il gioco della logica il gioco della logica. ovvero come la logica aristotelica può esser...
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IL GIOCO IL GIOCO DELLA DELLA LOGICALOGICA
IL GIOCO IL GIOCO DELLA DELLA LOGICALOGICA
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OVVERO
Come la logica aristotelica può esser trasformata
in un gioco semplice e affascinante
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DiAlessia Longo
Laura PizzicaroliAlice Schirone
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Numero di giocatori:
ALMENO UNO!
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Proposizioni
• “Alcune torte fresche sono dolci”
• “Nessuna torta fresca è dolce”
• “Tutte le torte fresche sono dolci”
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Proposizione Un enunciato che asserisce che
alcuni, o nessuno, o tutti gli oggetti appartenenti ad una certa classe, detta soggetto dell’enunciato, sono anche oggetti appartenenti ad una certa altra classe, detta predicato dell’enunciato.
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Consideriamo il diagramma seguente e supponiamo che esso sia una dispensa progettata per tutte le torte del mondo
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Supponiamo che le torte fresche siano state collocate nella metà superiore e le rimanenti (cioè quelle non-fresche) nella metà inferiore
Torte fresche
Torte fresche
Torte non-fresche
Torte non-fresche
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Supponiamo inoltre che tutte le torte dolci siano state collocate nella metà di sinistra e le rimenenti (cioè quelle non-dolci) nella metà a destra
Torte dolci
Torte non-dolci
Torte dolci
Torte non-dolci
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A questo punto possiamo dedurre che, se il settore in alto a sinistra contiene delle torte, esse dovranno avere il duplice attributo di fresche e dolci
Fresche e
dolci
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Ora stabiliamo:
1. che il numero 1 in un settore indichi che è occupato, cioè che in esso ci sono alcune torte.
2. che il numero 0 in un settore indichi che tale settore è vuoto, cioè che in esso non vi sono torte.
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Fissando l’attenzione sulla metà superiore della dispensa, in cui tutte le torte hanno l’attributo fresco, la prima proposizione proposta ”alcune torte fresche sono dolci” viene allora ad essere così rappresentata:
1
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DUE PRECISAZIONI:• La parola alcuni/e in logica significa
uno o più• Chiamiamo l’intera classe degli oggetti
a cui è destinata la dispensa l’universo
Naturalmente qualsiasi altro oggetto andrebbe bene proprio come le torte!
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Che significato hanno, allora, i seguenti
diagrammi superiori?
1 1
1. Alcune torte fresche sono dolci2. Alcune torte fresche sono non-
dolci
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…E questi?
0 0
1. Nessuna torta fresca è dolce (SECONDA PROPOSIZIONE)
2. Nessuna torta fresca è non-dolce
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…E questi altri?
1 1 0 0
1. Alcune torte fresche sono dolci, e alcune sono non-dolci
2. Nessuna torta fresca è dolce, e nessuna è non-dolce, ovvero nessuna torta fresca esiste, ovvero nessuna torta è fresca!
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Si tratta di PROPOSIZIONI DOPPIE, come le
seguenti:
1 0 0 1
1. Alcune torte fresche sono dolci, e nessuna torta fresca è non-dolce. Quindi: Tutte le torte fresche sono dolci (TERZA PROPOSIZIONE)
2. Tutte le torte fresche sono non-dolci
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Divisioni ESAUSTIVE
Suddivisioni che tra loro esauriscono
l’intera classe
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Consideriamo ora il diagramma seguente: possiamo considerarlo come una dispensa divisa nello stesso modo della precedente, ma divisa ulteriormente in due zone relative all’attributo mangiabile
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Supponiamo che tutte le torte mangiabili siano poste dentro il quadrato centrale, mentre tutte quelle immangiabili fuori, cioè in uno dei quattro settori esterni di forma irregolare
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Vediamo che, come nel diagramma minore le torte in ciascun settore avevano due attributi, così qui le torte contenute in ciascun settore hanno tre attributi
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Ora consideriamo solamente la metà superiore della dispensa: il soggetto è torte fresche. La proposizione “Nessuna torta fresca è mangiabile” sarà allora rappresentata in questo modo:
0 0
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Esaminiamo ora “Tutte le torte fresche sono
mangiabili”. Questa proposizione consiste, come visto in precedenza, in
due proposizioni: “Alcune torte fresche sono
mangiabili” e
“Nessuna torta fresca è non-mangiabile”
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La proposizione negativa: “Nessuna torta fresca è non-
mangiabile” ci dice che nessuna torta appartenente alla metà superiore della dispensa deve trovarsi al di fuori del quadrato
centrale: 0 0
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La proposizione: “Alcune torte fresche sono mangiabili” dice che ci sono alcune torte nel
rettangolo centrale ma, poiché non sappiamo se si tratta di
torte dolci o non-dolci, poniamo l’1 sulla linea di divisione: 0
0
1
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Ora tentiamo una interpretazione: che cosa diciamo di questa figura?
1 0
1. Che il quadrato di destra è interamente vuoto, perché entrambi i suoi settori sono segnati con 0
2. E che il quadrato di sinistra è occupato
0
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Se allora trasferiamo i simboli nel diagramma minore, così da
eliminare la sottodivisione mangiabile, lo segnamo
correttamente nel seguente modo:
1 0
Che significa: “Tutte le torte fresche sono dolci”
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Ora tentiamo un’altra interpretazione: che cosa
diciamo di questa situazione?
0 1
1. Che nel quadrato di sinistra uno dei due settori è vuoto, ma tale informazione non serve poiché non c’è nessun simbolo nell’altro settore
2. E che il quadrato di destra è occupato
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Se allora trasferiamo i simboli nel diagramma minore, in
questo caso otteniamo semplicemente questo:
1
Che significa: “Alcune torte fresche sono non-
dolci”
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SILLOGISMI• Supponiamo di dividere il nostro
universo di oggetti in tre modi rispetto a tre differenti attributi (a, b e c)
• Se abbiamo due proposizioni contenenti le coppie ab e ac, è possibile dedurre da esse una terza proposizione contenente bc
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• In tal caso chiamiamo le due proposizioni date premesse, la terza conclusione, e il tutto sillogismo
• Evidentemente uno degli attributi deve trovarsi in entrambe le premesse: termine medio; oppure deve essere in una premessa e il suo contrario nell’altra: termini medi
• L’attributo che compare nel termine o nei termini medi scompare nella conclusione
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Cerchiamo ora di trarre una conclusione dalle
due premesse:
•“Alcune torte fresche sono immangiabili”
•“Nessuna torta dolce è immangiabile”
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Per rappresentarle sul diagramma maggiore dobbiamo dividere le torte in tre modi, rispetto alla freschezza, alla dolcezza e alla mangiabilità. Cominciamo col rappresentare la premessa negativa: “Nessuna torta dolce è immangiabile”
0
0
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Resta ora da esprimere l’altra premessa, vale a dire: “Alcune torte fresche sono immangiabili”. Ciò significa che uno dei due settori superiori di forma irregolare è occupato (necessariamente quello dove non è posto lo 0):
0 1
0
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Ora, come riportare queste informazioni nel diagramma minore, così da ottenere una proposizione che contenga soltanto gli attributi dolce e fresco, tralasciando mangiabile?
Il risultato è: “Alcune torte fresche sono non-dolci”
1
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Trascriviamo allora l’intero sillogismo
• Alcune torte fresche sono immangiabili• Nessuna torta dolce è immangiabile
QUINDI
• Alcune torte fresche sono non-dolci