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Terne PitagorichePitagora, Euclide e la Carega della Sposa
prof. Andrea Albiero
Olimpiadi della Matematica
6 novembre 2009
prof. Andrea Albiero Terne Pitagoriche
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Il Teorema di Euclide
Tutti quanti conoscerete questo enunciato:
Proposizione 8, libro VI
Se in un triangolo rettangolo si conduce dall’angolo rettoalla base, i triangoli cosı formati saranno simili al dato esimili tra loro.
proposta nell’edizione del 1930 a cura di F.Enriques, degli“Elementi” di Euclide.No? giusto voi le conoscete cosı:
prof. Andrea Albiero Terne Pitagoriche
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Il Teorema di Euclide
Tutti quanti conoscerete questo enunciato:Proposizione 8, libro VI
Se in un triangolo rettangolo si conduce dall’angolo rettoalla base, i triangoli cosı formati saranno simili al dato esimili tra loro.
proposta nell’edizione del 1930 a cura di F.Enriques, degli“Elementi” di Euclide.No? giusto voi le conoscete cosı:
prof. Andrea Albiero Terne Pitagoriche
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Il Teorema di Euclide
Tutti quanti conoscerete questo enunciato:Proposizione 8, libro VI
Se in un triangolo rettangolo si conduce dall’angolo rettoalla base, i triangoli cosı formati saranno simili al dato esimili tra loro.
proposta nell’edizione del 1930 a cura di F.Enriques, degli“Elementi” di Euclide.
No? giusto voi le conoscete cosı:
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Il Teorema di Euclide
Tutti quanti conoscerete questo enunciato:Proposizione 8, libro VI
Se in un triangolo rettangolo si conduce dall’angolo rettoalla base, i triangoli cosı formati saranno simili al dato esimili tra loro.
proposta nell’edizione del 1930 a cura di F.Enriques, degli“Elementi” di Euclide.No?
giusto voi le conoscete cosı:
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Il Teorema di Euclide
Tutti quanti conoscerete questo enunciato:Proposizione 8, libro VI
Se in un triangolo rettangolo si conduce dall’angolo rettoalla base, i triangoli cosı formati saranno simili al dato esimili tra loro.
proposta nell’edizione del 1930 a cura di F.Enriques, degli“Elementi” di Euclide.No? giusto voi le conoscete cosı:
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Il Teorema di Euclide
“Il quadrato costruito su di un cateto e equivalente alrettangolo che ha per dimensioni la sua proiezionesull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa.”
o meglio:
“In un triangolo rettangolo un cateto e medioproporzionale tra la sua proiezione sull’ipotenusa el’ipotenusa stessa.”
p : c = c : ip
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Il Teorema di Euclide
“Il quadrato costruito su di un cateto e equivalente alrettangolo che ha per dimensioni la sua proiezionesull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa.”
o meglio:
“In un triangolo rettangolo un cateto e medioproporzionale tra la sua proiezione sull’ipotenusa el’ipotenusa stessa.”
p : c = c : ip
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Il Teorema di Euclide
“Il quadrato costruito su di un cateto e equivalente alrettangolo che ha per dimensioni la sua proiezionesull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa.”
o meglio:
“In un triangolo rettangolo un cateto e medioproporzionale tra la sua proiezione sull’ipotenusa el’ipotenusa stessa.”
p : c = c : ip
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Il Teorema di Euclide
“Il quadrato costruito su di un cateto e equivalente alrettangolo che ha per dimensioni la sua proiezionesull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa.”
o meglio:
“In un triangolo rettangolo un cateto e medioproporzionale tra la sua proiezione sull’ipotenusa el’ipotenusa stessa.”
p : c = c : ip
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Teorema di Pitagora
A questo punto cerchiamo di vedere come dai due Teoremi diEuclide, si possa passare velocemente al Teorema di Pitagora.
Chiamiamo p la proiezione del cateto c1 = a, q quella del catetoc2 = b, e l’ipotenusa ip = c ; riscriviamo entrambe le relazionirelative ai due cateti:
c 21 = a2 = ip · q e c 2
2 = b2 = ip · p
Sommando le due espressioni otteniamo la relazione piu conosciuta:
a2 + b2 = ip · (p + q) = ip2 = c2
Ma non e cosı!
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Teorema di Pitagora
A questo punto cerchiamo di vedere come dai due Teoremi diEuclide, si possa passare velocemente al Teorema di Pitagora.Chiamiamo p la proiezione del cateto c1 = a, q quella del catetoc2 = b, e l’ipotenusa ip = c ;
riscriviamo entrambe le relazionirelative ai due cateti:
c 21 = a2 = ip · q e c 2
2 = b2 = ip · p
Sommando le due espressioni otteniamo la relazione piu conosciuta:
a2 + b2 = ip · (p + q) = ip2 = c2
Ma non e cosı!
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Teorema di Pitagora
A questo punto cerchiamo di vedere come dai due Teoremi diEuclide, si possa passare velocemente al Teorema di Pitagora.Chiamiamo p la proiezione del cateto c1 = a, q quella del catetoc2 = b, e l’ipotenusa ip = c ; riscriviamo entrambe le relazionirelative ai due cateti:
c 21 = a2 = ip · q e c 2
2 = b2 = ip · p
Sommando le due espressioni otteniamo la relazione piu conosciuta:
a2 + b2 = ip · (p + q) = ip2 = c2
Ma non e cosı!
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Teorema di Pitagora
A questo punto cerchiamo di vedere come dai due Teoremi diEuclide, si possa passare velocemente al Teorema di Pitagora.Chiamiamo p la proiezione del cateto c1 = a, q quella del catetoc2 = b, e l’ipotenusa ip = c ; riscriviamo entrambe le relazionirelative ai due cateti:
c 21 = a2 = ip · q e c 2
2 = b2 = ip · p
Sommando le due espressioni otteniamo la relazione piu conosciuta:
a2 + b2 = ip · (p + q) = ip2 = c2
Ma non e cosı!
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Teorema di Pitagora
A questo punto cerchiamo di vedere come dai due Teoremi diEuclide, si possa passare velocemente al Teorema di Pitagora.Chiamiamo p la proiezione del cateto c1 = a, q quella del catetoc2 = b, e l’ipotenusa ip = c ; riscriviamo entrambe le relazionirelative ai due cateti:
c 21 = a2 = ip · q e c 2
2 = b2 = ip · p
Sommando le due espressioni otteniamo la relazione piu conosciuta:
a2 + b2 = ip · (p + q) = ip2 = c2
Ma non e cosı!
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Teorema di Pitagora
Infatti:Proposizione 48, libro I
In un triangolo retto, il quadrato costruito sull’ipotenusa,e uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
e il suo inverso:Proposizione 49, libro I
Se in un triangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa, euguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti, esso eretto.
Ma perche e posto a conclusione del primo libro e non nel librodelle similitudini fra figure? E come si dimostra? E la “relazioneinversa” b2 = c2 − a2 e uno degli scopi del Teorema di Pitagora ilcui motto della Scuola e “Tutto e numero”?
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Teorema di Pitagora
Infatti:Proposizione 48, libro I
In un triangolo retto, il quadrato costruito sull’ipotenusa,e uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
e il suo inverso:
Proposizione 49, libro I
Se in un triangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa, euguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti, esso eretto.
Ma perche e posto a conclusione del primo libro e non nel librodelle similitudini fra figure? E come si dimostra? E la “relazioneinversa” b2 = c2 − a2 e uno degli scopi del Teorema di Pitagora ilcui motto della Scuola e “Tutto e numero”?
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Teorema di Pitagora
Infatti:Proposizione 48, libro I
In un triangolo retto, il quadrato costruito sull’ipotenusa,e uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
e il suo inverso:Proposizione 49, libro I
Se in un triangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa, euguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti, esso eretto.
Ma perche e posto a conclusione del primo libro e non nel librodelle similitudini fra figure? E come si dimostra? E la “relazioneinversa” b2 = c2 − a2 e uno degli scopi del Teorema di Pitagora ilcui motto della Scuola e “Tutto e numero”?
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Teorema di Pitagora
Infatti:Proposizione 48, libro I
In un triangolo retto, il quadrato costruito sull’ipotenusa,e uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
e il suo inverso:Proposizione 49, libro I
Se in un triangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa, euguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti, esso eretto.
Ma perche e posto a conclusione del primo libro e non nel librodelle similitudini fra figure?
E come si dimostra? E la “relazioneinversa” b2 = c2 − a2 e uno degli scopi del Teorema di Pitagora ilcui motto della Scuola e “Tutto e numero”?
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Teorema di Pitagora
Infatti:Proposizione 48, libro I
In un triangolo retto, il quadrato costruito sull’ipotenusa,e uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
e il suo inverso:Proposizione 49, libro I
Se in un triangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa, euguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti, esso eretto.
Ma perche e posto a conclusione del primo libro e non nel librodelle similitudini fra figure? E come si dimostra?
E la “relazioneinversa” b2 = c2 − a2 e uno degli scopi del Teorema di Pitagora ilcui motto della Scuola e “Tutto e numero”?
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Teorema di Pitagora
Infatti:Proposizione 48, libro I
In un triangolo retto, il quadrato costruito sull’ipotenusa,e uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
e il suo inverso:Proposizione 49, libro I
Se in un triangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa, euguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti, esso eretto.
Ma perche e posto a conclusione del primo libro e non nel librodelle similitudini fra figure? E come si dimostra? E la “relazioneinversa” b2 = c2 − a2 e uno degli scopi del Teorema di Pitagora ilcui motto della Scuola e “Tutto e numero”?
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Terne Pitagoriche
Proviamo a vedere meglio il significato del Teorema di Pitagora,cosı come fu dimostrato da Diofanto nell’Arithmetica:
sianom, n ∈ Z. Definiamo:
a = m2 − n2
b = 2m · nc = m2 + n2
e immediato verificare che
c2 = a2 + b2
a2 + b2 = m4 − 2m2 · n2 + n4 + 4m2 · n2
= m4 + 2m2 · n2 + n4
c2 = m4 + 2m2 · n2 + n4
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Terne Pitagoriche
Proviamo a vedere meglio il significato del Teorema di Pitagora,cosı come fu dimostrato da Diofanto nell’Arithmetica: sianom, n ∈ Z. Definiamo:
a = m2 − n2
b = 2m · nc = m2 + n2
e immediato verificare che
c2 = a2 + b2
a2 + b2 = m4 − 2m2 · n2 + n4 + 4m2 · n2
= m4 + 2m2 · n2 + n4
c2 = m4 + 2m2 · n2 + n4
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Terne Pitagoriche
Proviamo a vedere meglio il significato del Teorema di Pitagora,cosı come fu dimostrato da Diofanto nell’Arithmetica: sianom, n ∈ Z. Definiamo:
a = m2 − n2
b = 2m · n
c = m2 + n2
e immediato verificare che
c2 = a2 + b2
a2 + b2 = m4 − 2m2 · n2 + n4 + 4m2 · n2
= m4 + 2m2 · n2 + n4
c2 = m4 + 2m2 · n2 + n4
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Terne Pitagoriche
Proviamo a vedere meglio il significato del Teorema di Pitagora,cosı come fu dimostrato da Diofanto nell’Arithmetica: sianom, n ∈ Z. Definiamo:
a = m2 − n2
b = 2m · nc = m2 + n2
e immediato verificare che
c2 = a2 + b2
a2 + b2 = m4 − 2m2 · n2 + n4 + 4m2 · n2
= m4 + 2m2 · n2 + n4
c2 = m4 + 2m2 · n2 + n4
prof. Andrea Albiero Terne Pitagoriche
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Terne Pitagoriche
Proviamo a vedere meglio il significato del Teorema di Pitagora,cosı come fu dimostrato da Diofanto nell’Arithmetica: sianom, n ∈ Z. Definiamo:
a = m2 − n2
b = 2m · nc = m2 + n2
e immediato verificare che
c2 = a2 + b2
a2 + b2 = m4 − 2m2 · n2 + n4 + 4m2 · n2
= m4 + 2m2 · n2 + n4
c2 = m4 + 2m2 · n2 + n4
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Terne Pitagoriche
Proviamo a vedere meglio il significato del Teorema di Pitagora,cosı come fu dimostrato da Diofanto nell’Arithmetica: sianom, n ∈ Z. Definiamo:
a = m2 − n2
b = 2m · nc = m2 + n2
e immediato verificare che
c2 = a2 + b2
a2 + b2 = m4 − 2m2 · n2 + n4 + 4m2 · n2
= m4 + 2m2 · n2 + n4
c2 = m4 + 2m2 · n2 + n4
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Terne Pitagoriche
Proviamo a vedere meglio il significato del Teorema di Pitagora,cosı come fu dimostrato da Diofanto nell’Arithmetica: sianom, n ∈ Z. Definiamo:
a = m2 − n2
b = 2m · nc = m2 + n2
e immediato verificare che
c2 = a2 + b2
a2 + b2 = m4 − 2m2 · n2 + n4 + 4m2 · n2
= m4 + 2m2 · n2 + n4
c2 = m4 + 2m2 · n2 + n4
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Terne Pitagoriche
Proviamo a vedere meglio il significato del Teorema di Pitagora,cosı come fu dimostrato da Diofanto nell’Arithmetica: sianom, n ∈ Z. Definiamo:
a = m2 − n2
b = 2m · nc = m2 + n2
e immediato verificare che
c2 = a2 + b2
a2 + b2 = m4 − 2m2 · n2 + n4 + 4m2 · n2
= m4 + 2m2 · n2 + n4
c2 = m4 + 2m2 · n2 + n4
prof. Andrea Albiero Terne Pitagoriche
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Terne Pitagoriche
Le tre formule ci danno tutte le possibili Terne Pitagoriche?
Osservazione:
data una terna (a, b, c), anche la terna (k · a, k · b, k · c)e una terna pitagorica.
Ma noi cerchiamo quelle ceh si dicono Terne Primitive, quelleformate da una coppia (a, b) il cui M.C.D. e 1 (e per cui anche(m, n) sono co-primi!).Le altre si possono trovare moltiplicando!
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Terne Pitagoriche
Le tre formule ci danno tutte le possibili Terne Pitagoriche?Osservazione:
data una terna (a, b, c), anche la terna (k · a, k · b, k · c)e una terna pitagorica.
Ma noi cerchiamo quelle ceh si dicono Terne Primitive, quelleformate da una coppia (a, b) il cui M.C.D. e 1 (e per cui anche(m, n) sono co-primi!).Le altre si possono trovare moltiplicando!
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Terne Pitagoriche
Le tre formule ci danno tutte le possibili Terne Pitagoriche?Osservazione:
data una terna (a, b, c), anche la terna (k · a, k · b, k · c)e una terna pitagorica.
Ma noi cerchiamo quelle ceh si dicono Terne Primitive, quelleformate da una coppia (a, b) il cui M.C.D. e 1 (e per cui anche(m, n) sono co-primi!).
Le altre si possono trovare moltiplicando!
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Terne Pitagoriche
Le tre formule ci danno tutte le possibili Terne Pitagoriche?Osservazione:
data una terna (a, b, c), anche la terna (k · a, k · b, k · c)e una terna pitagorica.
Ma noi cerchiamo quelle ceh si dicono Terne Primitive, quelleformate da una coppia (a, b) il cui M.C.D. e 1 (e per cui anche(m, n) sono co-primi!).Le altre si possono trovare moltiplicando!
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Terne Pitagoriche
Scegliamo m, n tali per cui n = m − 1
e quindi b = c − 1.Infatti
a = m2 − (m − 1)2
= m2 −m2 + 2m + 1
b = 2m · (m − 1)
= 2m2 − 2m
c = m2 + (m − 1)2
= 2m2 − 2m + 1
Se guardiamo bene le terne (3, 4, 5) e (5, 12, 13) sono generaterispettivamente dalle coppie (1, 2) e (2, 3)
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Terne Pitagoriche
Scegliamo m, n tali per cui n = m − 1 e quindi b = c − 1.
Infatti
a = m2 − (m − 1)2
= m2 −m2 + 2m + 1
b = 2m · (m − 1)
= 2m2 − 2m
c = m2 + (m − 1)2
= 2m2 − 2m + 1
Se guardiamo bene le terne (3, 4, 5) e (5, 12, 13) sono generaterispettivamente dalle coppie (1, 2) e (2, 3)
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Terne Pitagoriche
Scegliamo m, n tali per cui n = m − 1 e quindi b = c − 1.Infatti
a = m2 − (m − 1)2
= m2 −m2 + 2m + 1
b = 2m · (m − 1)
= 2m2 − 2m
c = m2 + (m − 1)2
= 2m2 − 2m + 1
Se guardiamo bene le terne (3, 4, 5) e (5, 12, 13) sono generaterispettivamente dalle coppie (1, 2) e (2, 3)
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Terne Pitagoriche
Scegliamo m, n tali per cui n = m − 1 e quindi b = c − 1.Infatti
a = m2 − (m − 1)2
= m2 −m2 + 2m + 1
b = 2m · (m − 1)
= 2m2 − 2m
c = m2 + (m − 1)2
= 2m2 − 2m + 1
Se guardiamo bene le terne (3, 4, 5) e (5, 12, 13) sono generaterispettivamente dalle coppie (1, 2) e (2, 3)
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Terne Pitagoriche
Scegliamo m, n tali per cui n = m − 1 e quindi b = c − 1.Infatti
a = m2 − (m − 1)2
= m2 −m2 + 2m + 1
b = 2m · (m − 1)
= 2m2 − 2m
c = m2 + (m − 1)2
= 2m2 − 2m + 1
Se guardiamo bene le terne (3, 4, 5) e (5, 12, 13) sono generaterispettivamente dalle coppie (1, 2) e (2, 3)
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Terne Pitagoriche
Scegliamo m, n tali per cui n = m − 1 e quindi b = c − 1.Infatti
a = m2 − (m − 1)2
= m2 −m2 + 2m + 1
b = 2m · (m − 1)
= 2m2 − 2m
c = m2 + (m − 1)2
= 2m2 − 2m + 1
Se guardiamo bene le terne (3, 4, 5) e (5, 12, 13) sono generaterispettivamente dalle coppie (1, 2) e (2, 3)
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Terne Pitagoriche
Scegliamo m, n tali per cui n = m − 1 e quindi b = c − 1.Infatti
a = m2 − (m − 1)2
= m2 −m2 + 2m + 1
b = 2m · (m − 1)
= 2m2 − 2m
c = m2 + (m − 1)2
= 2m2 − 2m + 1
Se guardiamo bene le terne (3, 4, 5) e (5, 12, 13) sono generaterispettivamente dalle coppie (1, 2) e (2, 3)
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Terne Pitagoriche
Scegliamo m, n tali per cui n = m − 1 e quindi b = c − 1.Infatti
a = m2 − (m − 1)2
= m2 −m2 + 2m + 1
b = 2m · (m − 1)
= 2m2 − 2m
c = m2 + (m − 1)2
= 2m2 − 2m + 1
Se guardiamo bene le terne (3, 4, 5) e (5, 12, 13) sono generaterispettivamente dalle coppie (1, 2) e (2, 3)
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Terne Pitagoriche
Scegliamo m, n tali per cui n = m − 1 e quindi b = c − 1.Infatti
a = m2 − (m − 1)2
= m2 −m2 + 2m + 1
b = 2m · (m − 1)
= 2m2 − 2m
c = m2 + (m − 1)2
= 2m2 − 2m + 1
Se guardiamo bene le terne (3, 4, 5) e (5, 12, 13) sono generaterispettivamente dalle coppie (1, 2) e (2, 3)
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Terne Pitagoriche
1 Adesso, invece, scegliamo m qualsiasi e n necessariamenteuguale a 1.
Otterremo le terne in cui la differenza fra il numero cherappresenta l’ipotenusa e quello del cateto maggiore, sara 2.Esempio: con m = 2 otterremo la terna (12, 35, 37).
2 In generale, la differenza fra il numero piu grande e quellopiu piccolo della terna e uguale al quadrato della differenza frai due numeri generatori.Ad esempio, con m = 5 e n = 2 abbiamo la terna (20, 21e29):la differenza fra i due numeri generatori, m e n, e 3 e ladifferenza fra i due numeri e 29 - 20 = 9.
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Terne Pitagoriche
1 Adesso, invece, scegliamo m qualsiasi e n necessariamenteuguale a 1.Otterremo le terne in cui la differenza fra il numero cherappresenta l’ipotenusa e quello del cateto maggiore, sara 2.
Esempio: con m = 2 otterremo la terna (12, 35, 37).
2 In generale, la differenza fra il numero piu grande e quellopiu piccolo della terna e uguale al quadrato della differenza frai due numeri generatori.Ad esempio, con m = 5 e n = 2 abbiamo la terna (20, 21e29):la differenza fra i due numeri generatori, m e n, e 3 e ladifferenza fra i due numeri e 29 - 20 = 9.
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Terne Pitagoriche
1 Adesso, invece, scegliamo m qualsiasi e n necessariamenteuguale a 1.Otterremo le terne in cui la differenza fra il numero cherappresenta l’ipotenusa e quello del cateto maggiore, sara 2.Esempio: con m = 2 otterremo la terna (12, 35, 37).
2 In generale, la differenza fra il numero piu grande e quellopiu piccolo della terna e uguale al quadrato della differenza frai due numeri generatori.Ad esempio, con m = 5 e n = 2 abbiamo la terna (20, 21e29):la differenza fra i due numeri generatori, m e n, e 3 e ladifferenza fra i due numeri e 29 - 20 = 9.
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Terne Pitagoriche
1 Adesso, invece, scegliamo m qualsiasi e n necessariamenteuguale a 1.Otterremo le terne in cui la differenza fra il numero cherappresenta l’ipotenusa e quello del cateto maggiore, sara 2.Esempio: con m = 2 otterremo la terna (12, 35, 37).
2 In generale, la differenza fra il numero piu grande e quellopiu piccolo della terna e uguale al quadrato della differenza frai due numeri generatori.
Ad esempio, con m = 5 e n = 2 abbiamo la terna (20, 21e29):la differenza fra i due numeri generatori, m e n, e 3 e ladifferenza fra i due numeri e 29 - 20 = 9.
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Terne Pitagoriche
1 Adesso, invece, scegliamo m qualsiasi e n necessariamenteuguale a 1.Otterremo le terne in cui la differenza fra il numero cherappresenta l’ipotenusa e quello del cateto maggiore, sara 2.Esempio: con m = 2 otterremo la terna (12, 35, 37).
2 In generale, la differenza fra il numero piu grande e quellopiu piccolo della terna e uguale al quadrato della differenza frai due numeri generatori.Ad esempio, con m = 5 e n = 2 abbiamo la terna (20, 21e29):la differenza fra i due numeri generatori, m e n, e 3 e ladifferenza fra i due numeri e 29 - 20 = 9.
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Esercizio
Dalle terne passiamo alle quaterne pitagoriche:
d2 = a2 + b2 + c2
Esempio: (3, 4, 12, 13) Provate!
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Esercizio
Dalle terne passiamo alle quaterne pitagoriche:
d2 = a2 + b2 + c2
Esempio: (3, 4, 12, 13) Provate!
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Esercizio
Dalle terne passiamo alle quaterne pitagoriche:
d2 = a2 + b2 + c2
Esempio: (3, 4, 12, 13)
Provate!
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Esercizio
Dalle terne passiamo alle quaterne pitagoriche:
d2 = a2 + b2 + c2
Esempio: (3, 4, 12, 13) Provate!
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Bibliografia
Courant-Robbins: ”Che cos’e la Matematica?”, UniversaleScientifica Boringhieri
Carl B.Boyer:”Storia della Matematica”, Oscar Saggi MondadoriMaraschini-Palma: ”Conoscenze Matematiche”, ParaviaClaudio Bartocci (a cura di): ”Raconti Matematici”, EinaudiAA.VV.: ”La Garzantina delle Scienze”, Ed. garzantiSusan Sontag: ”Sulla Fotografia”, Ed. Einaudi
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Bibliografia
Courant-Robbins: ”Che cos’e la Matematica?”, UniversaleScientifica BoringhieriCarl B.Boyer:”Storia della Matematica”, Oscar Saggi Mondadori
Maraschini-Palma: ”Conoscenze Matematiche”, ParaviaClaudio Bartocci (a cura di): ”Raconti Matematici”, EinaudiAA.VV.: ”La Garzantina delle Scienze”, Ed. garzantiSusan Sontag: ”Sulla Fotografia”, Ed. Einaudi
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Bibliografia
Courant-Robbins: ”Che cos’e la Matematica?”, UniversaleScientifica BoringhieriCarl B.Boyer:”Storia della Matematica”, Oscar Saggi MondadoriMaraschini-Palma: ”Conoscenze Matematiche”, Paravia
Claudio Bartocci (a cura di): ”Raconti Matematici”, EinaudiAA.VV.: ”La Garzantina delle Scienze”, Ed. garzantiSusan Sontag: ”Sulla Fotografia”, Ed. Einaudi
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Bibliografia
Courant-Robbins: ”Che cos’e la Matematica?”, UniversaleScientifica BoringhieriCarl B.Boyer:”Storia della Matematica”, Oscar Saggi MondadoriMaraschini-Palma: ”Conoscenze Matematiche”, ParaviaClaudio Bartocci (a cura di): ”Raconti Matematici”, Einaudi
AA.VV.: ”La Garzantina delle Scienze”, Ed. garzantiSusan Sontag: ”Sulla Fotografia”, Ed. Einaudi
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Bibliografia
Courant-Robbins: ”Che cos’e la Matematica?”, UniversaleScientifica BoringhieriCarl B.Boyer:”Storia della Matematica”, Oscar Saggi MondadoriMaraschini-Palma: ”Conoscenze Matematiche”, ParaviaClaudio Bartocci (a cura di): ”Raconti Matematici”, EinaudiAA.VV.: ”La Garzantina delle Scienze”, Ed. garzanti
Susan Sontag: ”Sulla Fotografia”, Ed. Einaudi
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Bibliografia
Courant-Robbins: ”Che cos’e la Matematica?”, UniversaleScientifica BoringhieriCarl B.Boyer:”Storia della Matematica”, Oscar Saggi MondadoriMaraschini-Palma: ”Conoscenze Matematiche”, ParaviaClaudio Bartocci (a cura di): ”Raconti Matematici”, EinaudiAA.VV.: ”La Garzantina delle Scienze”, Ed. garzantiSusan Sontag: ”Sulla Fotografia”, Ed. Einaudi
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