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Obiettivi della tesiDove eravamo rimasti...
Il Teorema di Poncelet in P3
Quadriche in relazione di Poncelet in un fascioNumero di coniche Poncelet n-relatedEquazioni per il Teorema di Poncelet
Equazioni per le Conichedi Poncelet2◦ Seminario
Giada Giuliani
Relatore: Prof. Giorgio Ottaviani
20 giugno 2008
Giada Giuliani Equazioni per le Coniche di Poncelet
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Obiettivi della tesiDove eravamo rimasti...
Il Teorema di Poncelet in P3
Quadriche in relazione di Poncelet in un fascioNumero di coniche Poncelet n-relatedEquazioni per il Teorema di Poncelet
Obiettivi finali
Data C una conica non singolare in P2. Denotiamo con T untriangolo circoscritto a C.
OBIETTIVO:Trovare le equazioni a cui deve soddisfare una conica Saffinche sia
circoscritta a qualche triangolo T circoscritto a C;circoscritta a qualche poligono circoscritto a C;e infine
circoscritta a qualche triangolo autopolare rispetto a C.
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ApolaritaTeorema di Poncelet
Dove eravamo rimasti...
L’ultimo obiettivo era gia stato risolto: infatti avevo dimostrato
A e circoscritta ad un triangolo autopolare rispetto a B se esolo se A e apolare a B
e inoltre
A e apolare a B ⇔ tr(B−1A) = 0
Tramite un calcolo dimensionale ci siamo accorti che succedeva unfenomeno ben noto ma inaspettato...e precisamente che
Proposizione
Data una conica B, se esiste un triangolo autopolare rispetto a Btale che A e una conica circoscritta a questo triangolo, alloraesistono infiniti triangoli autopolari rispetto a B che hanno A comeconica circoscritta.
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ApolaritaTeorema di Poncelet
Dove eravamo rimasti...
L’ultimo obiettivo era gia stato risolto: infatti avevo dimostrato
A e circoscritta ad un triangolo autopolare rispetto a B se esolo se A e apolare a B
e inoltre
A e apolare a B ⇔ tr(B−1A) = 0
Tramite un calcolo dimensionale ci siamo accorti che succedeva unfenomeno ben noto ma inaspettato...e precisamente che
Proposizione
Data una conica B, se esiste un triangolo autopolare rispetto a Btale che A e una conica circoscritta a questo triangolo, alloraesistono infiniti triangoli autopolari rispetto a B che hanno A comeconica circoscritta.
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Dove eravamo rimasti...
L’ultimo obiettivo era gia stato risolto: infatti avevo dimostrato
A e circoscritta ad un triangolo autopolare rispetto a B se esolo se A e apolare a B
e inoltre
A e apolare a B ⇔ tr(B−1A) = 0
Tramite un calcolo dimensionale ci siamo accorti che succedeva unfenomeno ben noto ma inaspettato...e precisamente che
Proposizione
Data una conica B, se esiste un triangolo autopolare rispetto a Btale che A e una conica circoscritta a questo triangolo, alloraesistono infiniti triangoli autopolari rispetto a B che hanno A comeconica circoscritta.
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L’ultimo obiettivo era gia stato risolto: infatti avevo dimostrato
A e circoscritta ad un triangolo autopolare rispetto a B se esolo se A e apolare a B
e inoltre
A e apolare a B ⇔ tr(B−1A) = 0
Tramite un calcolo dimensionale ci siamo accorti che succedeva unfenomeno ben noto ma inaspettato...e precisamente che
Proposizione
Data una conica B, se esiste un triangolo autopolare rispetto a Btale che A e una conica circoscritta a questo triangolo, alloraesistono infiniti triangoli autopolari rispetto a B che hanno A comeconica circoscritta.
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Dove eravamo rimasti...
L’ultimo obiettivo era gia stato risolto: infatti avevo dimostrato
A e circoscritta ad un triangolo autopolare rispetto a B se esolo se A e apolare a B
e inoltre
A e apolare a B ⇔ tr(B−1A) = 0
Tramite un calcolo dimensionale ci siamo accorti che succedeva unfenomeno ben noto ma inaspettato...e precisamente che
Proposizione
Data una conica B, se esiste un triangolo autopolare rispetto a Btale che A e una conica circoscritta a questo triangolo, alloraesistono infiniti triangoli autopolari rispetto a B che hanno A comeconica circoscritta.
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L’ultimo obiettivo era gia stato risolto: infatti avevo dimostrato
A e circoscritta ad un triangolo autopolare rispetto a B se esolo se A e apolare a B
e inoltre
A e apolare a B ⇔ tr(B−1A) = 0
Tramite un calcolo dimensionale ci siamo accorti che succedeva unfenomeno ben noto ma inaspettato...e precisamente che
Proposizione
Data una conica B, se esiste un triangolo autopolare rispetto a Btale che A e una conica circoscritta a questo triangolo, alloraesistono infiniti triangoli autopolari rispetto a B che hanno A comeconica circoscritta.
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Dove eravamo rimasti...
Per quanto riguarda gli altri due obiettivi ricordiamo
Definizione di coniche in relazione di Poncelet
Sia P = (p1, . . . , pn) un n-poligono circoscritto ad una conica nonsingolare C. Una conica S e Poncelet n-related a C rispetto a P setutti i punti pi stanno su S.
Teorema di Poncelet (versione generale)
Siano C e S due coniche non singolari che si intersecanotrasversalmente. Se C e S sono Poncelet n-related allora, partendoda un qualsiasi punto x ∈ C e da un punto y ∈ S ∩ TxC, esiste unn-poligono, con un vertice in y e un lato tangente a C in x , che ecircoscritto a C e inscritto in S.
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Dove eravamo rimasti...
Per quanto riguarda gli altri due obiettivi ricordiamo
Definizione di coniche in relazione di Poncelet
Sia P = (p1, . . . , pn) un n-poligono circoscritto ad una conica nonsingolare C. Una conica S e Poncelet n-related a C rispetto a P setutti i punti pi stanno su S.
Teorema di Poncelet (versione generale)
Siano C e S due coniche non singolari che si intersecanotrasversalmente. Se C e S sono Poncelet n-related allora, partendoda un qualsiasi punto x ∈ C e da un punto y ∈ S ∩ TxC, esiste unn-poligono, con un vertice in y e un lato tangente a C in x , che ecircoscritto a C e inscritto in S.
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Dove eravamo rimasti...
Per quanto riguarda gli altri due obiettivi ricordiamo
Definizione di coniche in relazione di Poncelet
Sia P = (p1, . . . , pn) un n-poligono circoscritto ad una conica nonsingolare C. Una conica S e Poncelet n-related a C rispetto a P setutti i punti pi stanno su S.
Teorema di Poncelet (versione generale)
Siano C e S due coniche non singolari che si intersecanotrasversalmente. Se C e S sono Poncelet n-related allora, partendoda un qualsiasi punto x ∈ C e da un punto y ∈ S ∩ TxC, esiste unn-poligono, con un vertice in y e un lato tangente a C in x , che ecircoscritto a C e inscritto in S.
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Posizione PonceletEquivalenza tra il Teorema di Poncelet in P3 e quello in P2
Il Teorema di Poncelet in P3
Siano Q1 e Q2 due quadriche di rango ≥3 tali che la loro curva diintersezione E = Q1 ∩Q2 e una curva ellittica liscia. Fissiamo duefamiglie di rette, R1 su Q1 e R2 su Q2.
Teorema
Supponiamo che esista una sequenza chiusa di rette distinteL1, . . . , L2n, L2n+1 = L1 tale che la retta Li appartiene a R1
(rispettivamente R2) se i e dispari (rispettivamente pari), e tale cherette consecutive Li , Li+1 si intersecano l’una con l’altra. Allora cisono sequenze di questo tipo attraverso ogni punto di Q1 ∩Q2.
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Posizione PonceletEquivalenza tra il Teorema di Poncelet in P3 e quello in P2
Il Teorema di Poncelet in P3
Siano Q1 e Q2 due quadriche di rango ≥3 tali che la loro curva diintersezione E = Q1 ∩Q2 e una curva ellittica liscia. Fissiamo duefamiglie di rette, R1 su Q1 e R2 su Q2.
Teorema
Supponiamo che esista una sequenza chiusa di rette distinteL1, . . . , L2n, L2n+1 = L1 tale che la retta Li appartiene a R1
(rispettivamente R2) se i e dispari (rispettivamente pari), e tale cherette consecutive Li , Li+1 si intersecano l’una con l’altra. Allora cisono sequenze di questo tipo attraverso ogni punto di Q1 ∩Q2.
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Quadriche in relazione di Poncelet in un fascioNumero di coniche Poncelet n-relatedEquazioni per il Teorema di Poncelet
Posizione PonceletEquivalenza tra il Teorema di Poncelet in P3 e quello in P2
Quadriche in posizione di Poncelet
Definizione
Diremo che che le quadriche Q1 e Q2 sono in posizione din-Poncelet (oppure che la coppia (R1,R2) soddisfa la condizione din-Poncelet) se l’automorfismo t : E → E definito nel teoremaprecedente e di ordine n.
Proposizione
La coppia di famiglie di rette (R1,R2) soddisfa la condizione din-Poncelet se e solo se la soddisfa la coppia (R2,R1).
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Il Teorema di Poncelet in P3
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Posizione PonceletEquivalenza tra il Teorema di Poncelet in P3 e quello in P2
Quadriche in posizione di Poncelet
Definizione
Diremo che che le quadriche Q1 e Q2 sono in posizione din-Poncelet (oppure che la coppia (R1,R2) soddisfa la condizione din-Poncelet) se l’automorfismo t : E → E definito nel teoremaprecedente e di ordine n.
Proposizione
La coppia di famiglie di rette (R1,R2) soddisfa la condizione din-Poncelet se e solo se la soddisfa la coppia (R2,R1).
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Il Teorema di Poncelet in P3
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Posizione PonceletEquivalenza tra il Teorema di Poncelet in P3 e quello in P2
Vediamo in che modo il Teorema di Poncelet in P3 implica ilTeorema di Poncelet per due coniche nel piano.
Sia Q1 una quadrica liscia e Q2 un cono con vertice inP0 /∈ E = Q1 ∩Q2, e E una curva ellittica liscia. Denotiamocon πi : Qi → P2 le proiezioni dal vertice P0.
Il morfismo π1 e di grado 2 e si ramifica su una conica lisciaC ⊂ P2;
L’immagine di π2 e un’altra conica liscia D ⊂ P2, che sta inposizione generica rispetto a C.
Proposizione
Le quadriche Q1 e Q2 sono in posizione di n-Poncelet se e solo seD e Poncelet n-related a C.
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Posizione PonceletEquivalenza tra il Teorema di Poncelet in P3 e quello in P2
Vediamo in che modo il Teorema di Poncelet in P3 implica ilTeorema di Poncelet per due coniche nel piano.
Sia Q1 una quadrica liscia e Q2 un cono con vertice inP0 /∈ E = Q1 ∩Q2, e E una curva ellittica liscia. Denotiamocon πi : Qi → P2 le proiezioni dal vertice P0.
Il morfismo π1 e di grado 2 e si ramifica su una conica lisciaC ⊂ P2;
L’immagine di π2 e un’altra conica liscia D ⊂ P2, che sta inposizione generica rispetto a C.
Proposizione
Le quadriche Q1 e Q2 sono in posizione di n-Poncelet se e solo seD e Poncelet n-related a C.
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Il Teorema di Poncelet in P3
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Posizione PonceletEquivalenza tra il Teorema di Poncelet in P3 e quello in P2
Vediamo in che modo il Teorema di Poncelet in P3 implica ilTeorema di Poncelet per due coniche nel piano.
Sia Q1 una quadrica liscia e Q2 un cono con vertice inP0 /∈ E = Q1 ∩Q2, e E una curva ellittica liscia. Denotiamocon πi : Qi → P2 le proiezioni dal vertice P0.
Il morfismo π1 e di grado 2 e si ramifica su una conica lisciaC ⊂ P2;
L’immagine di π2 e un’altra conica liscia D ⊂ P2, che sta inposizione generica rispetto a C.
Proposizione
Le quadriche Q1 e Q2 sono in posizione di n-Poncelet se e solo seD e Poncelet n-related a C.
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Posizione PonceletEquivalenza tra il Teorema di Poncelet in P3 e quello in P2
Vediamo in che modo il Teorema di Poncelet in P3 implica ilTeorema di Poncelet per due coniche nel piano.
Sia Q1 una quadrica liscia e Q2 un cono con vertice inP0 /∈ E = Q1 ∩Q2, e E una curva ellittica liscia. Denotiamocon πi : Qi → P2 le proiezioni dal vertice P0.
Il morfismo π1 e di grado 2 e si ramifica su una conica lisciaC ⊂ P2;
L’immagine di π2 e un’altra conica liscia D ⊂ P2, che sta inposizione generica rispetto a C.
Proposizione
Le quadriche Q1 e Q2 sono in posizione di n-Poncelet se e solo seD e Poncelet n-related a C.
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Posizione PonceletEquivalenza tra il Teorema di Poncelet in P3 e quello in P2
Vediamo in che modo il Teorema di Poncelet in P3 implica ilTeorema di Poncelet per due coniche nel piano.
Sia Q1 una quadrica liscia e Q2 un cono con vertice inP0 /∈ E = Q1 ∩Q2, e E una curva ellittica liscia. Denotiamocon πi : Qi → P2 le proiezioni dal vertice P0.
Il morfismo π1 e di grado 2 e si ramifica su una conica lisciaC ⊂ P2;
L’immagine di π2 e un’altra conica liscia D ⊂ P2, che sta inposizione generica rispetto a C.
Proposizione
Le quadriche Q1 e Q2 sono in posizione di n-Poncelet se e solo seD e Poncelet n-related a C.
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Quadriche in relazione di Poncelet in un fascio
Siano Q1 e Q2 due quadriche di rango ≥3 tali che il fascio da lorogenerato λ1Q1 + λ2Q2 e un fascio generico.Sia M → P1 il rivestimento a due fogli di P1 che ha come punti dibranch le radici di d(λ1, λ2) = det(λ1Q1 + λ2Q2). Allora
i punti della curva ellittica M sono identificati con le famigliedi rette sulle quadriche del fascio;ogni famiglia di rette R in M definisce un’involuzioneIR : E → E con punti fissi e esiste unico a ∈ E tale cheIR(x) = −x + a.
Otteniamo un’applicazione
Φ : M → E
R 7→ a.
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Obiettivi della tesiDove eravamo rimasti...
Il Teorema di Poncelet in P3
Quadriche in relazione di Poncelet in un fascioNumero di coniche Poncelet n-relatedEquazioni per il Teorema di Poncelet
Quadriche in relazione di Poncelet in un fascio
Siano Q1 e Q2 due quadriche di rango ≥3 tali che il fascio da lorogenerato λ1Q1 + λ2Q2 e un fascio generico.Sia M → P1 il rivestimento a due fogli di P1 che ha come punti dibranch le radici di d(λ1, λ2) = det(λ1Q1 + λ2Q2). Allora
i punti della curva ellittica M sono identificati con le famigliedi rette sulle quadriche del fascio;ogni famiglia di rette R in M definisce un’involuzioneIR : E → E con punti fissi e esiste unico a ∈ E tale cheIR(x) = −x + a.
Otteniamo un’applicazione
Φ : M → E
R 7→ a.
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Quadriche in relazione di Poncelet in un fascio
Siano Q1 e Q2 due quadriche di rango ≥3 tali che il fascio da lorogenerato λ1Q1 + λ2Q2 e un fascio generico.Sia M → P1 il rivestimento a due fogli di P1 che ha come punti dibranch le radici di d(λ1, λ2) = det(λ1Q1 + λ2Q2). Allora
i punti della curva ellittica M sono identificati con le famigliedi rette sulle quadriche del fascio;ogni famiglia di rette R in M definisce un’involuzioneIR : E → E con punti fissi e esiste unico a ∈ E tale cheIR(x) = −x + a.
Otteniamo un’applicazione
Φ : M → E
R 7→ a.
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Siano Q1 e Q2 due quadriche di rango ≥3 tali che il fascio da lorogenerato λ1Q1 + λ2Q2 e un fascio generico.Sia M → P1 il rivestimento a due fogli di P1 che ha come punti dibranch le radici di d(λ1, λ2) = det(λ1Q1 + λ2Q2). Allora
i punti della curva ellittica M sono identificati con le famigliedi rette sulle quadriche del fascio;ogni famiglia di rette R in M definisce un’involuzioneIR : E → E con punti fissi e esiste unico a ∈ E tale cheIR(x) = −x + a.
Otteniamo un’applicazione
Φ : M → E
R 7→ a.
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Quadriche in relazione di Poncelet in un fascio
Siano Q1 e Q2 due quadriche di rango ≥3 tali che il fascio da lorogenerato λ1Q1 + λ2Q2 e un fascio generico.Sia M → P1 il rivestimento a due fogli di P1 che ha come punti dibranch le radici di d(λ1, λ2) = det(λ1Q1 + λ2Q2). Allora
i punti della curva ellittica M sono identificati con le famigliedi rette sulle quadriche del fascio;ogni famiglia di rette R in M definisce un’involuzioneIR : E → E con punti fissi e esiste unico a ∈ E tale cheIR(x) = −x + a.
Otteniamo un’applicazione
Φ : M → E
R 7→ a.
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Il Teorema di Poncelet in P3
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Quadriche in relazione di Poncelet in un fascio
Proposizione
Φ e un isomorfismo di gruppi (se l’origine di M e sceltaappropriatamente).
Corollario
a) Due famiglie di rette R1,R2 nel fascio soddisfano la condizionedi n-Poncelet se e solo se il punto R2 − R1 ∈ M e un punto din-torsione primitivo.
b) Fissata una famiglia di rette R1 ∈ M ci sono T (n) famiglie dirette R2 ∈ M tale che R1,R2 soddisfano la condizione din-Poncelet, dove T (n) denota il numero di punti di n-torsioneprimitivi di una curva ellittica.
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Quadriche in relazione di Poncelet in un fascio
Proposizione
Φ e un isomorfismo di gruppi (se l’origine di M e sceltaappropriatamente).
Corollario
a) Due famiglie di rette R1,R2 nel fascio soddisfano la condizionedi n-Poncelet se e solo se il punto R2 − R1 ∈ M e un punto din-torsione primitivo.
b) Fissata una famiglia di rette R1 ∈ M ci sono T (n) famiglie dirette R2 ∈ M tale che R1,R2 soddisfano la condizione din-Poncelet, dove T (n) denota il numero di punti di n-torsioneprimitivi di una curva ellittica.
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Il Teorema di Poncelet in P3
Quadriche in relazione di Poncelet in un fascioNumero di coniche Poncelet n-relatedEquazioni per il Teorema di Poncelet
Dimostrazione
Formula di Gerbaldi
Siano D e C due coniche in P2 e consideriamo l’invariante che siannulla se D e Poncelet n-related a C.Teorema (Formula di Gerbaldi)
Questo invariante e di grado 12T (n) in C e di grado 1
4T (n) in D.
NOTAZIONE:(
14T (n), 1
2T (n))
Teorema
Sia λC + µD, (λ : µ) ∈ P1 un fascio generico di coniche in P2.Allora il numero di coniche del fascio a cui D e Poncelet n-relatede uguale a 1
2T (n), e il numero di coniche del fascio che sonoPoncelet n-related a C e 1
4T (n).
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Dimostrazione
Formula di Gerbaldi
Siano D e C due coniche in P2 e consideriamo l’invariante che siannulla se D e Poncelet n-related a C.Teorema (Formula di Gerbaldi)
Questo invariante e di grado 12T (n) in C e di grado 1
4T (n) in D.
NOTAZIONE:(
14T (n), 1
2T (n))
Teorema
Sia λC + µD, (λ : µ) ∈ P1 un fascio generico di coniche in P2.Allora il numero di coniche del fascio a cui D e Poncelet n-relatede uguale a 1
2T (n), e il numero di coniche del fascio che sonoPoncelet n-related a C e 1
4T (n).
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Dimostrazione
Formula di Gerbaldi
Siano D e C due coniche in P2 e consideriamo l’invariante che siannulla se D e Poncelet n-related a C.Teorema (Formula di Gerbaldi)
Questo invariante e di grado 12T (n) in C e di grado 1
4T (n) in D.
NOTAZIONE:(
14T (n), 1
2T (n))
Teorema
Sia λC + µD, (λ : µ) ∈ P1 un fascio generico di coniche in P2.Allora il numero di coniche del fascio a cui D e Poncelet n-relatede uguale a 1
2T (n), e il numero di coniche del fascio che sonoPoncelet n-related a C e 1
4T (n).
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Quadriche in relazione di Poncelet in un fascioNumero di coniche Poncelet n-relatedEquazioni per il Teorema di Poncelet
Dimostrazione
Dimostrazione
1) C’e una quadrica liscia Q1 ∈ P3 e un cono Q2 ∈ P3 tali che
i. la proiezione Q1 → P2 dal vertice P0 di Q2 ha come punti dibranch i punti di C,
ii. l’immagine di Q2 tramite la proiezione da P0 e D, eiii. il fascio generato da Q1 e Q2 e generico.
2) Siano Q1 e Q2 le quadriche con le proprieta i. ii. iii. I punti dibranch di una quadrica liscia Qλ1,λ2 = λ1Q1 + λ2Q2 rispettoalla proiezione da P0 formano una conica nel fascio λC + µD.
3) Se una quadrica Qλ1,λ2 del fascio e liscia, allora le quadricheQλ1,λ2 e Q2 sono in posizione di n-Poncelet se e solo se D ePoncelet n-related al luogo dei punti di branch di Qλ1,λ2 .
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Dimostrazione
Dimostrazione
1) C’e una quadrica liscia Q1 ∈ P3 e un cono Q2 ∈ P3 tali che
i. la proiezione Q1 → P2 dal vertice P0 di Q2 ha come punti dibranch i punti di C,
ii. l’immagine di Q2 tramite la proiezione da P0 e D, eiii. il fascio generato da Q1 e Q2 e generico.
2) Siano Q1 e Q2 le quadriche con le proprieta i. ii. iii. I punti dibranch di una quadrica liscia Qλ1,λ2 = λ1Q1 + λ2Q2 rispettoalla proiezione da P0 formano una conica nel fascio λC + µD.
3) Se una quadrica Qλ1,λ2 del fascio e liscia, allora le quadricheQλ1,λ2 e Q2 sono in posizione di n-Poncelet se e solo se D ePoncelet n-related al luogo dei punti di branch di Qλ1,λ2 .
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Dimostrazione
Dimostrazione
1) C’e una quadrica liscia Q1 ∈ P3 e un cono Q2 ∈ P3 tali che
i. la proiezione Q1 → P2 dal vertice P0 di Q2 ha come punti dibranch i punti di C,
ii. l’immagine di Q2 tramite la proiezione da P0 e D, eiii. il fascio generato da Q1 e Q2 e generico.
2) Siano Q1 e Q2 le quadriche con le proprieta i. ii. iii. I punti dibranch di una quadrica liscia Qλ1,λ2 = λ1Q1 + λ2Q2 rispettoalla proiezione da P0 formano una conica nel fascio λC + µD.
3) Se una quadrica Qλ1,λ2 del fascio e liscia, allora le quadricheQλ1,λ2 e Q2 sono in posizione di n-Poncelet se e solo se D ePoncelet n-related al luogo dei punti di branch di Qλ1,λ2 .
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Il Teorema di Poncelet in P3
Quadriche in relazione di Poncelet in un fascioNumero di coniche Poncelet n-relatedEquazioni per il Teorema di Poncelet
RicapitolandoRichiami di teoria degli invariantiConiche Poncelet 3-relatedConiche Poncelet 4-related
Ricapitoliamo...
Siano D e C due coniche in P2, e indichiamo con A e B lerispettive matrici associate.
D e Poncelet n-related a C se e solo se le matrici associatealle coniche soddisfano una certa equazione f (A,B) = 0, cioesono invarianti rispetto all’azione del gruppo SL(3);
questo invariante ha grado 14T (n) in D e 1
2T (n) in C(Formula di Gerbaldi).
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RicapitolandoRichiami di teoria degli invariantiConiche Poncelet 3-relatedConiche Poncelet 4-related
Ricapitoliamo...
Siano D e C due coniche in P2, e indichiamo con A e B lerispettive matrici associate.
D e Poncelet n-related a C se e solo se le matrici associatealle coniche soddisfano una certa equazione f (A,B) = 0, cioesono invarianti rispetto all’azione del gruppo SL(3);
questo invariante ha grado 14T (n) in D e 1
2T (n) in C(Formula di Gerbaldi).
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RicapitolandoRichiami di teoria degli invariantiConiche Poncelet 3-relatedConiche Poncelet 4-related
Ricapitoliamo...
Siano D e C due coniche in P2, e indichiamo con A e B lerispettive matrici associate.
D e Poncelet n-related a C se e solo se le matrici associatealle coniche soddisfano una certa equazione f (A,B) = 0, cioesono invarianti rispetto all’azione del gruppo SL(3);
questo invariante ha grado 14T (n) in D e 1
2T (n) in C(Formula di Gerbaldi).
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Il Teorema di Poncelet in P3
Quadriche in relazione di Poncelet in un fascioNumero di coniche Poncelet n-relatedEquazioni per il Teorema di Poncelet
RicapitolandoRichiami di teoria degli invariantiConiche Poncelet 3-relatedConiche Poncelet 4-related
Richiami di teoria degli invarianti
Siano A e B le matrici simmetriche associate a due coniche D e C(non necessariamente non singolari). Abbiamo che
Teorema
Tutti gli SL(3)-invarianti sono polinomi nei seguenti quattro:
∆ = det(A) → (3, 0)
Θ = tr(B · adj(A)) → (2, 1)
Θ′ = tr(A · adj(B)) → (1, 2)
∆′ = det(B) → (0, 3)
dove adj(A) · A = det(A)I .
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Quadriche in relazione di Poncelet in un fascioNumero di coniche Poncelet n-relatedEquazioni per il Teorema di Poncelet
RicapitolandoRichiami di teoria degli invariantiConiche Poncelet 3-relatedConiche Poncelet 4-related
Richiami di teoria degli invarianti
Siano A e B le matrici simmetriche associate a due coniche D e C(non necessariamente non singolari). Abbiamo che
Teorema
Tutti gli SL(3)-invarianti sono polinomi nei seguenti quattro:
∆ = det(A) → (3, 0)
Θ = tr(B · adj(A)) → (2, 1)
Θ′ = tr(A · adj(B)) → (1, 2)
∆′ = det(B) → (0, 3)
dove adj(A) · A = det(A)I .
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Il Teorema di Poncelet in P3
Quadriche in relazione di Poncelet in un fascioNumero di coniche Poncelet n-relatedEquazioni per il Teorema di Poncelet
RicapitolandoRichiami di teoria degli invariantiConiche Poncelet 3-relatedConiche Poncelet 4-related
Coniche Poncelet 3-related
Vogliamo ricavare la condizione che devono soddisfare le matrici Ae B affinche la conica D sia Poncelet 3-related alla conica C, cioeaffinche esista un triangolo inscritto in D e circoscritto a C.
T (3) = 8;
⇒ L’invariante deve avere grado (2, 4) (Formula di Gerbaldi)
L’equazione che stiamo cercando avra la forma
tr(A · adj(B))2 + ktr(B · adj(A)) det(B) = 0,
con k da determinare.
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RicapitolandoRichiami di teoria degli invariantiConiche Poncelet 3-relatedConiche Poncelet 4-related
Coniche Poncelet 3-related
Vogliamo ricavare la condizione che devono soddisfare le matrici Ae B affinche la conica D sia Poncelet 3-related alla conica C, cioeaffinche esista un triangolo inscritto in D e circoscritto a C.
T (3) = 8;
⇒ L’invariante deve avere grado (2, 4) (Formula di Gerbaldi)
L’equazione che stiamo cercando avra la forma
tr(A · adj(B))2 + ktr(B · adj(A)) det(B) = 0,
con k da determinare.
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RicapitolandoRichiami di teoria degli invariantiConiche Poncelet 3-relatedConiche Poncelet 4-related
Coniche Poncelet 3-related
Vogliamo ricavare la condizione che devono soddisfare le matrici Ae B affinche la conica D sia Poncelet 3-related alla conica C, cioeaffinche esista un triangolo inscritto in D e circoscritto a C.
T (3) = 8;
⇒ L’invariante deve avere grado (2, 4) (Formula di Gerbaldi)
L’equazione che stiamo cercando avra la forma
tr(A · adj(B))2 + ktr(B · adj(A)) det(B) = 0,
con k da determinare.
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Il Teorema di Poncelet in P3
Quadriche in relazione di Poncelet in un fascioNumero di coniche Poncelet n-relatedEquazioni per il Teorema di Poncelet
RicapitolandoRichiami di teoria degli invariantiConiche Poncelet 3-relatedConiche Poncelet 4-related
Coniche Poncelet 3-related
Vogliamo ricavare la condizione che devono soddisfare le matrici Ae B affinche la conica D sia Poncelet 3-related alla conica C, cioeaffinche esista un triangolo inscritto in D e circoscritto a C.
T (3) = 8;
⇒ L’invariante deve avere grado (2, 4) (Formula di Gerbaldi)
L’equazione che stiamo cercando avra la forma
tr(A · adj(B))2 + ktr(B · adj(A)) det(B) = 0,
con k da determinare.
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Coniche Poncelet 3-related
Teorema
Siano C e D due coniche non singolari. Allora esiste un triangoloinscritto in D e circoscritto a C se e solo se
Θ′2 − 4Θ∆′ = 0.
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Formula di Eulero
Siano
D : (x − x0)2 + (y − y0)
2 − R2 = 0 e C : x2 + y2 − r2 = 0
le due circonferenze e poniamo x20 + y2
0 = a2.
Abbiamo:
tr(A · adj(B)) = −2r2 + a2 − R2 e
tr(B · adj(A)) = −r2 + a2 − 2R2.
⇒ (a2 − R2 − 2rR)(a2 − R2 + 2rR) = 0
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Formula di Eulero
Siano
D : (x − x0)2 + (y − y0)
2 − R2 = 0 e C : x2 + y2 − r2 = 0
le due circonferenze e poniamo x20 + y2
0 = a2.
Abbiamo:
tr(A · adj(B)) = −2r2 + a2 − R2 e
tr(B · adj(A)) = −r2 + a2 − 2R2.
⇒ (a2 − R2 − 2rR)(a2 − R2 + 2rR) = 0
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Formula di Eulero
Siano
D : (x − x0)2 + (y − y0)
2 − R2 = 0 e C : x2 + y2 − r2 = 0
le due circonferenze e poniamo x20 + y2
0 = a2.
Abbiamo:
tr(A · adj(B)) = −2r2 + a2 − R2 e
tr(B · adj(A)) = −r2 + a2 − 2R2.
⇒ (a2 − R2 − 2rR)(a2 − R2 + 2rR) = 0
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Formula di Eulero
Siano
D : (x − x0)2 + (y − y0)
2 − R2 = 0 e C : x2 + y2 − r2 = 0
le due circonferenze e poniamo x20 + y2
0 = a2.
Abbiamo:
tr(A · adj(B)) = −2r2 + a2 − R2 e
tr(B · adj(A)) = −r2 + a2 − 2R2.
⇒ (a2 − R2 − 2rR)(a2 − R2 + 2rR) = 0
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Formula di Eulero
Siano
D : (x − x0)2 + (y − y0)
2 − R2 = 0 e C : x2 + y2 − r2 = 0
le due circonferenze e poniamo x20 + y2
0 = a2.
Abbiamo:
tr(A · adj(B)) = −2r2 + a2 − R2 e
tr(B · adj(A)) = −r2 + a2 − 2R2.
⇒ (a2 − R2 − 2rR)(a2 − R2 + 2rR) = 0
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Proposizione (Formula di Eulero)
Siano date due circonferenze Ci di centro Pi e raggio ri peri = 1, 2. Supponiamo che C1 sia interna a C2. Allora esiste untriangolo circoscritto a C1 e inscritto a C2 se e solo sed(P1,P2)
2 = r2(r2 − 2r1).
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RicapitolandoRichiami di teoria degli invariantiConiche Poncelet 3-relatedConiche Poncelet 4-related
Coniche Poncelet 4-related
Vogliamo ricavare la condizione che devono soddisfare le matrici Ae B affinche la conica D sia Poncelet 4-related alla conica C, cioeaffinche esista un quadrilatero inscritto in D e circoscritto a C.
T (4) = 12;
⇒ L’invariante deve avere grado (3, 6) (Formula di Gerbaldi)
L’equazione che stiamo cercando avra la forma
tr(A·adj(B))3+ktr(A·adj(B))tr(B·adj(A)) det(B)+µ det(A) det(B)2 = 0
con k, µ da determinare.
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RicapitolandoRichiami di teoria degli invariantiConiche Poncelet 3-relatedConiche Poncelet 4-related
Coniche Poncelet 4-related
Vogliamo ricavare la condizione che devono soddisfare le matrici Ae B affinche la conica D sia Poncelet 4-related alla conica C, cioeaffinche esista un quadrilatero inscritto in D e circoscritto a C.
T (4) = 12;
⇒ L’invariante deve avere grado (3, 6) (Formula di Gerbaldi)
L’equazione che stiamo cercando avra la forma
tr(A·adj(B))3+ktr(A·adj(B))tr(B·adj(A)) det(B)+µ det(A) det(B)2 = 0
con k, µ da determinare.
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RicapitolandoRichiami di teoria degli invariantiConiche Poncelet 3-relatedConiche Poncelet 4-related
Coniche Poncelet 4-related
Vogliamo ricavare la condizione che devono soddisfare le matrici Ae B affinche la conica D sia Poncelet 4-related alla conica C, cioeaffinche esista un quadrilatero inscritto in D e circoscritto a C.
T (4) = 12;
⇒ L’invariante deve avere grado (3, 6) (Formula di Gerbaldi)
L’equazione che stiamo cercando avra la forma
tr(A·adj(B))3+ktr(A·adj(B))tr(B·adj(A)) det(B)+µ det(A) det(B)2 = 0
con k, µ da determinare.
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Coniche Poncelet 4-related
Vogliamo ricavare la condizione che devono soddisfare le matrici Ae B affinche la conica D sia Poncelet 4-related alla conica C, cioeaffinche esista un quadrilatero inscritto in D e circoscritto a C.
T (4) = 12;
⇒ L’invariante deve avere grado (3, 6) (Formula di Gerbaldi)
L’equazione che stiamo cercando avra la forma
tr(A·adj(B))3+ktr(A·adj(B))tr(B·adj(A)) det(B)+µ det(A) det(B)2 = 0
con k, µ da determinare.
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Coniche Poncelet 4-related
Teorema
Siano C e D due coniche non singolari. Allora esiste unquadrilatero inscritto in D e circoscritto a C se e solo se
Θ′3 − 4ΘΘ′∆′ + 8∆∆′2 = 0.
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Formula di Fuss
⇒ (a2 − R2)[(a2 − R2)− 2r2(a2 + R2)] = 0
Proposizione (Formula di Fuss)
Siano date due circonferenze Ci di centro Pi e raggio ri peri = 1, 2. Supponiamo che C1 sia interna a C2 e sia d = d(P1,P2).Allora esiste un quadrilatero circoscritto a C1 e inscritto a C2 se esolo se (d2 − r2
2 )2 = 2r21 (r2
2 + d2).
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RicapitolandoRichiami di teoria degli invariantiConiche Poncelet 3-relatedConiche Poncelet 4-related
Formula di Fuss
⇒ (a2 − R2)[(a2 − R2)− 2r2(a2 + R2)] = 0
Proposizione (Formula di Fuss)
Siano date due circonferenze Ci di centro Pi e raggio ri peri = 1, 2. Supponiamo che C1 sia interna a C2 e sia d = d(P1,P2).Allora esiste un quadrilatero circoscritto a C1 e inscritto a C2 se esolo se (d2 − r2
2 )2 = 2r21 (r2
2 + d2).
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RicapitolandoRichiami di teoria degli invariantiConiche Poncelet 3-relatedConiche Poncelet 4-related
Formula di Fuss
⇒ (a2 − R2)[(a2 − R2)− 2r2(a2 + R2)] = 0
Proposizione (Formula di Fuss)
Siano date due circonferenze Ci di centro Pi e raggio ri peri = 1, 2. Supponiamo che C1 sia interna a C2 e sia d = d(P1,P2).Allora esiste un quadrilatero circoscritto a C1 e inscritto a C2 se esolo se (d2 − r2
2 )2 = 2r21 (r2
2 + d2).
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