i derivati
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U N I V E R S I T A' D E G L I S T U D I D I B E R G A M O. DIPARTIMENTO DI MATEMATICA, STATISTICA, INFORMATICA E APPLICAZIONI “Lorenzo Mascheroni”. I derivati. Lezione 0. Terminologia. strumento derivato posizione lunga posizione corta vendita allo scoperto arbitraggio - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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I derivati
Lezione 0
U N I V E R S I T A' D E G L I S T U D I D I B E R G A M O
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA, STATISTICA, INFORMATICA E APPLICAZIONI“Lorenzo Mascheroni”
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Terminologia
strumento derivatoposizione lungaposizione cortavendita allo scopertoarbitraggiotasso spot, prezzo spottasso forward, prezzo forward
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Strumento derivato
I derivati (o derivatives o contingent claims) sono strumenti il cui
«valore» dipende dai «valori»di altre variabili fondamentali dette sottostanti (o underlying)
prez
zo s
otto
stan
te
Il sottostante può riguardare una qualsiasi attività o variabile economica. Ad es. azioni, obbligazioni, indici di mercato, merci, servizi, situazioni
meteorologiche e climatiche, risultati sportivi ecc.
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Esempi di Derivati
Opzioni
Contratti Forward (o Forwards)
Contratti Futures (o Futures)
Swaps
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Perché si Usano i DerivatiPer proteggersi dai rischiPer concretizzare un’opinione circa la futura evoluzione del mercato (scommessa)Per bloccare un profitto di arbitraggioPer cambiare la natura di una passivitàPer cambiare la natura di un investimento senza incorrere nei costi connessi con la vendita di un portafoglio e l’acquisto di un altroPer ragioni fiscali
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Operatori
Hedgers:ridurre un rischio al quale sono esposti
Speculatori:scommettitori
Arbitraggisti:operatori che traggono profitto privo di rischio senza investire
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Economia di arbitraggio
Per sottolineare la possibilità di sfruttare tutte le opportunità offerte dal gran numero di mercati disponibili
cause:1) disintermediazione (scambio diretto)2) deregolamentazione (contesto
finanziario flessibile)3) integrazione (fine della
segmentazione)La finanza moderna si fonda sulla cosiddetta «Economia di arbitraggio». Con questo termine si vogliono sottolineare le possibilità offerte dall’evoluzione dei mercati finanziari.
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Arbitraggio
«You make money without risk»L’arbitraggio consiste
nell’effettuare contemporaneamente delle operazioni di segno opposto in modo da garantire dei guadagni certi a fronte di investimenti nulli (più intuitivo)
oppurenell’effettuare contemporaneamente delle operazioni di segno opposto in grado di garantire dei guadagni nulli a fronte di disinvestimenti non nulli (meno intuitivo)
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Opportunità di arbitraggio
Con il termine “opportunità di arbitraggio” ci si riferisce alla possibilità di sfruttare eventuali incongruenze tra i diversi mercati e/o i diversi beni.Ad es. compro oro a 100 $/oncia in USA e lo vendo a 102 $/oncia in GB, quando il trasporto costa 1$/oncia.Dati: P = prezzo, q = quantità investita, D = rendimentoAbbiamo: P q = investimento, D q = guadagnoL’arbitraggio del primo tipo è dato da: P q = 0 e D q > 0. In generale si usa dire P q 0 e D q > 0.L’arbitraggio del secondo tipo è dato da: P q < 0 e D q = 0. In generale diremo P q < 0 e D q 0.
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Posizione finanziaria
La parte che ha deciso di comprare «prende una posizione lunga»
La parte che ha deciso di vendere«prende una posizione corta»
Una posizione viene chiusa prendendo una posizione di segno opposto
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Vendita allo ScopertoLa vendita allo scoperto:
consiste nel vendere titoli che non si posseggonoI titoli vengono «presi in prestito» attraverso un brokere vengono venduti nel modo consuetoIl venditore allo scoperto potrà essere chiamato a chiudere la propria posizione (in ogni momento) qualora il broker si trovasse senza azioni
Chi vende allo scopertodovrà prima o poi ricomprare i titoli per «restituirli» al broker da cui li ha presi in prestitodeve pagare i «dividendi» e gli altri eventuali proventi al legittimo proprietario dei titoli
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Vendita allo ScopertoPer la vendita allo scoperto si incarica un broker che gestisce un portafoglio contenente i titoli che vogliamo vendere allo scoperto. (Notiamo che non stiamo discutendo sulle ragioni che ci spingono a vendere qualche cosa che non abbiamo, ma dobbiamo solamente capire come questo sia possibile).Ad es., vogliamo vendere 10 000 Fiat a 18.38 (prezzo di mercato). Non disponendo dei titoli possiamo chiedere in prestito le azioni a un broker (di cui godiamo la fiducia). Il broker ovviamente deve disporre di almeno 10 000 Fiat, ad esempio perché gestisce il portafoglio della propria clientela.Si incarica quindi il broker di venderci le 10 000 azioni e di versarci in conto l’importo realizzato al netto della commissione. Spesso questa operazione richiede delle garanzie (in titoli o contanti).Al variare del prezzo della Fiat possiamo decidere (in ogni momento) di ricomprare le 10 000 azioni versando l’importo necessario al broker e restituendogli i titoli presi a prestito.In presenza di elevate variazioni di prezzo a noi sfavorevoli (forti aumenti) o in caso di richiesta di disponibilità dei titoli il broker può chiederci (in ogni istante) di chiudere la posizione.
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Spot e Forward
Tasso e prezzo spot riguardano il tasso e il prezzo attuali
Tasso e prezzo forward riguardano il tasso e il prezzo a termine (a una certa scadenza)
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Tasso Forward o di Riporto (Repo)
Il tasso di riporto è il tasso d’interesse rilevante per molti arbitraggistiI contratti di riporto (repos o repurchase agreements) sono accordi con i quali un’istituzione finanziaria vende titoli spot ad un’altra istituzione finanziaria e li riacquista a termine ad un prezzo che in genere è lievemente più altoLa «differenza» tra il prezzo di riacquisto a termine e il prezzo di vendita spot è l’«interesse» percepito dalla controparte
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Forwards
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Contratto a termine o Forward
« Agreement to buy or sell“something” in the future»
Accordo per comprare o vendere un’attività ad una certa data futura, per un certo prezzo
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Come funzionaun contratto Forward
Il contratto forward è un accordo tra 2 società sul mercato over the counter (OTC)Di solito il prezzo del contratto è scelto in modo che il «valore iniziale di mercato» del contratto sia nulloPertanto, non c’è alcuno scambio di denaro nel momento in cui il contratto viene stipulatoIl contratto viene «liquidato a scadenza»
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Esempio di contratto Forward
8 maggio 2002: una società entra in un contratto forward lungo per acquistare tra 90 giorni £1.000.000 a $1,6056 per sterlina ($/£ = GBP/USD)
8 maggio 2002 6 agosto 2002
pago $1 605 600ricevo £1 000 000
pago $1 605 600ricevo £1 000 000
sottoscrizione del contratto
sottoscrizione del contratto
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Esempio di contratto Forward
6 agosto 2002: il «tasso di cambio spot» della sterlina è pari a $1,6500
8 maggio 2002 6 agosto 2002
pago $1 605 600ricevo £1 000 000che valgono $1 650 000
pago $1 605 600ricevo £1 000 000che valgono $1 650 000
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Esempio di contratto ForwardIn base alle «condizioni» contrattuali (forward del 5 maggio 2002), la società paga $1.605.600 e riceve £1.000.000Il «profitto» della società è pari a $44.400, dato che le sterline possono essere immediatamente rivendute a $1.650.000
pago $1 605 600ricevo £1 000 000vendo £1 000 000ricevo $1 650 000
--------------guadagno $44 400
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Posizione lunga su un Forward
(a)
0
Profitto
STK
Posizione lunga
K
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Posizione corta su un Forward
(b)
0
Profitto
STK
Posizione corta
K prezzo forwardo prezzo di consegna?
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Contratti Forward
Prezzo Forward: prezzo di consegna del giorno di stipula tale da rendere il valore del contratto Forward nullo
Prezzo di consegna:prezzo applicato alla compravendita a termine
Valore del contratto Forward:prezzo di scambio durante la vita intermedia del contratto
Il valore del contratto Forward rappresenta quanto vale detenere l’impegno iscritto nel contratto.
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Oro: un’opportunità di arbitraggio?
Si supponga che:il prezzo spot dell’oro sia di $390il prezzo forward a 1 anno dell’oro sia di $425il «tasso d’interesse» a 1 anno in dollari sia del 5% annuonon si hanno costi di custodia o di trasporto dell’oro
C’è un’opportunità di arbitraggio?
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C’è opportunità di arbitraggio?
nessun investiment
o
guadagno certo
opportunitàdi arbitraggio
Oggi 1 anno
Tasso d'interesse 5%
corto Forward su oro 0 +425–oro
lungo di oro –390 +oro
prestito di contanti +390 –409.5 $390×15%
Saldo 0 15.5
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Oro: un’altra opportunità di arbitraggio?
Si supponga che:il prezzo spot dell’oro sia di $390il prezzo forward a 1 anno dell’oro sia di $390il «tasso d’interesse» a 1 anno in dollari sia del 5% annuonon si hanno costi di custodia o di trasporto dell’oro
C’è un’opportunità di arbitraggio?
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C’è opportunità di arbitraggio?Oggi 1 anno
Tasso d'interesse 5%
deposito di contanti –390 409.5
lungo Forward su oro 0 –390+oro
nessun investiment
o
guadagno certo
opportunitàdi arbitraggio
corto di oro +390 –oro
Saldo 0 19.5
![Page 28: I derivati](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022061501/56813fe8550346895daadadc/html5/thumbnails/28.jpg)
C’è opportunità di arbitraggio?Oggi 1 anno
Tasso d'interesse 5%
deposito di contanti –371.43 390
lungo Forward su oro 0 –390+oro
disinvesti-mento
guadagno nullo
opportunitàdi arbitraggio
corto di oro +390 –oro
Saldo 18.57 0 19.5 / (1+5%)
![Page 29: I derivati](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022061501/56813fe8550346895daadadc/html5/thumbnails/29.jpg)
Formalizzando
Se oggi F > S (1+i)(T–t)
prendo in prestito la somma Svado corto sul Forward che paga F per il titolo che oggi vale Sacquisto il titolo spot che costa S
fine periodopago S (1+i)(T–t) a chi mi ha prestato i soldicedo il titolo alla somma F
![Page 30: I derivati](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022061501/56813fe8550346895daadadc/html5/thumbnails/30.jpg)
Formalizzando (continua)Se oggi F < S (1+i)(T–t)
prendo una posizione corta sul titolo spot e ricevo Svado lungo sul forward che paga F per il titolo che oggi vale Sdeposito la somma S ricevuta dalla venditaallo scoperto
fine periodoricevo S(1+i)(T–t) dal deposito dei contanticompro il titolo alla somma Fchiudo la posizione corta sul titolo restituendolo al broker
![Page 31: I derivati](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022061501/56813fe8550346895daadadc/html5/thumbnails/31.jpg)
Prezzo ForwardConcludiamo che il prezzo di consegna che rende nullo il valore del contratto Forward alla stipula è pari a
S (1+i)(T–t)
oppure
Se r (T–t)
per titoli chenon pagano dividendi o dividend yieldsnon hanno costi di deposito, custodia o immagazzinamento
![Page 32: I derivati](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022061501/56813fe8550346895daadadc/html5/thumbnails/32.jpg)
Valore di un ForwardSia
K : prezzo di consegna di un contratto forward
F : prezzo forward che si applicherebbe ora al contratto
Il valore di un contratto forward lungo, f, è
f =(F – K )e–r(T – t)
Analogamente, il valore di forward corto è
f=(K – F)e–r(T–t)
![Page 33: I derivati](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022061501/56813fe8550346895daadadc/html5/thumbnails/33.jpg)
Valore di un contratto Forward
Se F > K allora sono indifferente sse mi viene pagata una somma pari a F–K in T, ossia (F–K)e-r(-t) oggi, per vendere K. Dato che f(F)=0, si deduce che f(K)= (F–K)e-r(-t)
Se F < K allora sono indifferente sse mi viene pagata una somma pari a K–F in T, ossia (K–F)e-r(-t) oggi, per acquistare K anziché F. Di conseguenza f(K)= –(K–F)e-r(-t) = (F–K)e-r(-t)
rTSeK
0 Tt
)( tTrteSF
K
FST
![Page 34: I derivati](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022061501/56813fe8550346895daadadc/html5/thumbnails/34.jpg)
Esempio di Forward
r = 6%, T – t = 6mesiin T chi possiede K (è lungo di K) deve pagare €8.32 meno di chi sottoscrive ora: F=Ster(T-t) = €958.32 K – F = €8.32
quindi K F. Quanto è la preferenza? 8.32 e-6% × 6 / 12 = 8.08Chi vuole acquistare una posizione lunga su K pagherà 8.08, (f = -8.08)Chi vuole vendere una posizione lunga su K otterrà 8.08, (f = 8.08)Chi vuole acquistare una posizione corta su K otterrà 8.08, (f = 8.08)Chi vuole vendere una posizione corta su K pagherà 8.08, (f = -8.08)
950K
0 26/526/11
930tS
K
FST
![Page 35: I derivati](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022061501/56813fe8550346895daadadc/html5/thumbnails/35.jpg)
Valore di un contratto Forward
Se f = $7 in che modo possiamo fare arbitraggio?
Volendo anticipare i guadagni?
![Page 36: I derivati](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022061501/56813fe8550346895daadadc/html5/thumbnails/36.jpg)
Valore di un contratto Forward:senza redditi
Lunghi di forward F equivale al possesso di un sottostante S a scadenza T (qualunque sia il suo valore in tale data):
0 t T
S0 St
rTeSK 0 )( tTrteSF
rtttTr
rT
tTr
tTr
ttTr
t eSSe
eS
e
eSeKFf 0)(0)(
)()()(
rt
ttTr
rT
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tTr
ttTr
t eSSe
eS
e
eSeKFf 0)(0)(
)()()(
acquista oggi e dispone del titolo S in TDeve valere come un portafoglio che
![Page 37: I derivati](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022061501/56813fe8550346895daadadc/html5/thumbnails/37.jpg)
I Beni d’Investimentoche Offrono Redditi Noti
Vale la relazione
F S IerT t(3.7) p. 52
dove I è il valore attuale dei redditi distribuiti (in quanto sono di diritto a coloro che prestano il titolo)
![Page 38: I derivati](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022061501/56813fe8550346895daadadc/html5/thumbnails/38.jpg)
Valore di un contratto Forward:con redditi noti
Lunghi di forward F vuol dire acquistare il sottostante S in T (qualunque sia il suo valore in tale data), quindi senza i redditi maturati tra oggi e T:
0 t T
S0 St
rTrT IeeSK 0)()( tTr
tt eISF
rttt
tTrtt
tTrt eISISKeISeKFf )()( 0
)()( rttt
tTrtt
tTrt eISISKeISeKFf )()( 0
)()(
che dispone del titolo S in TDeve valere come un portafoglio
![Page 39: I derivati](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022061501/56813fe8550346895daadadc/html5/thumbnails/39.jpg)
I Beni d’Investimento che Offrono un «Dividend Yield Noto»
Vale la relazione
F Ser qT t(3.10) p. 54
dove q è il dividend yield (dividendi in funzione del prezzo dell’azione)
Si assume che l’attività sottostante offra un reddito pari a qSt nel periodo t
![Page 40: I derivati](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022061501/56813fe8550346895daadadc/html5/thumbnails/40.jpg)
Forward con dividend yields•Supposto noto che chiamiamo dividend yield (annuo)
•lo ‘spalmiamo’ sull’intero anno, cioè paga SqΔt per Δt0,
•in altre parole, dopo un giorno paga dividendi
•dopo due giorni paga
•in base a pag. 47 abbiamo che•ad es. S = 100, div(T)=110.52-100=10.52= SeqT - S•volendo attualizzare i dividendi: (SeqT - S)e-qT = S - e-qT I•da cui: F=(S - I) erT = (S - S + Se-qT) erT =
Spotq
dividendi
365
1Sq
SqSSqqS 2
3651
3651
3651 111
SSeqS tq 22
36511
Se(r-q)TSe(r-q)T
![Page 41: I derivati](https://reader033.vdocumenti.com/reader033/viewer/2022061501/56813fe8550346895daadadc/html5/thumbnails/41.jpg)
Valore di un contratto Forward:con dividend yields noti
Dato che gli interessi qSt maturano “istantaneamente” (per piccoli t):
)1( tqe tq
0 t T
S0 St
qT
rT
e
eSK 0 ))((
)(
)(tTqr
ttTq
tTr
t eSe
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)(0
)()(
)(
0)()()( qTrttTr
ttTr
TqrtTr
ttTr
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eSeSeKFf
)(0
)()(
)(
0)()()( qTrttTr
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