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LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE
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DEFINIZIONE
Seno e cosenoConsideriamo la circonferenza goniometrica
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /1521. LE FUNZIONI SENO E COSENO
e sia B il punto della circonferenzaassociato ad .
Definiamo coseno e seno di , e indichiamo con cos e sen :
cos = xB ,
sen = yB .
e un angolo orientato ,
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Circonferenza di raggio unitario
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /1531. LE FUNZIONI SENO E COSENO
x 'r '
=OA'OB'
=OAOB
=cos α
y 'r '
=B ' A 'OB'
=BAOB
=sen α
Indichiamo con (x; y) le coordinate di B.
Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi
x = cos
Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'.
y = sen
Scopriamo che:
e
e quindi sen e cos
non dipendono dalla particolare circonferenza considerata,
ma solo dall’angolo .
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Triangoli rettangoli
cos = rapporto tra il cateto adiacenteall’angolo e
l’ipotenusa.
Il triangolo OA'B' è un triangolo rettangolo.
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /1541. LE FUNZIONI SENO E COSENO
sen = rapporto tra il cateto opposto all’angolo e
l’ipotenusa.
Le proprietà del seno e del coseno si applicano a tutti i triangoli rettangoli.
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LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /155
LE FUNZIONI SENO E COSENO: GRAFICI
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Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide, quello della funzione coseno cosinusoide. I due grafici differiscono per una traslazione di /2.
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /156
sen (x + 2) = sen x = sen (x + 4) = ... ,cos (x + 2) = cos x = cos (x + 4) = … ,
3. SINUSOIDE E COSINUSIDE
cioèsen (x + 2k) = sen x ,cos (x + 2k) = cos x .Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2 .
2
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mentre, se è noto sen ,
.
Da cui, se è noto cos ,
,
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /1574. LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE
Prima relazione fondamentale della goniometria
cos2 + sen2 = 1
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DEFINIZIONE
TangenteConsideriamo un angolo orientato ,e sia B il punto della circonferenza associato ad .
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /1585. LA FUNZIONE TANGENTE
tg α=y B
xB
Definiamo tangente di il rapporto, quando esiste, tra l’ordinata e l’ascissa di B:
.
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Un altro significato geometrico
Consideriamo il cerchio goniometrico e la sua tangente t.
Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /1595. LA FUNZIONE TANGENTE
Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'.
Triangolo rettangolo
tg = rapporto tra il cateto opposto all’angolo e il cateto adiacente. tg = ordinata di T.
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LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /15106. LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLA FUNZIONE
TANGENTE
Costruiamo il grafico della funzione y = tg x in [0;] riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y l’ordinata del punto T.
PROPRIETÀ
In particolare si verifica che:
tg x tende a + o – quando x si avvicina a /2,
tg x = – tg (–x).
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Il grafico completo della funzione tangente si chiama tangentoide.
LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /1511
tg ( + ) = tg = tg ( + 2) = ...
7. LA TANGENTOIDE
cioètg ( + k) = tg .
La funzione tangente è periodica di periodo .
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LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /15128. LA SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE
Seconda relazione fondamentale della goniometria
,
yB = sen , xB = cos ,
tg α=yB
xB
tg α=sen αcos α
.
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LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /15139. ESERCIZI: SENO E COSENO
Disegna, utilizzando la circonferenza goniometrica, gli angoli a cui corrispondono i seguenti valori.
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LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /15149. ESERCIZI: SENO E COSENO
Calcola il valore della funzione indicata, utilizzando le informazioni fornite.
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LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /151510. ESERCIZI: LA TANGENTE
Per ogni angolo a in figura, individua tg , quando esiste, sulla retta tangente alla circonferenza.
Disegna la circonferenza goniometrica e rappresenta la tangente dei seguenti angoli.
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LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /151610. ESERCIZI: LA TANGENTE
Calcola il valore di tg , usando le informazioni fornite.