laboratorio macchine aritmetiche la pascalina 27 gennaio 20141
TRANSCRIPT
Laboratorio Macchine Aritmetiche
La Pascalina
11 aprile 2023 1
Le calcolatrici meccaniche si diffusero in Europa partire dal XVII secolo, quando era ormai noto (anche se non sempre utilizzato nella pratica) il sistema di notazione posizionale
11 aprile 2023 2
Origini
Blaise Pascal mise a punto una macchina da calcolo (l’antenato delle attuali calcolatrici) che eseguiva addizioni e sottrazioni utilizzando una serie di ruote dentate analoghe a quelle utilizzate negli orologi dell’epoca
11 aprile 2023 3
Un po’ di storia…
La Pascalina, così è stata soprannominata la macchina da calcolo di Pascal, è stata una delle prime macchine da calcolo in grado di effettuare addizioni e sottrazioni con il riporto automatico delle unità
11 aprile 2023 4
Un po’ di storia…
Il primo esemplare di “pascalina” fu costruito da Pascal per aiutare il padre, funzionario delle imposte a gestire la propria contabilità.
11 aprile 20235
http://www2.polito.it/didattica/polymath/ICT/Htmls/Informazioni/Antologia/Pascal.htm
Nella presentazione della sua macchina, nel 1645, Pascal scriveva:
“Tu mi sarai grato dell’impegno di cui mi son fatto carico per fare in modo che tutte le operazioni che con i metodi precedenti erano penose, complicate, lunghe e mai sicure diventassero ora facili, semplici, veloci e affidabili”.
11 aprile 2023 6
Che cosa useremo noi
“pascaline” Zero+1 prodotte da Quercetti (ispirate all’artefatto storico)
11 aprile 2023 7
Domande chiave
1. Come è fatta la macchina?(Artefatto)2. Cosa fa la macchina? (Artefatto -> StrumentoProcessi di produzione di congetture e sviluppo di
argomentazioni)3. Perché?(Argomentazioni che legano la struttura e movimento
della macchina con la matematica in essa “incorporata”)
4. Cosa succederebbe se …?(Genesi condizionalitàproblem posing e solving)
8
Come è fatta?
• Le componenti della macchina
• Le reazioni tra queste
• I possibili movimenti
• …
9
1. Artefatto (Come è fatta la macchina)
La pascalina è costituita di cinque ruote dentate.
Ognuna è divisa in dieci settori o denti.
Sulle tre ruote in basso (“ ruote significative”) sono indicate le cifre dallo 0 al 9 del sistema decimale.
Le due ruote in alto sono ruote ausiliarie (ruote di trasmissione) che consentono, per mezzo delle barrette ad esse vincolate, di trasmettere il moto da una ruota all’altra.
11 aprile 2023 10
2. Strumento (Cosa fa la macchina)Rappresentazione di numeri naturali
Nella pascalina un numero è rappresentato mediante una terna di cifre:
• la ruota a destra indica le unità; • la ruota centrale indica le decine;• la ruota a sinistra indica le centinaia.
Analogie e differenze con altri strumenti di calcolo
11 aprile 2023 12
2. Strumento (Cosa fa la macchina) Operazioni di addizione e sottrazione
Diversi modi di sommare due numeri:• operando solo sulla ruota delle unità • operando sulle diverse ruote, girando in senso
orario a partire da …Diversi modi di sottrarre due numeri:• operando solo sulla ruota delle unità • operando sulle diverse ruote, girando in senso
antiorario a partire da …
11 aprile 2023 13
2. Strumento (Cosa fa la macchina)
Operazioni di addizione e sottrazione
Diversi modi di sommare due numeri:• Come combinazione di addizione e
sottrazione (completamento…)
Sulla pascalina è favorito il collegamento tra le due operazioni di addizione e
sottrazione.
11 aprile 2023 14
Perché lo fa?
• In che modo la macchina garantisce lo svolgimento delle operazioni?
• Quale matematica incorpora?
15
3. Matematica “incorporata”
a) Assiomi di Peano (numeri naturali)• In N c’è un elemento indicato con il simbolo 0 (zero). • Esiste una funzione biunivoca o operatore (detta
successivo)• : N N* = N – {0}• La funzione inversa si chiama ‘precedente’.• Tali funzioni sono spesso richiamate con il simbolo: ‘+1’
e ‘-1’.• N è infinito ed equipotente ad un sottoinsieme proprio
(per la definizione di Dedekind).
11 aprile 2023 16
3. Matematica “incorporata” b) Notazione posizionaleOgni numero naturale può essere scritto come
combinazione lineare di potenze di dieci, utilizzando come coefficienti della combinazione le dieci cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9:
n = ak10k + …. + a2102 + a110 + a0
Ovvero, scritto velocemente :
n = ak …. a2a1a0
11 aprile 2023 17
Alcuni esempi di consegne
•Analizzare le possibili strategie di risoluzione
•Il ruolo dello strumento•I concetti matematici coinvolti
18
• Usare la pascalina per svolgere le seguenti operazioni:1. 3+42. 11+93. 59+314. 155-65. 301-299
• Come avete usato la pascalina (per formare i numeri e per fare le operazioni)? Quali caratteristiche della macchina avete sfruttato? In che modo? Quali conoscenze matematiche avete messo in gioco?
19
rete di strumenti (pascalina, mani, fogli,…)
schemi d’utilizzo e proprietà delle operazioni
Strumento Operazioni di addizione e sottrazione
Diversi modi di sommare due numeri: operando solo sulla ruota delle unità operando sulle diverse ruote, girando in senso
orario a partire da …
Diversi modi di sottrarre due numeri: operando solo sulla ruota delle unità operando sulle diverse ruote, girando in senso
antiorario a partire da …
20
Significati matematici coinvolti
Addizione (definizione e proprietà)• L’addizione è definita ricorsivamente• L’addizione per decomposizione• L’addizione per completamento• Elemento neutro dell’addizione• Proprietà commutativa dell’addizione• Proprietà associativa dell’addizione
21
Significati matematici coinvolti
Sottrazione (definizione e proprietà)• La sottrazione è definita ricorsivamente• La sottrazione per decomposizione• La sottrazione per completamento• Elemento neutro della sottrazione• Non commutativa della sottrazione• Non associativa della sottrazione
22
Strumento (Cosa fa la macchina)
Operazioni di addizione e sottrazione
Sulla pascalina è favorito il collegamento tra le due operazioni di addizione e sottrazione.
E poi moltiplicazione e divisione…
23
La divisione…
35 :12=?
Nella divisione gli schemi d’uso sono gli stessi che nel caso delle altre operazioni?
Che significato ha il numero che si ottiene?
• Divisione come sottrazione ripetuta• Divisione euclidea (significato di resto)
11 aprile 2023 24
Limiti della macchina
•Cosa succede se faccio 999 +1? Perché?•Quale risultato ottengo se faccio o -1? Oppure 3-5? Perché?•Posso fare 850+212? Che risultato ottengo? Perchè?•….
25
Funzioni di successivo e precedente su un insieme finito di 1000 elementi. Operazioni su un insieme finito di 1000 elementi
26
Problem solving
Si può fare l’operazione 8-3 girando le ruote SEMPRE in senso orario?
Se sì, perché; se no, perché.
Produzione di enunciatiConfronto enunciati
Produzione di argomentazioniConfronto di argomentazioni
27
IL PROGETTO MMLab-ER:un esempio con la PASCALINA
Rossella GarutiDirigente scolastico e insegnante -ricercatore
Dottorato presso l’Università di Modena e Reggio Emilia
28
29
Un esempio di laboratorio: la pascalina
1° B - 28 ALUNNIScuola media “A. Chionna”
Lizzano TARANTO20 – 24 APRILE 2009
30
SCHEMA DELLE ATTIVITA’
1. La pascalina come artefatto: come è fatta la macchina?
2. Alla scoperta di alcuni schemi d’uso della Pascalina
3. L’addizione e la sottrazione: diversi schemi d’uso. Come funziona? Perché?
4. Un problema curioso: calcola 8-3=??????
5. La moltiplicazione: diversi schemi d’uso Come funziona? Perché?
6. La divisione: diversi schemi d’uso. Come funziona? Perché?
7. Criteri di divisibilità con la pascalina
8. Una lettera storica: Blaise Pascal (1645)
31
SCHEMA DELLE ATTIVITA’
1. La pascalina come artefatto: come è fatta la macchina?
2. Alla scoperta di alcuni schemi d’uso della Pascalina
3. L’addizione e la sottrazione: diversi schemi d’uso. Come funziona? Perché?
4. Un problema curioso: calcola 8-3=??????
5. La moltiplicazione: diversi schemi d’uso Come funziona? Perché?
6. La divisione: diversi schemi d’uso. Come funziona? Perché?
7. Criteri di divisibilità con la pascalina
8. Una lettera storica: Blaise Pascal (1645)
32
l’ARTEFATTO cioè gli INGRANAGGI
Disegna e descrivi come è fatta la pascalina senza farla “girare” (Sadmir e Tania)
1° giorno- 20 aprile 2009
33
1° giorno- 20 aprile 2009
l’ARTEFATTO cioè gli INGRANAGGIDescrivi come si muove la pascalina (Giacomo)
Quando la ruota in basso a destra arriva a 9 fa muovere la ruota arancione che a sua volta muove la seconda ruota gialla. Le ruote arancioni si muovono quando una gialla arriva a 9. Le ruote dentate gialle si possono muovere sia in senso orario che antiorario. Secondo me le ruote arancioni servono a far muovere le ruote gialle
34
argomentare, congetturare e dimostrareCome fare affinché si muovano tutte e 5 le ruote insieme?
Qualsiasi
Tutti
35
Dimostra le congetture prodotte
Sulla Pascalina numero ruote 5
Posso provare tutte le configurazioni099 000199 100299 200….. ….
e se le ruote fossero n?
36
Le domande chiave
« cosa succede se…?»
« perché?»
37
La Pascalina non è ancora una MACCHINA ARITMETICA è tutt’al più un INGRANAGGIO
• FAI UN CLICK VERSO L’ALTO (ANTIORARIO)•FAI UN CLICK VERSO IL BASSO (ORARIO)
• AGGIUNGI 1•SOTTRAI 1
38
STRUMENTO
Fai con la Pascalina la seguente addizione729+11=
Spiega con cura quello che fai. Spiega con cura cosa fa la macchina
39
Posiziono la Pascalina a 729 e siccome 11 è composta da una decina e da una unità devo aggiungere 1 alla ruota gialla a destra che fa il riporto di 1 alla ruota centrale e poi devo aggiungere 1 a quest’ultima (Flavia)
Due diversi schemi d’uso
Posiziono la Pascalina a 729 e poi giro 11 volte la ruota gialla a destra. La Pascalina fa il riporto quindi si muove anche la ruota gialla centrale (valentina)
40
Lo schema d’utilizzo di Flavia corrisponde a729 + 10+1=740
Due diversi schemi d’utilizzo
Lo schema d’utilizzo di Valentina corrisponde a729+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=740
41
Diverse strategie, il problema è il PERCHE’ queste strategie funzionano!
Abbiamo posizionato la pascalina a 998 dopo abbiamo aggiunto 7 unità è ci è uscito 5 998+7=005Perché la pascalina arriva a 999 fa un giro completo esce 000 ci aggiungiamo 7 e viene 5 (Gianluca)
Per fare questa operazione devo individuare il sottraendo che è 3; per arrivare a 10 me ne mancano 7 così basta fare 7 click in senso orario e sulla ruota delle unità ci sarà 5! (Claudia)
42
Se le diverse strategie funzionano, PERCHE’ funzionano?
IL LABORATORIO DI MATEMATICA: ASPETTI STORICI, EPISTEMOLOGICI, DIDATTICI E COGNITIVI. IL PROGETTO REGIONALE MMLAB-ER. Tesi di dottorato di Rossella Garuti
11 aprile 2023 43
http://www.mmlab.unimore.it/on-line/Home/ProgettoRegionaleEmiliaRomagna/RisultatidelProgetto/TesididottoratosulProgettoRegionale.html
Grazie!
11 aprile 2023 44