esercitazioni di modellistica e simulazione 11 modellistica e simulazione1 esercitazione 3 sommario:...
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 1
Modellistica e simulazione1 Esercitazione 3
Sommario:
- Algoritmi di discretizzazione
- Taratura dei parametri di un modello
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 2
Richiami: SIMULAZIONE di un sistema dinamico
dato un sistema dinamico:
continuo discreto
calcolare il movimento delle variabili di stato e di uscita
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 3
Richiami: SIMULAZIONE di un sistema dinamico
cosa serve ?1. un sistema dinamico completamente definito 2. orizzonte di simulazione3. funzioni di ingresso u(•) definite su tutto l’orizzonte
calcolare le traiettorie delle variabili di stato e di uscita
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 4
Il caso dei sistemi DISCRETICOME FUNZIONA
- fissato un’orizzonte H (ad es. 10 istanti)
- noti i parametri che definiscono il sistema [se lineare note le matrici A, B, C, (D)]
- dato lo stato iniziale (t=0):
- definita una funzione di ingresso u(•) su tutto H:
oppure
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 5
Il caso dei sistemi DISCRETI COME FUNZIONA
calcolo iterativamente i valori di x(t) con t=1, 2, ..., H:
se il sistema è lineare
con 1,2,...,H
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 6
Esempio di un sistema discretosistema a 3 serbatoi
eq. di stato:
eq. di uscita:
parametri:
equilibrio:
se
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 7
Esempio di un sistema discretosistema a 3 serbatoi
1 2 3 ... ... 10
2 2 2 ... ... 2
2 2 2 ... ... 2
0 4 4 ... ... 4
t
stato iniziale:
ingresso:
parametri:
orizzonte: H=10
dopo due passiè all’equilibrio!!
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 8
Esempio di un sistema discretosistema a 3 serbatoi
stato iniziale:
ingresso:
parametri:
1 2 3 ... ... 10
2 3 3,5 ... ... ...
2 3 3,5 ... ... ...
0 2 3 ... ... ...
t
orizzonte: H=10
non è ancora arrivatoall’equilibrio!!
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 9
Il caso dei sistemi CONTINUI
sistema di equazioni differenziali
- dato lo stato iniziale (t=0):
- fissato un’orizzonte H (ad es. 10 istanti)
- noti i parametri che definiscono il sistema [se lineare note le matrici A, B, C, (D)]
- definita una funzione di ingresso u(•) su tutto H
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 10
Il caso dei sistemi CONTINUIsoluzione analitica
sistema di equazioni differenziali
1. sistemi semplici (caso raro): integro le equazioni differenziali (soluzione analitica)
es. sistema lineare con u(•)=0: ( )dx tx t x t
dt &
0 0
1x t
x
dx adtx
(0) tx t x e
equazione del movimento
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 11
Il caso dei sistemi CONTINUImetodi di discretizzaione
sistema di equazioni differenziali
2. caso generale su calcolatore: approssimo
cioè approssimo la derivata con il rapporto incrementale
diversi metodi a seconda di come viene calcolata
esplicitiimplicitia un passoa più passi
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 12
Metodo di EULERO
discretizziamo:
Es. massa-mollaMK U
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 13
Metodo di RUNGE-KUTTA
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 14
Metodo di RUNGE-KUTTA
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 15
Metodo di RUNGE-KUTTA
esempio monodimensionale:
........
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 16
Metodo di RUNGE-KUTTA
caso bidimensionale
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 17
Metodo di RUNGE-KUTTA
esempio bidimensionale: massa-molla MK U
.... continua
p1
f1
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 18
Excel
Foglio Excel
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 19
Osservazioni
1. Più il passo è piccolo: - più il metodo è preciso- maggiori sono i tempi di calcolo
2. Se il movimento calcolato è instabile:- riduco il passo- cambio metodo
Se è ancora instabile lo è strutturalmente
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 20
Modelli deterministici
Per alcuni modelli i parametri rappresentano dei coefficienti misurabili
Per altri modelli i parametri non sono misurabili ma vanno stimati
( )p t
a t
MK U
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 21
Richiami: taratura di un modello lineare
Modello:
Coefficiente di oblio
Parametri:
forma ricursiva
Dati Stima
Innovazione
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 22
Esempio: Valore medio (1)T
arat
ura
di u
n m
odel
lo li
near
e
Dati:
Modello:
Qual’è la retta orizzontale che passa più vicino a tutti i punti?
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 23
Esempio: Valore medio (2)
Dati:
Modello:
Tar
atur
a di
un
mod
ello
line
are
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 24
Esempio: Regressione lineare (1)T
arat
ura
di u
n m
odel
lo li
near
e
Dati:
Modello:
Qual’è la retta passante per l’origine che passa più vicino a tutti i punti?
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 25
Esempio: Regressione lineare (2)
Dati:
Modello:
Tar
atur
a di
un
mod
ello
line
are
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 26
Esempio: Ticino e Po (1)
B
A
C
scala di deflusso
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 27
Esempio: Ticino e Po (2)T
arat
ura
di u
n m
odel
lo n
on li
near
e
Dati:
Parametri:
Come posso calcolare la portata nel tratto A?
A
B
C
scala di deflusso
rigurgito
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Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 28
Esempio: Ticino e Po (3)T
arat
ura
di u
n m
odel
lo n
on li
near
e
Scomposizione:
Linearizzazione:
Modello: