estrazione casuale palline. urna con 3 palline rosse r1, r2, r3 e 2 azzurre a1, a2 si estrae una...
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EstrazioneCasuale palline
Urna con 3 palline rosse R1, R2, R3 e 2 azzurre A1, A2si estrae una pallina , la si rimette nell’urna, si estrae una seconda pallina
Spazio campioni S = [R1, R2, R3, A1, A2] Eventi = 25
Cfr.prossima
1^ estratta, reinserita
2^ estratta: registrate secondo ordine estrazione
[R1, R2, R3, A1, A2]
Eventi = 25
P(nessuna azzurra)=9/25
P(solo 1 pallina azzurra)= 12/25
P(con due palline azzurre)=4/25
R1R2 R3 A1 A2
S= [R, V, A]
P1r(2/6 = 1/3
P1v(2/6 = 1/3)
P1a(2/6 = 1/3)Prima pallina estratta
Seconda pallina estratta
Urna con palline : 2 rosse, 2 verdi, 2 azzurre
P2r(1/5) P2r(2(5) P2r(2/5)
P2a(2/5) P2a(2/5) P2a(1/5)
P2v(2/5)P2v(2/5)P2v(1/5)
Probabilità uscita prima pallina P1, seconda pallina P2
Urna con 3 palline rosse e due azzurre r1 r2 r3 a1 a2
Si estrae una prima pallina, non si reinserisce; si estrae una seconda pallina dalle 4 rimanenti
Numero campioni 5*4 = 20
Prima pallina
Seconda pallina
P(nessuna azzurra)=6
P(una azzurra) = 12
P(con 2 azzurre) = 2
Determinare alcune probabilità
Un’urna contiene 4 palline numerate da 1 a 4:1-2 azzurre, 3-4 rosse
vengono estratte insieme due pallinenumero oggetti ?n
Probabilità che escano due rosse ? Prprobabilità che escano due con lo stesso colore ? Psprobabilità che escano due con colore diverso ? Pd
1 2 3 4
1 2
3 4 1 4
1 3
42
2 3
n = 6
Pr = 1/6
3 4
Ps =2/6 = 1/3
1 2
3 4
Pd = 4/6 = 2/3
1 3
1 4
2 3
42
Un’urna contiene 4 palline numerate da 1 a 4:1-2 azzurre, 3-4 rosse
vengono estratte insieme due pallinenumero oggetti ?n
Probabilità che escano due colori diversi con una pari e una dispari ? Pdpdprobabilità che escano due con lo stesso colore ,pari? Psp
probabilità che escano due con colore diverso ,pari o dispari? Pdppdd
1 2 3 4
1 2
3 4 1 4
1 3
42
2 3
n = 6
1 4
2 3
Pdpd = 2/6 = 1/3 Psp = 0 /6 = 0 Pdppdd = 2/6 = 1/3
42
1 3
Contenitore con 10 palline( non visibili): 5 rosse e 5 azzurre
Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?
PR = nRosse / nTotale
PA= nAzzurre/nTotale
5 / 10 = ½ = 0.5
5 / 10 = ½ = 0.5
Probabilità X = eventi favorevole a X / eventi totali possibili (X + Y)
Eventi favorevoli a X (rossa= = 5eventi favorevoli a Y (azzurra=5)
eventi totali = 10
Contenitore con 10 palline( non visibili): 2 rosse e 8 azzurre
Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?
PR = nRosse / nTotale
PA= nAzzurre/nTotale
2 / 10 = 1/5 = 0.2
8 / 10 = 4/5 = 0.8
Contenitore con 10 palline( non visibili): 2 rosse e 8 azzurre
Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?
PR = nRosse / nTotale
PA= nAzzurre/nTotale
2 / 10 = 1/5 = 0.2
8 / 10 = 4/5 = 0.8
Contenitore 1 : 3 rosse, 4 azzurre Contenitore 2 : 5 rosse, 2 azzurre
Palline non visibili: da quale contenitore estrarre una pallina per avere la più grande probabilità che sia rossa ?
PR= 3/7 = 0.43PA = 4/7 = 0.57
PR= 5/7 = 0.71PA= 2/7 = 0.29
Si osserva evidentemente che conviene estrarre da C2
Contenitore 1 : 3 rosse, 4 azzurre Contenitore 2 : 5 rosse, 6 azzurre
Palline non visibili: da quale contenitore estrarre una pallina per avere la più grande probabilità che sia rossa ?
PR= 3/7 = 0.43PA = 4/7 = 0.57
PR= 5/11 = 0.45PA= 6/11 = 0.55
Si osserva che, anche se con piccola differenza, conviene estrarre da C2
In un contenitore, opaco, ci sono 10 monete:sette da 100 lire, due da 50 lire , una da 20 lire
È sempre certa la estrazione di una monetaè decrescente la probabilità di estrarre una
determinata moneta P100 > P 50 > P20manca la possibilità che venga estratta una
moneta diversa da 100, 50, 20
PC = 10/10 = 1 massima probabilità
P100 = 7/10 = 0.7
P50 = 2/10 = 0.2
P20 =
Px = 0/10 = 0
Una urna contiene 3000 sferette, rosse e azzurre: come determinare inmodo approssimato il numero di sferette rosse e azzurre ?
Si estraggono , una alla volta 120 sferette e si rimettono ogni voltanell’urna: risultano 85 rosse e 35 azzurre:la frequenza calcolata
fornisceFr = 85 /120 = 17/24Fa = 35/120 = 7/24
17 rosse / 24 sferette = xRosse / 3000 sferette : x = 17 * 3000 / 24 =2125
7 azzurre / 24 sferette = xAzzurre / 3000 sferette : x= 7 *3000 / 24 = 875
O per differenza : azzurre = totale – rosse = 3000 – 2125 = 875
Legge empirica del caso
14 R 14 V 14 M 14 A 1 R 1 V 1 A 1 M
pR = 14 / 56 = 0.25
pA = 14 / 56 = 0.25
pV = 14 / 56 = 0.25
pM = 14 / 56 = 0.25
pR = pV = pA = pM = 0.25
Probabilità oggettiva di uscita uguale per ogni colore
S= 56S = 4
Probabilità di uscita di colore specifico su richiesta , rapida: da quale urna sembra più facile ottenere il risultato ? S 56 o S 4 ?
Urna contenente 25 palline verdi, 5 rosse, 30 blu: S =60
Estrazione una pallina :calcola probabilità uscita rossa, verde, blu
E1 = rossa (5) p(E1) = 5 / 60 = 1 /12
E2 = verde ( 25) p(E2) = 25 / 60 = 5 / 12
E3 = blu (30) p(E3) = 30 / 60 = 1 / 2
Urna con 15 palline R, 7 V, 8 B : S = 30
S = 30
E1 = uscita rossa p(E1)= 15 / 30 = 1/2
E2 = uscita verde p(E2)= 7 / 30 = 7/30
E3 = uscita blu p(E3)= 8 / 30 = 4/15
Estrazione una pallina: calcolare probabilità che sia rossa, verde, blu
Una moneta lanciata 3 volte : esiti possibili per ogni lancio (T,C)
Esiti possibili con tre lanci (8)TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC
E1 = uscita solo di 2 teste (TTC, TCT, CTT) = 3
P(E1)= 3 / 8
Calcola probabilità di uscita di solo 2 teste
E1 = Dn,k =n^k = 2^3 =8
Disposizioni con ripetizione
TTC,TCT,CTT
Urna con 15 palline Verdi, 7 rosse, 8 blu : S = 30
E1 = esce verde o blu (15,8)
p(verde) = 15/30
P(blu) = 8 /30
p(V U B) = p(V) + p(B) = 15/30 + 8/30 = 23 / 30
E2 = esce rossa o blu (7,8)
P(rossa) = 7 / 30
P(blu) = 8 / 30
p(R U B) = p(R) + p(B) = 7/30 + 8/30 =1 / 2
Estrazione di una pallinacalcolare probabilità uscita verde o blu,rossa o blu
Urna con x palline B, 2 palline nere, 3 palline rosse
Estrazione contemporanea di 2 palline
p1 : 2 nerep2 : nessuna biancap3 : 2 colore diverso
S = x + 5
N = Cs,2 = (x+5)(x+5-1)/2 = (x+5)(x+4)/2estrazioni possibili di 2 palline= combinazioni s oggetti classe 2
p1 = 1 / N = 1 / (x+5)(x+4)/2 = 2 /(x+5)(x+4)
C5,2 = 5*4/2 = 10 p2 = 10/N = 20/ (x+5)(x+4)
p.282 rosa
Urna con palline : 16 Blu, 9 Rosse ,5 Verdi : S = 30
Eventi possibili con la estrazione contemporanea di 2 palline :gruppi di 2 palline che si possono formare con 30 palline
prese 2 per volta, con la condizione che ogni gruppo sia diverso dagli altri per almeno 1 pallina
combinazioni con n oggetti e classe 2 : Cn,k = C30,2
C30,2 = 30*29/2 = 435
E1 = due palline blu E2 = due palline verdi E3 = palline rossa e blu
Calcolare la probabilità di uscita, due blu, due verdi, rossa e blu
Estrazione contemporanea di due palline
E1 = numero combinazioni con n=16 classe 2 : C16,2 = 16*15/2 = 120
E2 = numero combinazioni con n=5 classe 2 : C5,2 = 5*4/2 = 10
E3 = 16 B associandosi a 9 R possono formare 16*9 = 144 coppie RB
p(E1) = 120 / 435 = 8/29p(E1) = 120 / 435 = 8/29
p(E2) = 10 / 435 = 2 / 87p(E2) = 10 / 435 = 2 / 87
p(E3) = 144 / 435 = 48 / 145p(E3) = 144 / 435 = 48 / 145
Vedi diapositive seguentiper descrizione mediante
immagini
Urna con palline : 16 Blu, 9 Rosse ,5 Verdi : S = 30
2 3 4 1098765 1615141312111
1
2
2 3 4 1098765 161514131211
Immaginare di numerare le palline da 1 a 16
Associare ogni numero a tutti gli altri numeri (16*16 = 256) associazioniAssociare ogni numero a tutti gli altri numeri (16*16 = 256) associazioniescludere associazioni che usano gli stessi numeri ,cambiando solo ordineescludere associazioni che usano gli stessi numeri ,cambiando solo ordineescludere coppie con numeri uguali associati (16)escludere coppie con numeri uguali associati (16)coppie valide con almeno un numero diverso tra loro = 256 – 136 = 120coppie valide con almeno un numero diverso tra loro = 256 – 136 = 120
1
11 122 2
2 1Con stesso numero:escludereCon stesso numero:escludere
Solo ordine diverso:duplicatiprendere solouna coppia
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 1…16(15)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 2….16(14)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 3…16(13)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 4…16(12)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 5…16(11)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 6…16(10)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 7…16(9)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 8…16(8)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 9…16(7)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 10…16(6)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >>11…16(5)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 12…16(4)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 13…16(3)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 14…16(2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1515 16 >> 15…16(1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 16..16(0)
Escludere coppietra stesso numero= 16
Escludere coppieEscludere coppiecon stessi numericon stessi numeriduplicateduplicate
1122334455667788991010111112121313141415151616136136
151514141313121211111010998877665544332211120120
Contare coppie Contare coppie validevalide
Coppie totali 16*16 = 256Coppie totali 16*16 = 256 256 – 136 = 120 valide256 – 136 = 120 valide
1-11-21-31-41-51-61-71-81-91-101-111-121-131-141-151-16
2-12-22-32-42-52-62-72-82-92-102-112-122-132-142-152-16
5-15-25-35-45-55-65-75-85-95-105-115-125-135-145-155-16
4-14-24-34-44-54-64-74-84-94-104-114-124-134-144-154-16
8-18-28-38-48-58-68-78-88-98-108-118-128-138-148-158-16
6-16-26-36-46-56-66-76-86-96-106-116-126-136-146-156-16
7-17-27-37-47-57-67-77-87-97-107-117-127-137-147-157-16
9-89-99-109-119-129-139-149-159-16
3-13-23-33-43-53-63-73-83-93-103-113-123-133-143-153-16
10-910-910-1010-1110-1210-1310-1410-1510-16
11-1011-1111-1211-1311-1411-1511-16
12-1112-1212-1312-1412-1512-16
13-1213-1313-1413-1513-16
14-1314-1414-1514-16
15-1415-1515-16
16-1516-16
16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =13616+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =136
136 -16 = 120 valide136 -16 = 120 valide
Coppie non duplicate 136 – Coppie non duplicate 136 – 16 identiche16 identiche = 120 = 120
11
5544332211
11 2 3 4 5 >> 1 2 3 4 5 >> 1 ….5 (4) ….5 (4)
1 21 2 3 3 4 5 >> 3…..5 (2)4 5 >> 3…..5 (2)
1 2 31 2 3 44 5 >> 1 5 >> 1 … …5 (1)5 (1)
1 2 3 41 2 3 4 55 >> >> 1…5 ( 0) 1…5 ( 0)
11 2 2 3 4 5 >> 2 …5 (3) 3 4 5 >> 2 …5 (3)
1-11-11-21-21-31-31-41-41-51-5
2-12-12-22-32-32-42-42-52-5
3-13-13-23-23-33-43-43-53-5
4-14-14-24-24-34-34-44-44-54-5
5-15-15-25-25-35-35-45-45-5
Doppiette valide = 10
Escludere doppiette con stessi numeri o diverse solo per ordine
Numerare palline blu da 1 a 16 e palline rosse da 1 a 9
Ogni pallina blu può formare associazione con ogni pallina rossa
1
1
8
7
6
5
4
3
2
9
2
1
8
7
6
5
4
3
2
9
3
1
8
7
6
5
4
3
2
9
4
1
8
7
6
5
4
3
2
9
16
1
8
7
6
5
4
3
2
9
5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15(16 B) * (9 R) = 144 BR
488/52Urna contenente 8 cubetti uguali numerati da 1 a 8
1
2
3
4
5
6
7
8Estrazione contemporanea di due cubetti
E1 = somma 2 numeri risulta pari
E2 = somma 2 numeri risulta dispari
Calcolare p(E1), p(E2) Eventi possibili Cn,k = C 8,2 = 8*7/2 = 28
E1 = 12 p(E1) = 12 / 28 = 3 / 7
E2 = 16 p(E2) = 16 /28 = 4 / 7
1-21-31-41-51-61-71-8
2-32-42-52-62-72-8
3-43-53-63-73-8
4-54-64-74-8
5-65-75-8
6-76-8
7-8
488/53 Urna contenente 6 palline rosse e 4 blu
E1 = uscita 2 rosse
E2 = uscita 2 blu
E3 = uscita rossa, blu
Estrazione contemporanea di 2 palline
Calcolare probabilità p(E1), p(E2) , p(E3)
S = 10
Eventi possibili, Cn,k = C 10,2 = 10*9 / 2 = 45
E1 = Cn,k = C6,2 = 6*5/1 15
E2 = Cn,k = C4,2 = 4*3/2 = 6
E3 = 6*4 = 24
p(E1)= 15/45 = 3/15
p(E2) = 6 / 45 = 2/15
p(E3) = 24/45 = 8 /15
R1-B1R1-B2R1-B3R1-B4
R2-B1R2-B2R2-B3R2-B4
R3-B1R3-B2R3-B3R3-B4
R4-B1R4-B2R4-B3R4-B4
R5-B1R5-B2R5-B3R5-B4
R6-B1R6-B2R6-B3R6-B4
Cfr. diapositiva seguente
10*10 = 100 …C10,2 = 10*9/2 = 45
rosa53
r1 r2 r3 r4 r5 r6
r1 r1r1 r2r1 r3r1 r4r1 r5r1 r6r1
r2 r1r2 r2r2 r3r2 r4r2 r5r2 r6r2
r3 r1r3 r2r3 r3r3 r4r3 r5r3 r6r3
r4 r1r4 r2r4 r3r4 r4r4 r5r4 r6r4
r5 r1r5 r2r5 r3r5 r4r5 r5r5 r6r5
r6 r1r6 r2r6 r3r6 r4r6 r5r6 r6r6
C6,2 = 6*5/2 = 15 coppie diverse36 coppie 6*6
6 da ignorare (stessi numeri)
15 da ignorare(duplicati) cambia solo ordinamento
B1 B2 B3 B4
R1 R1B1 R1B2 R1B3 R1B4
R2 R2B1 R2B2 R2B3 R2B4
R3 R3B1 R3B2 R3B3 R3B4
R4 R4B1 R4B2 R4B3 R4B4
R5 R5B1 R5B2 R5B3 R5B4
R6 R6B1 R6B2 R6B3 R6B4
6 * 4 = 24 coppie tra loro diverse
B1 B2 B3 B4
B1 B1B1 B2B1 B3B1 B4B1
B2 B1B2 B2B2 B3B2 B4B2
B3 B1B3 B2B3 B3B3 B4B3
B4 B1B4 B2B4 B3B4 B4B4
C4,2 =4*3/2 = 6
4*4 = 16 coppie : 4 da ignorare ( stessi numeri)
6 coppie da ignorare (duplicati), cambia solo ordinamento
Eventi indipendenti : due eventi sono indipendenti se la probabilitàdi ciascuno non dipende dal verificarsi o meno dell’altro
Si estrae prima pallina, si rimette nell’urna, si estrae seconda pallina
R1 = prima pallina estratta:rossaV2 = seconda pallina estratta :verdepE = probabilità che la prima pallina sia rossa, seconda verde
∩E = R1 V2
pR1 = 3 / 5
S = 5 palline :3 rosse e 2 verdi
pV2 = 2 /5
pE = p( R1 ∩ V2) = pR1*pV2
P ( A B ) = pA * pB ∩
Due eventi sono indipendenti solo se vale la relazione precedente
3/5 * 2/5 = 6 /25
Esempio di estrazione senza rimettere nell’urnaosservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti
rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggettorosso o verde per ogni diversa estrazione
Uscite secondo maggiore probabilità fino al raggiungimento della parità
Eventi interdipendenti
Esempio di estrazione senza rimettere nell’urnaosservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti
rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggettorosso o verde per ogni diversa estrazione
Uscite con comportamento più casuale, non proprio secondo la maggioreprobabilità
Eventi interdipendenti
Esempio di estrazione con reinserimento nell’urnaosservare come rimangono costanti le probabilità di estrazione per
oggetti rossi e verdi dopo ogni estrazione
Cambierebbe la probabilità se non venisse reinserito l’oggetto estratto
Eventi indipendenti
Eventi dipendenti : due eventi sono dipendenti se la probabilitàdi uno dipende dal verificarsi o meno dell’altro
Si estrae prima pallina, non rimette nell’urna, si estrae seconda pallina
R1 = prima pallina estratta:rossaV2 = seconda pallina estratta :verdepE = probabilità che la prima pallina sia rossa, seconda verde
∩E = R1 V2
pR1 = 3 / 5
S = 5 palline :3 rosse e 2 verdi
pV2 = 2 /4 = 1/2
pV2 = 2 /5
La probabilità che esca pallina verde aumenta da 2/5 a ½per effetto del verificarsi dell’uscita della rossa: cambia S (da 5 a 4)
Probabilità condizionata
U con S = 10 :8 R 2 V
C = esce rossa pC = 4/10 = 0.8
D = esce verde pD = 2/10 = 0.2
E : uscita come seconda pallina V
1 uscita
S=9 : R=7 V=2
2 uscita
1 uscita
pD = 2/9 = 0.22
pD = 1/9 = 0.11
Se esce prima rossa, esce come seconda una verde con p=0.22 > 0.20
Se esce prima verde, esce come seconda una verde con p=0.11 < 0.20
Situazione iniziale
Probabilità evento D ,uscita verde come seconda, risente del verificarsi dell’uscita della prima pallina:cambia sempre la sua probabilità
S = 5 :R 3, V 2
E1 = prima pallina rossa: pE1 =15/25=3/5
E2 = seconda pallina verde:pE2 =10/25=2/5
Si estrae prima pallina e poi si reimmetteeventi E1 , E2 indipendenti : S = costante
Probabilità di intersezione p(R ∩ V) = pR * PV
E = (R ∩ V) :prima rossa, seconda verde : 6/25
(3/5)*(2/5)= 6/25
Eventi indipendenti
S = 4 :R 2, V 2
Si estrae prima pallina e non si reimmetteeventi R1 , V2 dipendenti :S variabile
R1 = prima pallina rossa: pR1 =12/20=3/5
V2 = seconda pallina verde: 10/20=1/2
E = (R ∩ V) :prima R, seconda V : 6/20=3/10
(3/5)*(1/2)=3/10
p(V2 | R1) = 10/20 = 1/2
p(R1 ∩ V2) = pR1 * p(V2|R1)
La probabilità (composta) della intersezione di due eventi correlati è ugualeal prodotto della probabilità di un evento per la probabilità dell’altro evento
correlato (condizionato ) al primo
Probabilità composta:segue
Urna con 10 oggetti , tre deteriorati :S = 10E estrazione casuale di 2 oggettitrovare probabilità che siano entrambi normali
pA = 7/10 i :se vero condiziona risultato : pB = (B|A) = 6/9 = 2/3
p(B ∩ A)=pA*p(B|A)=(7/10)*(2/3)=14/30 =7/15
Esempio di estrazione senza rimettere nell’urnaosservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti
rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggettorosso o verde per ogni diversa estrazione
Uscite secondo maggiore probabilità fino al raggiungimento della parità
Esempio di estrazione senza rimettere nell’urnaosservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti
rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggettorosso o verde per ogni diversa estrazione
Uscite con comportamento più casuale, non proprio secondo la maggioreprobabilità
Esempio di estrazione con reinserimento nell’urnaosservare come rimangono costanti le probabilità di estrazione per
oggetti rossi e verdi dopo ogni estrazione
Cambierebbe la probabilità se non venisse reinserito l’oggetto estratto
Eventi indipendenti
Urna 1 con 20 palline , 5 rosseurna 2 con 30 palline , 6 rosse
Si estrae una pallina da U1 e poi una da U2
E1 = esce R da U1 con pE1 = 5/20E2 = esce R da U2 con pE2 = 6/30
E = escono due palline R , da U1 e da U2 con pE = 5*6 / 600 = 1/20
L’uscita di R da U2 non dipende dall’uscita di R da U1
E = E1 ∩ E2 con p(E) = p(E1 ∩ E2) = (5/20)*(6/30) =1/20= pE1*pE2
La probabilità dell’evento E risulta uguale al prodotto delle probabilità degli eventi E1 e E2 :
quindi i due eventi E1 e E2 sono indipendenti
U1 U2
20 30
5 6
30 rosse su 600 palline
Cfr.seguente per immagini
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
Ogni pallina rossa di U1 (1,2,3,4,5) può essere associata ad ogni pallina rossa di U2 (1,2,3,4,5,6)
L’evento uscita pallina rossa = 5*6 = 30
i casi possibili sono dati dalla associazione di ogni pallina di U1 (20)con ogni pallina di U2 (30) = 20*30= 600
La probabilità dell’evento E (2 rosse) p(e) = 30/600 = 1 / 20
Urna U con 5 palline rosse e 3 verdi
E : estrazione 2 palline rosse con due estrazioni successive e con reinserimento in U della prima pallina estratta
E1 = esce pallina rossa con p(E1) = 5/8
E2 = esce pallina rossa con p(E2)= 5/8
P(E) = p(E1 ∩ E2) = (5/8)*(5/8) = 25/64
U 5/8 U 5/8U 4 / 7
E1 e E2 indipendenti
E1 E2
Eventi indipendenti, non correlati
Urna U 30 palline (S) : 10 palline verdi e 20 palline rosse
Estrazione in sequenza di 3 palline, con reinserimento nell’urna delle palline estratte
E : E1 rossa, E2 rossa, E3 verde
E1 = 20/30 con p(E1) = 2/3E2 = 20/30 con p(E2) = 2/3E3 = 10/30 con p(E3) = 1/3
E1,E2,E3 indipendenti perché rimane costante S
U con S = 30
P(E) = p(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = (2/3)*(2/3)*(1/3) = 4/27
Eventi indipendenti, non correlati
U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi
E1 = con una estrazione,esce pallina rossa con p(E1) = 5/20 = 1/4
E1 evento indipendente
E2 = la seconda pallina è rossa p(E2) = 5/20 = ¼ (non cambia S , indipendente)
E1 = prima pallina estratta , rossa o verde: reinserita
Due estrazioni successive con reinserimento
Unica estrazione
E1 e E2 eventi non correlati, indipendenti
Eventi indipendenti, non correlati
U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi
Due estrazioni successive senza reinserimento
E2 = seconda pallina rossa 4/19 con p(E2) = 4/19 < 1/4
E1 = prima pallina rossa 5/20
4/ 195/20
P(E2) ridotta per il verificarsi di E1 precedente :E2 e E1 correlati : p(E2 /E1)
E2 correlato negativamente a E1, perché risulta sfavorito 4/19 < 1/4
E1 = prima pallina verde
E2 = seconda pallina rossa 5/19 con p(E2) = 5/19 > 1/4
5/19
P(E2) aumentata per il verificarsi di E1 precedenteE2 e E1 correlati p(E2/E1)
E2 correlato positivamente a E1, perché risulta favorito 5/19 > 1/4
Eventi dipendenti, correlati
Probabilità condizionata
U con S = 10 :8 R 2 V
C = esce rossa pC = 4/10 = 0.8
D = esce verde pD = 2/10 = 0.2
E : uscita come seconda pallina V
1 uscita
S=9 : R=7 V=2
2 uscita
1 uscita
pD = 2/9 = 0.22
pD = 1/9 = 0.11
Se esce prima rossa, esce come seconda una verde con p=0.22 > 0.20
Se esce prima verde, esce come seconda una verde con p=0.11 < 0.20
Situazione iniziale
Probabilità evento D ,uscita verde come seconda, risente del verificarsi dell’uscita della prima pallina:cambia sempre la sua probabilità
Probabilità condizionata:segue
Se C evento condizionante e D evento condizionato da C avremo notazione : pD = p(D|C)
probabilità che si verifichi evento D condizionato da C
C e D risultano interdipendenti, correlatise pD viene ridotta: correlazione negativa
se pD viene aumentata : correlazione positiva
Probabilità composta : la probabilità della intersezione di due eventi è uguale al prodotto
della probabilità di uno di essi per la probabilità dell’altro condizionata al primo
P (A ∩ B) = pA * p(B | A)
P (B ∩ A) = pB * p(A | B)
S = 5 :R 3, V 2
E1 = prima pallina rossa: pE1 =15/25=3/5
E2 = seconda pallina verde:pE2 =10/25=2/5
Si estrae prima pallina e poi si reimmetteeventi E1 , E2 indipendenti : S = costante
Probabilità di intersezione p(R ∩ V) = pR * PV
E = (R ∩ V) :prima rossa, seconda verde : 6/25
(3/5)*(2/5)= 6/25
Eventi indipendenti
S = 4 :R 2, V 2
Si estrae prima pallina e non si reimmetteeventi R1 , V2 dipendenti :S variabile
R1 = prima pallina rossa: pR1 =12/20=3/5
V2 = seconda pallina verde: 10/20=1/2
E = (R ∩ V) :prima R, seconda V : 6/20=3/10
(3/5)*(1/2)=3/10
p(V2 | R1) = 10/20 = 1/2
p(R1 ∩ V2) = pR1 * p(V2|R1)
La probabilità (composta) della intersezione di due eventi correlati è ugualeal prodotto della probabilità di un evento per la probabilità dell’altro evento
correlato (condizionato ) al primo
Probabilità composta:segue
Urna con 10 oggetti , tre deteriorati :S = 10E estrazione casuale di 2 oggettitrovare probabilità che siano entrambi normali
pA = 7/10 i :se vero condiziona risultato : pB = (B|A) = 6/9 = 2/3
p(B ∩ A)=pA*p(B|A)=(7/10)*(2/3)=14/30 =7/15
Esempio di estrazione senza rimettere nell’urnaosservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti
rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggettorosso o verde per ogni diversa estrazione
Uscite secondo maggiore probabilità fino al raggiungimento della parità
Esempio di estrazione senza rimettere nell’urnaosservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti
rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggettorosso o verde per ogni diversa estrazione
Uscite con comportamento più casuale, non proprio secondo la maggioreprobabilità
Esempio di estrazione con reinserimento nell’urnaosservare come rimangono costanti le probabilità di estrazione per
oggetti rossi e verdi dopo ogni estrazione
Cambierebbe la probabilità se non venisse reinserito l’oggetto estratto
Eventi indipendenti
Urna 1 con 20 palline , 5 rosseurna 2 con 30 palline , 6 rosse
Si estrae una pallina da U1 e poi una da U2
E1 = esce R da U1 con pE1 = 5/20E2 = esce R da U2 con pE2 = 6/30
E = escono due palline R , da U1 e da U2 con pE = 5*6 / 600 = 1/20
L’uscita di R da U2 non dipende dall’uscita di R da U1
E = E1 ∩ E2 con p(E) = p(E1 ∩ E2) = (5/20)*(6/30) =1/20= pE1*pE2
La probabilità dell’evento E risulta uguale al prodotto delle probabilità degli eventi E1 e E2 :
quindi i due eventi E1 e E2 sono indipendenti
U1 U2
20 30
5 6
30 rosse su 600 palline
Cfr.seguente per immagini
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
Ogni pallina rossa di U1 (1,2,3,4,5) può essere associata ad ogni pallina rossa di U2 (1,2,3,4,5,6)
L’evento uscita pallina rossa = 5*6 = 30
i casi possibili sono dati dalla associazione di ogni pallina di U1 (20)con ogni pallina di U2 (30) = 20*30= 600
La probabilità dell’evento E (2 rosse) p(e) = 30/600 = 1 / 20
Urna U con 5 palline rosse e 3 verdi
E : estrazione 2 palline rosse con due estrazioni successive e con reinserimento in U della prima pallina estratta
E1 = esce pallina rossa con p(E1) = 5/8
E2 = esce pallina rossa con p(E2)= 5/8
P(E) = p(E1 ∩ E2) = (5/8)*(5/8) = 25/64
U 5/8 U 5/8U 4 / 7
E1 e E2 indipendenti
E1 E2
Eventi indipendenti, non correlati
Urna U 30 palline (S) : 10 palline verdi e 20 palline rosse
Estrazione in sequenza di 3 palline, con reinserimento nell’urna delle palline estratte
E : E1 rossa, E2 rossa, E3 verde
E1 = 20/30 con p(E1) = 2/3E2 = 20/30 con p(E2) = 2/3E3 = 10/30 con p(E3) = 1/3
E1,E2,E3 indipendenti perché rimane costante S
U con S = 30
P(E) = p(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = (2/3)*(2/3)*(1/3) = 4/27
Eventi indipendenti, non correlati
U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi
E1 = con una estrazione,esce pallina rossa con p(E1) = 5/20 = 1/4
E1 evento indipendente
E2 = la seconda pallina è rossa p(E2) = 5/20 = ¼ (non cambia S , indipendente)
E1 = prima pallina estratta , rossa o verde: reinserita
Due estrazioni successive con reinserimento
Unica estrazione
E1 e E2 eventi non correlati, indipendenti
Eventi indipendenti, non correlati
U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi
Due estrazioni successive senza reinserimento
E2 = seconda pallina rossa 4/19 con p(E2) = 4/19 < 1/4
E1 = prima pallina rossa 5/20
4/ 195/20
P(E2) ridotta per il verificarsi di E1 precedente :E2 e E1 correlati : p(E2 /E1)
E2 correlato negativamente a E1, perché risulta sfavorito 4/19 < 1/4
E1 = prima pallina verde
E2 = seconda pallina rossa 5/19 con p(E2) = 5/19 > 1/4
5/19
P(E2) aumentata per il verificarsi di E1 precedenteE2 e E1 correlati p(E2/E1)
E2 correlato positivamente a E1, perché risulta favorito 5/19 > 1/4
Eventi dipendenti, correlati
Lancio di una moneta tre volte :spazio campionario S = Sm * Sm * Sm
=(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni
evento A : uscita consecutiva di 2 teste A = (TTT,TTC,CTT)
evento B : uscita croce (3 lancio)B =(TTC,TCC,CTC,CCC)
Evento C :uscita consecutiva di 2 teste e uscita croce al 3 lancioC = A U B (unione eventi): (TTT,TTC,CTT,TCC,CCC,CTC)
Una urna contiene 3000 sferette, rosse e azzurre: come determinare inmodo approssimato il numero di sferette rosse e azzurre ?
Si estraggono , una alla volta 120 sferette e si rimettono ogni voltanell’urna: risultano 85 rosse e 35 azzurre:la frequenza calcolata
fornisceFr = 85 /120 = 17/24Fa = 35/120 = 7/24
17 rosse / 24 sferette = xRosse / 3000 sferette : x = 17 * 3000 / 24 =2125
7 azzurre / 24 sferette = xAzzurre / 3000 sferette : x= 7 *3000 / 24 = 875
O per differenza : azzurre = totale – rosse = 3000 – 2125 = 875
Legge empirica del caso