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LEZIONE 8
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limx!+x0
f(x) = 0
limx!+x0
1
f(x)=?Cosa si puo’ dire su
SeUn’altra forma indeterminata
se f(x) > 0 per ogni x vicino a x0
allora lim
x!x01
f(x) = +1
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In generale falso, si pensi a 1/x per x ! 0.
limx!x0
1
(x� x0)2k= +1
Per ogni k intero non negativo
Un altro limite importante:
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• limx!+1
(sin x+5)
2
x
;
• limx!�1
(cos x)
2e
x
x
5 ;
• limx!+1 e
�x
2
(ln(x))5 +px
Si noti che
• lim
x!�1(cos x)
2e
x
x
5 = lim
x!+1 � (cos(�x))
2e
�x
x
5 ;
• lim
x!+1 e
�x
2
(ln(x))
5
+
px = lim
t!+1 e
�t
(ln(
pt))
5
+ t
1/4
Calcolare:
Esercizio
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Abbiamo usato:
Se
• lim
x!+1 f(x) = +1
• lim
y!+1 g(y) = ↵
allora
lim
x!+1g(f(x)) = lim
y!+1g(y)
↵ puo anche essere +/�1.
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Se
• lim
x!x0 f(x) = y0
• lim
y!y0 g(y) = ↵
allora
lim
x!x0
g(f(x)) = lim
y!y0
g(y)
↵ puo anche essere +/�1.
x0 puo essere +/�1.
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Notate che
Esercizio
A)
B)
lim
x!0
log(1 +
1x
2 )
(1 +
1x
2 )3
=?
lim
x!0
log(1 +
1x
2 )
(1 +
1x
2 )3
= lim
y!+1
log(y)
y3
limx!+1
e�5x2+3x =?
sol. 0
sol. 0
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Continuita’
Una funzione f e detta continua in un punto x0
del suo dominio se
lim
x!x0
f(x) = f(x0)
limx!x0 f(x) = f(x0)
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Operazioni con funzioni continue
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Continuita funzione composta
Siano f e g due funzioni tali che
• f(g(x)) e ben definita in un dominio D,
• g e continua in x0 2 D, con
limx!x0
g(x) = g(x0)
• f e continua nel punto y0 = g(x0)
alloralim
x!x0
f(g(x)) = f(y0) = f(g(x)).
Ossia la funzione composta e continua in x0.
x0
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Esempi di funzioni continue
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Esercizio
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limx!+1
ln(2 + e�x) [ln(2)]
lim
x!+1cos
⇣3x+ 2
�x+ 4
⌘[cos(�3)]
lim
x!0cos
⇣3x+ 2
�x+ 4
⌘[cos(2/4)]
Determinare i seguenti limiti:Esercizio