lancio dadi analisi probabilità esito somme varie
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Lancio dadi
• Analisi probabilità esito somme varie
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La probabilità che un evento possa verificarsi, nella ipotesi chesiano tutti equiprobabili (senza trucchi..) si calcola con il rapporto
tra il numero dei casi favorevoli a un evento e il numero totale deglieventi possibili
Px = nx / ntotali
Esempio : un dado a sei facce con numeri 1, 2 ,3, 4, 5, 6eventi totali possibili = 6
eventi favorevole all’uscita di uno specifico numero :uno per numeroP1 = 1/6P2= 1/6P3 = 1/6P4 = 1/6P5 = 1/6P6 = 1/6
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Lanciando un dado 10000 volte, numero di volte prevedibile che esca 4 ?
Lancio singolo:eventi possibili = 6
evento favorevole a 4 = 1P3 = 1 / 6 = 0.1666
0.1666/ 1 = x /10000x = 1666
4
Numero successi (frequenza assoluta): numero di esiti positivi su totale prove :x
Es.dado lanciato 60 volte : uscita 4 = 15 volte : x = 15
Frequenza relativa = numero successi / numero provef = x / n
F = x / n = 15 / 60 = ¼ = 0.25
È prevedibile che aumentando il numero delle prove aumenti in proporzioneanche il numero degli esiti positivi in funzione della probabilità dell’evento
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Simulazione lancio di un dado (1,2,3,4,5,6)
Visualizzazione esiti per 400 lanci, ripetuti per 6 volte: totale 2400 lanci
Per ogni 400 lanci si visualizzano esiti per 1,2,3,4,5,6
Per 2400 lanci si visualizzano esiti per 1,2,3,4,5,6
Per 2400 lanci si visualizzano percentuali per 1,2,3,4,5,6 :somma = 1
Probabilità per uscita 1,2,3,4,5,6 = 1 / 6 = 0.166
Probabilità risultanti da esperimento (2400 lanci), si approssimano a teoriche
0.164 – 0.171 - 0.161 - 0.164 – 0.172 – 0.165
0.166
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Primi 400 lanci del dado
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Eseguiti 1200 lanci ( 3 volte 400)
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Eseguiti 2400 lanci : 6 volte 400: tabella globale esperimento
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Lancio contemporaneo di due dadi
E1 = d1 = d2 numeri uguali (11,22,33,44,55,66) = 6
E2 = d1 + d2 = 6 (15,24,33,24,15) = 5
E3 = (E1 ∩ E2 ) = (33) = 1
p(E1) = 6/36
p(E2) = 5 / 36 = 5/36
P(E3) = 1/36
p(E12) = p(E1) + pE2) – p(E3) = 6/36 + 5/36 -1 /36 = 10 /36 = 5 / 18
E12=escono due numeri uguali (E1) oppure la somma = 6 (E2)
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Lancio contemporaneo di due dadi
E1 = non esce numero 1 (25)
E2 = somma facce = 5 (4)
E12 = non esce numero 1 (E1) oppure somma due numeri = 5 (E2)
E3 = coppie comuni,intersezione (2)
p(E1) = 25/36
p(E2) = 4/36
p(E3) = 2/36
p(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E3) = 25/36 + 4/36 – 2/36 = 3/4
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E1 = esce pari (2,,4,6) =3………………………p(e1) = 3/6
E3 = in comune , intersezione (2,4) = 2……..p(E3) = 2/6
E12 = esce E1 o E2
P(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E3) = 3 / 6 + 4/6 – 2/6 = 5/6
Lancio di un dado: (1,2,3,4,5,6)
E2 = esce < 5 (1,2,3,4)= 4…………………….p(e2) = 4/6
1 3 62 4
E2
E1
E3
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Lancio di due dadi: probabilità di ottenere determinate sommecon 36 lanci
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36 prove200 proveOsservare andamento diagrammi
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Lancio di un dado S = 6 (1,2,3,4,5,6)
E1 = ≠ 2 (1,3,4,5,6) p(E1) = 5 / 6
E2 = non < 6 ( 6 ) p(E2) = 1 /6
E3 = non > 3 (1,2,3) p(E3) = 3 / 6 = 1 / 2
E4 = non primo (2,4,6) p(E4) = 3/6 = 1/2
Calcola probabilità uscita numero diverso da 2, non minore di 6,non maggiore di 3, non primo
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Esercizi con soluzione
uso di probabilità semplice teoremi su probabilitàcalcolo combinatorio
descrizione mediante immaginiper didattica medio-elementare
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Lancio consecutivo di un dado per due volte = lancio contemporaneo 2 dadi
S = (1,2,3,4,5,6)
E1 = non esce il 6 ( 1,2,3,4,5)
Eventi possibili = disposizioni con ripetizione Dn,k = D6,2 = 6^2 = 36
Eventi favorevoli = disposizioni con ripetizione Dn,k = D5,2 = 5^2 = 25
Calcola probabilità E1 (esce 1,2,3,4,5) = Pf / Pp = 25 /36
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11
5544332211
11 2 3 4 5 >> 1 2 3 4 5 >> 1 ….5 (4) ….5 (4)
1 21 2 3 3 4 5 >> 3…..5 (2)4 5 >> 3…..5 (2)
1 2 31 2 3 44 5 >> 1 5 >> 1 … …5 (1)5 (1)
1 2 3 41 2 3 4 55 >> >> 1…5 ( 0) 1…5 ( 0)
11 2 2 3 4 5 >> 2 …5 (3) 3 4 5 >> 2 …5 (3)
1-11-11-21-21-31-31-41-41-51-5
2-12-12-22-32-32-42-42-52-5
3-13-13-23-23-33-43-43-53-5
4-14-14-24-24-34-34-44-44-54-5
5-15-15-25-25-35-35-45-45-5
Doppiette valide = 10
Escludere doppiette con stessi numeri o diverse solo per ordine
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486/38Lancio di un dado (1,2,3,4,5,6)
E12 = uscita numero pari o > 2 (2,4,6…3,4,5,6) ..(4,6)
E1 = uscita numero maggiore di 2 (3,4,5,6)
n
2 3 54 6
E2 = uscita numero pari (2,4,6)
P(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2) = 4/6 + 3/6 – 2/6 = 5/6
P(E1) = 4/6
P(E2)= 3/6
P(E12) = 2/6
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486/38Lancio di un dado (1,2,3,4,5,6)
E12 = uscita numero >3 o < 6 ((4,5,6)..(1,2,3,4,5))..4,5
E1 = uscita numero maggiore di 3 (4,5,6)
n
1,2,3 64 5
E2 = uscita numero <6 (1,2,3,4,5)
P(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2) = 3/6 + 5/6 – 2/6 = 6/6 = 1
P(E1) = 3/6
P(E2)= 5/6
P(E12) = 2/6
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Legge dei grandi numeri (casuale):la frequenza con la quale si presentaun evento si avvicina al valore della sua probabilità in funzione del
numero di prove: tali valori sono tanto più simili quanto maggiore è il numero delle prove eseguite Fx = Px * n
Il rapporto tra il numero dei successie il numero di proveva aumentando con
il numero delle provee il rapporto tra
successi e provesi avvicina al valore
della probabilità
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Esemplificazione lancio di un dado, con excel e numeri casuali tra 1 e 6
Per un lancio la probabilità che esca un numero tra 1 e 6 risulta 1/6 = 0.166
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Simulazione con 499 lanci: ricerca esiti e frequenza sul totale
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Ricerca su totale 499 e parziale 399
Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166)con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499
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Ricerca su parziale 299 e 199
Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166)con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499
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Ricerca su parziale 99 e 1
Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166)con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499
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Simulazione lanci successivi , sempre 499ricerca su totale
Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenzepur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)
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Simulazione lanci successivi , sempre 499ricerca su totale
Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenzepur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)
![Page 31: Lancio dadi Analisi probabilità esito somme varie](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081422/5542eb68497959361e8d45da/html5/thumbnails/31.jpg)
Simulazione lanci successivi , sempre 499ricerca su totale
Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenzepur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)
![Page 32: Lancio dadi Analisi probabilità esito somme varie](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081422/5542eb68497959361e8d45da/html5/thumbnails/32.jpg)
Simulazione lanci successivi , sempre 499ricerca su totale
Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenzepur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)
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Osservare rapporto tra numero di prove , frequenza e probabilità
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1 3 42 6 5
E2 = esce numero non inferiore a 3 (3, 4, 5, 6)
E1 = esce numero divisore di 6 (1,2,3,6
D = evento differenza tra insieme E1 e E2: D = E1 – E2si verifica quando si presenta E1 ma non E2:
formato da elementi di E1 e non di E2
D={ 1, 2 }D si verifica se esce un numero divisore di 6 ,minore di 3
1 2 4 53 6
E1
E2D
E1
E2D
A
B
Insieme differenza D : A - B
Comprende gli elementi di A che non appartengono a B
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A = esce numero minore di 4 { 1,2,3 }A=
A = evento contrario di A formato dagli elementi di X che non appartengono ad A
A complementare di A rispetto a X
{ 4, 5,6 }B=
1 2 3
4
5
6
{ 1,2, 3 ,4, 5,6 }X=
Non esce AA
Due eventi sono contrari se uno si verifica quando non si verifica l’altro
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Due ( o più) eventi , appartenenti allo stesso insieme di eventi, X,sono incompatibili
se il verificarsi di uno esclude la possibilità che si verifichi l’altro
2 4 6 1 3 5
Ed = esce numero dispari (1 3 5)
Ep = esce numero pari (2 4 6) X
Ep ∩ Ed = Ø
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1 5 6
E1 = esce numero dispari (1 3 5)
E2 = esce numero multiplodi 3 (3 6 )
E1 E2 =2
4
{ 1,2,3,4,5,6 }X=
3
{ 3 }
C = evento totale o somma logica o unione di E1, E2 se si verifica almeno uno degli eventi E1, E2 :comprende elementi che appartengono ad almeno uno dei due eventi
UC =
C={ 1, 3, 5, 6 }
C si verifica se esce un numero dispari o multiplo di 3
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5 2 2 6
E1 = esce numero dispari (1 3 5)
E2 = esce numero divisore di 6 (1,2,3,6
E1 E2 =
4
{ 1,2,3,4,5,6 }X=
{ 1,3 }
D = evento composto,prodotto logico,intersezione di E1, E2 se si verificano entrambi gli eventi E1, E2 :comprende elementi
che appartengono ad entrambi gli eventi
D =
D={ 1, 3 }
D si verifica se esce un numero dispari e divisore di 6
∩
1 3
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1 , 3 , 5
Ed = 1,3,5 Ep = 2,4,6
2
pEd = 3/6
pEp = 3/6 pE2 = 1/6
U
Ed Ep 0=
Intersezione Ed e Ep = insieme vuoto
Ed , Ep incompatibili
Ed U Ep = (1,3,5,2)
Unione di due eventi
P (Ed U Ep) = 4/6
P (Ed U Ep ) = pEd + pEp = 3/6 + 1/6 = 4/6
La probabilità della unione di eventi incompatibili (totale) è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi
Lancio di un dado :probabilità che esca numero dispari o 2
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Eventi correlati
Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esitievento condizionante B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5evento condizionato A = uno dei due dadi fornisce 2
Calcolare la probabilità di (A | B) 2
X
B = [(1,4), (2,3),(3,2),(4,1)] eventi che forniscono come somma 5: 4
A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]:11 eventi che forniscono almeno un 2
(A ∩ B) = [(2,3),(3,2)]: 2 eventi che forniscono insieme 5 e 2
P(A | B) = ( A ∩ B) / B = 2 / 4 = 1/2
P(A) = A / S = 11/36 = 0.305 < 0.5 : p(A | B) > p(A)
Evento A correlato positivamente a evento B: aumenta probabilità
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Eventi correlati
Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esitievento condizionato B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5evento condizionante A = uno dei due dadi fornisce 2
Calcolare la probabilità di (B | A) 2
X
B = [(1,4), (2,3),(3,2),(4,1)] eventi che forniscono come somma 5: 4
A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]:11 eventi che forniscono almeno un 2 e somma 5
(A ∩ B) = [(2,3),(3,2)]: 2 eventi che forniscono insieme 5 e 2
Evento B correlato positivamente a evento A: aumenta probabilità
p(B | A) = (A ∩ B) / A = 2 /11 = 0.18
P(B)= 4/36 = 1 /9 = 0.11 )
p(B | A) > p(B) : 0.18 > 0.11
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Se risulta
p(A | B ) > p(A) si ha correlazione positiva di A rispetto a B
p(A | B ) < p(A) si ha correlazione negativa di A rispetto a B
P(A | B ) = p(A) non esiste correlazione: sono indipendenti
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Terminologia essenziale: es. lancio di una moneta, dado
spazio campionario Sm = (T,C) con 2 campioni :T, C
spazio campionario Sd = (1,2,3,4,5,6) con 6 campioni: 1,2,3,4,5,6
Lancio di una moneta tre volte :spazio campionario S = Sm * Sm * Sm
=(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni
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Eventi correlati
Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esitievento condizionante B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5evento condizionato A = uno dei due dadi fornisce 2
Calcolare la probabilità di (A | B) 2
X
B = [(1,4), (2,3),(3,2),(4,1)] eventi che forniscono come somma 5: 4
A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]:11 eventi che forniscono almeno un 2
(A ∩ B) = [(2,3),(3,2)]: 2 eventi che forniscono insieme 5 e 2
P(A | B) = ( A ∩ B) / B = 2 / 4 = 1/2
P(A) = A / S = 11/36 = 0.305 < 0.5 : p(A | B) > p(A)
Evento A correlato positivamente a evento B: aumenta probabilità
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Eventi correlati
Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esitievento condizionato B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5evento condizionante A = uno dei due dadi fornisce 2
Calcolare la probabilità di (B | A) 2
X
B = [(1,4), (2,3),(3,2),(4,1)] eventi che forniscono come somma 5: 4
A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]:11 eventi che forniscono almeno un 2 e somma 5
(A ∩ B) = [(2,3),(3,2)]: 2 eventi che forniscono insieme 5 e 2
Evento B correlato positivamente a evento A: aumenta probabilità
p(B | A) = (A ∩ B) / A = 2 /11 = 0.18
P(B)= 4/36 = 1 /9 = 0.11 )
p(B | A) > p(B) : 0.18 > 0.11
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Terminologia essenziale: es. lancio di una moneta, dado
spazio campionario Sm = (T,C) con 2 campioni :T, C
spazio campionario Sd = (1,2,3,4,5,6) con 6 campioni: 1,2,3,4,5,6
Lancio di una moneta tre volte :spazio campionario S = Sm * Sm * Sm
=(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni
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Calcolare la probabilità che lanciando un dado esca un numero pari
Numero oggetti n = 6 (1,2,3,4,5,6)evento x numero pari (2,4,6) = 3
Px = x / n = 3 /6 = 1/2
Dato un mazzo con 40 carte (10 quadri, 10 cuori, 10 fiori, 10 picche)n = 40
calcolare probabilità di estrarre una figura (12 su 40): Pfcalcola probabilità di estrarre un asso (4 su 40) :Pacalcola probabilità di estrarre asso rosso (2 su 4):Pr
Pf = 12/40 = 3/10 Pa = 4 / 40 = 1 / 10Pr = 2 / 40 = 1 /20
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Lancio di due dadi : eventi possibili = 36:
1-12-23-34-45-56-6
1-21-31-41-51-6
2-12-32-42-52-6
3-13-23-43-53-6
4-14-24-34-54-6
5-15-25-35-45-6
6-16-26-36-46-5
Lanciando un dado, calcola probabilità che esca numero muliplo di 2oggetti n = 6
evento (2,4,6) = 3Px = 3/6 = 1/2
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Lancio di due dadi : eventi possibili = 36:
1-12-23-34-45-56-6
1-21-31-41-51-6
2-12-32-42-52-6
3-13-23-43-53-6
4-14-24-34-54-6
5-15-25-35-45-6
6-16-26-36-46-5
Probabilità che la somma di due numeri risulti 4 ?Evento (2+2, 1+3, 3+1) = 3….Px = 3 /36 = 1/12
Probabilità che la somma sia minore di 5 ?Evento(1+1,1+2,2+1, 2+2,1+3,3+1) = 6 …Px = 6/36 = 1/6
Probabilità che non esca 1 ?Evento(n azzurri + 2-2 ) = 25…..Px = 25/36
Probabilità che escano due numeri pari ?Evento (….) 9 ….Px = 9/36 = 1/4
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Colonne A, B valori dei due dadi colonna D somma valori dei due dadi per ogni lancio
colonna E conta comparsa somme uguali per valori d 2 a 12
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![Page 52: Lancio dadi Analisi probabilità esito somme varie](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081422/5542eb68497959361e8d45da/html5/thumbnails/52.jpg)
Somme uguali con stesso colore, diverso per ogni somma
Vedi esempio soluzione con excel
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Somma < 5 =1/6……due numeri pari = 1/4
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![Page 55: Lancio dadi Analisi probabilità esito somme varie](https://reader035.vdocumenti.com/reader035/viewer/2022081422/5542eb68497959361e8d45da/html5/thumbnails/55.jpg)
25 lanci senza comparsa di 1
Px = 25/36
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Programma per trovare lanci senza comparsa di 1
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Ricerca probabilità due dadi usando programma su excel