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Ricostruzione di mappe Retinotopiche mediante �ltri diGabor
Stefano Diomedi
23 marzo 2018
Stefano Diomedi Ricostruzione di mappe Retinotopiche mediante �ltri di Gabor23 marzo 2018 1 / 22
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Obbiettivo
L'obiettivo è quello di ricostruire mappe retinotopiche o corticali dellacorteccia visiva umana a partire dall'attività neurale sviluppata in presenzadi uno stimolo visivo e misurata mediante fMRI.
R : M → C (1)
dove M ⊂ R2 è il piano retinico e C la corteccia visiva.
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Schema della ricostruzione
dataset
encoding/relazione �ltri di gabor energia
analisi dei campi recettori
mappa retinocorticale
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Il percorso degli stimoli visivi
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Cellule neuronali Semplici
Le cellule semplici vennero individuate negli anni 90 da Hubel e Wiesel.Ogni cellula semplice è caratterizzata da un Pro�lo Recettore (PR) eCampo Recettore (CR)
PR : CR → R (2)
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Filtri di Gabor
In generale un �ltro di gabor :
ψσ,ω,ϑ(x , y) = e iωyGσ(x , y) (3)
dove ω è la frequenza, ϑ è l'orientazione del �ltro, Gσ è una Gaussiana 2De y = −xsin(ϑ) + ycos(ϑ).
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Filtri di Gabor
Im(ψσ,ω,ϑ) = sin(ωy)Gσ(x , y); Real(ψσ,ω,ϑ) = cos(ωy)Gσ(x , y) (4)
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Frame e Filtri di Gabor
De�nizione (Frame)
Una sequenza {ψn}n nello spazio di Hilbert H è detta frame se∃ A,B > 0 con 0 < A ≤ B tali che:
∀x ∈H A ‖x‖2 ≤∞∑n=1
| < x , ψn > |2 ≤ B ‖x‖2 . (5)
De�nizione (Operatori associati ad un frame)
C : H → `2 t. c . ∀x ∈H Cψn(x) = (< x , ψn >)n (6)
R : `2 →H t. c . ∀c = (cn)n ∈ `2 R(c) =∑n
cnψn (7)
S : H →H t. c . ∀x ∈H S(x) = RC (x) =∑i
< x , ψi > ψi (8)
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Frame e Filtri di Gabor
Teorema (Teorema di Decomposizione e Ricostruzione)
Sia {ψi}Mi=1un frame per H con operatore frame S e operatore di analisi
C . Allora, ∀ x ∈H se decomponiamo il segnale x nei suoi coe�cienti
rispetto al frame:
C (x) = (< x , ψn >)n = (cn)n
allora, ricostruiamo il segnale x a partire dai coe�cienti trovati:
x =∑n
cnS−1ψn
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data set fMRI
8428 voxel1750 immagini
yi ,v =
y1,1 y1,2 ... y1,8428y2,1 y2,2
y1750,1 y1750,2 ... y1750,8428
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generazione banco di �ltri GWP
ψgk (x , y) = e− x2+y2
2σ2k e2πiωy
x = (x − xk)cos(ϑk) + (y − yk)sin(ϑk);
y = −(x − xk)sin(ϑk) + (y − yk)cos(ϑk);
dove gk = (xk , yk , ϑk , σk) denotano posizione, orientazione e dimensionidel �ltro.8 orientazioni, 6 frequenze spaziali, posizioni su griglia 32x32 all'interno delcampo visivo (area circolare).Otteniamo un banco di 6984 �ltri di Gabor rispettivamente con parte realee immaginaria.
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relazione tra energia e �ltri
Eki =
∣∣∣∣∫ Ii (x , y)ψgk (x , y)dxdy
∣∣∣∣→ yiv =n∑
k=1
Ekiβkv + β0v (9)
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encoding
Trovare i pesi β tali che:
yiv − yiv = yiv −n∑
k=1
Ekiβkv + β0v ≈ 0 ∀i ∀v (10)
Errore quadratico medio:
minβ
F 1
v (β) con F 1
v (β) =1
N
N∑i=1
(yiv −n∑
k=1
Ekiβkv − β0v )2 (11)
Problema Lasso:
minβ
F 1
v (β) t. c.n∑
k=1
|βk,v | ≤ s (12)
Proposizione
Per la convessità, ∀ s, c'é sempre almeno una soluzione nell'equazione 12.
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Sfruttando il teorema dei moltiplicatori di lagrange, il problema ?? éequivalente ad andare a minimizzare la sua lagrangiana, quindi:
minβ
F 2
v (β) con F 2
v (β) =1
N
N∑i=1
(yiv −n∑
k=1
Ekiβkv − β0v )2 + λ
n∑k=1
|βkv |
(13)
Proposizione
Se β minimizza l'equazione 12 , allora c'è un valore di λ tale che βminimizza l'equazione 13. se β minimizza l'equazione 13 allora è anche
soluzione dell'equazione 12 con s =∑n
k=1|βk(λ)|
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encoding
metodo di discesa del gradiente
k-cross validation
Risultato dell encoding:
β =
β1,1 β1,2 ... β1,8428β2,1 β2,2
β6984,1 β6984,2 ... β6984,8428
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Generazione dei campi recettori (CR)
Modello campo recettore:
CRv =n∑
k=1
βk,v |ψgk | =n∑
k=1
βk,v
√Re(ψgk )2 + Im(ψgk )2 (14)
Ne otteniamo la rappresentazione del campo recettore:
uno per ogni voxel.
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analisi dei campi recettori (CR)
Calcolo del centro e delle coordinate polari.
fattore di cortical magni�catio:
Mv = (F + kρv )−1 (15)
con k costante di scalatura e F costante che indica la distanza media dellecellule neuronali nei pressi della fovea.
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analisi dei centri dei CR
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FreeSurfer
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Ricostruzione delle Mappe
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Ricostruzione delle Mappe
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GRAZIE PER L'ATTENZIONE
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