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1
Gestione dei rischi finanziari
Il rischio di mercato.
I modelli parametrici
Giampaolo Gabbi
Gestione dei rischi finanziari
Corso di Laurea Magistrale EGIF
2016 - 2017
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Agenda
I modelli VaR
L’approccio varianze-covarianze
La stima della volatilità
Il livello di confidenza
Il VaR di un portafoglio
Il mapping
I limiti dell’approccio varianze-covarianze
I requisiti patrimoniali relativi ai rischi di mercato
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I rischi di mercato
• Rischi di mercato: rischi connessi all’attività di negoziazione di valori mobiliari (trading)
• Def. rischio di variazioni del valore di mercato di uno strumento o di un portafoglio di strumenti finanziari connesse a variazioni inattese dei fattori di mercato (prezzi azionari, tassi di interesse, tassi di cambio e volatilità di tali variabili)
• La distinzione fra portafoglio di trading e portafoglio immobilizzato deriva da vigilanza e normativa contabile
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I rischi di mercato
• Rischi di mercato rilevanza crescente in seguito a: titolarizzazione
diffusione “mark-to-market”
episodi di crisi (Barings, LTCM, ecc.)
requisiti patrimoniali Basilea 1993
• Tipologie Rischio di interesse
Rischio di cambio
Rischio azionario
Rischio merci
Rischio volatilità
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I rischi di mercato
• Approccio tradizionale alla misurazione
fondato su valori nominali
• Problemi:
– Non si tiene in considerazione il diverso valore di
mercato delle posizioni di rischio
– Impossibilità di cogliere il diverso grado di
sensibilità di posizioni differenti a variazioni dei
fattori di mercato
– Non si tengono in considerazione le condizioni di
volatilità e di correlazione dei prezzi/tassi
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I rischi di mercato
Titolo azionario A B
Valore nominale (€) 10 10
Prezzo di mercato (€) 100 10
Dimensione posizione (numero di titoli) 100 100
Valore nominale posizione (€) 1.000 1.000
Valore di mercato posizione (€) 10.000 1.000
Valore nominale e di mercato di due posizioni azionarie
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I rischi di mercato
• Questi problemi emergono in modo rilevante per negoziazione opzioni (diversa sensibilità in funzione di prezzo esercizio)
• Primi due problemi risolti mediante introduzione mark to market e misure di sensibilità:– Duration
– Basis point value
– Beta
– Delta
– Gamma
– ….
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I rischi di mercato
Valore nominale e basis point value di due posizioni
obbligazionarie
Titolo obbligazionario BTP 5 anni BTP 10 anni
Valore nominale (€) 100 100
Prezzo di mercato (€) 100 100
Dimensione posizione (€ mln) 10 10
Duration modificata (anni) 3,5 7
Valore nominale posizione (€ mln) 10 10
Valore di mercato posizione (€ mln) 10 10
Basis point value (€) 3.500 7.000
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I rischi di mercato
• Problemi residui:
– Utilizzo di misure diverse per posizioni diverse linguaggio diverso ostacola comunicazione orizzontale e verticale
– Le misure di sensibilità non sono “additive” impossibile ottenere una misura di rischio complessiva
– Mancata considerazione del diverso grado di volatilità e correlazione dei differenti fattori di mercato
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I rischi di mercato
Valore di mercato, basis point value e volatilità
Titolo obbligazionario BTP 5 anni BTP 10 anni
Valore nominale (€) 100 100
Prezzo di mercato (€) 100 100
Dimensione posizione (€ mln) 20 10
Duration modificata (anni) 3,5 7
Valore nominale posizione (€ mln) 20 10
Valore di mercato posizione (€ mln) 20 10
Basis point value (€) 7.000 7.000
Volatilità tasso di rendimento 3% 2%
T ito lo o b b lig a z io n a rio B T P 5 a n n i B T P 1 0 a n n i
V a lo re n o m in a le (€ ) 1 0 0 1 0 0
P re z z o d i m e rc a to (€ ) 1 0 0 1 0 0
D im e n s io n e p o s iz io n e (€ m ln ) 2 0 1 0
D u ra tio n m o d if ic a ta (a n n i) 3 ,5 7
V a lo re n o m in a le p o s iz io n e (€ m ln ) 1 0 1 0
V a lo re d i m e rc a to p o s iz io n e (€ m ln ) 1 0 1 0
B a s is p o in t va lu e (€ ) 7 .0 0 0 7 .0 0 0
V o la tilità ta s so d i re n d im e n to 3 % 2 %
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I modelli VaR
• Necessità misura di rischio che:– Rifletta il diverso valore di mercato delle posizioni
di rischio
– Rifletta il diverso grado di sensibilità delle posizioni alle variazioni dei fattori di mercato
– Rifletta il diverso grado di volatilità dei fattori di mercato
– Consenta di aggregare i rischi di posizioni diverse
– Agevoli comunicazione verticale e orizzontale
Value at Risk (VaR) o Capital at Risk (CaR)
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I modelli VaR
• Quesito: qual è la perdita massima che potrebbe
essere subita nel corso di un certo orizzonte
temporale, tale che vi sia una probabilità molto
bassa, per esempio pari all’1%, che la perdita
effettiva risulti superiore a tale importo?
• Definizione di rischio basata su 3 elementi:
– la massima perdita potenziale che una posizione può subire,
– con un certo livello di confidenza,
– in un determinato orizzonte temporale
cVaRL 1Pr
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I modelli VaR
• Diversi approcci per la misurazione del
VaR:
– Varianze-covarianze (parametrico):
• Delta Normal
• Asset Normal
– Simulazioni:
• Storiche
• Ibrido
• Monte Carlo
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I modelli VaR
• Diverse applicazioni dei modelli VaR:
– Controllo dei rischi limiti
– Misurazione delle redditività corrette per il
rischio RAPM
– Pricing
– Allocazione del capitale
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L’approccio varianze-covarianze
• Il VaR di una posizione è stimato come
prodotto di tre elementi:
– Il valore di mercato della posizione (VM)
– la sensibilità del valore di mercato della
posizione a variazioni del fattore di mercato ()
– la potenziale variazione sfavorevole del fattore
di mercato, ottenuta come prodotto fra:
• la volatilità stimata di tale fattore di mercato ()
• un fattore scalare corrispondente al livello di
confidenza desiderato
iiii VMVaR
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L’approccio varianze-covarianze
Esempio:
• BTP decennali per nominali €1mln
– Ptel quel = 105
– DM = 7 anni
– rend.gg. = 15 b.p. (0,15%)
– = 2,326 (c = 99%)
15,644.25326,2%15,07000.050.1 BTPVaR
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La stima della volatilità
• Volatilità storica
Backward looking
• Volatilità implicita
Option prices: forward looking
Tre principali criteri alternativi
• Modelli Garch(econometrici)
Volatility changes over time autoregressive
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La stima della volatilità
• La volatilità storica
• Ipotesi media nulla
1n
RR
t
1t
nti
2
i
1
12
n
R
t
t
nti
i
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La stima della volatilità
• Volatilità storica
• Problemi:
– definizione dell’orizzonte temporale storico
orizzonte maggiore = maggior contenuto
informativo e minor aggiornamento dati
– definizione dell’orizzonte temporale futuro
• Due criteri alternativi:
– Medie mobili semplici
– Medie mobili esponenziali
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La stima della volatilità (segue)
1
)(1
2
n
RRn
t
i
t
01/10/96 6,74% 01/10/97 6,87%
01/11/96 -5,38% 01/11/97 -3,20%
01/12/96 6,92% 01/12/97 4,05%
01/01/97 0,89% 01/01/98 7,68%
01/02/97 14,42% 01/02/98 11,27%
01/03/97 -3,76% 01/03/98 4,84%
01/04/97 -1,93% 01/04/98 20,14%
01/05/97 5,34% 01/05/98 -7,65%
01/06/97 -1,47% 01/06/98 1,86%
01/07/97 10,66% 01/07/98 1,33%
01/08/97 7,76% 01/08/98 3,07%
01/09/97 -2,37% 01/09/98 -16,69%
Deviazione standard = 7,77%
Variazioni mensili dell’indice Morgan Stanley Italia (10/96-10/98)
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La stima della volatilità
• Medie mobili semplici
– Una media mobile è una media relativa a
un numero fisso di dati che “slittano” nel
tempo: il passaggio del tempo fa sì che il
dato più lontano venga sostituito da quello
più recente.
– Problema: “echo effect”
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Esempio medie mobili semplici
Volatilità giornaliera del MIB 30 (medie mobili a 25 gg. - 1995-1996)
0,40%
0,60%
0,80%
1,00%
1,20%
1,40%
1,60%
feb
-95
mar-
95
ap
r-95
mag
-95
giu
-95
giu
-95
lug-9
5
ag
o-9
5
set-
95
ott
-95
no
v-95
dic
-95
ge
n-9
6
feb
-96
mar-
96
ap
r-96
mag
-96
giu
-96
lug-9
6
ag
o-9
6
set-
96
ott
-96
no
v-96
dic
-96
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La stima della volatilità
Exponentially weighted moving average (EWMA)
xt = rendimento del giorno t
= decay factor (maggiore , maggiore
persistenza, minore “decay”)
0
1 2
2
3
3
4
1
2 3 11
x x x x xt t t t
n
t n
n
...
...
1
11i
it
i x
10
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Stima volatilità
• Stima volatilità con EWMA
• Se ipotesi rendimento medio = 0
1
211i
it
i
t xx
1
211i
it
i
t x
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Stima volatilità
• Le osservazioni passate ricevono un
peso inferiore a quelle recenti
• Maggiore è lambda, minore è la rapidità
con la quale le osservazioni “perdono
peso” con il passare del tempo
• Maggiore lambda = minore decay
• Se lambda = 1 media mobile
semplice
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Esempio stima volatilità EWMA
Volatilità giornaliera del MIB30 (1/1/95-31/12/96)
0,50%
0,60%
0,70%
0,80%
0,90%
1,00%
1,10%
1,20%
1,30%
1,40%
1,50%
feb-9
5
mar-
95
apr-
95
giu
-95
lug
-95
ago-9
5
ott-9
5
nov-9
5
dic
-95
feb-9
6
mar-
96
apr-
96
giu
-96
lug
-96
ago-9
6
ott-9
6
nov-9
6
dic
-96
Semplice
Esponenziale
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Volatilità giornaliera del MIB 30 con diversi decay factor
0,40%
0,60%
0,80%
1,00%
1,20%
1,40%
1,60%fe
b-9
5
mar-
95
apr-
95
mag-9
5
lug
-95
ago-9
5
set-95
ott-9
5
dic
-95
gen-9
6
feb-9
6
mar-
96
mag-9
6
giu
-96
lug
-96
ago-9
6
ott-9
6
nov-9
6
dic
-96
0,9
0,95
0,99
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La stima della volatilità
• I modelli GARCH generalized
autoregressive conditional
heteroscedasticity
– riconoscono che la varianza “varia” nel tempo
– modellano la volatilità in modo autoregressivo
– la varianza al tempo t è stimata sulla base di
2 componenti: la varianza al tempo t-1 e lo
schock di mercato relativo a t-1
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La stima della volatilità
• Modello Garch (p,q)
• Modello Garch (1,1):
– la varianza al tempo t è funzione di tre fattori
• una costante, la quale non dovrebbe risultare
significativamente diversa da zero
• la previsione della varianza effettuata in t-1
• l’errore di previsione
22
22
2
11
22
110
2...... qtqttptptt
2
11
2
110
2
ttt
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La stima della volatilità
• La volatilità implicita
– Ricavo dal valore di mercato delle opzioni
la volatilità “attesa” dal mercato
– Tipicamente si utilizzano i prezzi delle
opzioni at the money e si segue un
processo iterativo
• (1) scelta di un modello di pricing
• (2) calcolo del valore teorico
• (3) modifica valore volatilità fino a quando il
prezzo teorico non coincide con quello di
mercato
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La stima della volatilità
• Problemi volatilità implicita
– non esistono opzioni quotate per tutte le
variabili finanziarie
– possibilità mercato opzioni poco liquido o
premi per il rischio di controparte
– problema modello teorico di pricing: deve
essere quello adottato dagli operatori
• Volatilità implicita poco utilizzata per RM
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L’orizzonte temporale
• La scelta dell’orizzonte temporale di
riferimento
– Fattore soggettivo holding period
– Fattore oggettivo liquidità posizione
(liquidità mercato e dimensione posizione)
– E’ comunque possibile fondarsi su stime di
volatilità giornaliera se ipotesi
indipendenza seriale dei rendimenti dei
fattori di mercato T G T
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Volatilità giornaliera Volatilità settimanale Volatilità mensile
MIB 30
EFFETTIVA 1,02% 2,64% 6,01%
STIMATA - 2,28% 4,78%
ERRORE - 0,37% 1,24%
S&P 500
EFFETTIVA 0,63% 1,40% 2,40%
STIMATA - 1,40% 2,94%
ERRORE - 0,00% -0,54%
CAC 40
EFFETTIVA 0,96% 2,07% 4,00%
STIMATA - 2,14% 4,49%
ERRORE - -0,07% -0,50%
Nikkei
EFFETTIVA 1,23% 2,68% 6,30%
STIMATA - 2,75% 5,76%
ERRORE - -0,07% 0,54%
FTSE 100
EFFETTIVA 0,61% 1,52% 5,16%
STIMATA - 1,35% 2,84%
ERRORE - 0,16% 2,31%
Una verifica dell’ipotesi di indipendenza seriale (1/1/95-31/12/96)
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Il livello di confidenza
Il problema del livello di confidenza
– La deviazione standard è una misura di
variabilità media non racchiude tutte le
possibili variazioni del fattore di mercato
– Occorre definire un livello probabilistico
(es. 99%) che racchiude la gamma di
eventi considerati
– Esempio: posizione lunga azionaria sul
MIB 30
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Rendimenti
storici giornalieri
del MIB 30
da1/6/98 a
16/10/98
(100 gg.)
In 12 giorni su
100 le perdite
sarebbero state
superiori alla
deviazione
standard
La perdita max.
sarebbe stata 4
volte superiore
alla deviazione
standard
Data
RtLn(Pt/Pt-1) Data
RtLn(Pt/Pt-1) Data
RtLn(Pt/Pt-1) Data
RtLn(Pt/Pt-1)
1-giu-98 0,01% 6-lug-98 0,47% 10-ago-98 -0,58% 14-set-98 2,03%
2-giu-98 0,21% 7-lug-98 -0,23% 11-ago-98 -1,32% 15-set-98 0,77%
3-giu-98 -0,96% 8-lug-98 1,01% 12-ago-98 1,42% 16-set-98 0,75%
4-giu-98 1,11% 9-lug-98 -0,67% 13-ago-98 -0,86% 17-set-98 -2,58%
5-giu-98 1,72% 10-lug-98 0,50% 14-ago-98 -1,14% 18-set-98 0,12%
8-giu-98 0,17% 13-lug-98 0,07% 17-ago-98 1,95% 21-set-98 0,37%
9-giu-98 0,24% 14-lug-98 1,06% 18-ago-98 1,60% 22-set-98 0,56%
10-giu-98 -0,55% 15-lug-98 -0,24% 19-ago-98 -0,29% 23-set-98 3,48%
11-giu-98 -1,60% 16-lug-98 0,78% 20-ago-98 -0,59% 24-set-98 -2,22%
12-giu-98 0,39% 17-lug-98 0,23% 21-ago-98 -0,95% 25-set-98 0,19%
15-giu-98 -2,01% 20-lug-98 -0,22% 24-ago-98 0,64% 28-set-98 0,38%
16-giu-98 0,98% 21-lug-98 -1,62% 25-ago-98 0,43% 29-set-98 0,03%
17-giu-98 1,78% 22-lug-98 -0,09% 26-ago-98 -0,80% 30-set-98 -3,10%
18-giu-98 -0,07% 23-lug-98 -2,11% 27-ago-98 -3,91% 1-ott-98 -3,06%
19-giu-98 -0,52% 24-lug-98 0,09% 28-ago-98 -1,49% 2-ott-98 1,63%
22-giu-98 0,24% 27-lug-98 0,57% 31-ago-98 -7,04% 5-ott-98 -1,41%
23-giu-98 1,46% 28-lug-98 -1,50% 1-set-98 3,79% 6-ott-98 -0,40%
24-giu-98 1,19% 29-lug-98 -0,45% 2-set-98 -0,38% 7-ott-98 -1,42%
25-giu-98 -0,32% 30-lug-98 1,56% 3-set-98 -0,83% 8-ott-98 -1,16%
26-giu-98 0,35% 31-lug-98 -1,97% 4-set-98 -0,86% 9-ott-98 2,57%
29-giu-98 0,47% 3-ago-98 -0,74% 7-set-98 2,51% 12-ott-98 1,34%
30-giu-98 -0,41% 4-ago-98 -3,69% 8-set-98 2,45% 13-ott-98 -0,29%
1-lug-98 1,29% 5-ago-98 0,86% 9-set-98 -1,70% 14-ott-98 1,07%
2-lug-98 -0,19% 6-ago-98 0,76% 10-set-98 -2,62% 15-ott-98 4,09%
3-lug-98 0,47% 7-ago-98 -0,02% 11-set-98 2,90% 16-ott-98 0,85%
Media -0,03%
Deviazione standard 1,65%
Asimmetria -0,69
Curtosi 2,87
Numero di giorni in cui ASS(Rt) >Dev. Std. 23
Numero di gorni in cui Rt < -(Dev.Std.) 12
Max 4,09%
Min -7,04%
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L’ipotesi di distribuzione normale
Probabilità = 5%
Profitto atteso
(VM x δ x µ)α = 1,65σVaR(95%)
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Il livello di confidenza
Livello di confidenza
*R
99,99% 3,719
99,98% 3,500
99,97% 3,432
99,87% 3,000
99,90% 3,090
99,50% 2,576
99,38% 2,500
99,00% 2,326
98,00% 2,054
97,72% 2,000
97,50% 1,960
97,00% 1,881
96,00% 1,751
95,00% 1,645
93,32% 1,500
84,13% 1,000
Fattori scalari corrispondenti ai diversi livelli di confidenza
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Il livello di confidenza
• Il valore a rischio è dato dalla differenza fra il profitto
atteso e la perdita corrispondente al livello di
confidenza desiderato
• In realtà per i rischi di mercato si ipotizza una
distribuzione normale con media nulla
– Orizzonte temporale breve: miglior previsione del P di
domani è il P di oggi rendimento atteso nullo
– Approccio Bayesiano: principi finanza piuttosto che valore
medio storico
cLPEVaR )(
cLVaR
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Il livello di confidenza
• Hp. Deviazione standard dei rendimenti
del fattore di mercato = 1%
• Se la distribuzione è normale, allora:– 68% probabilità rendimento fra -1% e + 1%
– 16% probabilità di una perdita maggiore di 1%
84% livello di confidenza
– 95,4% prob. rend. compreso fra -2% e + 2%
– 2,28% probabilità di una perdita maggiore di 2%
97,72% livello di confidenza
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Il livello di confidenza
• Banche più avverse al rischio scelgono
livelli di confidenza maggiori
• Molte banche internazionali derivano il
livello di confidenza dal proprio rating
– (i) Economic capital = VaR
– (ii) Livello di confidenza = 99%
– PD banca = 1%
– Se PD di una società BBB- = 0,70% (Moodys)
livello confidenza banca BBB- = 99,3%
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Il livello di confidenza
Classe di rating Moody’s Probabilità di insolvenza a 1 anno Livello di confidenza
Aaa 0,001% 99,999%
Aa1 0,01% 99,99%
Aa2 0,02% 99,98%
Aa3 0,03% 99,97%
A1 0,05% 99,95%
A2 0,06% 99,94%
A3 0,09% 99,91%
Baa1 0,13% 99,87%
Baa2 0,16% 99,84%
Baa3 0,70% 99,30%
Ba1 1,25% 98,75%
La scelta del livello di confidenza
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Approcci alternativi
Asset normal vs. delta normal
• Asset normal– Ipotesi di distribuzione normale dei valori di mercato
delle posizioni (prezzi)
• Delta normal– Ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti dei
fattori di mercato
• I due approcci coincidono se la sensibilità delle posizioni è lineare (es. posizioni in cambi)
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Il VaR di un portafoglio
• Il VaR di un portafoglio può essere stimato
ricorrendo alla teoria di portafoglio come una
funzione di:
– Valori di mercato e sensibilità delle singole
posizioni
– Volatilità dei singoli fattori di mercato
– Correlazioni fra i rendimenti degli N fattori di
mercato
N
i
N
jNP ijjjjVMiiiVMVaR
1 1, )()(
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Il VaR di un portafoglio
• Esempio: 2 posizioni valutarie– Posizione lunga in USD per EUR 50 mln
– Posizione corta in Yen per EUR 10 mln
– Volatilità giornaliera EUR/USD = 2%
– Volatilità giornaliera EUR/YEN = 3%
– Correlazione EUR/USD – EUR/YEN = 0,6
801.708.16,0%32)10(%22502%)3210(%)2250( 22
, mmmmVAR YENUSD
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Il VaR di un portafoglio
• Nel caso di un portafoglio composto da numerose posizioni sensibili a diversi fattori di mercato si ricorre all’uso dell’algebra matriciale
NVaR
VaR
VaR
V...
2
1
1......
............
...1
...1
1,
,21,2
,12,1
N
N
N
C
VaR V C VP
T
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Il VaR di un portafoglio
• Problemi:
– Instabilità correlazioni
– Raccordo con meccanismo di attribuzione delle
responsabilità
• Possibile soluzione semplificatrice
– Ipotesi indipendenza rendimenti fattori di mercato di
diversa “categoria”
222
EquityIRFXTotVarVarVarVar
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Il VaR di un portafoglio
• Due aspetti importanti
– 1) Il VaR di un portafoglio di 2 posizioni può
risultare inferiore al quello della posizione più
rischiosa natural hedge
– 2) Le correlazioni tendono ad aumentare in
corrispondenza di shock di mercato day-to-
day RM è cosa diversa da stress-
testing/crises mgmt
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Il mapping
• La stima del VaR richiede che le singole
posizioni del portafoglio vengano “ricondotte” ai
fattori di mercato rilevanti
Esempio:
• Una posizione lunga in Treasury bond USA
equivale a:
– una posizione lunga sul cambio EUR/USD
– una posizione corta sulla curva tassi USD
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Il mapping
• Una posizione lunga in USD forward a 6 mesi
equivale a:
– Una posizione lunga sul cambio a pronti EUR/USD
(acquisto USD a pronti contro EUR)
– Un indebitamento in EUR con scadenza 6 mesi
– Un investimento in USD con scadenza 6 mesi
ti
tiSF
f
dt
1
1
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Figura 2 – Il mapping di un acquisto di dollari a 6 mesi
Acquisto USD a 6 mesi
1. Indebitamento in EUR a 6 mesi
2. Acquisto USD a pronti
3. Investimento USD a 6 mesi
$
€
€
€
€
€
$
$
$
$ Risultante (1+2+3) = acquisto USD a 6 mesi
T0 T6
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Mapping
Tasso di cambio a pronti EUR/USD 1,2
Tasso di interesse EUR a 6 mesi 3,50%
Tasso di interesse USD a 6 mesi 2,00%
Tasso di cambio EUR/USD a 6 mesi 1,209
Esempio: acquisto a 6 mesi di USD 1 mln
Tassi di cambio e di interesse
099.990$
5,002,01
000.000.1
USDI
119.118.12,1099.990 EURD1. Indebitamento in EUR
2. Acquisto USD a pronti
3. Investimento in USD
2,1099.990 spotUSD
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Mapping
Volatilità e correlazioni - Fattori di mercato di una posizione a termine
Correlazione con
Fattore di mercato Volatilità EUR/USD iEUR6m iUSD6m
Tasso di cambio spot EUR/USD 3% 1 -0,2 +0,4
Tasso di interesse EUR a 6 mesi (iEUR6m) 1,5% -0,2 1 +0,6
Tasso di interesse USD a 6 mesi (iUSD6m) 1,2% +0,4 0,6 1
849.18483,0326,2%5,1119.118.16 miEURVaR
259.16549.13490,0326,2%2,1099.9906 miUSDVaR
919.82099.69326,2%3099.990 USDspotVaR
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Mapping
USDspotmiUSDUSDspotmiUSDUSDspotmiEURUSDspotmiEUR
iUSDiEURmiUSDmiEURUSDspotmiUSDmiEUR
mUSDVaRVaRVaRVaR
VaRVaRVaRVaRVaRVaR
,66,66
,66
22
6
2
6
622
2
646.834,0919.82)259.16(2)2,0(919.82849.182
6,0)259.16(849.182919.82259.16849.18 222
VaR complessivo della posizione in USD
a 6 mesi
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Mapping
• Posizioni in titoli azionari vengono ricondotte
al relativo indice di mercato mediante il beta
• Il beta rappresenta in questo caso un
indicatore di sensibilità del rendimento del
titolo alle variazioni dell’indice di mercato
• VaR titolo
• VaR portafoglio jiii VMVaR
j
N
i
iij VMVaR1
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Mapping
Tabella 8 – Esempio di mapping delle posizioni azionarie
Titolo A Titolo B Titolo C Portafoglio
Valore di Mercato (€ m) 10 15 20 45
Beta 1,4 1,2 0,8 1,067
Posizione virtuale nell’indice (€ m) 14 18 16 48
Volatilità 15,0% 12,0% 10,0%
Correlazione con A 1 0,5 0,8
Correlazione con B 0,5 1 0
Correlazione con C 0,8 0 1
Esempio metodo mapping all’indice di mercato
817,7326,207,0481
%99,
j
N
i
iiP VMVaR
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Mapping
Tabella 8 – Esempio di mapping delle posizioni azionarie
Titolo A Titolo B Titolo C Portafoglio
Valore di Mercato (€ m) 10 15 20 45
Beta 1,4 1,2 0,8 1,067
Posizione virtuale nell’indice (€ m) 14 18 16 48
Volatilità 15,0% 12,0% 10,0%
Correlazione con A 1 0,5 0,8
Correlazione con B 0,5 1 0
Correlazione con C 0,8 0 1
Esempio metodo volatilità singoli titoli e correlazioni
589,9222 ,,,
222
%99, CBCBCACABABACBAP VaRVaRVaRVaRVaRVaRVaRVaRVaRVaR
Tabella 9 – Il VaR di un portafoglio azionario
Portafoglio
Titolo A Titolo B Titolo C Mapping Volatilità & Correlazioni
VaR (99%) 3,490 4,187 4,653 7,817 9,589
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Mapping
Metodo mapping:
•ipotesi di assenza del rischio specifico
•Il rischio sistematico è colto adeguatamente da un modello
unifattoriale quale CAPM
•adeguato per portafogli ben diversificati (numero elevato di
titoli senza concentrazione)
Tabella 9 – Il VaR di un portafoglio azionario
Portafoglio
Titolo A Titolo B Titolo C Mapping Volatilità & Correlazioni
VaR (99%) 3,490 4,187 4,653 7,817 9,589
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L’approccio varianze-covarianze
• Ipotesi e limiti dell’approccio varianze-
covarianze
– Ipotesi di distribuzione normale dei
rendimenti dei fattori di mercato
– Stabilità della matrice varianze-covarianze
– Ipotesi di indipendenza seriale dei rendimenti
dei fattori di mercato
– Ipotesi di sensibilità lineare delle posizioni
alle variazioni dei fattori di mercato (payoff
lineari)
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L’approccio varianze-covarianze
Ipotesi distribuzione normale
• In realtà le distribuzioni dei rendimenti dei
fattori di mercato:
– Presentano code più spesse (fat tails) curtosi
maggiore di quella della normale
– Sono sovente asimmetriche verso sinistra
(“negative skewness”)
– Se la distribuzione reale è leptocurtica il livello di
confidenza viene sovrastimato
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L’approccio varianze-covarianze
Possibili soluzioni1. Distribuzione t di Student
– Interamente definita da media, dev.std. e gradi di libertà
– Parametro che controlla il grado di curtosi
– Minore v (gradi di libertà) code più spesse
Tabella 10 - Confronto fra distribuzione normale e t di Student - Multipli della deviazione standard corrispondenti a diversi livelli di confidenza
Multiplo deviazione standard
t di Student con v gradi di libertà Livello di
confidenza
Distribuzione normale
standardizzata v = 10 v = 9 v = 8 v = 7 v = 6 v = 5 v = 4
99,99% 3,72 6,21 6,59 7,12 7,89 9,08 11,18 15,53
99,50% 2,58 3,58 3,69 3,83 4,03 4,32 4,77 5,60
99,00% 2,33 3,17 3,25 3,36 3,50 3,71 4,03 4,60
98,00% 2,05 2,76 2,82 2,90 3,00 3,14 3,36 3,75
97,50% 1,96 2,63 2,69 2,75 2,84 2,97 3,16 3,50
95,00% 1,64 2,23 2,26 2,31 2,36 2,45 2,57 2,78
90,00% 1,28 1,81 1,83 1,86 1,89 1,94 2,02 2,13
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L’approccio varianze-covarianze
Possibili soluzioni
2. Mixture of normals (RiskMetrics™)– I rendimenti sono estratti da due distribuzioni
normali con media uguale ma ma diversa varianza
– Funzione di densità:
– La prima distribuzione ha probabilità > e varianza <
– Giustificazione empirica: volatilità funzione di due fattori : (i) strutturali e (ii) ciclici o congiunturali
– I primi incidono in modo permanente sul livello di volatilità
PDF p N p N 1 1 1 1 2 2 2 2 , ,
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L’approccio varianze-covarianze
Ipotesi di sensibilità lineare
• In realtà molti strumenti presentano una
sensibilità non lineare : bonds, opzioni, swap
• Possibile soluzione: approccio delta-gamma
• In questo modo si tiene conto anche del grado
di “curvatura” della relazione fra valore di
mercato e fattore di mercato rilevante
VAR VMi i i i i
22
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L’approccio varianze-covarianze
Ipotesi di sensibilità lineare• Problema:la distribuzione delle variazioni del valore del
portafoglio deriva dalla combinazione di un’approssimazione lineare (delta) e di una quadratica (gamma) la forma funzionale della distribuzione delle variazioni dei valori di mercato non è determinata
• Alcuni portafogli di opzioni presentano un payoff non monotono anche l’utilizzo dell’espansione al secondo termine conduce a errori significativi
• Possibile soluzione alternativa a delta-gamma: full valuation modelli di simulazione
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I requisiti patrimoniali
• Nel 1993 il Comitato di Basilea ha propostol’estensione dei requisiti patrimoniali airischi di mercato
• I rischi di mercato sono definiti come quellirelativi al portafoglio di negoziazione
• Approccio building block: requisitoaddizionale per ogni categoria di rischio
• Possibilità di utilizzare anche debitosubordinato a breve termine come patrimonio
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L’approccio standard
Rischio di
Mercato
Titoli didebito
Rischio specifico
Rischiogenerico
Titoli dicapitale Cambi
Rischiospecifico
Rischiogenerico
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Titoli di debito: coefficienti per il rischio genericoZona Cedola > 3% Cedola 3% Durata
media
finanziaria
Variazione
presunta dei
rendimenti
Coefficiente
di rischio
(A) (B) (C)=(A)x(B
)
fino a 1 mese fino a 1 mese 0,00 1,00 0,00%
Uno da 1 a 3 mesi da 1 a 3 mesi 0,20 1,00 0,20%
da 3 a 6 mesi da 3 a 6 mesi 0,40 1,00 0,40%
da 6 a 12 mesi da 6 a 12 mesi 0,70 1,00 0,70%
da 1 a 2 anni da 1,0 a 1,9 anni 1,40 0,90 1,25%
Due da 2 a 3 anni da 1,9 a 2,8 anni 2,20 0,80 1,75%
da 3 a 4 anni da 2,8 a 3,6 anni 3,00 0,75 2,25%
da 4 a 5 anni da 3,6 a 4,3 anni 3,65 0,75 2,75%
da 5 a 7 anni da 4,3 a 5,7 anni 4,65 0,70 3,25%
da 7 a 10 anni da 5,7 a 7,3 anni 5,80 0,65 3,75%
Tre da 10 a 15 anni da 7,3 a 9,3 anni 7,50 0,60 4,50%
da 15 a 20 anni da 9,3 a 10,6
anni
8,75 0,60 5,25%
oltre i 20 anni da 10,6 a 12 anni 10,00 0,60 6,00%
da 12 a 20 anni 13,50 0,60 8,00%
oltre i 20 anni 21,00 0,60 12,50%
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Quantitative criteria• Livello di confidenza almeno pari a 99%;• Orizzonte temporale = 10 gg. (2 settimane);• Almeno un anno di dati storici• Volatilità e correlazioni aggiornate ogni mese
Qualitative criteria• Unità RM indipendente• Modello VaR usato nella gestione del rischio• Alta direzione coinvolta• Misure di VaR integrate da stress testing
1
61
160
1;
t
ti
itt VaRMFVaRMaxMRC
Modelli interni: l’approccio di Basilea
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I requisiti patrimoniali
• Il fattore di moltiplicazione varia da 3 a 4 in
funzione della “bontà” del modello
• Questa viene misurata attraverso test
retrospettivi (back-testing)
– Se VaR 99% = 100, le perdite dovrebbero
risultare > 100 solo 1% di volte
– N. eccezioni (loss>VaR) in un anno (250 gg.
trading) dovrebbe essere circa 2,5
– Se n. eccezioni > 4, MF > 3
– Se n. eccezioni > 9, MF = 4
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Modelli interni: l’approccio di
Basilea
CAC 40 Nikkei 225 DAX S&P FTSE MIB30
alore iniz.
/1/95)
1901,79 19684,04 2072,26 460,71 3051,6 642,97
alore fin.
0/12/96)
2318,63 19361,35 2888,69 753,85 4115,7 662,57
endimento
medio annuo
10,42% -0,82% 18,07% 27,92% 16,13% 1,51%
eviaz. std
ornaliera
0,93% 1,20% 0,80% 0,61% 0,60% 1,00%
Esempio: un portafoglio azionario diversificato
internazionalmente
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I modelli interni nell’approccio
di Basilea
La performance dei diversi approcci alla stima del VaR
Numero dieccezioni
Errore massimoin % del VaR stimato
Varianze-covarianze (media mobile semplice) 4 100,5%
Varianze-covarianze (esponenziale = 0,94) 3 37,18%
Varianze-covarianze (esponenziale = 0,97) 4 62,05%
Simulazioni storiche 4 92,3%
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VAR decadale - Confronto fra 3 approcci alternativi
1,80%
2,30%
2,80%
3,30%
3,80%
4,30%
4,80%
5,30%
5,80%02-g
en-9
6
22-g
en-9
6
09-f
eb-9
6
29-f
eb-9
6
20-m
ar-
96
09-a
pr-
96
29-a
pr-
96
17-m
ag-9
6
06-g
iu-9
6
26-g
iu-9
6
16-lug-9
6
05-a
go-9
6
23-a
go-9
6
12-s
et-
96
02-o
tt-9
6
22-o
tt-9
6
11-n
ov-9
6
29-n
ov-9
6
19-d
ic-9
6
Simulaz.
Esponenz.
Semplice
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Modelli interni: l’approccio di
Basilea
• In nessun giorno l’approccio parametrico con
medie mobili semplici e le simulazioni storiche
hanno condotto a un risultato, moltiplicato per
3, inferiore all’8% dell’approccio standard
• In soli 24 gg. su 258 (9,3% dei casi)
l’approccio parametrico con EWMA ha
condotto a un requisito patrimoniale > di
quello dell’approccio standard
• Non si sono peraltro considerati: (a) eventuale
requisito per rischio specifico; (b) MF > 3
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Le proposte di riforma del luglio
2009Due principali proposte di Basilea
1. Incremental Risk Charge (IRC) requisito addizionale
per rischio specifico delle posizioni del trading book
2. Stressed VaR requisito patrimoniale addizionale per
rischio di perdite in periodi di forte stress
Obiettivi principali
• Rimuovere incentivo a operazioni di arbitraggio
regolamentare fra banking book e trading book
• Imporre requisito patrimoniale trading book che
consideri rischio di liquidità (market liquidity risk)
• Entrata in vigore prevista a fine 2010 poi rinviata a
dicembre 2011
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Incremental Risk Charge (IRC)
• “The IRC was incorporated into the trading book capital regime in
response to the increasing amount of exposure in bank’s trading
books to credit-risk related and often illiquid products whose risk is
not reflected in VaR.”
• “…expand the scope of the capital charge to capture not only price
changes due to defaults but also other sources of price risk, such as
those reflecting credit migrations and significant moves of credit
spreads and equity prices.
• The decision was taken in light of the recent credit market turmoil
where a number of major banking organisations have experienced
large losses, most of which were sustained in banks’ trading books.
Most of those losses were not captured in the 99%/10-day VaR
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Incremental Risk Charge (IRC)
• IRC si applica solo alle banche che adottano il
modello interno
• Il requisito patrimoniale minimo per il trading
book sarebbe dato da tre componenti:
– requisito per il rischio generico 10-day VaR – 99%
confidenza
– requisito rischio specifico 10-day VaR – 99%
confidenza
– IRC: stima dell’esposizione complessiva del trading book
ad alcuni rischi sulla base di un orizzonte temporale di un
anno e un livello di confidenza del 99,9%, prendendo
adeguatamente in considerazione la liquidità delle singole
posizioni VaR annuale con 99,9% confidenza
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• Considera un periodo passato di un anno associato a
perdite significative VaR decadale del trading book
con confidenza 99%
• Periodo storico approvato dall’organo di vigilanza
• Rivolto anche a ridurre prociclicità requisiti patrimoniali
• Fattori mc e ms devono essere fissati dalle autorità di
vigilanza sulla base della qualità del modello di risk
management (almeno pari a 3) backtesting
Requisito addizionale: Stressed VaR
601601 ;; avgstavgctMR sVaRmsVaRMaxVaRmVaRMaxCR
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L’analisi della Banca d’Italia