equazioni differenziali lineari e modelli per lecologia
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Equazioni differenziali lineari
e modelli per l’ecologia
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xr'x 0xr'x
equazione differenziale lineare
te)t('F t2e)t("F
0cba 2 equazione caratteristicaequazione caratteristica
te)t(F integrale particolareintegrale particolare
0ecba t2
0xc'xb"xa t2e te te
0xb'ax 0xc'xb"xa
Crescita di batteri
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Esercizio
Risolvere la seguente equazione differenziale:
0x6'x5"x Equazione caratteristica : 0652
2
242552,1
2
15
1= 2 , 2 = 3
F1(t) = e2t , F2(t) = e3t
G(t) = c1e2t + c2 e
3t
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Teorema fondamentale dell’algebra Teorema fondamentale dell’algebra
Ogni equazione algebrica di grado n > 0
a coefficienti complessiha esattamente n soluzioni in C
Inoltre,se i coefficienti sono tutti reali,
allora le soluzioni sono coniugate a due a due.
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i1 i1 i2 i2 RADICI COMPLESSE CONIUGATE RADICI COMPLESSE CONIUGATE
t)i(t)i( eBeA)t(G tittit eeBeeA )eBeA(e titit
)tsinit(cosB)tsinit(cosAe t
tsin)BA(itcos)BA(e t
tsinctcosce 21t
tsinctcosce 21t
esercizio
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Esercizio
"xm
0xk'xb"xm
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0xk'xb"xm
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xr'x x)x(r'x
in un ambiente con risorse limitatein un ambiente con risorse limitate
integrale generale:integrale generale:
xE
xEa'x
tasso potenziale di crescita
taeK1
E)t(x
K1
Exo
ox
EK1
t = 0
1x
EK
o
condizione iniziale:
crescita di una popolazione isolatacrescita di una popolazione isolata
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t
x
taKe1
E)t(x
curve logistiche
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)y,x('y
)y,x('x
2
1
DUE POPOLAZIONI CONVIVENTIDUE POPOLAZIONI CONVIVENTI),( 21 22 RR :
integrale particolare :integrale particolare : )t(y,)t(x
campo vettoriale
x
y
(xo,yo)
condizioni iniziali :condizioni iniziali : x(0) = xo , y(0) = yo
orbitaorbita
(xo,yo)
)t(
piano delle fasi
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punti di equilibrio:punti di equilibrio:
0)y,x(
0)y,x(
2
1
)t(y,)t(x)t( )y,x( ooorbita costante
0)t('y,0)t('x
)y,x('y
)y,x('x
2
1
DUE POPOLAZIONI CONVIVENTIDUE POPOLAZIONI CONVIVENTI),( 21 22 RR :
campo vettoriale
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caso lineare
ydcx'y
byax'x
dc
baA
b
ax'xy
b
'ax"x'y
b
ax'xdcx
b
'ax"x
0x)bcad('x)da("x
0x)(Det'x)(Tr"x AA
0)(Det)(Tr2 AAautovalori diautovalori di AA
)0,0(0)(Det :equilibriodipuntounicoA
0ydcx
0byax
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21realiautovalori t
2t
121 ecec)t(x
0e0 21
0e0 21 nodo repulsivo
nodo attrattivo
discordi21 e
b
)t(ax)t('x)t(y
punto di sella
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i,i
:complessiautovalori
21
b
)t(ax)t('x)t(y
)tsinctcosc(e)t(x 21t
0 centrocentro
fuoco repulsivofuoco repulsivo0
fuoco attrattivofuoco attrattivo0
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Esercizi a pag. 516 Esercizi a pag. 516
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Prossima lezione:
Integrali di linea,
di superficie,
di volume
Fine della lezione
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