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Richiami di analisi vettoriale
Gradiente, divergenza, rotore Teoremi della divergenza e di Stokes Relazioni campi-sorgenti
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Derivate parziali - Gradiente
Esercizio
( )i if dx= ∂
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Esempi
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Esempio
L’integrale curvilineo da (0,0) a (1,1) lungo le due curve da’ risultati diversi.
!F
C! "d!x =
!F [!x (t )] ! d
!xdta
b
! dt
C 1 !!x (t ) = t
!ex + t
!e y
C 2 !!x (t ) = t
!ex + t
2 !e y
0 1t≤ ≤C2
C1
b (1,1)
a (0,0)
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Sviluppo in serie di Taylor
f ( !x + !a ) = f ( !x )+ !a !!"f ( !x )+ 1
2#2 f#xi#x j
$
%&&
'
())aia j
ij* +"
Esempio
1|!r ! !a |
! 1r!!a "!#1r$
%&'
()=1r!!a " !
!err 2
$
%&
'
()=1r+!a " !err 2
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Superficie e curve di livello
su una superficie di livello
!!"f = !n |
!"f |
!f!n
=!n "!#f = !n " !n |
!#f |=|
!#f |
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Esempio 2( , )f x y y x= −
( , )f x y C= Sulla curva di livello 2
x ty t=⎧
⎨=⎩
!r (t ) = t
!ex + t
2 !e y
!!f = "2x
!ex +
!e y = "2t
!ex +
!e y
!v = d
!rdt
=!ex + 2t
!e y tangente
!v!!!f = "2t + 2t = 0
C=0
r
!!f
!v
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Gradiente
Le sue componenti sono le variazioni della funzione nella direzione degli assi coordinati
Il suo modulo e` il tasso di massima variazione con la distanza
La sua direzione e` quella del tasso di massima variazione con la distanza
E` orientato verso i valori piu` grandi della funzione
Il gradiente in un punto e` perpendicolare alla curva di livello passante per quel punto
df =!!f "d"r =|
"!f | drcos! # df max. per cos! =1
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Curve di livello - Gradiente “A” indica l’altezza di una collina in metri. Il GRADIENTE di A rappresenta la pendenza nel punto considerato e punta verso la direzione di massimo aumento.
x
y
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Linee di forza
Campo vettoriale !F (!x ) = Fx (x , y , z )
!ex + Fy (x , y , z )
!e y + Fz (x , y , z )
!ez
Linee di forza
tangenti in ogni punto al campo
verso di percorrenza = verso del campo
F F
Linea di forza
- tratto infinitesimo nel punto parallelo a d!x
!x
!F (!x )
- linee di forza non si incrociano mai
- piu` dense dove il campo e` piu` intenso
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Linee di forza
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Divergenza Cubo elementare di lati dx, dy, dz dV=dxdydz
Flusso di un campo F attraverso il cubo elementare
Facce “x”
(x,y,z)
(x+dx,y,z) (x+dx,y+dy,z)
(x,y+dy,z)
(x,y+dy,z+dz)
(x+dx,y,z+dz)
(x,y,z+dz)
n = ex
n = - ex
dAx = dydz
x
y
z
(x+dx,y+dy,z+dz)
!n =!ex
!n = !
!ex
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Divergenza
divergenza = flusso per unita` di volume
divergenza di F
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F = x ex + y ey F = -x ex -y ey F = ey
div F = 2 div F = 0 div F = -2 “sorgente” “pozzo”
sorgente positiva sorgente negativa
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Teorema della divergenza
Un volume arbitrario puo` essere diviso in volumetti infinitesimi
I contributi sulle facce comuni di volumetti adiacenti si annullano (normali opposte)
Resta solo il contributo delle facce esterne = superficie che racchiude il volume
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Circuitazione
Campo conservativo Forza conservativa
Forma locale à teorema di Stokes
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Rotore
x
z
y
A = (x,y)
B = (x+dx,y)
C = (x+dx,y+dy)
D = (x,y+dy)
dy
dx A
B C
D ez
Circuitazione lungo il circuito elementare ABCD nel piano xy
( , ( , ) (( , ) ,) )z x xy yF x dxd F x y d F x y dyx dy dxyF x dx yd dyy + += +−+Γ + −
( ,( ,(( , ) , )) )xy yxF x y dx d F x y dyy dx dyFF x dx x yy≈ + − −++
dAz = dxdy n = dxdy ez
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Rotore ( , ) ( , ) (( ), ) ,z x yy xd F x y dx dF x y dxF x y dy dxy ydx F yΓ ≈ + − −++
[ ( , ) (] [ , ))) (( ,, ]x yyxF x y d F x dx yF x y xd dyF yy x= − + −++
( ([ ( , ) ] [, ) ( , ) , )]xy
yx yxFF x y dy F x y
FF x y dx dF x y d
xyx
y≈ − + −
∂+∂
∂−∂
( ) ( )y yx xz
F FF Fdxdy dAx y x y
∂ ∂∂ ∂= − = −
∂ ∂ ∂ ∂
! (!!"
!F ) z dAz = (
!!"
!F ) ! !ez dA = (
!!"
!F ) ! !ndA
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Rotore
In componenti: Esercizio:
(!!"
!F )i = ! ijk# j Fk
!!"
!F = det
!ex
!e y
!ez
##x
##y
##z
Fx Fy Fz
$
%
&&&&&
'
(
)))))
= det
!ex
!e y
!ez
#x # y #z
Fx Fy Fz
$
%
&&&&
'
(
))))
d ! x = (!"#
!F )x dAx
d ! y = (!"#
!F ) y dAy
d ! z = (!"#
!F ) z dAz
rot !F =
!!"
!F =
= (# y Fz $#z F y )!ex + (#z Fx $#x Fz )
!e y + (#x Fy $# y Fx )
!ez
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Teorema di Green (2 dim.)
Una superficie piana puo` essere approssimata col grado di accuratezza desiderato da una griglia di “rettangolini” elementari I contributi dei lati adiacenti si annullano e resta solo il contributo del contorno che racchiude la superficie (teorema di Green)
!F !d
!x
C"" = (#Fy
#xDC
" $#Fx#y)dxdy
= (!!"
!F
Dc
# ) $!ez dA
DC
n=ez
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Teorema di Stokes
somma sulle proiezioni y yz zx x
x y z
F FF FF Fd dA dA dAy z z y x y
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂Γ = − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
!ndA = nxdA
!ex + nydA
!e y + nz dA
!ez = dAx
!ex + dAy
!e y + dAz
!ez
Generalizzazione allo spazio 3-dim del teorema di Green
d ! = (!"#
!F ) $ !ndA
!F !d
!x
C!" = ("#$
"F ) ! !n dA
%"
!!"
!F
C
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Campo conservativo
Esercizio: dimostrare che il rotore di un gradiente e` nullo.
!F !d
!x
C!" = 0Espressione integrale
Espressione differenziale
!F !d
!x
C!" = ("#$
"F ) !
!n dASC" = 0 %C &
!#$
!F = 0
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Superficie equipotenziale
Rappresentazione alternativa alle linee di campo per i campi conservativi
Linee di campo ortogonali alle superficie equipotenziale
Linee di forza verso zone a potenziale minore
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Esempio
(x,0,0)
(x,y,0)
(x,y,z)
(0,0,0)
x
y
z
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Laplaciano
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Invarianti
!rP = xi!ei = x ' j
!e ' j
x 'k = xi!ei !!e 'k " Rkixi
Rki !!ei "!e 'k Matrice di rotazione
RT ! R"1 detR = ±1
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Invarianti Una funzione che dipende solo dal punto (es. la temperatura) e` INVARIANTE rispetto alla trasformazione considerata (rotazione)
Una funzione invariante si dice uno SCALARE
! '(x ', y ', z ') =!(x, y, z)
Esempio: il prodotto scalare e` invariante per rotazioni
x 'i y 'i = RikxkRij yj = RikRij xkyj = RkiTRij xkyj = (R!1)ki Rij xkyj
= !kj xk yj = x jyj
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Relazioni campo-sorgenti
Un campo vettoriale nello spazio 3-dim e` determinato univocamente se sono dati il suo rotore e la sua divergenza (se si annullano abbastanza velocemente all’infinito)
si puo` sempre scrivere in questo modo
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Relazioni campo-sorgenti
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Equazioni di Maxwell
equazione di continuita`
forza di Lorentz