numeri complessi e interpolazione trigonometrica seminari di metodi matematici per lottimizzazione...
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NUMERI COMPLESSI E INTERPOLAZIONE TRIGONOMETRICA
SEMINARI DI
METODI MATEMATICI PER L’OTTIMIZZAZIONEA.A 2011/2012
PARTE II NUMERI COMPLESSI
SANTAMARIA DANIELE VENTURA MARCO
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Contenuti
• Nascita dei numeri complessi.
• Rappresentazioni dei numeri complessi.
• Potenza n-esima.
• Radici n-esima.
• Radici n-esima dell’unità.
• Formule di Eulero
Esercizi !
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o Niccolò Fontana detto Tartaglia (1500-1559) li utilizzò come «artifici algebrici» per risolvere equazioni di terzo grado (pubblicati da Cardano).
o Rafael Bombelli (1526-1572) si occupò del caso irriducibile delle equazioni di terzo grado, formulando le leggi formali di calcolo «complesso».
Perché i numeri complessi
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La Soluzione di Cardano:
x3+px=q
Ma se è negativo ?
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Bombelli prese in esame le «quantità silvestri» ( le radici immaginarie) introducendo i termini «più di meno» (+i) e «meno di meno (-i) e formulò le seguenti regole ( algebra dei «quaternioni») :
Successivamente (nel Seicento) Cartesio chiamò i «nuovi numeri» numeri immaginari e solo nell’Ottocento i numeri non immaginari furono chiamati reali. Nel Settecento si sviluppò la parte teorica dei numeri complessi, fino ad allora utilizzati come «artifizi».
(+1)· (+i) = +i(–1)· (+i) = –i(+1)· (–i) = –i(–1)· (–i) = +i(+i)· (+i) = –1(+i)· (–i) = +1(–i)· (+i) = +1(–i)· (–i) = –1
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I numeri complessi sono nati, quindi, per risolvere un ampia classe di problemi non risolvibili in R .
Un numero complesso nella forma z=x+iyÈ costituito da una parte reale x
E una immaginaria iy
dove y è il coefficiente della parte immaginaria .Per y=0 si ottiene l’insieme dei numeri reali, per cui
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Indicheremo complesso coniugato come il numero complesso che ha la stessa parte reale di ma parte immaginaria opposta.
Si definisce modulo di il numero
Definiamo inverso di il numero complesso:
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Addizione
- Proprietà associativa.- Proprietà commutativa.
- z ammette –z simmetrico rispetto all’addizione (opposto) tale che
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Moltiplicazione
• Proprietà associativa e commutativa.
• z ammette il reciproco:
• Vale la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto l’addizione vale sia a destra che a sinistra:
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• A volte la rappresentazione algebrica dei numeri complessi può rilevarsi scomoda per alcune operazioni.
• È possibile, tuttavia, fare ricorso ad altre rappresentazioni.
• Rappresentazione Vettoriale.
• Rappresentazione Geometrica.
• Rappresentazione Trigonometrica ( o polare)
• Rappresentazione Esponenziale.
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Rappresentazione VettorialeChiamiamo piano vettoriale un piano in cui si fissa:• Un’origine O;• Un vettore unitario (vettore non nullo);• Il verso positivo delle rotazioni attorno O.Definiamo un numero complesso di modulo ρ (numero reale non negativo) e argomento θ ( in radianti) un operatore che associa ad ogni vettore un vettore vettore ottenuto nel seguente modo.
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• Si moltiplica per ρ e si ottiene .• Si ruota attorno all’origine O di θ.
• Due numeri complessi si dicono uguali se hanno moduli uguali e argomenti che differiscono per un multiplo di 2π
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• Somma di numeri complessi (legge del parallelogramma).• Prodotto di numeri complessi (prodotto dei moduli e somma degli
argomenti).
Il prodotto (scalare) di due vettori è uno scalare. Il prodotto di un vettore per uno scalare è un vettore. In C il prodotto di due numeri complessi è un numero complesso.
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Rappresentazione Geometrica
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e dato un numero complesso z=x+iy , i suoi numeri reali x e y possono essere interpretati come coordinate cartesiane del punto P
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• y . Da cui • =ρ=• z=ρ() • ,
Si definisce il prodotto di due numeri complessiz=))
( applicando le formule di addizione del sen e cos)
Rappresentazione Trigonometrica
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• La Divisionez = ))(applicando le formule di sottrazione del sen e cos)
• La potenza n-esima ( formula di De Moivre) (indotta dalla moltiplicazione)
Ammette una ed una sola soluzione.
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Utilizzando De Moivre si dimostra che per ogni z non nullo e esistono n radici n-esime di z tali che
Con
Date dalla formula
k=0,..n-1
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Si ha che esiste un unico tali che:
Per cui le radici distinte sono n ( quelle per cui k=0,1,..n-1 )Tali punti rappresentano nel piano complesso i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di centro O e raggio .
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Nel caso z=1 si ottengono le radici n-esime dell’unità
per k=0,..,n-1.
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Inoltre vale: ma non vale Poiché .
Analogamente:
• {}
•
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In generale:La radice n-esima ( con n pari) di un numero positivo dà sempre due radici reali e le altre complesse.La radice n-esima ( con n dispari) di un numero positivo dà sempre una radice reale e le altre complesse.Sia N un numero qualunque, sia x una qualsiasi delle sue radice n-esime (), allora i numeri
Sono tutti numeri distinti perché distinti sono i beta, inoltre si ha:
Le radici di z non sono “allineate” alle radice dell’unità.
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Si dimostra, grazie ai numeri complessi, il teorema fondamentale dell’algebra (generalizzazione):
Dato un Polinomio di grado n
++..++ ,
Esso ha n radici in C, ciascuna contata con la dovuta molteplicità (ad es. per n=5 si può avere x=2 soluzione doppia, x=3 soluzione semplice, x=4 doppia, per cui n=5).
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Rappresentazione EsponenzialeUn numero complesso z=x+iy si può rappresentare come:
(formula di Eulero)
Per un numero complesso di modulo unitario si ha:
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Tali formule sono ottenute a partire dalla forma trigonometrica z=ρ() sfruttando lo sviluppo in serie del seno, coseno e , infatti:
• • •
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Mediante tali relazioni e posto si ha:
Moltiplicando e ordinando si ha:
=
Per lo sviluppo in serie di con si ha
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Analogamente alle altre forme si ha, dato il numero complesso z:
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Formula di De Moivre:
Radice n-esima:
Potenza:
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Eulero introdusse anche le seguenti formule iperboliche:
= =
In particolare, se si ha:
=
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• Dato i numeri complessi e possiamo dare un significato geometrico al prodotto :
= =
ovvero una rotazione insenso antiorario delvettore .
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Dalle formule di Eulero si ottiene anche l’identità:
+1=0
In generale valgono le seguenti identità:
-i=0 +i=0 -1=0
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Campi di Applicazione
• Teoria dei numeri
• Integrali impropri
• Equazioni differenziali
• Frattali
• Dinamica dei fluidi
• Meccanica Quantistica
• Relatività
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PARTE I FINE