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immersioni isometriche origami costruzioni frattali costruzioni tridimensionali
la matematica degli origaminel piano e nello spazio
Emanuele Paolini
Universita di Firenze
Brescia, 21 ottobre 2013
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Quali superfici si possono ottenere incurvando lacarta?
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Come si rappresenta una superficiematematicamente?
u : R2 → R3
Esempio, la sfera (ϕ=latitudine, θ=longitudine):
u(ϕ, θ) =
cosϕ cos θcosϕ sin θ
sinϕ
La matrice delle derivate:
Du =
− sinϕ cos θ − cosϕ sin θ− sinϕ sin θ cosϕ cos θ
cosϕ 0
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Immersioni isometriche
Ωu→ R3
Le deformazioni della carta non modificano la lunghezza dellecurve:
`(γ) = `(u γ)
Questa proprieta si puo esprimere mediante unaequazione alle derivate parziali:
DutDu = Id
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Cosa succede se ammettiamo le pieghe?
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modello matematico di origami
u : Ω ⊂ R2 → R3
Ω ⊂ R2
u−→
u(Ω) ⊂ R3
DutDu = Id
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origami vs immersioni isometricheil modello delle immersioni isometriche:• non tiene conto delle sovrapposizioni• non tiene conto della compenetrazione• non tiene conto del processo di piegatura• permette la presenza di parti incurvate• permette origami con infinite pieghe• permette origami multidimensionali
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origami vs immersioni isometricheil modello delle immersioni isometriche:• non tiene conto delle sovrapposizioni• non tiene conto della compenetrazione• non tiene conto del processo di piegatura• permette la presenza di parti incurvate• permette origami con infinite pieghe• permette origami multidimensionali
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origami vs immersioni isometricheil modello delle immersioni isometriche:• non tiene conto delle sovrapposizioni• non tiene conto della compenetrazione• non tiene conto del processo di piegatura• permette la presenza di parti incurvate• permette origami con infinite pieghe• permette origami multidimensionali
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origami vs immersioni isometricheil modello delle immersioni isometriche:• non tiene conto delle sovrapposizioni• non tiene conto della compenetrazione• non tiene conto del processo di piegatura• permette la presenza di parti incurvate• permette origami con infinite pieghe• permette origami multidimensionali
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origami vs immersioni isometricheil modello delle immersioni isometriche:• non tiene conto delle sovrapposizioni• non tiene conto della compenetrazione• non tiene conto del processo di piegatura• permette la presenza di parti incurvate• permette origami con infinite pieghe• permette origami multidimensionali
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origami vs immersioni isometricheil modello delle immersioni isometriche:• non tiene conto delle sovrapposizioni• non tiene conto della compenetrazione• non tiene conto del processo di piegatura• permette la presenza di parti incurvate• permette origami con infinite pieghe• permette origami multidimensionali
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origami piatti
u : Ω ⊂ Rn → Rn (n = m)
• le pieghe sono tutte rettilinee(Teorema di Cartan-Dieudonne)
• vale la condizione di Kawasaki in ogni nodo del diagrammadelle pieghe
• vale il teorema di ricostruzione
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origami piatti
u : Ω ⊂ Rn → Rn (n = m)
• le pieghe sono tutte rettilinee(Teorema di Cartan-Dieudonne)
• vale la condizione di Kawasaki in ogni nodo del diagrammadelle pieghe
• vale il teorema di ricostruzione
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origami piatti
u : Ω ⊂ Rn → Rn (n = m)
• le pieghe sono tutte rettilinee(Teorema di Cartan-Dieudonne)
• vale la condizione di Kawasaki in ogni nodo del diagrammadelle pieghe
• vale il teorema di ricostruzione
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condizione di Dirichletequazione implicita alle derivate parziali con condizione diDirichlet:
DutDu = Id su Ω = (0,1)2
u = 0 su ∂Ω
soluzione tramite origami:
diagramma dellepieghe
modello piegato
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Come si puo trovare una soluzione1. il problema non e ovvio!2. mandiamo tutto il bordo su un lato3. applichiamo una suddivisione frattale4. identifichiamo le proprieta che deve avere il modulo base5. troviamo il modulo base
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Come si puo trovare una soluzione1. il problema non e ovvio!2. mandiamo tutto il bordo su un lato3. applichiamo una suddivisione frattale4. identifichiamo le proprieta che deve avere il modulo base5. troviamo il modulo base
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Come si puo trovare una soluzione1. il problema non e ovvio!2. mandiamo tutto il bordo su un lato3. applichiamo una suddivisione frattale4. identifichiamo le proprieta che deve avere il modulo base5. troviamo il modulo base
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Come si puo trovare una soluzione1. il problema non e ovvio!2. mandiamo tutto il bordo su un lato3. applichiamo una suddivisione frattale4. identifichiamo le proprieta che deve avere il modulo base5. troviamo il modulo base
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Come si puo trovare una soluzione1. il problema non e ovvio!2. mandiamo tutto il bordo su un lato3. applichiamo una suddivisione frattale4. identifichiamo le proprieta che deve avere il modulo base5. troviamo il modulo base
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Come si puo trovare una soluzione
1. il problema non e ovvio!2. mandiamo tutto il bordo su un lato3. applichiamo una suddivisione frattale4. identifichiamo le proprieta che deve avere il modulo base5. troviamo il modulo base
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condizione lineare al bordo (equazione)
DutDu = Id su Ω = rettangolou(x1, x2) = (αx1, βx2) se x ∈ ∂Ω
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condizione lineare al bordo (diagramma)
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condizione lineare al bordo (moduli base)
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Come piegare un cubo
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Come piegare un cubo
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Come piegare un cubo
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Come piegare un cubo
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Come piegare un cubo
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Come piegare un cubo
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Come piegare un cubo
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Come piegare un cubo
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Griglia cubica
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Griglia cubica
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Modulo base
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Modulo base
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Modulo base
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Modulo base
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Diagramma di piegatura
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Diagramma risultante
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Cubo piegato