazio. Tale assunzione porta alla densità di probabilità di un estremo della catena nello spazio:
dxdydzzyxbb
dxdydzzyxp )}(exp{),,( 2222
2
3
3
22
2
3
nlb
EntropiaEntropia
Definizione di Boltzmann: s=k ln(N) N configurazioni
2222 lncostlnln rc-kb( dV) k r)-kb(k ) dV] [ p(x,y,zk s
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Processo di deformazioneProcesso di deformazione
X=1 X0
Y=2 Y0
Z=3 Z0
})1()1()1{( 20
23
20
22
20
21
20 zyxkbsss
•Deformazione affine: il rapporto L/L0 è uguale per la singola catena e per il materiale nel suo insieme•Il volume del materiale rimane costante durante il processo di deformazione (=1)
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Entropia e forzaEntropia e forzaPosto che la direzione di una catena nello spazio sia completamentecasuale, si ha
20
20
20
20
20 3
1
3
1rNrzyx
)3(2
1 23
22
21 NksS
Configurazioni assumibili da catene sono isoenergetiche tT
TsdTdsdwcos
)(
Mancanza di interazione TSW
Derivando
ii
Wf
)1
(21
11 Gf NKTG
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Dati sperimentaliDati sperimentali
Fit eseguito a partire dalla funzione
)(2
20
0 L
L
L
LGf
NG 02.001.1 cmL 10.006.70
Risultati:
Confrontabile con il valore di L0 misurato sperimentalmente:
cm1.07.7
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Il modello di Mooney-Il modello di Mooney-RivlinRivlin
Assunzioni:•Isotropia•Incompressibilità•Invarianza sotto rotazioni attorno a un asse
Dipendenza da i2
È quindi possibile cercare opportune funzioni W a partire dai più semplici polinomi rispondenti a queste caratteristiche:
.23
22
211 I 2
123
23
22
22
212 I 2
322
213 I
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Il modello di Mooney-Rivlin: Il modello di Mooney-Rivlin: la forzala forza
La generica funzione W sarà esprimibile come
ji
jiij IICW )3()3( 21
0,0
La funzione lineare di I1 e I2 più generale è invece
3)-111
(C)3(C
3)-(IC3)-(IC
23
22
21
0123
22
2110
201110
W
Nel caso di estensione semplice, derivando rispetto a otteniamo
))(1
(21
01102
11
CCf
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Dati sperimentaliDati sperimentali
Fit eseguito a partire dalla funzione
))((2 001102
20
0 L
LCC
L
L
L
Lf
NC 009.0909.02 10
cmL 04.001.80
Risultati:
NC 04.078.02 01
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Seconda parte: panoramica Seconda parte: panoramica dei rilassamentidei rilassamenti
Elastico sollecitato a lunghezza costante
•Sollecitazioni termiche, effettuate riscaldando la gomma
•Sollecitazioni meccaniche, effettuate contraendo e rilassando rapidamente la gomma
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Rilassamenti termiciRilassamenti termicifdlQdU
cost,cost,
lpTp T
f
l
S
Nel modello di Kuhn S=S(S(l)
Variazione di forza esercitata dall’elastomero ricondotta alla variazione di temperatura nel processo
cost
lTf
Thdt
TdC
dt
dQ
)(t
eTT
)0(
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Solido standard lineareSolido standard lineareTeoria viscoelastica lineare:Oggetto schematizzabile come insieme di molle e dissipatori viscosi variamente connessi
•Molla: f =-kx•Dissipatore: f=-x’
Insieme di equazioni lineari
021
21
xxx
xkx
t
efff
txkxkf
))()0((
)(|| 113
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Dati sperimentaliDati sperimentaliRilassamenti termici:Lo schema basato sul trasporto conduttivo riproduce bene i risultati sperimentali
s2015
Rilassamenti viscoelastici:Il modello dei solido standard lineare non riesce a riprodurre il rilassamento.
Non definito
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Il modello di Maxwell Il modello di Maxwell generalizzatogeneralizzato
Presupponendo più tempi caratteristici di rilassamento una generalizzazione naturale è quella mostrata in figura
i
iff 121 iiiiiii xxxkf
i
t
iieCf
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RisultatiRisultati
2121
tt
eCeCff
Fit eseguito con due tempi di rilassamento a partire dalla funzione
In generale ogni rilassamento viscoelastico risulta scisso significativamente in due esponenziali con molto diversi tra loro
s1051 s2001002
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ConclusioniConclusioni