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Gli errori sui parametri
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 2
Gli errori sui parametri
• Riprendiamo il caso della retta
• ...e sviluppiamo le cose per benino...
1, , NX XX 1, , NY YY
Y m qX 2
22
k k
k
m qY X
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Gli errori sui parametri
• Ora minimizziamo
2
2
2
2
0 2
0 2 1
k kk
k
k k
k
m q
m
m q
X
Y X
q
YX
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Gli errori sui parametri
• Sviluppiamo
2
2
0
0
k kk
k
k k
k
mY XX
Y
q
m qX
2
2
0
0
k kk
k
k k
k
Y XX
Y X
m q
m q
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Gli errori sui parametri
2
2 2 2
2 2 2
1
k k k k
k k k
k k
k k k
X X X Y
X Y
m q
m q
2
2 2 2
2 2 2
0
10
k k k k
k k k
k k
k k k
mX Y X
q
m
X
Y Xq
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Gli errori sui parametri
• Se facciamo queste posizioni...
2
2 211 12
12 222 2
1
k k
k k
k
k k
X X
X
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 7
Gli errori sui parametri
• ...possiamo scrivere il sistema normale come
• Poniamo
• ...ed avremo le soluzioni per i parametri della retta
11 12 1
21 22 2
m g
g
q
m q
211 22 12 21 11 22 12
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Gli errori sui parametri
1 22 2 12
2 11 1 12
m
q
g g
g g
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Gli errori sui parametri
• Si dimostra che è la matrice dei pesi
• Quindi
è la matrice delle covarianze
22 121
12 11
1
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 10
Gli errori sui parametri
• Quindi 22 12
1
12 11
2
2m mq m q
mq m q q
V
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Gli errori sui parametri
• Esplicitamente 22
2 2 2
222
2
211
1
1
k k
k k k
km
k
kq
X X
X
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Gli errori sui parametri
2
212
2 2
2 2 22
11
k
kk
kmq
m q k k
k k kk
XX
X X
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 13
Gli errori sui parametri
• E se si tratta di qualcosa di più complicato?
Due casiI. Siamo in un caso lineare nei
parametri incogniti– In questo caso ci si arma di pazienza e si
rifà quello che abbiamo visto per la retta
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 14
Gli errori sui parametri
II. Siamo in un caso generale – L’assoluta maggioranza dei casi
• Si può fare il calcolo degli errori usando la forma analitica del 2
min
min
2 21
min
V
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 15
Gli errori sui parametri
• Tenendo presente che se siamo al minimo
min
2
0
min
min
2 21
min
V
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Gli errori sui parametri
min
min
min
21
min
2
min
min min
T
V
V
V
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Gli errori sui parametri
min
min min min
min
min min
2 2
2 2
T
T
T
T
T
V
V V V
V 1
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 18
Gli errori sui parametri
min
min
min
2 2
2 21
2 21
T
T
T
T
T
V 1
V
V
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 19
Gli errori sui parametri
• ...ed infine
min
112 2
T
V
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 20
Gli errori sui parametri
min
mi
mi
n
n
21
min
1 12
12
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2 2
min
V
V
V
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 21
Gli errori sui parametri
• Infine
– Si tratta di un processo laborioso...
• Altrimenti si può usare la forza bruta del calcolo
• Ricordiamoci che il 2 non è altro che una somma di scarti ridotti
min
min
2
min
V
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 22
Gli errori sui parametri
• ...ed allora si trovano i valori dei parametri per i quali
• Risolvendo l’equazione trascendente ad un parametro per volta
• dà le unità di varianza
2 2 2min mink k s
2s
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 23
Gli errori sui parametri
• Quindi un sistema trascendente
– ...e tanti auguri
2 2min min,1 min
2 2min min
1
,
1
min
1
1NN N
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 24
Gli errori sui parametri
• Fate attenzione che le equazioni trascendenti sono brutte bestie– Se possibile chiaritevi le idee con dei
grafici– Metodo delle secanti e/o bisezione sono
i migliori– Due metodi indipendenti danno maggior
sicurezza
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Caso più complesso
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 26
Funzioni di variate
• Supponiamo di avere una funzione lineare di una variata multidimensionale
• Come facciamo a calcolarci gli errori su ? – Attenzione: ora siamo in molte dimensioni– Dobbiamo calcolarci la matrice delle
covarianze!
Y = A X Y = A XY
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 27
Funzioni di variate
• Avremo...
T
T
Y
T
T
T
T
Y - Y Y - Y
A X - A X A X - A X
A X - X X - X A
V
A X - X X - X A
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 28
Funzioni di variate
• Dunque
• Che è la generalizzazione della “vecchia” formula sul calcolo degli errori
TY XV A V A
2 2 2Y X
Y m X
m
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 29
Funzioni di variate
• ...e se abbiamo una funzione qualunque?
• ...con lo jacobiano
1 1 1 2
2 2 1 2
1 2
, , ,
, , ,
, , ,
N
N
N N N
y y x x x
y y x x x
y y x x x
Y Y X
ij
iij jJ y
y
x
TY
J YX
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 30
Funzioni di variate
• ...svilupperemo in serie...– Intorno ai valori medi
• Valori attesi
– Al primo ordine • Errori piccoli...
– E ricorderemo l’additività delle varianze• Ipotesi normale...
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Funzioni di variate
• Risultato...
• Ed al primo ordine...
Y
Y X Y X X XX
T
Y X
Y YV V
X X
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 32
Funzioni di variate
• ...che nel caso di variabili indipendenti diviene 2
2 2Y k
k
f
x
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Simulazioni statistiche
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 34
Simulazioni statistiche
• Chiamate anche MonteCarli • Il termine (spregiativo) risale ad anni ’40• In fenomeni molto complessi si ricorse a
simulazioni casuali
• Oggi si usano di routine in fenomeni complessi
• Idrodinamica• Plasmi• Scontri fra Galassie• Sviluppi di popolazioni di organismi
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 35
Simulazioni statistiche
• Inizio con gli sciami elettromagnetici– Un gamma materializza in una coppia
elettrone-positrone– Le cariche passano vicino a dei nuclei e
fanno BS– Vengono emessi dei gamma...
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 36
Simulazioni statistiche
• Si può studiare – con equazioni differenziali...
– Ma ne vale la pena?– E come si fa a tener conto delle fluttuazioni?
– ...oppure simulando statisticamente il processo
• Simulazioni: oggi molto usate per una varietà di problemi scientifici e tecnici
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 37
Simulazioni statistiche
• Alternative – Forza bruta del calcolo
• Simulazioni • Calcolo agli elementi finiti
– Uso sofisticato del calcolo differenziale• Molto spesso troppo astratto• Troppe ipotesi difficilmente controllabili• Sistemi di PDE ed IE di difficile soluzione e
controllo• Non linearità delle PDE
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 38
Simulazioni statistiche
• Vari modelli:– PM: Particle-Mesh. Una particella si
muove in un campo predefinito ed immutabile
– Esempio: un satellite nel campo gravitazionale terrestre
– P3M: Particle-Particle-Particle-Mesh. Idem come sopra, però tenendo conto anche delle interazioni fra le particelle
– Esempio: elettroni entro un semiconduttori sottoposti ad un campo esterno (il FET)
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 39
Simulazioni statistiche
• Vediamo alcuni vantaggi– Facilità di modellizzazione
– Parcellizzazione di un fenomeno complesso– Possibilità di controllo del calcolo nelle sue varie
fasi
– Facilità di modifiche al modello– Facilità di riprodurre sistemi non lineari– Facilità di aumentare l’accuratezza
• Svantaggi: tempi di calcolo...
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 40
Simulazioni statistiche
• Il confronto fra dati e previsioni ora ha due facce– Errori sui dati– Errori sulle previsioni– Tipicamente quelli statistici
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 41
Simulazioni statistiche
• Su eventi le fluttuazioni statistiche sono attese dell’ordine di
• Le fluttuazioni percentuali sono dunque
• Domanda:
NN
1N
N N
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 42
Simulazioni statistiche
Quanti eventi statistici dobbiamo produrre affinché gli errori
sperimentali non ne risentano
apprezzabilmente?
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Simulazioni statistiche
• La risposta sta nell’additività delle varianze
• Poniamo che l’errore relativo sia
Regola praticaPer un aumento del 10% dell’errore
relativo occorrono campioni dell’ordine di
x
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5minN
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Simulazioni statistiche
• Quindi se si ha una statistica di 1000 eventi l’errore sarà incrementato del 10% con una simulazione di 5000 eventi
• ...e se si vuole passare al 5% occorrono 20000 eventi
– Ricordate ?
• ...e se si vuole passare all’1% occorrono 500000 eventi...
N
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Simulazioni statistiche
• In genere si accettano statistiche
» Nel dubbio è sempre meglio abbondare, se possibile...
2
5 10minN
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Dati e segnali
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Dati e segnali
• Differenza importante:• Sui dati sperimentali non si ha alcuna
informazione– Esempio: la curva di luce di una supernova
• Sui segnali sperimentali si sa (almeno all’incirca) qualcosa
– Esempio: il segnale di un fotomoltiplicatore visto all’oscillografo
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Dati e segnali
• Differenza di trattamento fondamentale
• Nei dati tutto può essere importante – Procedimento di analisi standard
• Scelta di un modello teorico• Definizione della legge di distribuzione delle
incertezze• Fit con la ML• Analisi degli errori• Analisi delle correlazioni• Analisi del livello di confidenza
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Dati e segnali
• Nei segnali si da già cosa è importante
• Attenzione: mica sempre...
• Quindi si può cercare di eliminare ciò che non è importante
IL RUMORE
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Dati e segnali
• ATTENZIONE: queste sono sempre tecniche MOLTO pericolose se non si sa a priori la forma del segnale– Si rischia di perdere informazioni
importanti– Fluttuazioni statistiche (da togliere) si
possono sommare a segnali deboli (da tenere, forse)
• Insomma: molta cautela
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Dati e segnali
• Esempi di segnali unidimensionali– Principalmente: serie temporali
• EEG, ECG, sismogrammi
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Le serie temporali
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Le serie temporali
I dati di partenza • Vengono presi dei dati ad intervalli di
tempo (di solito uguali)Il problema
• Estrarre le informazioni significativeLa soluzione più comune
• Sviluppare in serie di Fourier
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Le serie temporali
• Problema di solito complesso• Divenuto più semplice dopo la
scoperta della Fast Fourier Transform (ca.: 1970)
• Si riduce ad una stima parametrica cosk kF t k tA
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Le serie temporali
• Ogni termine porta a due parametri in più
• Più uno per tutti: la frequenza fondamentale
• Sviluppare in serie di Fourier comporta la raccolta di molti dati
• L’inizio e la fine dei dati comporta la presenza di frequenze spurie
• Artefatti
• Si ottiene uno spettro di frequenze
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Le serie temporali
• Esempi: – Analisi di vibrazioni statiche– Suoni– Elettroencefalogrammi– ...
• Spesso importante non la ma la F t 2F t
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Le serie temporali
• Caso particolare l’EEG– Invece della si usa la– Proporzionale alla potenza– Facendo la FT si ottiene la potenza
emanata alle varie frequenze
Uno spettro di potenza
V t 2V t
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Le serie temporali
Un problema• Qual’è la frequenza massima che si
può rivelare con un certo campione?Criterio di Nyquist
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Segnale e fondo
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Segnale e fondo
Il problema• In funzione di una (o più) variabile(-i)
si ha un segnale che è somma– Di un segnale casuale, o comunque non
interessante• Fondo, background, noise
– Di un segnale importante e significativo• Come di fa a separarli? Come si fa a
calcolare gli errori?
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 63
Segnale e fondo
Una soluzione• Conoscere in qualche modo il fondo
• Teorie, ipotesi• Misure prima e dopo il segnale
• Simulare il fondo statisticamente• Fare l’ipotesi che il fondo sia lo
stesso anche se il segnale è presente• Indipendenza oltre che struttura
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Segnale e fondo
• Ottenere il segnale a fondo sottratto• Calcolo della percentuale di fondo• Normalizzazione
• Tenere conto dell’additività delle varianze
• Nella sottrazione le cose peggiorano