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LE DEFINIZIONI
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Una definizione è essenzialmente una abbreviazione:
“un quadrilatero con i lati opposti paralleli si dice parallelogramma”
Esercizio: provare ad enunciare teoremi senza ricorrere a determinate definizioni
Esempio: “le diagonali di un parallelogramma si incontrano nel punto medio di entrambe”, provare ad enunciarlo senza usare le parole: diagonali, parallelogrammi e rette parallele”
“se le rette che contengono i lati opposti di un quadrilatero non hanno punti in comune, allora i due segmenti che congiungono ciascun vertice di quel quadrilatero con il vertice opposto si incontrano in un punto che divide ciascuno di essi in due parti congruenti”
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0. Quando / cosa si definisce?
• Oggetti che siano significativi dal punto di vista matematico.
ALTEZZA ???
Numeri divisibili per 2 NUMERI PARI
Numeri divisibili per 7 ???
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Esempi di definizioni poco significative dal punto di vista matematico e didattico:
• Frazioni ‘apparenti’
• Equazioni ‘spurie’
• …
La significatività, soprattutto a livello di scuola di base, è costruita all’interno dell’ambiente classe.
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1. Forma linguistica
• Non sempre permette di riconoscere una definizione
Un quadrilatero è un poligono con 4 lati.
Un numero divisibile per 6 è divisibile per 2 e per 3.
Un poligono con 4 lati si dice quadrilatero.
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2. I termini usati devono essere noti
Un quadrilatero è un poligono con 4 lati.
Devo PRIMA aver definito ‘poligono’ e ‘lati’
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In particolare non ci dev’essere circolarità
I numeri naturali sono i numeri interi positivi.
I numeri interi sono i numeri naturali positivi e negativi.
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Nel linguaggio quotidiano la circolarità è d’obbligo
Azione: il risultato dell’agire
Agire: ciò che risulta in una azione
Esempio di Luciano Coen e Achille C. Varzi, La Stampa, 5 marzo 2002
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In matematica ci sono oggetti ‘non definiti’ esplicitamente
• Insieme
• Numero naturale
• Punto, Retta, Piano…
Sono definiti implicitamente attraverso gli ASSIOMI
• …
• Per 2 punti passa una e una sola retta
• …
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3. Deve individuare univocamente l’oggetto
La circonferenza è una linea curva chiusa.
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Vale in un contesto che spesso rimane implicito
Tangente a una curva: retta che interseca la curva in un solo punto
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Un numero pari è un numero divisibile per 2
3
4???
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Non deve dipendere da aspetti non strutturali
• Un numero irrazionale è un numero con la radice
• Un numero pari è un numero che finisce per 0, 2, 4, 6, 8
25
10 in base tre
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4. Non è una descrizione
• Un martello è uno strumento che serve per piantare i chiodi; ha un manico di legno e una parte di metallo, che …
• Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati uguali e paralleli 2 a 2, 4 angoli uguali e retti, le diagonali uguali che si tagliano a metà e perpendicolari, …
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Dice solo le cose essenziali, e non quelle che si possono dimostrare come conseguenza
• Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati uguali e paralleli 2 a 2, 4 angoli uguali e retti, le diagonali uguali che si tagliano a metà e perpendicolari, …
• Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati uguali e 4 angoli uguali
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Dice solo le cose essenziali, e non quelle che si possono dimostrare come conseguenza
• Si coglie l’importanza di questo quando si ‘fa’ matematica, ad esempio quando si dimostra
• Dal punto di vista didattico può essere opportuno in alcuni casi non essere così ‘minimali’. Esempio: definireste i rettangoli come quadrilateri con 3 angoli retti?
• In ogni caso una stessa definizione si può dare in modi diversi equivalenti. Esempio: un numero si dice primo se ha esattamente due divisori, oppure se è diverso da 1 e divisibile solo per 1 e se stesso
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Come non dare definizioni…• L'altezza del triangolo è la distanza di un
vertice dal lato opposto
• Retta: insieme consecutivo e infinito di punti aventi sempre la stessa direzione.
• Piano: insieme continuo e infinito di rette.
• Un’ equazione non è altro che una forma abbreviata di annotazione dei dati di un problema