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Lezione di astronomia
Maurizio [email protected]
Dipartimento di FisicaUniversità degli studi di Milano
9 Novembre 2017
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Parte I
Teoria dei sistemi binari
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Sistemi binari
I sistemi binari sono fondamentali per permetterela determinazione della massa delle stelle.
Sono gli unici casi in cui sia possibile determinarela massa di una stella (a parte casi particolari).
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Osservazione di sistemi binari
i
Per binarie ad eclisse, i « 90˝.
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Osservazione di sistemi binari
https://www.youtube.com/watch?v=6MyBy-jObrY
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Osservazione di sistemi binari
CMr1
r2
R
Nel sistema del c.d.m. vale che#
M1v1 “ M2v2,2πr1v1
“2πr2v2“ P,
da cuir1
r2“
v1
v2“
M2
M1.
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Osservazione di sistemi binari
CMr1
r2
R
Dalle leggi di Newton ricaviamo che#
GM1M2R2 “ M1
v21
r1,
GM1M2R2 “ M2
v22
r2,
da cui M1`M2 “P
2πG
`
v1`v2˘3.
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Osservazione di sistemi binari
Le equazioni
r1
r2“
v1
v2“
M2
M1,
M1 `M2 “P
2πG
`
v1 ` v2˘3
descrivono la dinamica di un sistema binario conorbite circolari.
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Osservazione di sistemi binariDalla Terra possiamo misurare facilmente questequantità:
§ vr1 ” v1 sin i , vr2 ” v2 sin i ;§ Il periodo dell’orbita P.
Determinare r1 ed r2 è estremamente difficile.
In termini di vr1 e vr2, la seconda equazionediventa
M1 `M2 “P
2πG
`
vr1 ` vr2˘3
sin3 i
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Metodi numericiNei casi reali si usano metodi numerici, in mododa tenere conto di altri effetti:
1. Ellitticità delle orbite;2. Deformazione della stella causata dalla
rotazione (importante nelle eclissi);3. Limb darkening (minore luminosità al bordo);4. Gravity darkening (minore temperatura
all’Equatore a causa del rigonfiamentorotazionale);
5. Mutua interazione gravitazionale tra le duestelle (forze mareali);
6. Etc.
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Metodi numerici
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Parte II
Il sistema CV Velorum
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Il sistema binario CV Velorum
È un sistema binario spettroscopico per il qualesono visibili anche eclissi. (Costellazione dellaVela, nel cielo australe).
È un sistema molto interessante, studiato in piùlavori. Quelli a cui facciamo riferimento noi sono:
§ Andersen (A&A 44, 1975, pagg. 355-362);§ Clausen & Grønbeck (A&A 58, 1977, pagg.
131–137);§ Yakut et al. (A&A 467, 2007, pagg. 647–655).
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Periodo dell’orbita
Il periodo è stato determinato da Andersen (1975)e Clausen & Grønbeck (1977). Noi facciamoriferimento a quest’ultimo.
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Filtri e stelle calibratrici
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Tabella delle magnitudini
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EsercizioCosa si può dedurre sul sistema binario CVVelorum dal grafico precedente a proposito delledue stelle che lo compongono e della loroorientazione nello spazio?
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Caratteristiche di CV Vel
§ Le due stelle hanno luminosità e raggiosimile. . .
§ . . . quindi probabilmente il centro delle orbitecoincide col centro di massa. . .
§ quindi le due stelle hanno velocità orbitaliuguali in modulo.
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Periodo orbitale di CV Velorum
Clausen & Grønbeck lo quantificano nel numero
P “ 6.889 494 d.
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Spettroscopia di CV Velorum
Nel 2007 Yakut et al. hanno pubblicato un lavoro incui si fa un’analisi spettroscopica di CV Velorum.
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Velocità radiale
EsercizioDal grafico di Fig. 1 determinare la velocità radialemassima vr dalla riga di SiIII e di HeI, assumendoche i due grafici mostrino i due estremi delleoscillazioni Doppler delle righe.
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Effetto DopplerQuando la velocità radiale è massima (˘vr ), lelunghezze d’onda sono:
λ1 “c ` v0 ` vr
cλ0,
λ2 “c ` v0 ´ vr
cλ0,
da cui
v0 “
˜⟨λ1{2
⟩λ0
´ 1
¸
c, vr “ c∆λ
2λ0.
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Velocità radialePer SiIII:
v0 “
˜
4553.0 A
4552.6 A
¸
c « 26.3 km s´1,
vr “ c4555.0 A´ 4551.0 A
2ˆ 4552.6 A« 132 km s´1.
Per HeI:
v0 “
˜
6678.75 A
6678.1 A
¸
c « 29.2 km s´1,
vr “ c6681.5 A´ 6676.0 A
2ˆ 6678.1 A« 123 km s´1.
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Velocità radiale
Il valor medio di vr è
〈vr〉 “ 128 km s´1
(Yakut et al. citano v1 “ 126 km s´1 ev2 “ 128 km s´1).
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Velocità stimate da Yakut et al.
(Perché i dati sono “raggrumati” in gruppi?)
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Determinazione delle masseSe v1 “ v2 “ vr e i “ 90˝, allora
M1 `M2 “P
2πG
`
2vr˘3
e la massa totale è
M1 `M2 “6.89 d p2 ¨ 128 km{sq3
2π ¨ 6.67ˆ 10´11 Nm2
{kg2
“5.95ˆ 105
s ¨ 1.7ˆ 1013 m3
{s3
2π ¨ 6.67ˆ 10´11 m3
{kg s2
“ 11.2 Md.
Se le due stelle sono simili, assumiamo che
M1 « M2 « 5.6 Md.
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Parametri orbitali (Yakut et al.)
(Notare le discrepanze in V0, non ancoraspiegate).
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Studio delle righe
(Quale stella ruota più velocemente?)
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Classe spettrale
Sono stelle di tipo B (T « 18 000 K).
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Il database SIMBAD
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Il database SIMBAD
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Il database SIMBAD
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Yakut et al. (2014)
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Parte III
Come vanno di solito lecose
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Williams et al. (ApJ, 2013)
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HDE 229232
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HDE 308813
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The Astrophysics Source Code Library
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rvfit
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rvfit
Il programma rvfit sembra fare esattamente alcaso nostro:
§ Accetta in input le velocità radiali;§ Produce come output i parametri orbitali del
sistema;§ Non richiede di specificare le velocità radiali di
entrambe le stelle.
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rvfit
Il programma è scritto usando IDL, che è unlinguaggio di analisi dati molto usato in astronomia(insieme a Python).
IDL è un programma a pagamento; sui computerdel centro di calcolo è disponibile. Noi useremo unclone open-source, GNU Data Language.
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GNU Data Language
http://gnudatalanguage.sourceforge.net/
Sotto Ubuntu si può installare con“sudo apt-get install gnudatalanguage plplot12-driver-xwin”.
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rvfit
Il sito da cui scaricare il codice di rvfit(http://www.cefca.es/people/~riglesias/rvfit.html) diceche occorre installare nella stessa directory altripacchetti:
1. The IDL Astronomy User’s Library(http://idlastro.gsfc.nasa.gov/; scaricate il fileastron.tar.gz);
2. The Coyote IDL Library (http://idlcoyote.com/);3. Il file pxperfect.pro
(http://www.physics.wisc.edu/ craigm/idl/down/pxperfect.pro).
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Usare rvfit
Nell’archivio di rvfit è disponibile un file PDF chespiega come usarlo. Occorre preparare due file didati:
1. Un file di testo che contiene il tempo diosservazione, la velocità radiale e l’erroresulla velocità dell’oggetto osservato;
2. Un file di configurazione, che specifica comevada condotta l’analisi.
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Usare rvfit
Williams non ha messo a disposizione i dati informato elettronico. Dobbiamo quindi trascrivere amano la tabella 1 dell’articolo:
File HDE308813.dat:
2714.805 -0.6 1.7
2715.708 20.6 1.7
2715.840 31.2 1.8
...
(omettiamo la costante2.450.000 nei tempi).
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Usare rvfit
Il file di parametri che usiamo ha questa forma:
rvfile1 = HDE308813.dat
rvfile2 =
fitparam = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0]
valparam = [ 0.0, 0.0, 0.0d, 0.0d, 0.0, 0.0, 0.0]
L = [ 1.0, 2700, 0.0, 0., -10.0, -10.0, -10.0]
U = [20.0, 3200, 1.0, 360., 50.0, 50.0, 50.0]
rvfile2 serve se si hanno misure della secondastella, ma non è il nostro caso, quindi lo lasciamovuoto. I quattro vettori di numeri specificano iparametri da fittare.
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Usare rvfit
rvfile1 = HDE308813.dat
rvfile2 =
fitparam = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0]
valparam = [ 0.0, 0.0, 0.0d, 0.0d, 0.0, 0.0, 0.0]
L = [ 1.0, 2700, 0.0, 0., -10.0, -10.0, -10.0]
U = [20.0, 3200, 1.0, 360., 50.0, 50.0, 50.0]
Il primo vettore fitparam dice se un parametrodeve essere calcolato oppure supposto noto. (Sela binaria è a eclisse, è meglio supporre noto ilperiodo, perché è facile calcolarlo con precisione).Nel caso in cui sia noto, va specificato invalparam.
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Usare rvfit
rvfile1 = HDE308813.dat
rvfile2 =
fitparam = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0]
valparam = [ 0.0, 0.0, 0.0d, 0.0d, 0.0, 0.0, 0.0]
L = [ 1.0, 2700, 0.0, 0., -10.0, -10.0, -10.0]
U = [20.0, 3200, 1.0, 360., 50.0, 50.0, 50.0]
Il terzo e quarto vettore, L e U, specificanol’intervallo entro cui si possono far variare iparametri.
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Usare rvfit
I sette parametri sono, nell’ordine:1. Periodo orbitale P, in giorni;2. Tempo TP del periastro (massimo
avvicinamento tra le due stelle), in tempoGiuliano eliocentrico (HJD);
3. Eccentricità orbitale e (0: orbite circolari);4. Inclinazione del periastro ω, in gradi;5. Velocità del centro di massa γ, in km/s;6. Ampiezza della velocità radiale K1;7. Ampiezza della velocità radiale K2 (non usato
nel nostro caso).
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Stima dei parametriSiccome nel file dei parametri dobbiamo fissare gliintervalli di ogni parametro, è meglio dareun’occhiata ai dati. Usiamo come al solito Pythone Matplotlib:
import matplotlib.pylab as plt
import pandas
import numpy as np
data = pandas.read_csv('HDE308813.dat',
header=None, sep=' ',
names=('JD', 'v', 'sigma'))
plt.scatter(data['JD'], data['v'])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Radial velocity [km/s]')
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Dati di Williams (2013)
2600 2700 2800 2900 3000 3100 3200Date
30
20
10
0
10
20
30
40
Radia
l velo
city
[km
/s]
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Dati di Williams (2013)
3015 3020 3025 3030 3035Date
30
20
10
0
10
20
30
40
Radia
l velo
city
[km
/s]
Quindi possiamo provare a porre P « 7 d,2600 ď TP ď 3200, ´10 km/s ď γ,K1 ď 50 km/s.
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Uso di rvfit con i dati di HDE308813
Poniamo anche 0 ď e ď 1, e 0 ď ω ď 360˝. Il filedi parametri che useremo è quindi il seguente:
rvfile1 = HDE308813.dat
rvfile2 =
fitparam = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0]
valparam = [ 0.0, 0.0, 0.0d, 0.0d, 0.0, 0.0, 0.0]
L = [ 1.0, 2700, 0.0, 0., -10.0, -10.0, -10.0]
U = [20.0, 3200, 1.0, 360., 50.0, 50.0, 50.0]
Salviamolo con nome HDE308813-1.conf.
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Esecuzione di rvfitAvviamo rvfit usando GDL (o IDL):
GDL> rvfit, configfile='HDE308813-1.conf', outfile='HDE308813-1.out', /physics
Dopo qualche secondo, il programma produrrà ilrisultato seguente:
P 6.3385˘ 0.0009 dTP 2706.2˘ 0.3 HJDe 0.11˘ 0.02ω 124˘ 15˝
γ 8.5˘ 0.3 km/sK1 22.1˘ 0.5 km/s
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Parametri di Williams (2013)
Attenzione: per Williams, T0 non è il tempo delperiastro ma della massima velocità radiale(To “ TP).
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rvfit
Se però leggiamo meglio Williams, notiamo che hafatto un’assunzione importante:
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Miglioramento del fit
Se le orbite sono circolari, dobbiamo cambiare ilfile dei parametri così:
rvfile1 = HDE308813.dat
rvfile2 =
fitparam = [1, 1, 0, 1, 1, 1, 0]
valparam = [ 0.0, 0.0, 0.0d, 0.0d, 0.0, 0.0, 0.0]
L = [ 1.0, 2700, 0.0, 0., -10.0, -10.0, -10.0]
U = [20.0, 3200, 1.0, 360., 50.0, 50.0, 50.0]
Inoltre, i parametri TP e ω perdono significato.
Salviamo questa nuova versione con nomeHDE308813-2.conf.
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Esecuzione di rvfit
Avviamo rvfit usando GDL (o IDL):GDL> rvfit, configfile='HDE308813-2.conf', outfile='HDE308813-2.out', /physics
Confrontiamo i nuovi risultati con i vecchi:
Vecchio Nuovo Williams (2013)P [d] 6.3385˘ 0.0009 6.3389˘ 0.0009 6.340˘ 0.004e 0.11˘ 0.02 0.0˘ 0.0 0.0˘ 0.0γ [km/s] 8.5˘ 0.3 km/s 8.3˘ 0.3 km/s 8.5˘ 1.1K1 [km/s] 22.1˘ 0.5 21.9˘ 0.5 22.2˘ 1.5
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Grafici di rvfitCon l’opzione /physics, rvfit ha generato anchedue grafici con l’andamento delle velocità infunzione della fase:
HDE308813-1.conf HDE308813-2.conf