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MatematicaAppunti di Matematica 3
Michele prof. PeriniIISS Copernico Pasoli - Liceo Scientifico
A.S. 2021-2022
Michele prof. Perini Matematica 1 / 212
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1 FunzioniGeneralitàGraficoPari e dispariMonotoneComposte e inverseGrafici
2 SuccessioniMonotoneDefinizioni ricorsivePrincipio di induzioneProgressione aritmeticaProgressione geometrica
3 Vettori 2D e piano cartesianoMichele prof. Perini Matematica 2 / 212
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DefinizioneModuloScalare per vettoreSommaProdotto scalareRetteDeterminantiDistanza punto-rettaFasci di rette
4 Introduzione alle trasformazioni lineariSimmetria centraleSimmetria assialeTraslazioneDilatazioni
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OmotetieGrafici
5 GoniometriaAngoliFunzioni goniometricheAngoli associatiTriangoli rettangoliGrafici funzioni goniometricheFunzioni periodicheFunzioni goniometriche inverseEquazioni e disequazioniFormule di addizione e sottrazioneFormule di duplicazioneFormule di bisezione
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Formule parametricheFunzione lineare in seno e coseno
6 ConicheCirconferenzaEllisseParabolaIperboleAx2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0Sezioni di cono
7 TrigonometriaTriangoli rettangoliArea di un triangoloTeorema della corda e dei seniTeorema del coseno
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Coseno e prodotto scalare
8 StatisticaSommatorieDati e loro rappresentazioneFrequenze assoluteFrequenze relativeFrequenze cumulateFrequenze relative cumulateLa media aritmeticaLa varianzaLa deviazione standardTest del χ2 di CramerRegressione lineare
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Funzioni GeneralitàLe funzioni sono particolari relazioni.Una relazione R ⊆ X ×Y è una funzione se:
∀x ∈ X ,∀y1, y2 ∈ Y , xRy1 ∧xRy2 ⇔ y1 = y2
Notazione per una funzione:y = f (x) : X → Y
l’insieme X si chiama anche dominio, Dl’insieme Y si chiama codominio, CL’insieme I = {
y ∈C : y = f (x), x ∈ D}
si chiamaimmagine. In generale I ⊆C .
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Funzioni GeneralitàLe funzioni sono particolari relazioni.Una relazione R ⊆ X ×Y è una funzione se:
∀x ∈ X ,∀y1, y2 ∈ Y , xRy1 ∧xRy2 ⇔ y1 = y2
Notazione per una funzione:y = f (x) : X → Y
l’insieme X si chiama anche dominio, Dl’insieme Y si chiama codominio, CL’insieme I = {
y ∈C : y = f (x), x ∈ D}
si chiamaimmagine. In generale I ⊆C .
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Funzioni GeneralitàLe funzioni sono particolari relazioni.Una relazione R ⊆ X ×Y è una funzione se:
∀x ∈ X ,∀y1, y2 ∈ Y , xRy1 ∧xRy2 ⇔ y1 = y2
Notazione per una funzione:y = f (x) : X → Y
l’insieme X si chiama anche dominio, D
l’insieme Y si chiama codominio, CL’insieme I = {
y ∈C : y = f (x), x ∈ D}
si chiamaimmagine. In generale I ⊆C .
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Funzioni GeneralitàLe funzioni sono particolari relazioni.Una relazione R ⊆ X ×Y è una funzione se:
∀x ∈ X ,∀y1, y2 ∈ Y , xRy1 ∧xRy2 ⇔ y1 = y2
Notazione per una funzione:y = f (x) : X → Y
l’insieme X si chiama anche dominio, Dl’insieme Y si chiama codominio, C
L’insieme I = {y ∈C : y = f (x), x ∈ D
}si chiama
immagine. In generale I ⊆C .
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Funzioni GeneralitàLe funzioni sono particolari relazioni.Una relazione R ⊆ X ×Y è una funzione se:
∀x ∈ X ,∀y1, y2 ∈ Y , xRy1 ∧xRy2 ⇔ y1 = y2
Notazione per una funzione:y = f (x) : X → Y
l’insieme X si chiama anche dominio, Dl’insieme Y si chiama codominio, CL’insieme I = {
y ∈C : y = f (x), x ∈ D}
si chiamaimmagine. In generale I ⊆C .
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Funzioni Generalità
Rappresentazione sagittale di una funzione f (x) : D →C
D C
una funzione è un collegamento, una regola tra elementidell’insieme dominio, D, e elementi dell’insieme codominio, C ,che abbina ad ogni elemento x ∈ D uno e uno solo elemento
y ∈C .Michele prof. Perini Matematica 8 / 212
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Funzioni Grafico
Grafico di una funzioneData la funzione f (x) : D →C si chiama grafico di fl’insieme delle coppie ordinate:
G = {(x, f (x)
): x ∈ D
}
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
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Funzioni Grafico
Funzioni ugualiDue funzioni f e g sono uguali se hanno lo stessodominio D e inoltre:
f (x) = g (x), ∀x ∈ D
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Funzioni Pari e dispari
Funzioni pariaaIl nome di queste funzioni deriva dal fatto che la proprietà che le
definisce è tipica delle funzioni polinomiali che presentano solo potenzepari della variabile indipendente.
Una funzione f (x) : D →R si dice pari se
f (−x) = f (x), ∀x ∈ D
le funzioni pari sono simmetriche rispetto all’asse y .
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Funzioni Pari e dispari
Funzioni dispariaaIl nome di queste funzioni deriva dal fatto che la proprietà che le
definisce è tipica delle funzioni polinomiali che presentano solo potenzedispari della variabile indipendente.
Una funzione f (x) : D →R si dice dispari se
f (−x) =− f (x), ∀x ∈ D
le funzioni dispari sono simmetriche rispettoall’origine.
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Funzioni Monotone
Funzioni strettamente crescentif : D →C è strettamente crescente in I ⊂ D se:
x1 < x2 → f (x1) < f (x2), ∀x1, x2 ∈ I
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0.5
1
1.5
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Funzioni Monotone
Funzioni strettamente decrescentif : D →C è strettamente decrescente in I ⊂ D se:
x1 < x2 → f (x1) > f (x2), ∀x1, x2 ∈ I
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0.5
1
1.5
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Funzioni Monotone
Funzioni costantif : D →C è costante in I ⊂ D se:
f (x1) = f (x2), ∀x1, x2 ∈ I
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Funzioni Monotone
Funzioni crescentif : D →C è crescente in I ⊂ D se:
x1 < x2 → f (x1) ≤ f (x2), ∀x1, x2 ∈ I
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2
−8
−6
−4
−2
2
4
6
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Funzioni Monotone
Funzioni decrescentif : D →C è decrescente in I ⊂ D se:
x1 < x2 → f (x1) ≥ f (x2), ∀x1, x2 ∈ I
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2
−6
−4
−2
2
4
6
8
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Funzioni Monotone
Funzioni monotoneUna funzione crescente o decrescente in un certosottoinsieme I del suo dominio si dice monotona inI .
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Funzioni Composte e inverse
Una funzione y = f (x) : D →C può essere (o nonessere):suriettiva C = I = {
y ∈C : y = f (x), x ∈ D}
iniettiva ∀x1, x2 ∈ D, x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2)
biiettiva se è sia suriettiva che iniettiva
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Funzioni Composte e inverse
Una funzione y = f (x) : D →C può essere (o nonessere):suriettiva C = I = {
y ∈C : y = f (x), x ∈ D}
iniettiva ∀x1, x2 ∈ D, x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2)
biiettiva se è sia suriettiva che iniettiva
Michele prof. Perini Matematica 19 / 212
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Funzioni Composte e inverse
Una funzione y = f (x) : D →C può essere (o nonessere):suriettiva C = I = {
y ∈C : y = f (x), x ∈ D}
iniettiva ∀x1, x2 ∈ D, x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2)
biiettiva se è sia suriettiva che iniettiva
Michele prof. Perini Matematica 19 / 212
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Funzioni Composte e inverse
Rappresentazione sagittale di una funzionef (x) : D →C non suriettiva, non iniettiva, non
biiettiva:
D C
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Funzioni Composte e inverse
Rappresentazione sagittale di una funzionef (x) : D →C suriettiva, non iniettiva, non biiettiva:
D C
Michele prof. Perini Matematica 21 / 212
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Funzioni Composte e inverse
Rappresentazione sagittale di una funzionef (x) : D →C suriettiva, iniettiva, biiettiva:
D C
Michele prof. Perini Matematica 22 / 212
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Funzioni Composte e inverse
Le funzioni biiettive ammettono inversa. L’inversadi una funzione f (x) si indica con il simbolo f −1(x).
f :
D C
f −1 :
D C
Michele prof. Perini Matematica 23 / 212
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Funzioni Composte e inverse
Le funzioni biiettive ammettono inversa. L’inversadi una funzione f (x) si indica con il simbolo f −1(x).
f :
D C
f −1 :
D C
Michele prof. Perini Matematica 23 / 212
![Page 31: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/31.jpg)
Funzioni Composte e inverse
I grafici delle funzioni inverse sono simmetricirispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0.5
1
1.5
2
Michele prof. Perini Matematica 24 / 212
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Funzioni Composte e inverse
Funzioni composteDate due funzioni f e g , si dice funzione compostadi f dopo g , e si indica con il simbolo f ◦ g lafunzione:
f ◦ g (x) = f (g (x))
in generale f ◦ g (x) 6= g ◦ f (x).
Composizione di funzioni inverseDate due funzioni f e f −1, una inversa dell’altra siha che f ◦ f −1(x) = f −1 ◦ f (x) = x o con altri simbolif ( f −1(x)) = f −1( f (x)) = x.
Michele prof. Perini Matematica 25 / 212
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Funzioni Composte e inverse
Funzioni composteDate due funzioni f e g , si dice funzione compostadi f dopo g , e si indica con il simbolo f ◦ g lafunzione:
f ◦ g (x) = f (g (x))
in generale f ◦ g (x) 6= g ◦ f (x).
Composizione di funzioni inverseDate due funzioni f e f −1, una inversa dell’altra siha che f ◦ f −1(x) = f −1 ◦ f (x) = x o con altri simbolif ( f −1(x)) = f −1( f (x)) = x.
Michele prof. Perini Matematica 25 / 212
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Funzioni Grafici
y = f (x) = x + c , c ∈R
x
y
La funzione f (x) = x + c è iniettiva e monotona crescente∀c ∈R, può essere applicata ad ambo i membri di equazioni,disequazioni e disuguaglianze non modificando il loro insiemedelle soluzioni.
Michele prof. Perini Matematica 26 / 212
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Funzioni Grafici
y = f (x) = |x|
x
y
La funzione f (x) = |x| è non iniettiva e non monotonacrescente su tutto R, può essere applicata ad ambo i membridi equazioni, disequazioni e disuguaglianze non modificando illoro insieme delle soluzioni se i membri sono entrambi positivi.
Michele prof. Perini Matematica 27 / 212
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Funzioni Grafici
y = f (x) = kx , k ∈R0
x
y
La funzione f (x) = kx , k ∈R0 è iniettiva e monotona su tuttoR, può essere applicata ad ambo i membri di equazioni,disequazioni e disuguaglianze non modificando il loro insiemedelle soluzioni.
Michele prof. Perini Matematica 28 / 212
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Funzioni Grafici
y = f (x) = x2n , n ∈N0
x
y
La funzione f (x) = x2n è non iniettiva e non monotona sututto R, può essere applicata ad ambo i membri di equazioni,disequazioni e disuguaglianze non modificando il loro insiemedelle soluzioni se i membri sono entrambi positivi.
Michele prof. Perini Matematica 29 / 212
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Funzioni Grafici
y = f (x) = 2np
x , n ∈N0
x
y
La funzione f (x) = 2np
x è iniettiva e monotona crescente sututto R+, può essere applicata ad ambo i membri di equazioni,disequazioni e disuguaglianze non modificando il loro insiemedelle soluzioni solo se i membri sono positivi.
Michele prof. Perini Matematica 30 / 212
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Funzioni Grafici
y = f (x) = x2n+1 , n ∈N0
x
y
La funzione f (x) = x2n+1 è iniettiva monotona crescente sututto R, può essere applicata ad ambo i membri di equazioni,disequazioni e disuguaglianze non modificando il loro insiemedelle soluzioni.
Michele prof. Perini Matematica 31 / 212
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Funzioni Grafici
y = f (x) = 2n+1p
x , n ∈N0
x
y
La funzione f (x) = 2n+1p
x è iniettiva e monotona crescente sututto R, può essere applicata ad ambo i membri di equazioni,disequazioni e disuguaglianze non modificando il loro insiemedelle soluzioni.
Michele prof. Perini Matematica 32 / 212
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Successioni
SuccessioneUna successione è una funzione s(n) : D ⊆N→R.I termini di una successione si indicano con i simbolis(n) o semplicemente sn.
1 2 3 4 5
0.5
1
1.5
2
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Successioni Monotone
Monotonia delle successioni
Una successione s(n) : D ⊆N→R si dice:strettamente crescente se sn < sn+1 ∀n ∈ D
strettamente decrescente se sn > sn+1 ∀n ∈ D
costante se sn = sn+1 ∀n ∈ D
crescente se sn ≤ sn+1 ∀n ∈ D
decrescente se sn ≥ sn+1 ∀n ∈ D
Michele prof. Perini Matematica 34 / 212
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Successioni Monotone
Monotonia delle successioni
Una successione s(n) : D ⊆N→R si dice:strettamente crescente se sn < sn+1 ∀n ∈ D
strettamente decrescente se sn > sn+1 ∀n ∈ D
costante se sn = sn+1 ∀n ∈ D
crescente se sn ≤ sn+1 ∀n ∈ D
decrescente se sn ≥ sn+1 ∀n ∈ D
Michele prof. Perini Matematica 34 / 212
![Page 44: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/44.jpg)
Successioni Monotone
Monotonia delle successioni
Una successione s(n) : D ⊆N→R si dice:strettamente crescente se sn < sn+1 ∀n ∈ D
strettamente decrescente se sn > sn+1 ∀n ∈ D
costante se sn = sn+1 ∀n ∈ D
crescente se sn ≤ sn+1 ∀n ∈ D
decrescente se sn ≥ sn+1 ∀n ∈ D
Michele prof. Perini Matematica 34 / 212
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Successioni Monotone
Monotonia delle successioni
Una successione s(n) : D ⊆N→R si dice:strettamente crescente se sn < sn+1 ∀n ∈ D
strettamente decrescente se sn > sn+1 ∀n ∈ D
costante se sn = sn+1 ∀n ∈ D
crescente se sn ≤ sn+1 ∀n ∈ D
decrescente se sn ≥ sn+1 ∀n ∈ D
Michele prof. Perini Matematica 34 / 212
![Page 46: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/46.jpg)
Successioni Monotone
Monotonia delle successioni
Una successione s(n) : D ⊆N→R si dice:strettamente crescente se sn < sn+1 ∀n ∈ D
strettamente decrescente se sn > sn+1 ∀n ∈ D
costante se sn = sn+1 ∀n ∈ D
crescente se sn ≤ sn+1 ∀n ∈ D
decrescente se sn ≥ sn+1 ∀n ∈ D
Michele prof. Perini Matematica 34 / 212
![Page 47: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/47.jpg)
Successioni Definizioni ricorsive
Definizione ricorsiva: potenza ad esponentenaturale
Con a ∈R0 e n ∈N:
an ={
1 se n = 0a ·an−1 se n 6= 0
Esempio:
24 = 2·23 = 2·2·22 = 2·2·2·21 = 2·2·2·2·20 = 2·2·2·2·1 = 16
Michele prof. Perini Matematica 35 / 212
![Page 48: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/48.jpg)
Successioni Definizioni ricorsive
Definizione ricorsiva: fattoriale
Con n ∈N:
n! ={
1 se n = 0n · (n −1)! se n 6= 0
Esempio:
4! = 4·3! = 4·3·2! = 4·3·2·1! = 4·3·2·1·0! = 4·3·2·1·1 = 24
Michele prof. Perini Matematica 36 / 212
![Page 49: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/49.jpg)
Successioni Principio di induzione
Principio di induzioneCon n ∈N e P (n) una proprietà. Se P (0) è vera e∀n ∈N P (n) →P (n +1) allora P (n) vale per tuttigli n ∈N.
Il principio di induzione permette di dimostrareproprietà generali in modo estremamente semplice.
Michele prof. Perini Matematica 37 / 212
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Successioni Progressione aritmetica
Definizione ricorsiva: progressione aritmetica
Con n ∈N e d ∈R:
an ={
a0 se n = 0d +an−1 se n 6= 0
Esempio:
an ={
3 se n = 02+an−1 se n 6= 0
a3 = 2+a2 = 2+2+a1 = 2+2+2+a0 = 2+2+2+3 = 9
Michele prof. Perini Matematica 38 / 212
![Page 51: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/51.jpg)
Successioni Progressione aritmetica
Progressione aritmetica: formula generaledimostrata per induzione
Se an è una progressione aritmetica di ragione d siha che an = a0 +nd . Per dimostrare la proprietàan = a0 +nd usiamo il principio di induzione:
a0 = a0 +0 ·d = a0 la proprietà è verificata pern = 0
an+1 = an+d = a0+nd+d = a0+(n+1)d = an+1,per tutti i naturali se la proprietà an = a0 +ndè vera per n allora è vera anche per n +1
Quindi la proprietà an = a0+nd è valida ∀n ∈N.
Michele prof. Perini Matematica 39 / 212
![Page 52: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/52.jpg)
Successioni Progressione aritmetica
Progressione aritmetica: formula generaledimostrata per induzione
Se an è una progressione aritmetica di ragione d siha che an = a0 +nd . Per dimostrare la proprietàan = a0 +nd usiamo il principio di induzione:
a0 = a0 +0 ·d = a0 la proprietà è verificata pern = 0an+1 = an+d = a0+nd+d = a0+(n+1)d = an+1,per tutti i naturali se la proprietà an = a0 +ndè vera per n allora è vera anche per n +1
Quindi la proprietà an = a0+nd è valida ∀n ∈N.
Michele prof. Perini Matematica 39 / 212
![Page 53: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/53.jpg)
Successioni Progressione aritmetica
Somma termini progressione aritmetica:dimostrazione per induzione
Se an è una progressione aritmetica di ragione d si ha chesn =∑n
i=0 ai = (n +1)a0 + n(n+1)2 d . Per dimostrare la proprietà
usiamo il principio di induzione:s0 =∑0
i=0 ai = (0+1)a0 + 0(0+1)2 d = a0 la proprietà è
verificata per n = 0
sn+1 = an+1 + sn = a0 + (n +1)d + (n +1)a0 + n(n+1)2 d=
(n +2)a0 + n2+3n+22 d = (n +2)a0 + (n+1)(n+2)
2 d = sn+1, pertutti i naturali se la proprietà è vera per n allora è veraanche per n +1
Quindi la proprietà sn = (n +1)a0 + n(n+1)2 d è valida
∀n ∈N.Michele prof. Perini Matematica 40 / 212
![Page 54: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/54.jpg)
Successioni Progressione aritmetica
Somma termini progressione aritmetica:dimostrazione per induzione
Se an è una progressione aritmetica di ragione d si ha chesn =∑n
i=0 ai = (n +1)a0 + n(n+1)2 d . Per dimostrare la proprietà
usiamo il principio di induzione:s0 =∑0
i=0 ai = (0+1)a0 + 0(0+1)2 d = a0 la proprietà è
verificata per n = 0
sn+1 = an+1 + sn = a0 + (n +1)d + (n +1)a0 + n(n+1)2 d=
(n +2)a0 + n2+3n+22 d = (n +2)a0 + (n+1)(n+2)
2 d = sn+1, pertutti i naturali se la proprietà è vera per n allora è veraanche per n +1
Quindi la proprietà sn = (n +1)a0 + n(n+1)2 d è valida
∀n ∈N.Michele prof. Perini Matematica 40 / 212
![Page 55: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/55.jpg)
Successioni Progressione geometrica
Definizione ricorsiva: progressione geometrica
Con n ∈N e q ∈R0:
an ={
a0 se n = 0q ·an−1 se n 6= 0
Esempio:
an ={
3 se n = 02 ·an−1 se n 6= 0
a3 = 2 ·a2 = 2 ·2 ·a1 = 2 ·2 ·2 ·a0 = 2 ·2 ·2 ·3 = 24
Michele prof. Perini Matematica 41 / 212
![Page 56: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/56.jpg)
Successioni Progressione geometrica
Progressione geometrica: formula generaledimostrata per induzione
Se an è una progressione geometrica di ragione q siha che an = a0qn. Per dimostrare la proprietàan = a0qn usiamo il principio di induzione:
a0 = a0q0 = a0 la proprietà è verificata pern = 0
an+1 = q ·an = q ·a0qn = a0qn+1 = an+1, pertutti i naturali se la proprietà an = a0qn è veraper n allora è vera anche per n +1
Quindi la proprietà an = a0qn è valida ∀n ∈N.Michele prof. Perini Matematica 42 / 212
![Page 57: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/57.jpg)
Successioni Progressione geometrica
Progressione geometrica: formula generaledimostrata per induzione
Se an è una progressione geometrica di ragione q siha che an = a0qn. Per dimostrare la proprietàan = a0qn usiamo il principio di induzione:
a0 = a0q0 = a0 la proprietà è verificata pern = 0
an+1 = q ·an = q ·a0qn = a0qn+1 = an+1, pertutti i naturali se la proprietà an = a0qn è veraper n allora è vera anche per n +1
Quindi la proprietà an = a0qn è valida ∀n ∈N.Michele prof. Perini Matematica 42 / 212
![Page 58: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/58.jpg)
Successioni Progressione geometrica
Somma termini progressione geometrica:dimostrazione per induzione
Se an è una progressione geometrica di ragione q 6= 1 si ha chesn =∑n
i=0 ai = a01−qn+1
1−q . Per dimostrare la proprietà usiamo ilprincipio di induzione:
s0 =∑0i=0 ai = a0
1−q0+1
1−q = a0 la proprietà è verificata pern = 0
sn+1 = an+1 + sn = a0qn+1 +a01−qn+1
1−q = a01−qn+2
1−q = sn+1,per tutti i naturali se la proprietà è vera per n allora èvera anche per n +1
Quindi la proprietà sn = a01−qn+1
1−q è valida ∀n ∈N.Michele prof. Perini Matematica 43 / 212
![Page 59: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/59.jpg)
Successioni Progressione geometrica
Somma termini progressione geometrica:dimostrazione per induzione
Se an è una progressione geometrica di ragione q 6= 1 si ha chesn =∑n
i=0 ai = a01−qn+1
1−q . Per dimostrare la proprietà usiamo ilprincipio di induzione:
s0 =∑0i=0 ai = a0
1−q0+1
1−q = a0 la proprietà è verificata pern = 0
sn+1 = an+1 + sn = a0qn+1 +a01−qn+1
1−q = a01−qn+2
1−q = sn+1,per tutti i naturali se la proprietà è vera per n allora èvera anche per n +1
Quindi la proprietà sn = a01−qn+1
1−q è valida ∀n ∈N.Michele prof. Perini Matematica 43 / 212
![Page 60: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/60.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano DefinizioneUn vettore può essere definito come una ennuplaordinata sulla quale si definiscono le operazioni diprodotto scalare-vettore e di somma.
x
y
~AB
A
B
A(xA, y A
)B
(xB , yB
)~AB =
(xB −xA
yB − y A
)
Michele prof. Perini Matematica 44 / 212
![Page 61: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/61.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano DefinizioneUn vettore può essere definito come una ennuplaordinata sulla quale si definiscono le operazioni diprodotto scalare-vettore e di somma.
x
y
~AB
A
B
A(xA, y A
)B
(xB , yB
)~AB =
(xB −xA
yB − y A
)
Michele prof. Perini Matematica 44 / 212
![Page 62: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/62.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano DefinizioneUn vettore può essere definito come una ennuplaordinata sulla quale si definiscono le operazioni diprodotto scalare-vettore e di somma.
x
y
~AB
A
B
A(xA, y A
)B
(xB , yB
)~AB =
(xB −xA
yB − y A
)
Michele prof. Perini Matematica 44 / 212
![Page 63: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/63.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano DefinizioneDue vettori sono equivalenti se hanno le medesimerispettive componenti. Due vettori equivalentihanno lo stesso modulo, direzione e verso.
x
y
~AB
A
B
~A′B ′
A′
B ′
~AB =(
xB −xA
yB − y A
)=
= ~A′B ′ =(
xB ′ −xA′
yB ′ − y A′
)
Michele prof. Perini Matematica 45 / 212
![Page 64: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/64.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano DefinizioneDue vettori sono equivalenti se hanno le medesimerispettive componenti. Due vettori equivalentihanno lo stesso modulo, direzione e verso.
x
y
~AB
A
B
~A′B ′
A′
B ′
~AB =(
xB −xA
yB − y A
)=
= ~A′B ′ =(
xB ′ −xA′
yB ′ − y A′
)
Michele prof. Perini Matematica 45 / 212
![Page 65: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/65.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano DefinizioneDue vettori sono equivalenti se hanno le medesimerispettive componenti. Due vettori equivalentihanno lo stesso modulo, direzione e verso.
x
y
~AB
A
B
~A′B ′
A′
B ′
~AB =(
xB −xA
yB − y A
)=
= ~A′B ′ =(
xB ′ −xA′
yB ′ − y A′
)
Michele prof. Perini Matematica 45 / 212
![Page 66: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/66.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Modulo
Modulo di un vettoreDato il vettore ~v =
(vx
vy
)il suo modulo è
|~v | = v =√
v2x + v2
y
x
y
~v
~v
vxvx
vy
vy
Michele prof. Perini Matematica 46 / 212
![Page 67: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/67.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Scalare per vettore
Prodotto scalare per vettore
~v~12 v
~32 v
~−v
α~v =α(
vx
vy
)=
(αvx
αvy
)|α~v | = |α| |~v |~v ∥α~v
Michele prof. Perini Matematica 47 / 212
![Page 68: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/68.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Scalare per vettore
Prodotto scalare per vettore
~v~12 v
~32 v
~−v
α~v =α(
vx
vy
)=
(αvx
αvy
)|α~v | = |α| |~v |~v ∥α~v
Michele prof. Perini Matematica 47 / 212
![Page 69: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/69.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Scalare per vettore
Prodotto scalare per vettore
~v~12 v
~32 v
~−v
α~v =α(
vx
vy
)=
(αvx
αvy
)|α~v | = |α| |~v |~v ∥α~v
Michele prof. Perini Matematica 47 / 212
![Page 70: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/70.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Scalare per vettore
Prodotto scalare per vettore
~v~12 v
~32 v
~−v
α~v =α(
vx
vy
)=
(αvx
αvy
)|α~v | = |α| |~v |~v ∥α~v
Michele prof. Perini Matematica 47 / 212
![Page 71: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/71.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Somma
Somma tra vettori
~a
~b~c
x
y
~c =~a +~b ==
(ax
ay
)+
(bx
by
)=
=(
ax +bx
ay +by
)
Michele prof. Perini Matematica 48 / 212
![Page 72: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/72.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Somma
Somma tra vettori
~a
~b~c
x
y
~c =~a +~b ==
(ax
ay
)+
(bx
by
)=
=(
ax +bx
ay +by
)
Michele prof. Perini Matematica 48 / 212
![Page 73: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/73.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Somma
Somma tra vettori
~a
~b~c
x
y
~c =~a +~b ==
(ax
ay
)+
(bx
by
)=
=(
ax +bx
ay +by
)
Michele prof. Perini Matematica 48 / 212
![Page 74: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/74.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Somma
Somma tra vettori
~a
~b~c
x
y
~c =~a +~b ==
(ax
ay
)+
(bx
by
)=
=(
ax +bx
ay +by
)
Michele prof. Perini Matematica 48 / 212
![Page 75: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/75.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare
Prodotto scalare: definizione
x
y
~bγ
~a
~a ·~b ==
(ax
ay
)·(
bx
by
)=
= axbx +ay by
Michele prof. Perini Matematica 49 / 212
![Page 76: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/76.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare
Prodotto scalare: definizione
x
y
~bγ
~a
~a ·~b ==
(ax
ay
)·(
bx
by
)=
= axbx +ay by
Michele prof. Perini Matematica 49 / 212
![Page 77: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/77.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare
Prodotto scalare: definizione
x
y
~bγ
~a
~a ·~b ==
(ax
ay
)·(
bx
by
)=
= axbx +ay by
Michele prof. Perini Matematica 49 / 212
![Page 78: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/78.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare
Prodotto scalare: definizione
x
y
~bγ
~a
~a ·~b ==
(ax
ay
)·(
bx
by
)=
= axbx +ay by
Michele prof. Perini Matematica 49 / 212
![Page 79: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/79.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare
Prodotto scalare: proprietà
~a ·~b =~b ·~a~a ·
(k~b
)= k~b ·~a
~a ·(~b +~c
)=~a ·~b +~a ·~c
~a ·~a =~a2 = |~a|2 = a2
Le proprietà possono essere facilmente dimostrate apartire dalla definizione, dimostriamo l’ultima:
~a ·~a =~a2 =(
ax
ay
)·(
ax
ay
)= a2
x +a2y = |~a|2
Michele prof. Perini Matematica 50 / 212
![Page 80: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/80.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare
Prodotto scalare: proprietà~a ·~b =~b ·~a
~a ·(k~b
)= k~b ·~a
~a ·(~b +~c
)=~a ·~b +~a ·~c
~a ·~a =~a2 = |~a|2 = a2
Le proprietà possono essere facilmente dimostrate apartire dalla definizione, dimostriamo l’ultima:
~a ·~a =~a2 =(
ax
ay
)·(
ax
ay
)= a2
x +a2y = |~a|2
Michele prof. Perini Matematica 50 / 212
![Page 81: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/81.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare
Prodotto scalare: proprietà~a ·~b =~b ·~a~a ·
(k~b
)= k~b ·~a
~a ·(~b +~c
)=~a ·~b +~a ·~c
~a ·~a =~a2 = |~a|2 = a2
Le proprietà possono essere facilmente dimostrate apartire dalla definizione, dimostriamo l’ultima:
~a ·~a =~a2 =(
ax
ay
)·(
ax
ay
)= a2
x +a2y = |~a|2
Michele prof. Perini Matematica 50 / 212
![Page 82: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/82.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare
Prodotto scalare: proprietà~a ·~b =~b ·~a~a ·
(k~b
)= k~b ·~a
~a ·(~b +~c
)=~a ·~b +~a ·~c
~a ·~a =~a2 = |~a|2 = a2
Le proprietà possono essere facilmente dimostrate apartire dalla definizione, dimostriamo l’ultima:
~a ·~a =~a2 =(
ax
ay
)·(
ax
ay
)= a2
x +a2y = |~a|2
Michele prof. Perini Matematica 50 / 212
![Page 83: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/83.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare
Prodotto scalare: proprietà~a ·~b =~b ·~a~a ·
(k~b
)= k~b ·~a
~a ·(~b +~c
)=~a ·~b +~a ·~c
~a ·~a =~a2 = |~a|2 = a2
Le proprietà possono essere facilmente dimostrate apartire dalla definizione, dimostriamo l’ultima:
~a ·~a =~a2 =(
ax
ay
)·(
ax
ay
)= a2
x +a2y = |~a|2
Michele prof. Perini Matematica 50 / 212
![Page 84: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/84.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare
Prodotto scalare e perpendicolarità
~a~b
~c =~b −~a
Per il teorema di Pitagorasi ha:
~a2 +~b2 =(~b −~a
)2
~a2 +~b2 =~a2 +~b2 −2~a ·~b~a ·~b = 0
~a ⊥~b ↔~a ·~b = 0
Michele prof. Perini Matematica 51 / 212
![Page 85: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/85.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare
Prodotto scalare e perpendicolarità
~a~b
~c =~b −~a
Per il teorema di Pitagorasi ha:
~a2 +~b2 =(~b −~a
)2
~a2 +~b2 =~a2 +~b2 −2~a ·~b~a ·~b = 0
~a ⊥~b ↔~a ·~b = 0
Michele prof. Perini Matematica 51 / 212
![Page 86: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/86.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare
Prodotto scalare e perpendicolarità
~a~b
~c =~b −~a
Per il teorema di Pitagorasi ha:
~a2 +~b2 =(~b −~a
)2
~a2 +~b2 =~a2 +~b2 −2~a ·~b~a ·~b = 0
~a ⊥~b ↔~a ·~b = 0
Michele prof. Perini Matematica 51 / 212
![Page 87: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/87.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare
Prodotto scalare e perpendicolarità
~a~b
~c =~b −~a
Per il teorema di Pitagorasi ha:
~a2 +~b2 =(~b −~a
)2
~a2 +~b2 =~a2 +~b2 −2~a ·~b~a ·~b = 0
~a ⊥~b ↔~a ·~b = 0
Michele prof. Perini Matematica 51 / 212
![Page 88: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/88.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Rette
Retta parallela al vettore ~v e passante per ilpunto P (xP , yP )(
xy
)= k~v +
(xP
yP
)Due rette, nel piano, definite rispettivamente daivettori ~v e ~w sono parallele se e solo se ~v ∥ ~w , sonoperpendicolari se e solo se ~v ⊥ ~w .
Michele prof. Perini Matematica 52 / 212
![Page 89: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/89.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Rette
Retta passante per il punto A(xA, y A) eB(xB , yB ) (
xy
)= k
(xA −xB
y A − yB
)+
(xA
y A
)
Michele prof. Perini Matematica 53 / 212
![Page 90: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/90.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Rette
Equazione cartesiana retta passante perP (xP , yP ) e perpendicolare al vettore
~n =(
ab
)(
x −xP
y − yP
)·(
ab
)= 0 → a (x −xP )+b
(y − yP
)= 0
Michele prof. Perini Matematica 54 / 212
![Page 91: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/91.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Determinanti
Ricordiamo la definizione di determinante diuna matrice 2×2
det
(a bc d
)=
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣= ad −bc
Michele prof. Perini Matematica 55 / 212
![Page 92: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/92.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Determinanti
Determinanti e aree dei parallelogrammi
x
y
~a
~b
ax bx
ay
by
S = | (ax +bx)(ay +by
)+−2bx ay −ax ay −bxby | =
= ∣∣axby −ay bx
∣∣==
∣∣∣∣det
(ax bx
ay by
)∣∣∣∣
Michele prof. Perini Matematica 56 / 212
![Page 93: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/93.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Determinanti
Determinanti e aree dei parallelogrammi
x
y
~a
~b
ax bx
ay
by
S = | (ax +bx)(ay +by
)+−2bx ay −ax ay −bxby | =
= ∣∣axby −ay bx
∣∣==
∣∣∣∣det
(ax bx
ay by
)∣∣∣∣
Michele prof. Perini Matematica 56 / 212
![Page 94: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/94.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Determinanti
Determinanti e aree dei parallelogrammi
x
y
~a
~b
ax bx
ay
by
S = | (ax +bx)(ay +by
)+−2bx ay −ax ay −bxby | =
= ∣∣axby −ay bx
∣∣==
∣∣∣∣det
(ax bx
ay by
)∣∣∣∣
Michele prof. Perini Matematica 56 / 212
![Page 95: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/95.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Determinanti
Determinanti e aree dei parallelogrammi
x
y
~a
~b
ax bx
ay
by
S = | (ax +bx)(ay +by
)+−2bx ay −ax ay −bxby | =
= ∣∣axby −ay bx
∣∣==
∣∣∣∣det
(ax bx
ay by
)∣∣∣∣Michele prof. Perini Matematica 56 / 212
![Page 96: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/96.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Determinanti
Determinanti e vettori paralleli:
~v ∥ ~w →~v = k~w
det(~v ~w
)= det
(vx wx
vy wy
)=
= det
(kwx wx
kwy wy
)= kwx wy −kwx wy = 0
In conclusione:
~v ∥ ~w ↔ det(~v ~w
)= 0
Michele prof. Perini Matematica 57 / 212
![Page 97: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/97.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Distanza punto-retta
Distanza tra retta r e punto P
x
y
~a
~b r
P
H
PH =∣∣det
(~a ~b
)∣∣|~a|
Michele prof. Perini Matematica 58 / 212
![Page 98: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/98.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Distanza punto-retta
Distanza tra retta r e punto P
x
y
~a
~b r
P
H
PH =∣∣det
(~a ~b
)∣∣|~a|
Michele prof. Perini Matematica 58 / 212
![Page 99: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/99.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Distanza punto-retta
Distanza tra retta r e punto P
x
y
~a
~b r
P
H
PH =∣∣det
(~a ~b
)∣∣|~a|
Michele prof. Perini Matematica 58 / 212
![Page 100: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/100.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Fasci di rette
I fasci di rette sono famiglie di rette ognuna dellequali si ottiene per un certo k ∈R.
fascio di rette passanti per P (xP , yP ):y − yP = k(x −xP )
fascio di rette parallele y = mx +k
fascio generato da due rette generatrici:(ax +by + c)+k(a′x +b′y + c ′) = 0
Michele prof. Perini Matematica 59 / 212
![Page 101: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/101.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Fasci di rette
I fasci di rette sono famiglie di rette ognuna dellequali si ottiene per un certo k ∈R.
fascio di rette passanti per P (xP , yP ):y − yP = k(x −xP )
fascio di rette parallele y = mx +k
fascio generato da due rette generatrici:(ax +by + c)+k(a′x +b′y + c ′) = 0
Michele prof. Perini Matematica 59 / 212
![Page 102: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/102.jpg)
Vettori 2D e piano cartesiano Fasci di rette
I fasci di rette sono famiglie di rette ognuna dellequali si ottiene per un certo k ∈R.
fascio di rette passanti per P (xP , yP ):y − yP = k(x −xP )
fascio di rette parallele y = mx +k
fascio generato da due rette generatrici:(ax +by + c)+k(a′x +b′y + c ′) = 0
Michele prof. Perini Matematica 59 / 212
![Page 103: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/103.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari
AffinitàUna affinità è una trasformazione lineare biunivocadi punti del piano in altri punti del piano. Unaaffinità A :R2 →R2 che trasforma punti dicoordinate (x, y) in punti di coordinate (x ′, y ′) puòessere descritta dal sistema di equazioni:
A :
{x ′ = ax +by +hy ′ = cx +d y + s
con ad −bc 6= 0 affinché la trasformazione siainvertibile. Per ora limiteremo lo studio di questetrasformazioni ad alcuni casi particolari.
Michele prof. Perini Matematica 60 / 212
![Page 104: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/104.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari
Affinità e matriciIn termini matriciali una affinità A :R2 →R2 può essere scrittacome:
A :
(x ′
y ′
)=
(a bc d
)(xy
)+
(hs
)o anche:
A :
(x ′
y ′
)= L
(xy
)+~T
con L =(
a bc d
)una trasformazione lineare (invertibile con
det (L) = ad −bc 6= 0) e ~T =(
hs
)un vettore di traslazione.
Michele prof. Perini Matematica 61 / 212
![Page 105: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/105.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriacentrale
x
y
•P (x, y)
•C (x0, y0)
•P ′(x ′, y ′)
Una simmetria centrale dicentro C (x0, y0) trasformaun punto P (x, y) in unoP ′(x ′, y ′) in modo tale cheC sia punto medio di PP ′.Si ha quindi:{
x0 = x+x′2
y0 = y+y ′2
{x ′ =−x +2x0
y ′ =−y +2y0↔
(x ′
y ′
)=
( −1 00 −1
)(xy
)+
(2x0
2y0
)Michele prof. Perini Matematica 62 / 212
![Page 106: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/106.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriacentrale
x
y
•P (x, y)
•C (x0, y0)
•P ′(x ′, y ′)
Una simmetria centrale dicentro C (x0, y0) trasformaun punto P (x, y) in unoP ′(x ′, y ′) in modo tale cheC sia punto medio di PP ′.Si ha quindi:{
x0 = x+x′2
y0 = y+y ′2
{x ′ =−x +2x0
y ′ =−y +2y0↔
(x ′
y ′
)=
( −1 00 −1
)(xy
)+
(2x0
2y0
)Michele prof. Perini Matematica 62 / 212
![Page 107: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/107.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriacentrale
x
y
•P (x, y)
•C (x0, y0)
•P ′(x ′, y ′)
Una simmetria centrale dicentro C (x0, y0) trasformaun punto P (x, y) in unoP ′(x ′, y ′) in modo tale cheC sia punto medio di PP ′.Si ha quindi:{
x0 = x+x′2
y0 = y+y ′2{
x ′ =−x +2x0
y ′ =−y +2y0↔
(x ′
y ′
)=
( −1 00 −1
)(xy
)+
(2x0
2y0
)Michele prof. Perini Matematica 62 / 212
![Page 108: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/108.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriaassiale
x
y
•P (x, y)
•H
•P ′(x ′, y ′)
Una simmetria assialerispetto alla rettas : ax +by + c = 0trasforma un puntoP (x, y) in uno P ′(x ′, y ′) inmodo tale che PP ′ ⊥ s esia PH = P ′H . In terminidi equazioni:{ ∣∣ax+by+c
∣∣p
a2+b2=
∣∣ax′+by ′+c∣∣
pa2+b2
ba = y−y ′
x−x′
Michele prof. Perini Matematica 63 / 212
![Page 109: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/109.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriaassiale
x
y
•P (x, y)
•H
•P ′(x ′, y ′)
Una simmetria assialerispetto alla rettas : ax +by + c = 0trasforma un puntoP (x, y) in uno P ′(x ′, y ′) inmodo tale che PP ′ ⊥ s esia PH = P ′H . In terminidi equazioni:{ ∣∣ax+by+c
∣∣p
a2+b2=
∣∣ax′+by ′+c∣∣
pa2+b2
ba = y−y ′
x−x′
Michele prof. Perini Matematica 63 / 212
![Page 110: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/110.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriaassiale
x
y
•P (x, y)
•H
•P ′(x ′, y ′)
Una simmetria assialerispetto alla rettas : ax +by + c = 0trasforma un puntoP (x, y) in uno P ′(x ′, y ′) inmodo tale che PP ′ ⊥ s esia PH = P ′H . In terminidi equazioni:{ ∣∣ax+by+c
∣∣p
a2+b2=
∣∣ax′+by ′+c∣∣
pa2+b2
ba = y−y ′
x−x′
Michele prof. Perini Matematica 63 / 212
![Page 111: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/111.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriaassiale
Una trasformazione di simmetria assiale ha quindiequazione:{
x ′ = b2−a2
a2+b2 x − 2aba2+b2 y − 2ac
a2+b2
y ′ =− 2aba2+b2 x + a2−b2
a2+b2 y − 2bca2+b2
o anche (in termini matriciali):(x ′
y ′
)= 1
a2 +b2
(b2 −a2 −2ab−2ab a2 −b2
)(xy
)− 2c
a2 +b2
(ab
)
Michele prof. Perini Matematica 64 / 212
![Page 112: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/112.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriaassiale
In particolare una simmetria rispetto a y = y0 (cona = 0,b = 1,c =−y0) ha equazione:{
x ′ = xy ′ =−y +2y0
o anche (in termini matriciali):(x ′
y ′
)=
(1 00 −1
)(xy
)+
(0
2y0
)
Michele prof. Perini Matematica 65 / 212
![Page 113: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/113.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriaassiale
In particolare una simmetria rispetto a x = x0 (cona = 1,b = 0,c =−x0) ha equazione:{
x ′ =−x +2x0
y ′ = y
o anche (in termini matriciali):(x ′
y ′
)=
( −1 00 1
)(xy
)+
(2x0
0
)
Michele prof. Perini Matematica 66 / 212
![Page 114: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/114.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriaassiale
In particolare una simmetria rispetto a y = x (cona =−1,b = 1,c = 0) ha equazione:{
x ′ = yy ′ = x
o anche (in termini matriciali):(x ′
y ′
)=
(0 11 0
)(xy
)
Michele prof. Perini Matematica 67 / 212
![Page 115: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/115.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriaassiale
In particolare una simmetria rispetto a y =−x (cona = 1,b = 1,c = 0) ha equazione:{
x ′ =−yy ′ =−x
o anche (in termini matriciali):(x ′
y ′
)=
(0 −1−1 0
)(xy
)
Michele prof. Perini Matematica 68 / 212
![Page 116: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/116.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Traslazione
Traslazione: ~T =(
hs
), •→•
x
y
•
• x
y
Michele prof. Perini Matematica 69 / 212
![Page 117: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/117.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Traslazione
Traslazione: ~T =(
hs
), •→•
x
y
•
• x
y
Michele prof. Perini Matematica 69 / 212
![Page 118: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/118.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Traslazione
Traslazione: ~T =(
hs
), •→•
x
y
•
•
x
y
Michele prof. Perini Matematica 69 / 212
![Page 119: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/119.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Traslazione
Traslazione: ~T =(
hs
), •→•
x
y
•
• x
y
Michele prof. Perini Matematica 69 / 212
![Page 120: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/120.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Traslazione
Equazione di una traslazione:{x ′ = x +hy ′ = y + s
o anche (in termini matriciali):(x ′
y ′
)=
(1 00 1
)(xy
)+
(hs
)
Michele prof. Perini Matematica 70 / 212
![Page 121: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/121.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Dilatazioni
Una dilatazione di centro l’origine ha equazione:{x ′ = axy ′ = by
o anche (in termini matriciali):(x ′
y ′
)=
(a 00 b
)(xy
)
Michele prof. Perini Matematica 71 / 212
![Page 122: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/122.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Omotetie
Una omotetia di centro l’origine ha equazione:{x ′ = kxy ′ = k y
o anche (in termini matriciali):(x ′
y ′
)=
(k 00 k
)(xy
)
Michele prof. Perini Matematica 72 / 212
![Page 123: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/123.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Grafici
Grafico di y = f (x) e di y =− f (x)
x
y
Michele prof. Perini Matematica 73 / 212
![Page 124: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/124.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Grafici
Grafico di y = f (x) e di y = f (−x)
x
y
Michele prof. Perini Matematica 74 / 212
![Page 125: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/125.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Grafici
Grafico di y = f (x) e di y = ∣∣ f (x)∣∣
x
y
Michele prof. Perini Matematica 75 / 212
![Page 126: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/126.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Grafici
Grafico di y = f (x) e di y = f (|x|)
x
y
Michele prof. Perini Matematica 76 / 212
![Page 127: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/127.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Grafici
Grafico di y = f (x) e di y = f (x +a)
x
y
Michele prof. Perini Matematica 77 / 212
![Page 128: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/128.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Grafici
Grafico di y = f (x) e di y = f (x)+b
x
y
Michele prof. Perini Matematica 78 / 212
![Page 129: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/129.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Grafici
Grafico di y = f (x) e di y = k f (x)
x
y
Michele prof. Perini Matematica 79 / 212
![Page 130: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/130.jpg)
Introduzione alle trasformazioni lineari Grafici
Grafico di y = f (x) e di y = f (kx)
x
y
Michele prof. Perini Matematica 80 / 212
![Page 131: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/131.jpg)
Goniometria Angoli
Angolo e sua unità di misuraUn angolo per la geometria razionale è la porzionedi piano compresa tra due semirette. Questadefinizione di angolo non è pienamentesoddisfacente in quanto definire la misura diporzioni di piano non è semplice. Si ridefinisceperciò un angolo come rapporto tra arco e raggio.
γ
A
B
A′
B ′
rr ′
γ=ÙAB
r=
ÚA′B ′
r ′
Michele prof. Perini Matematica 81 / 212
![Page 132: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/132.jpg)
Goniometria Angoli
Angolo e sua unità di misuraUn angolo per la geometria razionale è la porzionedi piano compresa tra due semirette. Questadefinizione di angolo non è pienamentesoddisfacente in quanto definire la misura diporzioni di piano non è semplice. Si ridefinisceperciò un angolo come rapporto tra arco e raggio.
γ
A
B
A′
B ′
rr ′
γ=ÙAB
r=
ÚA′B ′
r ′
Michele prof. Perini Matematica 81 / 212
![Page 133: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/133.jpg)
Goniometria Angoli
Angolo e sua unità di misuraUn angolo per la geometria razionale è la porzionedi piano compresa tra due semirette. Questadefinizione di angolo non è pienamentesoddisfacente in quanto definire la misura diporzioni di piano non è semplice. Si ridefinisceperciò un angolo come rapporto tra arco e raggio.
γ
A
B
A′
B ′
rr ′
γ=ÙAB
r=
ÚA′B ′
r ′
Michele prof. Perini Matematica 81 / 212
![Page 134: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/134.jpg)
Goniometria Angoli
Angolo e sua unità di misuraUn angolo per la geometria razionale è la porzionedi piano compresa tra due semirette. Questadefinizione di angolo non è pienamentesoddisfacente in quanto definire la misura diporzioni di piano non è semplice. Si ridefinisceperciò un angolo come rapporto tra arco e raggio.
γ
A
B
A′
B ′
rr ′
γ=ÙAB
r=
ÚA′B ′
r ′
Michele prof. Perini Matematica 81 / 212
![Page 135: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/135.jpg)
Goniometria Angoli
Angolo e sua unitá di misura
L’unità di misura degliangoli è il radiante.Angolo giro:γ= 2πAngolo piatto:γ=πAngolo retto:γ= π
2
Michele prof. Perini Matematica 82 / 212
![Page 136: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/136.jpg)
Goniometria Angoli
Angolo e sua unitá di misura
L’unità di misura degliangoli è il radiante.Angolo giro:γ= 2πAngolo piatto:γ=πAngolo retto:γ= π
2
Michele prof. Perini Matematica 82 / 212
![Page 137: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/137.jpg)
Goniometria Angoli
Angolo e sua unitá di misura
L’unità di misura degliangoli è il radiante.Angolo giro:γ= 2πAngolo piatto:γ=πAngolo retto:γ= π
2
Michele prof. Perini Matematica 82 / 212
![Page 138: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/138.jpg)
Goniometria Angoli
Angolo e sua unitá di misuraL’unità di misura degliangoli è il radiante.Angolo giro:γ= 2πAngolo piatto:γ=πAngolo retto:γ= π
2
Michele prof. Perini Matematica 82 / 212
![Page 139: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/139.jpg)
Goniometria Funzioni goniometriche
Definizione di seno, coseno e tangente di un angolo:
cos(γ)= xP
r
sin(γ)= yP
r
tan(γ)= yP
xP= sin
(γ)
cos(γ)
Relazione goniometricafondamentale:
cos2 (γ)+sin2 (
γ)= 1
Michele prof. Perini Matematica 83 / 212
![Page 140: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/140.jpg)
Goniometria Funzioni goniometriche
Definizione di seno, coseno e tangente di un angolo:
cos(γ)= xP
r
sin(γ)= yP
r
tan(γ)= yP
xP= sin
(γ)
cos(γ)
Relazione goniometricafondamentale:
cos2 (γ)+sin2 (
γ)= 1
Michele prof. Perini Matematica 83 / 212
![Page 141: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/141.jpg)
Goniometria Funzioni goniometriche
Definizione di seno, coseno e tangente di un angolo:
cos(γ)= xP
r
sin(γ)= yP
r
tan(γ)= yP
xP= sin
(γ)
cos(γ)
Relazione goniometricafondamentale:
cos2 (γ)+sin2 (
γ)= 1
Michele prof. Perini Matematica 83 / 212
![Page 142: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/142.jpg)
Goniometria Funzioni goniometriche
Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π
6
−1 −0.5 0.5 1
−1
−0.5
0.5
1
cos(π
6
)=p
3
2
sin(π
6
)= 1
2
tan(π
6
)= sin
(π6
)cos
(π6
) = p3
3
Michele prof. Perini Matematica 84 / 212
![Page 143: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/143.jpg)
Goniometria Funzioni goniometriche
Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π
6
−1 −0.5 0.5 1
−1
−0.5
0.5
1
cos(π
6
)=p
3
2
sin(π
6
)= 1
2
tan(π
6
)= sin
(π6
)cos
(π6
) = p3
3
Michele prof. Perini Matematica 84 / 212
![Page 144: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/144.jpg)
Goniometria Funzioni goniometriche
Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π
6
−1 −0.5 0.5 1
−1
−0.5
0.5
1
cos(π
6
)=p
3
2
sin(π
6
)= 1
2
tan(π
6
)= sin
(π6
)cos
(π6
) = p3
3
Michele prof. Perini Matematica 84 / 212
![Page 145: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/145.jpg)
Goniometria Funzioni goniometriche
Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π
4
−1 −0.5 0.5 1
−1
−0.5
0.5
1
cos(π
4
)=p
2
2
sin(π
4
)=p
2
2
tan(π
4
)= sin
(π4
)cos
(π4
) = 1
Michele prof. Perini Matematica 85 / 212
![Page 146: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/146.jpg)
Goniometria Funzioni goniometriche
Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π
4
−1 −0.5 0.5 1
−1
−0.5
0.5
1
cos(π
4
)=p
2
2
sin(π
4
)=p
2
2
tan(π
4
)= sin
(π4
)cos
(π4
) = 1
Michele prof. Perini Matematica 85 / 212
![Page 147: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/147.jpg)
Goniometria Funzioni goniometriche
Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π
4
−1 −0.5 0.5 1
−1
−0.5
0.5
1
cos(π
4
)=p
2
2
sin(π
4
)=p
2
2
tan(π
4
)= sin
(π4
)cos
(π4
) = 1
Michele prof. Perini Matematica 85 / 212
![Page 148: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/148.jpg)
Goniometria Funzioni goniometriche
Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π
3
−1 −0.5 0.5 1
−1
−0.5
0.5
1
cos(π
3
)= 1
2
sin(π
3
)=p
3
2
tan(π
3
)= sin
(π3
)cos
(π3
) =p3
Michele prof. Perini Matematica 86 / 212
![Page 149: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/149.jpg)
Goniometria Funzioni goniometriche
Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π
3
−1 −0.5 0.5 1
−1
−0.5
0.5
1
cos(π
3
)= 1
2
sin(π
3
)=p
3
2
tan(π
3
)= sin
(π3
)cos
(π3
) =p3
Michele prof. Perini Matematica 86 / 212
![Page 150: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/150.jpg)
Goniometria Funzioni goniometriche
Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π
3
−1 −0.5 0.5 1
−1
−0.5
0.5
1
cos(π
3
)= 1
2
sin(π
3
)=p
3
2
tan(π
3
)= sin
(π3
)cos
(π3
) =p3
Michele prof. Perini Matematica 86 / 212
![Page 151: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/151.jpg)
Goniometria Angoli associati
α
α+ π2
1
cos(α+ π
2
)=−sin(α)
sin(α+ π
2
)= cos(α)
Michele prof. Perini Matematica 87 / 212
![Page 152: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/152.jpg)
Goniometria Angoli associati
α
α+ π2
1
cos(α+ π
2
)=−sin(α)
sin(α+ π
2
)= cos(α)
Michele prof. Perini Matematica 87 / 212
![Page 153: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/153.jpg)
Goniometria Angoli associati
α
α+ π2
1
cos(α+ π
2
)=−sin(α)
sin(α+ π
2
)= cos(α)
Michele prof. Perini Matematica 87 / 212
![Page 154: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/154.jpg)
Goniometria Angoli associati
απ−α
π+α −α1
cos(−α) = cos(α)
sin(−α) =−sin(α)
cos(π−α) =−cos(α)
sin(π−α) = sin(α)
cos(π+α) =−cos(α)
sin(π+α) =−sin(α)
Michele prof. Perini Matematica 88 / 212
![Page 155: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/155.jpg)
Goniometria Angoli associati
απ−α
π+α −α1
cos(−α) = cos(α)
sin(−α) =−sin(α)
cos(π−α) =−cos(α)
sin(π−α) = sin(α)
cos(π+α) =−cos(α)
sin(π+α) =−sin(α)
Michele prof. Perini Matematica 88 / 212
![Page 156: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/156.jpg)
Goniometria Angoli associati
απ−α
π+α −α1
cos(−α) = cos(α)
sin(−α) =−sin(α)
cos(π−α) =−cos(α)
sin(π−α) = sin(α)
cos(π+α) =−cos(α)
sin(π+α) =−sin(α)
Michele prof. Perini Matematica 88 / 212
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Goniometria Triangoli rettangoli
Relazioni lato-angolo in un triangolo rettangolo:
a
b
c
α
β
a = c · sinα= c ·cosβ
b = c · sinβ= c ·cosα
c = a
sinα= a
cosβ= b
sinβ= b
cosα
tanα= a
b
tanβ= b
a
Michele prof. Perini Matematica 89 / 212
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Goniometria Triangoli rettangoli
Relazioni lato-angolo in un triangolo rettangolo:
a
b
c
α
β
a = c · sinα= c ·cosβ
b = c · sinβ= c ·cosα
c = a
sinα= a
cosβ= b
sinβ= b
cosα
tanα= a
b
tanβ= b
a
Michele prof. Perini Matematica 89 / 212
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Goniometria Triangoli rettangoli
Relazioni lato-angolo in un triangolo rettangolo:
a
b
c
α
β
a = c · sinα= c ·cosβ
b = c · sinβ= c ·cosα
c = a
sinα= a
cosβ= b
sinβ= b
cosα
tanα= a
b
tanβ= b
a
Michele prof. Perini Matematica 89 / 212
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Goniometria Grafici funzioni goniometriche
Funzione coseno, cos(x) :R→ [−1,1]
−π −π2
π2
π 3π2
2π−1
1x
y
cos(x) = cos(x +2kπ), k ∈Z
cos(−x) = cos(x)
Michele prof. Perini Matematica 90 / 212
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Goniometria Grafici funzioni goniometriche
Funzione seno, sin(x) :R→ [−1,1]
−π −π2
π2
π 3π2
2π−1
1x
y
sin(x) = sin(x +2kπ), k ∈Z
sin(−x) =−sin(x)
Michele prof. Perini Matematica 91 / 212
![Page 162: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/162.jpg)
Goniometria Grafici funzioni goniometriche
Funzione tangente, tan(x) :R−{π2 +kπ
}→R
−3π2
−π −π2
π2
π 3π2
−2
2
x
y
tan(x) = tan(x +kπ), k ∈Ztan(−x) =− tan(x)
Michele prof. Perini Matematica 92 / 212
![Page 163: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/163.jpg)
Goniometria Funzioni periodiche
Funzioni periodicheUna funzione si dice periodica se per essa valef (x) = f (x +T ) ∀x del suo dominio e per un certoT > 0. Il minimo valore di T per cui è verificata larelazione precedente si dice periodo.
Seno e coseno sono periodiche di periodo 2π,tangente è periodica di periodo π.
Michele prof. Perini Matematica 93 / 212
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Goniometria Funzioni goniometriche inverse
Funzione coseno, cos(x) : [0,π] → [−1,1]Funzione arcocoseno, arccos(x) : [−1,1] → [0,π]
−π −π2
1−1 π2
π 3π2−1
1
π2
π
x
y
Michele prof. Perini Matematica 94 / 212
![Page 165: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/165.jpg)
Goniometria Funzioni goniometriche inverse
Funzione seno, sin(x) :[−π
2 , π2]→ [−1,1]
Funzione arcoseno, arcsin(x) : [−1,1] → [−π2 , π2
]
−π −π2
1−1 π2
π
−π2
−1
1
π2
x
y
Michele prof. Perini Matematica 95 / 212
![Page 166: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/166.jpg)
Goniometria Funzioni goniometriche inverse
Funzione tangente, tan(x) :]−π
2 , π2[→R
Funzione arcotangente, arctan(x) :R→ ]−π2 , π2
[
−π2
π2−π
2
π2
x
y
Michele prof. Perini Matematica 96 / 212
![Page 167: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/167.jpg)
Goniometria Funzioni goniometriche inverse
Per le funzioni goniometriche e le loro inversevalgono le relazioni1:
cos(arccos(x)) = arccos(cos(x)) = x
sin(arcsin(x)) = arcsin(sin(x)) = x
tan(arctan(x)) = arctan(tan(x)) = x
con x appartenente al dominio della funzionegoniometrica o della sua inversa o di entrambe aseconda dell’insieme di esistenza delle scritture.1che sono particolari applicazioni della caratteristica generale delle
funzioni inverse: f ( f −1(x)) = f −1( f (x)) = xMichele prof. Perini Matematica 97 / 212
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Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) = h
h
x
1
−arccos(h)
arccos(h)
se −1 < h < 1,x = arccos(h)+2kπ∨x =−arccos(h)+2kπ
se h = 1, x = 2kπ
se h =−1,x =π+2kπ
se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 98 / 212
![Page 169: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/169.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) = h
h
x
1
−arccos(h)
arccos(h)
se −1 < h < 1,x = arccos(h)+2kπ∨x =−arccos(h)+2kπ
se h = 1, x = 2kπ
se h =−1,x =π+2kπ
se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 98 / 212
![Page 170: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/170.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) = h
h
x
1
−arccos(h)
arccos(h)
se −1 < h < 1,x = arccos(h)+2kπ∨x =−arccos(h)+2kπ
se h = 1, x = 2kπ
se h =−1,x =π+2kπ
se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 98 / 212
![Page 171: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/171.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) = h
h
x
1
−arccos(h)
arccos(h)
se −1 < h < 1,x = arccos(h)+2kπ∨x =−arccos(h)+2kπ
se h = 1, x = 2kπ
se h =−1,x =π+2kπ
se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 98 / 212
![Page 172: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/172.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) = h
h
x
1
−arccos(h)
arccos(h)
se −1 < h < 1,x = arccos(h)+2kπ∨x =−arccos(h)+2kπ
se h = 1, x = 2kπ
se h =−1,x =π+2kπ
se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 98 / 212
![Page 173: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/173.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) = h
h
x
1
−arccos(h)
arccos(h)
se −1 < h < 1,x = arccos(h)+2kπ∨x =−arccos(h)+2kπ
se h = 1, x = 2kπ
se h =−1,x =π+2kπ
se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 98 / 212
![Page 174: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/174.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) = h
h
x
1
−arccos(h)
arccos(h)
se −1 < h < 1,x = arccos(h)+2kπ∨x =−arccos(h)+2kπ
se h = 1, x = 2kπ
se h =−1,x =π+2kπ
se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 98 / 212
![Page 175: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/175.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) > h
h
−arccos(h)
arccos(h)
x
1
se −1 < h < 1,−arccos(h)+2kπ<x < arccos(h)+2kπ
se h =−1,x 6=π+2kπ
se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 99 / 212
![Page 176: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/176.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) > h
h
−arccos(h)
arccos(h)
x
1
se −1 < h < 1,−arccos(h)+2kπ<x < arccos(h)+2kπ
se h =−1,x 6=π+2kπ
se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 99 / 212
![Page 177: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/177.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) > h
h
−arccos(h)
arccos(h)
x
1
se −1 < h < 1,−arccos(h)+2kπ<x < arccos(h)+2kπ
se h =−1,x 6=π+2kπ
se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 99 / 212
![Page 178: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/178.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) > h
h
−arccos(h)
arccos(h)
x
1
se −1 < h < 1,−arccos(h)+2kπ<x < arccos(h)+2kπ
se h =−1,x 6=π+2kπ
se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 99 / 212
![Page 179: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/179.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) > h
h
−arccos(h)
arccos(h)
x
1
se −1 < h < 1,−arccos(h)+2kπ<x < arccos(h)+2kπ
se h =−1,x 6=π+2kπ
se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 99 / 212
![Page 180: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/180.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) > h
h
−arccos(h)
arccos(h)
x
1
se −1 < h < 1,−arccos(h)+2kπ<x < arccos(h)+2kπ
se h =−1,x 6=π+2kπ
se h ≥ 1, 6 ∃x ∈R
se h <−1, ∀x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 99 / 212
![Page 181: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/181.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) > h
h
−arccos(h)
arccos(h)
x
1
se −1 < h < 1,−arccos(h)+2kπ<x < arccos(h)+2kπ
se h =−1,x 6=π+2kπ
se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 99 / 212
![Page 182: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/182.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) < h
h
2π−arccos(h)
arccos(h)
x
1
se −1 < h < 1,arccos(h)+2kπ< x <2π−arccos(h)+2kπ
se h = 1, x 6= 2kπ
se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 100 / 212
![Page 183: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/183.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) < h
h
2π−arccos(h)
arccos(h)
x
1
se −1 < h < 1,arccos(h)+2kπ< x <2π−arccos(h)+2kπ
se h = 1, x 6= 2kπ
se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 100 / 212
![Page 184: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/184.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) < h
h
2π−arccos(h)
arccos(h)
x
1
se −1 < h < 1,arccos(h)+2kπ< x <2π−arccos(h)+2kπ
se h = 1, x 6= 2kπ
se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 100 / 212
![Page 185: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/185.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) < h
h
2π−arccos(h)
arccos(h)
x
1
se −1 < h < 1,arccos(h)+2kπ< x <2π−arccos(h)+2kπ
se h = 1, x 6= 2kπ
se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 100 / 212
![Page 186: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/186.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) < h
h
2π−arccos(h)
arccos(h)
x
1
se −1 < h < 1,arccos(h)+2kπ< x <2π−arccos(h)+2kπ
se h = 1, x 6= 2kπ
se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 100 / 212
![Page 187: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/187.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) < h
h
2π−arccos(h)
arccos(h)
x
1
se −1 < h < 1,arccos(h)+2kπ< x <2π−arccos(h)+2kπ
se h = 1, x 6= 2kπ
se h > 1, ∀x ∈R
se h ≤−1, 6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 100 / 212
![Page 188: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/188.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
cos(x) < h
h
2π−arccos(h)
arccos(h)
x
1
se −1 < h < 1,arccos(h)+2kπ< x <2π−arccos(h)+2kπ
se h = 1, x 6= 2kπ
se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 100 / 212
![Page 189: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/189.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) = h
harcsin(h)π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1,x = arcsin(h)+2kπ∨ x =π−arcsin(h)+2kπ
se h = 1, x = π2 +2kπ
se h =−1,x =−π
2 +2kπ
se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 101 / 212
![Page 190: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/190.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) = h
harcsin(h)π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1,x = arcsin(h)+2kπ∨ x =π−arcsin(h)+2kπ
se h = 1, x = π2 +2kπ
se h =−1,x =−π
2 +2kπ
se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 101 / 212
![Page 191: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/191.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) = h
harcsin(h)π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1,x = arcsin(h)+2kπ∨ x =π−arcsin(h)+2kπ
se h = 1, x = π2 +2kπ
se h =−1,x =−π
2 +2kπ
se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 101 / 212
![Page 192: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/192.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) = h
harcsin(h)π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1,x = arcsin(h)+2kπ∨ x =π−arcsin(h)+2kπ
se h = 1, x = π2 +2kπ
se h =−1,x =−π
2 +2kπ
se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 101 / 212
![Page 193: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/193.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) = h
harcsin(h)π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1,x = arcsin(h)+2kπ∨ x =π−arcsin(h)+2kπ
se h = 1, x = π2 +2kπ
se h =−1,x =−π
2 +2kπ
se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 101 / 212
![Page 194: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/194.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) = h
harcsin(h)π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1,x = arcsin(h)+2kπ∨ x =π−arcsin(h)+2kπ
se h = 1, x = π2 +2kπ
se h =−1,x =−π
2 +2kπ
se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 101 / 212
![Page 195: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/195.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) = h
harcsin(h)π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1,x = arcsin(h)+2kπ∨ x =π−arcsin(h)+2kπ
se h = 1, x = π2 +2kπ
se h =−1,x =−π
2 +2kπ
se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 101 / 212
![Page 196: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/196.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) > h
harcsin(h)π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1,arcsin(h)+2kπ< x <π−arcsin(h)+2kπ
se h =−1,x 6= −π
2 +2kπ
se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 102 / 212
![Page 197: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/197.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) > h
harcsin(h)π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1,arcsin(h)+2kπ< x <π−arcsin(h)+2kπ
se h =−1,x 6= −π
2 +2kπ
se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 102 / 212
![Page 198: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/198.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) > h
harcsin(h)π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1,arcsin(h)+2kπ< x <π−arcsin(h)+2kπ
se h =−1,x 6= −π
2 +2kπ
se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 102 / 212
![Page 199: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/199.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) > h
harcsin(h)π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1,arcsin(h)+2kπ< x <π−arcsin(h)+2kπ
se h =−1,x 6= −π
2 +2kπ
se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 102 / 212
![Page 200: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/200.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) > h
harcsin(h)π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1,arcsin(h)+2kπ< x <π−arcsin(h)+2kπ
se h =−1,x 6= −π
2 +2kπ
se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 102 / 212
![Page 201: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/201.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) > h
harcsin(h)π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1,arcsin(h)+2kπ< x <π−arcsin(h)+2kπ
se h =−1,x 6= −π
2 +2kπ
se h ≥ 1, 6 ∃x ∈R
se h <−1, ∀x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 102 / 212
![Page 202: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/202.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) > h
harcsin(h)π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1,arcsin(h)+2kπ< x <π−arcsin(h)+2kπ
se h =−1,x 6= −π
2 +2kπ
se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 102 / 212
![Page 203: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/203.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) < h
harcsin(h)−π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1, −π−arcsin(h)+2kπ<x < arcsin(h)+2kπ
se h = 1, x 6= π2 +2kπ
se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 103 / 212
![Page 204: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/204.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) < h
harcsin(h)−π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1, −π−arcsin(h)+2kπ<x < arcsin(h)+2kπ
se h = 1, x 6= π2 +2kπ
se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 103 / 212
![Page 205: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/205.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) < h
harcsin(h)−π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1, −π−arcsin(h)+2kπ<x < arcsin(h)+2kπ
se h = 1, x 6= π2 +2kπ
se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 103 / 212
![Page 206: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/206.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) < h
harcsin(h)−π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1, −π−arcsin(h)+2kπ<x < arcsin(h)+2kπ
se h = 1, x 6= π2 +2kπ
se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 103 / 212
![Page 207: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/207.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) < h
harcsin(h)−π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1, −π−arcsin(h)+2kπ<x < arcsin(h)+2kπ
se h = 1, x 6= π2 +2kπ
se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 103 / 212
![Page 208: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/208.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) < h
harcsin(h)−π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1, −π−arcsin(h)+2kπ<x < arcsin(h)+2kπ
se h = 1, x 6= π2 +2kπ
se h > 1, ∀x ∈R
se h ≤−1, 6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 103 / 212
![Page 209: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/209.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
sin(x) < h
harcsin(h)−π−arcsin(h)
x
1
se −1 < h < 1, −π−arcsin(h)+2kπ<x < arcsin(h)+2kπ
se h = 1, x 6= π2 +2kπ
se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R
Michele prof. Perini Matematica 103 / 212
![Page 210: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/210.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
tan(x) = h
−π2
arctan(h)π2
h
x
y
x = arctan(h)+kπ
Michele prof. Perini Matematica 104 / 212
![Page 211: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/211.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
tan(x) = h
−π2
arctan(h)π2
h
x
y
x = arctan(h)+kπ
Michele prof. Perini Matematica 104 / 212
![Page 212: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/212.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
tan(x) = h
−π2
arctan(h)π2
h
x
y
x = arctan(h)+kπ
Michele prof. Perini Matematica 104 / 212
![Page 213: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/213.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
tan(x) > h
−π2
arctan(h)π2
h
x
y
arctan(h)+kπ< x < π
2+kπ
Michele prof. Perini Matematica 105 / 212
![Page 214: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/214.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
tan(x) > h
−π2
arctan(h)π2
h
x
y
arctan(h)+kπ< x < π
2+kπ
Michele prof. Perini Matematica 105 / 212
![Page 215: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/215.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
tan(x) > h
−π2
arctan(h)π2
h
x
y
arctan(h)+kπ< x < π
2+kπ
Michele prof. Perini Matematica 105 / 212
![Page 216: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/216.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
tan(x) ≥ h
−π2
arctan(h)π2
h
x
y
arctan(h)+kπ≤ x < π
2+kπ
Michele prof. Perini Matematica 106 / 212
![Page 217: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/217.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
tan(x) ≥ h
−π2
arctan(h)π2
h
x
y
arctan(h)+kπ≤ x < π
2+kπ
Michele prof. Perini Matematica 106 / 212
![Page 218: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/218.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
tan(x) ≥ h
−π2
arctan(h)π2
h
x
y
arctan(h)+kπ≤ x < π
2+kπ
Michele prof. Perini Matematica 106 / 212
![Page 219: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/219.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
tan(x) < h
−π2
arctan(h)π2
h
x
y
−π2+kπ< x < arctan(h)+kπ
Michele prof. Perini Matematica 107 / 212
![Page 220: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/220.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
tan(x) < h
−π2
arctan(h)π2
h
x
y
−π2+kπ< x < arctan(h)+kπ
Michele prof. Perini Matematica 107 / 212
![Page 221: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/221.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
tan(x) < h
−π2
arctan(h)π2
h
x
y
−π2+kπ< x < arctan(h)+kπ
Michele prof. Perini Matematica 107 / 212
![Page 222: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/222.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
tan(x) ≤ h
−π2
arctan(h)π2
h
x
y
−π2+kπ< x ≤ arctan(h)+kπ
Michele prof. Perini Matematica 108 / 212
![Page 223: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/223.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
tan(x) ≤ h
−π2
arctan(h)π2
h
x
y
−π2+kπ< x ≤ arctan(h)+kπ
Michele prof. Perini Matematica 108 / 212
![Page 224: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/224.jpg)
Goniometria Equazioni e disequazioni
tan(x) ≤ h
−π2
arctan(h)π2
h
x
y
−π2+kπ< x ≤ arctan(h)+kπ
Michele prof. Perini Matematica 108 / 212
![Page 225: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/225.jpg)
Goniometria Formule di addizione e sottrazione
BD
C
A
1
Ipotizziamo che sia:
0 <β<α< 2π
A(1,0),B(cos(α−β),sin(α−β)),C (cos(β),sin(β)),D(cos(α),sin(α)).
AB =C D
AB 2 =C D2(1−cos(α−β)
)2 + (−sin(α−β))2 =
= (cos(β)−cos(α)
)2+(sin(β)− sin(α)
)2
Michele prof. Perini Matematica 109 / 212
![Page 226: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/226.jpg)
Goniometria Formule di addizione e sottrazione
BD
C
A
1
Ipotizziamo che sia:
0 <β<α< 2π
A(1,0),B(cos(α−β),sin(α−β)),C (cos(β),sin(β)),D(cos(α),sin(α)).
AB =C D
AB 2 =C D2(1−cos(α−β)
)2 + (−sin(α−β))2 =
= (cos(β)−cos(α)
)2+(sin(β)− sin(α)
)2
Michele prof. Perini Matematica 109 / 212
![Page 227: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/227.jpg)
Goniometria Formule di addizione e sottrazione
BD
C
A
1
Ipotizziamo che sia:
0 <β<α< 2π
A(1,0),B(cos(α−β),sin(α−β)),C (cos(β),sin(β)),D(cos(α),sin(α)).
AB =C D
AB 2 =C D2(1−cos(α−β)
)2 + (−sin(α−β))2 =
= (cos(β)−cos(α)
)2+(sin(β)− sin(α)
)2
Michele prof. Perini Matematica 109 / 212
![Page 228: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/228.jpg)
Goniometria Formule di addizione e sottrazione
(1−cos(α−β)
)2 + (−sin(α−β))2 = (
cos(β)−cos(α))2 + (
sin(β)− sin(α))2
ricordando che cos2(γ)+ sin2(γ) = 1, sviluppiamo eotteniamo:
2−2cos(α−β) = 2−2cos(α)cos(β)−2sin(α)sin(β)
cos(α−β) = cos(α)cos(β)+ sin(α)sin(β)
la relazione ottenuta è valida in generale essendo ilcoseno una funzione pari (cos(α−β) = cos(β−α)) eperiodica di periodo 2π.
Michele prof. Perini Matematica 110 / 212
![Page 229: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/229.jpg)
Goniometria Formule di addizione e sottrazione
La formula di sottrazione del coseno può essereriscritta anche come:
cos(α− (−β)) = cos(α)cos((−β))+ sin(α)sin((−β))
ricordando che il seno è una funzione dispari e ilcoseno è una pari, si ottiene:
cos(α+β) = cos(α)cos(β)− sin(α)sin(β)
che è la formula di addizione del coseno.
Michele prof. Perini Matematica 111 / 212
![Page 230: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/230.jpg)
Goniometria Formule di addizione e sottrazioneSi è già dimostrato (nella sezione dedicata agli angoli associati) checos
(π2 +γ)=−sin
(γ), possiamo quindi scrivere:
sin(α+β)=−cos
(π2+ (α+β))=−cos
((π2+α
)+β
)=−cos
(π2+α
)cos
(β)+ sin
(π2+α
)sin
(β)=
= sin(α)cos(β)+ sin
(π2+α
)sin
(β)=
sempre nella sezione sugli angoli associati si è dimostrato chesin
(π2 +α)= cos(α), in sintesi si ha:
sin(α+β) = sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)
che è la formula di addizione del seno.Michele prof. Perini Matematica 112 / 212
![Page 231: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/231.jpg)
Goniometria Formule di addizione e sottrazione
Ricordando che il seno è una funzione dispari e ilcoseno è una pari, dalla formula di addizione delseno si può ottenere:
sin(α+ (−β)) = sin(α)cos(−β)+cos(α)sin(−β)
da cui in sintesi si ricava la formula di sottrazioneper il seno:
sin(α−β) = sin(α)cos(β)−cos(α)sin(β)
Michele prof. Perini Matematica 113 / 212
![Page 232: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/232.jpg)
Goniometria Formule di addizione e sottrazioneDalla definizione di tangente e dalle formule diaddizione si può ottenere:
tan(α+β)= sin(α+β)
cos(α+β)=
= sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)
cos(α)cos(β)− sin(α)sin(β)=
=sin(α)cos(β)cos(α)cos(β) +
cos(α)sin(β)cos(α)cos(β)
cos(α)cos(β)cos(α)cos(β) −
sin(α)sin(β)cos(α)cos(β)
=sin(α)cos(α) +
sin(β)cos(β)
1− sin(α)sin(β)cos(α)cos(β)
=
= tan(α)+ tan(β)
1− tan(α) tan(β)
Michele prof. Perini Matematica 114 / 212
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Goniometria Formule di addizione e sottrazioneRiassumendo quanto visto in precedenza la formuladi addizione della tangente è:
tan(α+β)= tan(α)+ tan(β)
1− tan(α) tan(β)
ricordando che la tangente è una funzione dispari sipuò ottenere la formula di sottrazione dellatangente come:
tan(α−β)= tan(α)− tan(β)
1+ tan(α) tan(β)
le formule di addizione e sottrazione della tangentesono valide solamente per angoli che siano neldominio della tangente (cioè angoli 6= π
2 +kπ).Michele prof. Perini Matematica 115 / 212
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Goniometria Formule di duplicazioneDalla formula di addizione del coseno per α=β siottiene:
cos(α+α) = cos(2α) = cos2(α)− sin2(α) =ricordando anche la relazione goniometricafondamentale cos2(α)+ sin2(α) = 1:
= 1−2sin2(α) = 2cos2(α)−1
in definitiva le formule di duplicazione del cosenosono:
cos(2α) = cos2(α)− sin2(α) = 1−2sin2(α) = 2cos2(α)−1
Michele prof. Perini Matematica 116 / 212
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Goniometria Formule di duplicazione
Dalla formula di addizione del seno per α=β siottiene:
sin(α+α) = sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
in definitiva la formula di duplicazione del seno è:
sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
Michele prof. Perini Matematica 117 / 212
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Goniometria Formule di duplicazioneDalla formula di addizione della tangente per α=βsi ottiene:
tan(α+α) = tan(2α) = 2tan(α)
1− tan2(α)
in definitiva la formula di duplicazione dellatangente è:
tan(2α) = 2tan(α)
1− tan2(α)
la formula di duplicazione della tangente hasignificato solo per 2α 6= π
2 +kπ∧α 6= π2 +kπ.
Michele prof. Perini Matematica 118 / 212
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Goniometria Formule di bisezione
Dalle formule di duplicazione del coseno si possonoricavare le equazioni sin2(α) = 1−cos(2α)
2 ecos2(α) = 1+cos(2α)
2 che riscritte per un angolo α2
anziché α diventano:
sin2(α
2
)= 1−cos(α)
2
cos2(α
2
)= 1+cos(α)
2
che sono le formule di bisezione per seno e coseno.
Michele prof. Perini Matematica 119 / 212
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Goniometria Formule di bisezionePer la tangente è possibile ricavare diverse formuledi bisezione. Qui ne ricaviamo due utilizzando leformule di duplicazione e quelle di bisezione perseno e coseno:
tan(α
2
)= sin
(α2
)cos
(α2
) = 2sin2(α2
)2sin
(α2
)cos
(α2
) = 2 1−cos(α)2
sin(α)= 1−cos(α)
sin(α)
tan(α
2
)= sin
(α2
)cos
(α2
) = 2sin(α2
)cos
(α2
)2cos2
(α2
) = sin(α)
2 1+cos(α)2
= sin(α)
1+cos(α)
in sintesi:
tan(α
2
)= 1−cos(α)
sin(α)= sin(α)
1+cos(α)
Michele prof. Perini Matematica 120 / 212
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Goniometria Formule parametricheLe formule di bisezione per la tangente permettonodi ricavare (per α 6=π+2kπ):{
tan(α2
)= 1−cos(α)sin(α)
tan(α2
)= sin(α)1+cos(α)
→ cos(α) = 1−tan2(
α2
)1+tan2
(α2
)sin(α) = 2tan
(α2
)1+tan2
(α2
)essendo l’immagine della tangente l’insieme R èpossibile effettuare la sostituzione t = tan
(α2
)con
t ∈R, questo permette di esprimere le funzionigoniometriche in funzione di un parametro reale:
sin(α) = 2t
1+ t 2cos(α) = 1− t 2
1+ t 2tan(α) = 2t
1− t 2
Michele prof. Perini Matematica 121 / 212
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Goniometria Funzione lineare in seno e cosenoCon a 6= 0∧b 6= 0 si ha:
f (x) = a sin(x)+b cos(x)+ c =
=√
a2 +b2
(ap
a2 +b2sin(x)+ bp
a2 +b2cos(x)
)+ c
i coefficienti apa2+b2
e bpa2+b2
sono tali per cui lasomma dei loro quadrati è 1, possono quindi essereinterpretati come un particolare seno e coseno di uncerto angolo, in particolare poniamo:
cos(γ) = apa2 +b2
e sin(γ) = bpa2 +b2
Michele prof. Perini Matematica 122 / 212
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Goniometria Funzione lineare in seno e coseno
la funzione lineare scritta anche in termini di seno ecoseno di γ diventa:
f (x) = a sin(x)+b cos(x)+ c =
=√
a2 +b2(cos(γ)sin(x)+ sin(γ)cos(x)
)+ c ==
√a2 +b2 sin
(x +γ)+ c
con {sin(γ) = bp
a2+b2
cos(γ) = apa2+b2
Michele prof. Perini Matematica 123 / 212
![Page 242: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/242.jpg)
Coniche Circonferenza
CirconferenzaUna circonferenza è il luogo dei punti del piano chehanno la stessa distanza, detta raggio (r ), da unpunto detto centro C (x0, y0).
x
y
•C (x0, y0)•P (x, y)r
Michele prof. Perini Matematica 124 / 212
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Coniche Circonferenza
Equazione della circonferenza:
PC = r
PC 2 = r 2
(x −x0)2 + (y − y0
)2 = r 2
x2 + y2 −2x0x −2y0y +x20 + y2
0 − r 2 = 0
x2 + y2 +ax +by + c = 0
con a =−2x0, b =−2y0, c = x20 + y2
0 − r 2.
Michele prof. Perini Matematica 125 / 212
![Page 244: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/244.jpg)
Coniche Circonferenza
Tangente ad una circonferenza (r γ)Una tangente ad una circonferenza è una retta cheinterseca la circonferenza in un solo punto. Perdeterminare la tangente ad una circonferenza èpossibile:
intersecare retta e circonferenza ottenendo unaequazione di secondo grado, che ammette unasola soluzione se e solo se il ∆= 0
imporre che la retta disti dal centro dellacirconferenza quanto il raggio.
Michele prof. Perini Matematica 126 / 212
![Page 245: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/245.jpg)
Coniche Circonferenza
Tangente ad una circonferenza (r γ)Una tangente ad una circonferenza è una retta cheinterseca la circonferenza in un solo punto. Perdeterminare la tangente ad una circonferenza èpossibile:
intersecare retta e circonferenza ottenendo unaequazione di secondo grado, che ammette unasola soluzione se e solo se il ∆= 0
imporre che la retta disti dal centro dellacirconferenza quanto il raggio.
Michele prof. Perini Matematica 126 / 212
![Page 246: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/246.jpg)
Coniche Circonferenza
Tangente ad una circonferenza (r γ)Una tangente ad una circonferenza è una retta cheinterseca la circonferenza in un solo punto. Perdeterminare la tangente ad una circonferenza èpossibile:
intersecare retta e circonferenza ottenendo unaequazione di secondo grado, che ammette unasola soluzione se e solo se il ∆= 0
imporre che la retta disti dal centro dellacirconferenza quanto il raggio.
Michele prof. Perini Matematica 126 / 212
![Page 247: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/247.jpg)
Coniche Circonferenza
Circonferenza2 in sintesi:Equazione Notecentro-raggio:(x −x0)2 + (
y − y0
)2 = r 2C (x0, y0)r > 0
canonica:x2 + y2 +ax +by + c = 0
C(−a
2 ,−b2
)r =
√a2+b2
4 − c2
2le equazioni ricavate descrivono tutte le possibili circonferenze sulpiano xO y .
Michele prof. Perini Matematica 127 / 212
![Page 248: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/248.jpg)
Coniche Circonferenza
Fascio di circonferenzeUn fascio di circonferenze è l’insieme dei punti dellecurve ottenute al variare di k ∈R dall’equazione:
x2 + y2 +ax +by + c +k(x2 + y2 +a′x +b′y + c ′)= 0
se k =−1 l’equazione del fascio di circonferenze puòdivenire quella di una retta, in tal caso quella retta èdetta asse radicale.
Michele prof. Perini Matematica 128 / 212
![Page 249: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/249.jpg)
Coniche Ellisse
EllisseUna ellisse è il luogo dei punti del piano P (x, y) chemantiene costante la somma delle distanze tra duepunti fissi, F1 e F2, detti fuochi.
x
y
•••
F1(−c,0) F2(c,0)
P (x, y)
Michele prof. Perini Matematica 129 / 212
![Page 250: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/250.jpg)
Coniche Ellisse
Equazione di una ellisse con fuochi in F1(−c,0) eF2(c,0), a > 0 e c > 0:
PF1 +PF2 = 2a√(x + c)2 + y2 +
√(x − c)2 + y2 = 2a√
(x + c)2 + y2 = 2a −√
(x − c)2 + y2
(x + c)2 + y2 = 4a2 + (x − c)2 + y2 −4a√
(x − c)2 + y2
4a√
(x − c)2 + y2 = 4a2 −4xc
Michele prof. Perini Matematica 130 / 212
![Page 251: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/251.jpg)
Coniche Ellisse
a√
(x − c)2 + y2 = a2 −xc
se a2 ≥ xc → x ≤ a2
c
a2 ((x − c)2 + y2)= a4 +x2c2 −2a2xc(a2 − c2)x2 +a2y2 = a4 −a2c2(
a2 − c2)x2 +a2y2 = a2 (a2 − c2)
x2
a2+ y2
a2 − c2= 1
Michele prof. Perini Matematica 131 / 212
![Page 252: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/252.jpg)
Coniche Ellisseponendo b2 = a2 − c2 si ha:
x2
a2+ y2
b2= 1
x
y
••
•
F1
F2
P
b
a
c
aa
Le condizioni x ≤ a2
c e b2 = a2 − c2 risultano sempre verificate.Michele prof. Perini Matematica 132 / 212
![Page 253: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/253.jpg)
Coniche Ellisse
Tangente ad una ellisse (r E )Una tangente ad una ellisse è una retta cheinterseca l’ellisse in un solo punto. Per determinarela tangente ad una ellisse è possibile:
intersecare retta e ellisse ottenendo unaequazione di secondo grado, che ammette unasola soluzione se e solo se il ∆= 0
trasformare l’ellisse in una circonferenzatramite una trasformazione lineare, determinarela tangente alla circonferenza esuccessivamente applicare la trasformazioneinversa per determinare la tangente all’ellisse.
Michele prof. Perini Matematica 133 / 212
![Page 254: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/254.jpg)
Coniche Ellisse
Tangente ad una ellisse (r E )Una tangente ad una ellisse è una retta cheinterseca l’ellisse in un solo punto. Per determinarela tangente ad una ellisse è possibile:
intersecare retta e ellisse ottenendo unaequazione di secondo grado, che ammette unasola soluzione se e solo se il ∆= 0
trasformare l’ellisse in una circonferenzatramite una trasformazione lineare, determinarela tangente alla circonferenza esuccessivamente applicare la trasformazioneinversa per determinare la tangente all’ellisse.
Michele prof. Perini Matematica 133 / 212
![Page 255: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/255.jpg)
Coniche Ellisse
Tangente ad una ellisse (r E )Una tangente ad una ellisse è una retta cheinterseca l’ellisse in un solo punto. Per determinarela tangente ad una ellisse è possibile:
intersecare retta e ellisse ottenendo unaequazione di secondo grado, che ammette unasola soluzione se e solo se il ∆= 0
trasformare l’ellisse in una circonferenzatramite una trasformazione lineare, determinarela tangente alla circonferenza esuccessivamente applicare la trasformazioneinversa per determinare la tangente all’ellisse.
Michele prof. Perini Matematica 133 / 212
![Page 256: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/256.jpg)
Coniche Ellisse
Ellisse3 in sintesi:Equazione Notefuochi su retta ∥ asse x:(x−x0)2
a2 + (y−y0)2
b2 = 1semiasse maggiore: asemiasse minore: b
centro: C (x0, y0)fuochi: F (x0 ± c, y0)c =p
a2 −b2
eccentricità: e = ca
fuochi su retta ∥ asse y :(x−x0)2
a2 + (y−y0)2
b2 = 1semiasse maggiore: bsemiasse minore: a
centro: C (x0, y0)fuochi: F (x0, y0 ± c)c =p
b2 −a2
eccentricità: e = cb
3le equazioni ricavate descrivono solo alcune delle possibili ellissi sulpiano xO y , è possibile ricondurre tutte le ellissi a queste tramite unaaffinità.
Michele prof. Perini Matematica 134 / 212
![Page 257: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/257.jpg)
Coniche Parabola
ParabolaUna parabola è il luogo dei punti del piano P (x, y)per cui rimane costante la distanza tra un puntodetto fuoco (F ) e una retta detta direttrice (d) acui il fuoco non appartiene.
x
y
••
•
•V
F
P
Hd
Michele prof. Perini Matematica 135 / 212
![Page 258: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/258.jpg)
Coniche Parabola
Equazione di una parabola con asse parallelo all’assey : F (xF , yF ) e direttrice y = d (yF 6= d):
PF = PH√(x −xF )2 + (y − yF )2 = ∣∣y −d
∣∣(x −xF )2 + (y − yF )2 = (y −d)2
y = 1
2(yF −d)x2 + −xF
yF −dx + x2
F + y2F −d 2
2(yF −d)
y = ax2 +bx + c
con a = 12(yF−d) , b = −xF
yF−d e c = x2F+y2
F−d2
2(yF−d) .Michele prof. Perini Matematica 136 / 212
![Page 259: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/259.jpg)
Coniche Parabola
a = 12(yF−d)
b = −xFyF−d
c = x2F+y2
F−d2
2(yF−d)
→
xF =− b
2a
yF = 1−(b2−4ac)4a
d =−1+(b2−4ac)4a
ricordando che ∆= b2 −4ac il fuoco ha coordinateF
(− b2a , 1−∆
4a
), la direttrice ha equazione y =−1+∆
4a el’asse di simmetria ha equazione x =− b
2a . Il verticedella parabola si può determinare intersecando l’assedi simmetria con la parabola stessa:{
x =− b2a
y = ax2 +bx + c→
{x =− b
2ay =− ∆
4a
→V
(− b
2a,− ∆
4a
)Michele prof. Perini Matematica 137 / 212
![Page 260: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/260.jpg)
Coniche Parabola
Tangente ad una parabola (r P )Una tangente ad una parabola è una retta cheinterseca la parabola in un solo punto. Perdeterminare la tangente ad una parabola èsufficiente intersecare retta e parabola ottenendouna equazione di secondo grado, che ammette unasola soluzione se e solo se il ∆= 0.
Michele prof. Perini Matematica 138 / 212
![Page 261: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/261.jpg)
Coniche Parabola
Parabola4 in sintesi:Equazione Noteasse di simmetria ∥ asse y :y = ax2 +bx + cconcavità verso l’alto se a > 0
concavità verso il basso se a < 0
vertice: V(− b
2a ,− ∆4a
)fuoco: F
(− b2a , 1−∆
4a
)asse di simmetria: x =− b
2a
direttrice: y =−1+∆4a
asse di simmetria ∥ asse x:x = ay2 +by + cconcavità verso destra se a > 0
concavità verso sinistra se a < 0
vertice: V(− ∆
4a ,− b2a
)fuoco: F
(1−∆4a ,− b
2a
)asse di simmetria: y =− b
2a
direttrice: x =−1+∆4a
4le equazioni ricavate descrivono solo alcune delle possibili parabolesul piano xO y , è possibile ricondurre tutte le parabole a queste tramiteuna affinità.
Michele prof. Perini Matematica 139 / 212
![Page 262: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/262.jpg)
Coniche Parabola
Fascio di paraboleUn fascio di parabole è l’insieme dei punti dellecurve ottenute al variare di k ∈R dall’equazione:
y −ax2 −bx − c +k(y −a′x2 −b′x − c ′)= 0
Michele prof. Perini Matematica 140 / 212
![Page 263: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/263.jpg)
Coniche Iperbole
IperboleUna iperbole è il luogo dei punti del piano P (x, y)che mantiene costante la differenza delle distanzetra due punti fissi, F1 e F2, detti fuochi.
x
y
••
•
F1(−c,0) F2(c,0)
P (x, y)
Michele prof. Perini Matematica 141 / 212
![Page 264: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/264.jpg)
Coniche Iperbole
Equazione di una iperbole con fuochi in F1(−c,0) eF2(c,0), a > 0 e c > 0:
|PF1 −PF2| = 2a∣∣∣∣√(x + c)2 + y2 −√
(x − c)2 + y2
∣∣∣∣= 2a
2x2 +2y2 +2c2 −2√
(x + c)2 + y2√
(x − c)2 + y2 = 4a2√(x + c)2 + y2
√(x − c)2 + y2 =−2a2 +x2 + y2 + c2
Michele prof. Perini Matematica 142 / 212
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Coniche Iperbole
se −2a2 +x2 + y2 + c2 ≥ 0 → x2 + y2 ≥ 2a2 − c2:((x + c)2 + y2)((x − c)2 + y2)= (−2a2 +x2 + y2 + c2)2
c4 −2c2x2 +2c2y2 +x4 +2 x2y2 + y4 == 4 a4−4 a2c2−4 a2x2−4 a2y2+c4+2c2x2+2c2y2+x4+
+2 x2y2 + y4
−2c2x2 = 4a4 −4a2c2 −4a2x2 −4a2y2 +2c2x2
(a2 − c2)x2 +a2y2 = a4 −a2c2
(a2 − c2)x2 +a2y2 = a2(a2 − c2)
Michele prof. Perini Matematica 143 / 212
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Coniche Iperboleponendo −b2 = a2 − c2 → c2 = a2 +b2 si ha:
x2
a2− y2
b2= 1
x
y
••F1(−c,0) F2(c,0)a
c
b
Le condizioni x2 + y2 ≥ 2a2 − c2 e c2 = a2 +b2 risultano sempre verificate.Michele prof. Perini Matematica 144 / 212
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Coniche Iperbole
Asintoti dell’iperbole
Intersechiamo l’iperbole con una qualsiasi retta perl’origine per determinare per quali valori di m essa èsecante l’iperbole.{
x2
a2 − y2
b2 = 1y = mx
→{
x2
a2 − m2x2
b2 = 1y = mx
→{
(b2 −a2m2)x2 = a2b2
y = mx
l’equazione di secondo grado (b2 −a2m2)x2 = a2b2
ammette 2 soluzioni distinte se e solo se ∆> 0 →4a2b2(b2 −a2m2) > 0 → m2 < (
ba
)2 →−ba < m < b
a
Michele prof. Perini Matematica 145 / 212
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Coniche IperboleSe −b
a < m < ba la retta è secante l’iperbole. Le rette
y =±ba x, sono le “prime” non secanti e non
tangenti all’iperbole e sono dette asintoti.
x
y
••F1 F2
a
b
Michele prof. Perini Matematica 146 / 212
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Coniche Iperbole
Tangente ad una iperbole (r I )Una tangente ad una iperbole è una retta cheinterseca l’iperbole in un solo punto. Perdeterminare la tangente ad una iperbole è sufficienteintersecare retta e iperbole ottenendo una equazionedi secondo grado, che ammette una sola soluzionese e solo se il ∆= 0.
Michele prof. Perini Matematica 147 / 212
![Page 270: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/270.jpg)
Coniche Iperbole
Iperbole5 in sintesi:Equazione Notefuochi sull’asse x:(x−x0)2
a2 − (y−y0)2
b2 = 1centro: C (x0, y0)
fuochi: F (x0 ± c, y0)c =p
a2 +b2
asintoti:y − y0 =±b
a (x −x0)fuochi sull’asse y :(x−x0)2
a2 − (y−y0)2
b2 =−1centro: C (x0, y0)
fuochi: F (x0, y0 ± c)c =p
a2 +b2
asintoti:y − y0 =±b
a (x −x0)
5le equazioni ricavate descrivono solo alcune delle possibili iperboli sulpiano xO y , è possibile ricondurre tutte le iperboli a queste tramite unaaffinità.
Michele prof. Perini Matematica 148 / 212
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Coniche Iperbole
Iperboli equilatere
Una iperbole equilatera è una iperbole con a = b, lasue equazione canonica è dunque:
x2 − y2 =±a2
gli asintoti di una iperbole equilatera sono lebisettrici del primo e terzo e del secondo e quartoquadrante (y =±x). L’equazione dell’iperbole si puòriscrivere come:
(x − y)(x + y) =±a2
Michele prof. Perini Matematica 149 / 212
![Page 272: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/272.jpg)
Coniche Iperbole
Se all’equazione (x − y)(x + y) =±a2 si applica latrasformazione6:{
x ′ =p
22 x −
p2
2 y
y ′ =p
22 x +
p2
2 y↔
(x ′
y ′
)=
( p2
2 −p
22p
22
p2
2
)(xy
)si ottiene l’equazione:
x ′y ′ =±(p
2
2a
)2
→ x y = k
detta iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.6la trasformazione scelta corrisponde ad una rotazione di π
4Michele prof. Perini Matematica 150 / 212
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Coniche IperboleLa trasformazione lineare (rotazione di π
4 ) e la sua inversa consentono ditrovare le coordinate dei fuochi e le equazioni degli asintoti dell’iperboleriferita ai propri asintoti:(
x ′y ′
)=
( p2
2 −p
22p
22
p2
2
)(xy
)↔
(xy
)=
( p2
2
p2
2
−p
22
p2
2
)(x ′y ′
)
Equazione: (x − y)(x + y) = a2 → x ′y ′ =(p
22 a
)2 = k
con k = a2
2 > 0 e a =p2k, c = 2
pk
Fuochi: F (±c,0) → F ′(±p2k,±p2k)Asintoti: y = x →−
p2
2 x ′+p
22 y ′ =
p2
2 x ′+p
22 y ′ →
x ′ = 0y =−x →−
p2
2 x ′+p
22 y ′ =−
p2
2 x ′−p
22 y ′ →
y ′ = 0
Michele prof. Perini Matematica 151 / 212
![Page 274: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/274.jpg)
Coniche IperboleLa trasformazione lineare (rotazione di π
4 ) e la sua inversa consentono ditrovare le coordinate dei fuochi e le equazioni degli asintoti dell’iperboleriferita ai propri asintoti:(
x ′y ′
)=
( p2
2 −p
22p
22
p2
2
)(xy
)↔
(xy
)=
( p2
2
p2
2
−p
22
p2
2
)(x ′y ′
)
Equazione: (x − y)(x + y) = a2 → x ′y ′ =(p
22 a
)2 = k
con k = a2
2 > 0 e a =p2k, c = 2
pk
Fuochi: F (±c,0) → F ′(±p2k,±p2k)
Asintoti: y = x →−p
22 x ′+
p2
2 y ′ =p
22 x ′+
p2
2 y ′ →x ′ = 0y =−x →−
p2
2 x ′+p
22 y ′ =−
p2
2 x ′−p
22 y ′ →
y ′ = 0
Michele prof. Perini Matematica 151 / 212
![Page 275: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/275.jpg)
Coniche IperboleLa trasformazione lineare (rotazione di π
4 ) e la sua inversa consentono ditrovare le coordinate dei fuochi e le equazioni degli asintoti dell’iperboleriferita ai propri asintoti:(
x ′y ′
)=
( p2
2 −p
22p
22
p2
2
)(xy
)↔
(xy
)=
( p2
2
p2
2
−p
22
p2
2
)(x ′y ′
)
Equazione: (x − y)(x + y) = a2 → x ′y ′ =(p
22 a
)2 = k
con k = a2
2 > 0 e a =p2k, c = 2
pk
Fuochi: F (±c,0) → F ′(±p2k,±p2k)Asintoti: y = x →−
p2
2 x ′+p
22 y ′ =
p2
2 x ′+p
22 y ′ →
x ′ = 0y =−x →−
p2
2 x ′+p
22 y ′ =−
p2
2 x ′−p
22 y ′ →
y ′ = 0Michele prof. Perini Matematica 151 / 212
![Page 276: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/276.jpg)
Coniche Iperbole
x
y
••
Michele prof. Perini Matematica 152 / 212
![Page 277: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/277.jpg)
Coniche Iperbole
x
y
•
•
Michele prof. Perini Matematica 153 / 212
![Page 278: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/278.jpg)
Coniche Iperbole
Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti:Equazione Notefuochi su y = x:x y = kk > 0
fuochi: F (±p2k,±p2k)c =p
2a = 2p
kasintoti:y = 0∨x = 0
fuochi su y =−x:x y = kk < 0
fuochi:F (∓p−2k,±p−2k)c =p
2a = 2p−k
asintoti:y = 0∨x = 0
Michele prof. Perini Matematica 154 / 212
![Page 279: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/279.jpg)
Coniche Iperbole
Funzione omografica:
Una funzione omografica è una iperbole equilaterariferita ai propri asintoti traslata con centro inC (x0, y0). L’equazione della curva per effetto dellatraslazione diventa:
(x −x0)(y − y0) = k → y = αy0x +αk −αx0y0
αx −αx0, α 6= 0
possiamo riscriverla come:
y = ax +b
cx +dcon a =αy0,b =αk−αx0y0,c =α,d =−αx0
Michele prof. Perini Matematica 155 / 212
![Page 280: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/280.jpg)
Coniche Iperbole
y = ax +b
cx +dcon x0 =−d
c, y0 = a
c, k = bc −ad
c2
x
y
•
•
Michele prof. Perini Matematica 156 / 212
![Page 281: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/281.jpg)
Coniche Iperbole
Funzione omografica:Equazione Notey = ax+b
cx+d
k = bc−adc2 > 0
fuochi:F (±p2k − d
c ,±p2k + ac )
c =p2a = 2
pk
asintoti:y = a
c ∨x =−dc
y = ax+bcx+d
k = bc−adc2 < 0
fuochi:F (∓p−2k − d
c ,±p−2k + ac )
c =p2a = 2
p−kasintoti:y = a
c ∨x =−dc
Michele prof. Perini Matematica 157 / 212
![Page 282: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/282.jpg)
Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0
Una equazione del tipo Ax2 +C y2 +Dx +E y +F = 07 rappresenta una conica. In particolare se AC 6= 0:
A
[x2 + D
Ax
]+C
[y2 + E
Cy
]+F = 0
A
[(x + D
2A
)2
− D2
4A2
]+C
[(y + E
2C
)2
− E 2
4C 2
]+F = 0
A
(x + D
2A
)2
+C
(y + E
2C
)2
= D2
4A+ E 2
4C−F
7in generale l’equazione di una conica è del tipoAx2 +B x y +C y2 +Dx +E y +F = 0 che è riconducibile tramite unatrasformazione lineare a Ax2 +C y2 +Dx +E y +F = 0.
Michele prof. Perini Matematica 158 / 212
![Page 283: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/283.jpg)
Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0
Una equazione del tipo Ax2 +C y2 +Dx +E y +F = 0è:
una circonferenza se:A =C 6= 0∧
[D2
4A + E 2
4C −F]
A > 0
una ellisse se: AC > 0∧[
D2
4A + E 2
4C −F]
A > 0
una parabola se:((A = 0∧D 6= 0)∨ (C = 0∧E 6= 0))∧ A =C = 0
una iperbole se: AC < 0∧ D2
4A + E 2
4C −F 6= 0
un punto, una o due rette o l’insieme vuotoaltrimenti.
Michele prof. Perini Matematica 159 / 212
![Page 284: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/284.jpg)
Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0
Una equazione del tipo Ax2 +C y2 +Dx +E y +F = 0è:
una circonferenza se:A =C 6= 0∧
[D2
4A + E 2
4C −F]
A > 0
una ellisse se: AC > 0∧[
D2
4A + E 2
4C −F]
A > 0
una parabola se:((A = 0∧D 6= 0)∨ (C = 0∧E 6= 0))∧ A =C = 0
una iperbole se: AC < 0∧ D2
4A + E 2
4C −F 6= 0
un punto, una o due rette o l’insieme vuotoaltrimenti.
Michele prof. Perini Matematica 159 / 212
![Page 285: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/285.jpg)
Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0
Una equazione del tipo Ax2 +C y2 +Dx +E y +F = 0è:
una circonferenza se:A =C 6= 0∧
[D2
4A + E 2
4C −F]
A > 0
una ellisse se: AC > 0∧[
D2
4A + E 2
4C −F]
A > 0
una parabola se:((A = 0∧D 6= 0)∨ (C = 0∧E 6= 0))∧ A =C = 0
una iperbole se: AC < 0∧ D2
4A + E 2
4C −F 6= 0
un punto, una o due rette o l’insieme vuotoaltrimenti.
Michele prof. Perini Matematica 159 / 212
![Page 286: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/286.jpg)
Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0
Una equazione del tipo Ax2 +C y2 +Dx +E y +F = 0è:
una circonferenza se:A =C 6= 0∧
[D2
4A + E 2
4C −F]
A > 0
una ellisse se: AC > 0∧[
D2
4A + E 2
4C −F]
A > 0
una parabola se:((A = 0∧D 6= 0)∨ (C = 0∧E 6= 0))∧ A =C = 0
una iperbole se: AC < 0∧ D2
4A + E 2
4C −F 6= 0
un punto, una o due rette o l’insieme vuotoaltrimenti.
Michele prof. Perini Matematica 159 / 212
![Page 287: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/287.jpg)
Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0
Una equazione del tipo Ax2 +C y2 +Dx +E y +F = 0è:
una circonferenza se:A =C 6= 0∧
[D2
4A + E 2
4C −F]
A > 0
una ellisse se: AC > 0∧[
D2
4A + E 2
4C −F]
A > 0
una parabola se:((A = 0∧D 6= 0)∨ (C = 0∧E 6= 0))∧ A =C = 0
una iperbole se: AC < 0∧ D2
4A + E 2
4C −F 6= 0
un punto, una o due rette o l’insieme vuotoaltrimenti.
Michele prof. Perini Matematica 159 / 212
![Page 288: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/288.jpg)
Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0
In sintesi una equazione del tipoAx2 +C y2 +Dx +E y +F = 0 è8:
una ellisse (eventualmente degenere) se:AC > 0
una circonferenza (eventualmente degenere) se:A =C
una parabola (eventualmente degenere) se:AC = 0
una iperbole (eventualmente degenere) se:AC < 0
8Per conica degenere intendiamo qui una retta o una coppia di rette,un punto o l’insieme vuoto.
Michele prof. Perini Matematica 160 / 212
![Page 289: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/289.jpg)
Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0
In sintesi una equazione del tipoAx2 +C y2 +Dx +E y +F = 0 è8:
una ellisse (eventualmente degenere) se:AC > 0
una circonferenza (eventualmente degenere) se:A =C
una parabola (eventualmente degenere) se:AC = 0
una iperbole (eventualmente degenere) se:AC < 0
8Per conica degenere intendiamo qui una retta o una coppia di rette,un punto o l’insieme vuoto.
Michele prof. Perini Matematica 160 / 212
![Page 290: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/290.jpg)
Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0
In sintesi una equazione del tipoAx2 +C y2 +Dx +E y +F = 0 è8:
una ellisse (eventualmente degenere) se:AC > 0
una circonferenza (eventualmente degenere) se:A =C
una parabola (eventualmente degenere) se:AC = 0
una iperbole (eventualmente degenere) se:AC < 0
8Per conica degenere intendiamo qui una retta o una coppia di rette,un punto o l’insieme vuoto.
Michele prof. Perini Matematica 160 / 212
![Page 291: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/291.jpg)
Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0
In sintesi una equazione del tipoAx2 +C y2 +Dx +E y +F = 0 è8:
una ellisse (eventualmente degenere) se:AC > 0
una circonferenza (eventualmente degenere) se:A =C
una parabola (eventualmente degenere) se:AC = 0
una iperbole (eventualmente degenere) se:AC < 0
8Per conica degenere intendiamo qui una retta o una coppia di rette,un punto o l’insieme vuoto.
Michele prof. Perini Matematica 160 / 212
![Page 292: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/292.jpg)
Coniche Sezioni di cono
ConoUn cono è la superficie che si ottiene facendoruotare due rette incidenti, dette generatrici,attorno alla loro bisettrice, detta asse.
assegeneratrice
generatrice
Michele prof. Perini Matematica 161 / 212
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Coniche Sezioni di conoConsideriamo un “particolare” cono con assecoincidente con l’asse z di equazionem2x2 +m2y2 = z2, m > 0 le cui sezioni sono:
sezione rispetto al piano y = 0:
x
z
generatrici: z =±mx ∧ y = 0
sezione rispetto al piano x = 0:
y
z
generatrici: z =±my ∧x = 0
Michele prof. Perini Matematica 162 / 212
![Page 294: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/294.jpg)
Coniche Sezioni di conoConsideriamo un “particolare” cono con assecoincidente con l’asse z di equazionem2x2 +m2y2 = z2, m > 0 le cui sezioni sono:sezione rispetto al piano y = 0:
x
z
generatrici: z =±mx ∧ y = 0
sezione rispetto al piano x = 0:
y
z
generatrici: z =±my ∧x = 0
Michele prof. Perini Matematica 162 / 212
![Page 295: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/295.jpg)
Coniche Sezioni di conoConsideriamo un “particolare” cono con assecoincidente con l’asse z di equazionem2x2 +m2y2 = z2, m > 0 le cui sezioni sono:sezione rispetto al piano y = 0:
x
z
generatrici: z =±mx ∧ y = 0
sezione rispetto al piano x = 0:
y
z
generatrici: z =±my ∧x = 0
Michele prof. Perini Matematica 162 / 212
![Page 296: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/296.jpg)
Coniche Sezioni di cono
Circonferenza
sezione rispetto al piano y = 0:
x
z
piano ⊥ asse: z = h
{m2x2 +m2y2 = z2
z = h
x2 + y2 = h2
m2
Michele prof. Perini Matematica 163 / 212
![Page 297: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/297.jpg)
Coniche Sezioni di cono
Circonferenzasezione rispetto al piano y = 0:
x
z
piano ⊥ asse: z = h
{m2x2 +m2y2 = z2
z = h
x2 + y2 = h2
m2
Michele prof. Perini Matematica 163 / 212
![Page 298: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/298.jpg)
Coniche Sezioni di cono
Circonferenzasezione rispetto al piano y = 0:
x
z
piano ⊥ asse: z = h
{m2x2 +m2y2 = z2
z = h
x2 + y2 = h2
m2
Michele prof. Perini Matematica 163 / 212
![Page 299: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/299.jpg)
Coniche Sezioni di cono
Ellisse
sezione rispetto al piano y = 0:
x
z
piano: z = kx +q con−m < k < m, q 6= 0
{m2x2 +m2y2 = z2
z = kx +q
m2 −k2
q2x2 + m2
q2y2 − 2k
qx = 1
Michele prof. Perini Matematica 164 / 212
![Page 300: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/300.jpg)
Coniche Sezioni di cono
Ellissesezione rispetto al piano y = 0:
x
z
piano: z = kx +q con−m < k < m, q 6= 0
{m2x2 +m2y2 = z2
z = kx +q
m2 −k2
q2x2 + m2
q2y2 − 2k
qx = 1
Michele prof. Perini Matematica 164 / 212
![Page 301: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/301.jpg)
Coniche Sezioni di cono
Ellissesezione rispetto al piano y = 0:
x
z
piano: z = kx +q con−m < k < m, q 6= 0
{m2x2 +m2y2 = z2
z = kx +q
m2 −k2
q2x2 + m2
q2y2 − 2k
qx = 1
Michele prof. Perini Matematica 164 / 212
![Page 302: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/302.jpg)
Coniche Sezioni di cono
Parabola
sezione rispetto al piano y = 0:
x
z
piano: z = mx +q, q 6= 0
{m2x2 +m2y2 = z2
z = mx +q
x = m
2qy2 − q
2m
Michele prof. Perini Matematica 165 / 212
![Page 303: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/303.jpg)
Coniche Sezioni di cono
Parabolasezione rispetto al piano y = 0:
x
z
piano: z = mx +q, q 6= 0
{m2x2 +m2y2 = z2
z = mx +q
x = m
2qy2 − q
2m
Michele prof. Perini Matematica 165 / 212
![Page 304: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/304.jpg)
Coniche Sezioni di cono
Parabolasezione rispetto al piano y = 0:
x
z
piano: z = mx +q, q 6= 0
{m2x2 +m2y2 = z2
z = mx +q
x = m
2qy2 − q
2m
Michele prof. Perini Matematica 165 / 212
![Page 305: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/305.jpg)
Coniche Sezioni di cono
Iperbole
sezione rispetto al piano y = 0:
x
z
piano: z = kx +q conk > m ∨k <−m, q 6= 0
{m2x2 +m2y2 = z2
z = kx +q
k2 −m2
q2x2 − m2
q2y2 + 2k
qx =−1
Michele prof. Perini Matematica 166 / 212
![Page 306: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/306.jpg)
Coniche Sezioni di cono
Iperbolesezione rispetto al piano y = 0:
x
z
piano: z = kx +q conk > m ∨k <−m, q 6= 0
{m2x2 +m2y2 = z2
z = kx +q
k2 −m2
q2x2 − m2
q2y2 + 2k
qx =−1
Michele prof. Perini Matematica 166 / 212
![Page 307: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/307.jpg)
Coniche Sezioni di cono
Iperbolesezione rispetto al piano y = 0:
x
z
piano: z = kx +q conk > m ∨k <−m, q 6= 0
{m2x2 +m2y2 = z2
z = kx +q
k2 −m2
q2x2 − m2
q2y2 + 2k
qx =−1
Michele prof. Perini Matematica 166 / 212
![Page 308: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/308.jpg)
Trigonometria Triangoli rettangoli
Relazioni lato-angolo in un triangolo rettangolo:
a
b
c
α
β
a = c · sinα= c ·cosβ
b = c · sinβ= c ·cosα
c = a
sinα= a
cosβ= b
sinβ= b
cosα
tanα= a
b
tanβ= b
a
Michele prof. Perini Matematica 167 / 212
![Page 309: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/309.jpg)
Trigonometria Triangoli rettangoli
Relazioni lato-angolo in un triangolo rettangolo:
a
b
c
α
β
a = c · sinα= c ·cosβ
b = c · sinβ= c ·cosα
c = a
sinα= a
cosβ= b
sinβ= b
cosα
tanα= a
b
tanβ= b
a
Michele prof. Perini Matematica 167 / 212
![Page 310: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/310.jpg)
Trigonometria Triangoli rettangoli
Relazioni lato-angolo in un triangolo rettangolo:
a
b
c
α
β
a = c · sinα= c ·cosβ
b = c · sinβ= c ·cosα
c = a
sinα= a
cosβ= b
sinβ= b
cosα
tanα= a
b
tanβ= b
a
Michele prof. Perini Matematica 167 / 212
![Page 311: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/311.jpg)
Trigonometria Area di un triangolo
Per un triangolo qualsiasi posizionato come in figurasi ottiene una relazione che permette di ottenerel’area del triangolo ABC .
x
y
•A(0,0)
•B(c,0)
•C (b cosα,b sinα)
α β
γab
c
~AC =(
b cosαb sinα
)~AB =
(c0
)
Michele prof. Perini Matematica 168 / 212
![Page 312: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/312.jpg)
Trigonometria Area di un triangolo
Per un triangolo qualsiasi posizionato come in figurasi ottiene una relazione che permette di ottenerel’area del triangolo ABC .
x
y
•A(0,0)
•B(c,0)
•C (b cosα,b sinα)
α β
γab
c
~AC =(
b cosαb sinα
)~AB =
(c0
)
Michele prof. Perini Matematica 168 / 212
![Page 313: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/313.jpg)
Trigonometria Area di un triangolo
Per un triangolo qualsiasi posizionato come in figurasi ottiene una relazione che permette di ottenerel’area del triangolo ABC .
x
y
•A(0,0)
•B(c,0)
•C (b cosα,b sinα)
α β
γab
c
~AC =(
b cosαb sinα
)~AB =
(c0
)
Michele prof. Perini Matematica 168 / 212
![Page 314: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/314.jpg)
Trigonometria Area di un triangolo
L’area del triangolo ABC si può ottenere dallarelazione qui sotto dimostrata(b > 0, c > 0, 0 ≤α≤π, sinα≥ 0):
S ABC = 1
2xB yC = 1
2bc sinα
In conclusione:
S ABC = 1
2bc sinα
Michele prof. Perini Matematica 169 / 212
![Page 315: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/315.jpg)
Trigonometria Teorema della corda e dei seniOgni triangolo può essere inscritto in una circonferenza, scegliamo diinserirne uno ABC come in figura.
x
y
• Aα
•Bβ
•C
γ
O
0 < v < w < 2π
O(0,0), A(r,0),
B(r cos(v),r sin(v)),
C (r cos(w),r sin(w))�O AB = �OB A = π− v
2�OBC = �OC B = π− (w − v)
2�OC A = �O AC = π− (2π−w)
2
Michele prof. Perini Matematica 170 / 212
![Page 316: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/316.jpg)
Trigonometria Teorema della corda e dei seniOgni triangolo può essere inscritto in una circonferenza, scegliamo diinserirne uno ABC come in figura.
x
y
• Aα
•Bβ
•C
γ
O
0 < v < w < 2π
O(0,0), A(r,0),
B(r cos(v),r sin(v)),
C (r cos(w),r sin(w))�O AB = �OB A = π− v
2�OBC = �OC B = π− (w − v)
2�OC A = �O AC = π− (2π−w)
2
Michele prof. Perini Matematica 170 / 212
![Page 317: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/317.jpg)
Trigonometria Teorema della corda e dei seniOgni triangolo può essere inscritto in una circonferenza, scegliamo diinserirne uno ABC come in figura.
x
y
• Aα
•Bβ
•C
γ
O
0 < v < w < 2π
O(0,0), A(r,0),
B(r cos(v),r sin(v)),
C (r cos(w),r sin(w))�O AB = �OB A = π− v
2�OBC = �OC B = π− (w − v)
2�OC A = �O AC = π− (2π−w)
2Michele prof. Perini Matematica 170 / 212
![Page 318: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/318.jpg)
Trigonometria Teorema della corda e dei seni
�AOB = v, �AOC = w, �OC A = �O AC = w −π2
,
α= π− v
2+ w −π
2= w − v
2
β= π− v
2+ π− (w − v)
2= 2π−w
2
γ= π− (w − v)
2+ w −π
2= v
2Le ultime tre relazioni dimostrano che l’angolo al centro è doppio rispettoall’angolo alla circonferenza e che tutti gli angoli alla circonferenza di unacorda di data lunghezza sono uguali tra loro. Infatti γ dipende solo da v
che dipende solo dalla lunghezza di AB = c, così anche per α e β chedipendono solo dalle corde BC = a e C A = b.
Michele prof. Perini Matematica 171 / 212
![Page 319: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/319.jpg)
Trigonometria Teorema della corda e dei seni
AB = c = r√
(cos(v)−1)2 + (sin(v))2 == r
√cos(v)2 + sin(v)2 +1−2cos(v) =
= 2r
√1−cos(v)
2= 2r sin
(v
2
)= 2r sin(γ)
in sintesi:c = 2r sin(γ)
Michele prof. Perini Matematica 172 / 212
![Page 320: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/320.jpg)
Trigonometria Teorema della corda e dei seni
AC = b = r√
(cos(w)−1)2 + (sin(w))2 == r
√cos(w)2 + sin(w)2 +1−2cos(w) =
= 2r
√1−cos(w)
2= 2r sin
(w
2
)= 2r sin
(π− w
2
)=
= 2r sin
(2π−w
2
)= 2r sin(β)
in sintesi:b = 2r sin(β)
Michele prof. Perini Matematica 173 / 212
![Page 321: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/321.jpg)
Trigonometria Teorema della corda e dei seni
BC = a = r√
(cos(w)−cos(v))2 + (sin(w)− sin(v))2 =
= r√
2−2cos(w)cos(v)−2sin(w)sin(v) =
= 2r
√1− (cos(w)cos(v)+ sin(w)sin(v))
2=
= 2r
√1−cos(w − v)
2= 2r sin
(w − v
2
)= 2r sin(α)
in sintesi:a = 2r sin(α)
Michele prof. Perini Matematica 174 / 212
![Page 322: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/322.jpg)
Trigonometria Teorema della corda e dei seniTenendo conto di quanto ottenuto possiamo enunciare i seguenti teoremi.
Teorema della cordaLa misura di una corda di una circonferenza è pari alprodotto della misura del diametro dellacirconferenza per il seno dell’angolo allacirconferenza che insiste sulla corda.
Teorema dei seniIn un triangolo con lati di misura a, b, c, con angoliopposti rispettivamente α, β e γ vale la relazione:
a
sin(α)= b
sin(β)= c
sin(γ)
Michele prof. Perini Matematica 175 / 212
![Page 323: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/323.jpg)
Trigonometria Teorema della corda e dei seniTenendo conto di quanto ottenuto possiamo enunciare i seguenti teoremi.
Teorema della cordaLa misura di una corda di una circonferenza è pari alprodotto della misura del diametro dellacirconferenza per il seno dell’angolo allacirconferenza che insiste sulla corda.
Teorema dei seniIn un triangolo con lati di misura a, b, c, con angoliopposti rispettivamente α, β e γ vale la relazione:
a
sin(α)= b
sin(β)= c
sin(γ)Michele prof. Perini Matematica 175 / 212
![Page 324: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/324.jpg)
Trigonometria Teorema della corda e dei seni
I teoremi della corda e dei seni si possonosintetizzare in un solo teorema.Teorema dei seni e della cordaIn un triangolo con lati di misura a, b, c, con angoliopposti rispettivamente α, β e γ e inscritto in unacirconferenza di raggio r , vale la relazione:
a
sin(α)= b
sin(β)= c
sin(γ)= 2r
Michele prof. Perini Matematica 176 / 212
![Page 325: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/325.jpg)
Trigonometria Teorema del cosenoInseriamo un triangolo in un piano cartesiano perottenere un teorema che è l’estensione ad untriangolo qualsiasi del teorema di Pitagora (ilteorema del coseno è noto anche come teorema diCarnot).
x
y
•A(0,0)
•B(c,0)
•C (b cosα,b sinα)
α β
γab
c
~AC =(
b cosαb sinα
)~AB =
(c0
)~BC =
(b cosα− c
b sinα
)
Michele prof. Perini Matematica 177 / 212
![Page 326: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/326.jpg)
Trigonometria Teorema del cosenoInseriamo un triangolo in un piano cartesiano perottenere un teorema che è l’estensione ad untriangolo qualsiasi del teorema di Pitagora (ilteorema del coseno è noto anche come teorema diCarnot).
x
y
•A(0,0)
•B(c,0)
•C (b cosα,b sinα)
α β
γab
c
~AC =(
b cosαb sinα
)~AB =
(c0
)~BC =
(b cosα− c
b sinα
)
Michele prof. Perini Matematica 177 / 212
![Page 327: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/327.jpg)
Trigonometria Teorema del cosenoInseriamo un triangolo in un piano cartesiano perottenere un teorema che è l’estensione ad untriangolo qualsiasi del teorema di Pitagora (ilteorema del coseno è noto anche come teorema diCarnot).
x
y
•A(0,0)
•B(c,0)
•C (b cosα,b sinα)
α β
γab
c
~AC =(
b cosαb sinα
)~AB =
(c0
)~BC =
(b cosα− c
b sinα
)Michele prof. Perini Matematica 177 / 212
![Page 328: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/328.jpg)
Trigonometria Teorema del cosenoTenendo conto del fatto chea > 0, b > 0, c > 0, 0 ≤α≤π, sinα≥ 0):
a = ∣∣ ~BC∣∣
a2 = ~BC2 = (b cosα− c)2 + (b sinα)2 =
= b2 cos2α+ c2 −2bc cosα+b2 sin2α== b2 + c2 −2bc cosα
In conclusione:
a2 = b2 + c2 −2bc cosα
Michele prof. Perini Matematica 178 / 212
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Trigonometria Coseno e prodotto scalare
Grazie al teorema di Carnot è possibile ridefinire ilprodotto scalare nei termini del modulo dei vettorimoltiplicati e dell’angolo tra essi compreso.
A B
C
α β
γab
c
∣∣ ~AB∣∣= c∣∣ ~BC∣∣= a∣∣ ~AC∣∣= b
~AB + ~BC = ~AC
Michele prof. Perini Matematica 179 / 212
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Trigonometria Coseno e prodotto scalare
Grazie al teorema di Carnot è possibile ridefinire ilprodotto scalare nei termini del modulo dei vettorimoltiplicati e dell’angolo tra essi compreso.
A B
C
α β
γab
c
∣∣ ~AB∣∣= c∣∣ ~BC∣∣= a∣∣ ~AC∣∣= b
~AB + ~BC = ~AC
Michele prof. Perini Matematica 179 / 212
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Trigonometria Coseno e prodotto scalare
Grazie al teorema di Carnot è possibile ridefinire ilprodotto scalare nei termini del modulo dei vettorimoltiplicati e dell’angolo tra essi compreso.
A B
C
α β
γab
c
∣∣ ~AB∣∣= c∣∣ ~BC∣∣= a∣∣ ~AC∣∣= b
~AB + ~BC = ~AC
Michele prof. Perini Matematica 179 / 212
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Trigonometria Coseno e prodotto scalare
~AB + ~BC = ~AC~BC = ~AC − ~AB(
~BC)2 = (
~AC − ~AB)2
a2 = b2 + c2 −2 ~AC · ~AB
confrontando quest’ultima scrittura con il teorema di Carnotsu ABC , a2 = b2 +c2 −2bc cos(α), si può ottenere la relazione:
~AC · ~AB = bc cos(α) = ∣∣ ~AC∣∣ · ∣∣ ~AB
∣∣cos(α)
In generale il prodotto scalare tra due vettori è ilprodotto del modulo dei vettori per il cosenodell’angolo tra essi compreso.
Michele prof. Perini Matematica 180 / 212
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Trigonometria Coseno e prodotto scalare
Prodotto scalareIl prodotto scalare tra due vettori ~a e ~b tra cui ècompreso l’angolo γ si può scrivere anche come:
~a ·~b = ab cos(γ)
Michele prof. Perini Matematica 181 / 212
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Statistica Sommatorie
(ax1 +b)+ (ax2 +b)+·· ·+ (axi +b)+·· ·+ (axn +b) == (ax1 +ax2 +·· ·+axi +·· ·+axn)+b +·· ·+b︸ ︷︷ ︸
n−volte=
= a(x1 +x2 +·· ·+xi +·· ·+xn)+nb
oppuren∑
i=1(axi +b) =
=n∑
i=1axi +
n∑i=1
b =
= an∑
i=1xi +nb
Michele prof. Perini Matematica 182 / 212
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Statistica Dati e loro rappresentazione
Indichiamo un dato di una indagine statistica conuna lettera minuscola e un pedice:
x1, x2, . . . , xi , . . . , xN
a dati diversi corrispondono pedici diversi, a datiuguali corrispondono pedici uguali, la statisticacomprende N dati in totale.
Michele prof. Perini Matematica 183 / 212
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Statistica Frequenze assoluteUn medesimo dato può presentarsi può volte, inquesto caso ad esso associamo una frequenza, cioèil numero di volte che tale dato si è presentato:
X fx1 f1
x2 f2
. . . . . .xi fi
. . . . . .xn fn
La scrittura significa che il dato xi si è presentatoun numero fi di volte.
Michele prof. Perini Matematica 184 / 212
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Statistica Frequenze relativeLa totalità dei dati di una statistica è pari allasomma delle frequenze:
N =n∑
i=1
fi
Sono frequenze relative le fR :X f fR
x1 f1f1
N
x2 f2f2
N. . . . . . . . .xi fi
fiN
. . . . . . . . .xn fn
fn
NMichele prof. Perini Matematica 185 / 212
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Statistica Frequenze cumulate
Le frequenze cumulate si ottengono sommando lefrequenze assolute come mostrato in tabella:
X f fC
x1 f1 f1
x2 f2 f1 + f2
. . . . . . . . .xi fi f1 + f2 +·· ·+ fi
. . . . . . . . .xn fn N
Michele prof. Perini Matematica 186 / 212
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Statistica Frequenze relative cumulate
Le frequenze relative cumulate si ottengonosommando le frequenze relative come mostrato intabella:
X f fRC
x1 f1f1
N
x2 f2f1+ f2
N. . . . . . . . .xi fi
f1+ f2+···+ fiN
. . . . . . . . .xn fn 1
Michele prof. Perini Matematica 187 / 212
![Page 340: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/340.jpg)
Statistica La media aritmeticaLa media aritmetica dei dati di una statistica è datadalla relazione:
µ=N∑
i=1
xi
N
oppure, utilizzando le frequenze:
µ=n∑
i=1
fi xi
N
oppure utilizzando le frequenze relative:
µ=n∑
i=1
fRi xi
Michele prof. Perini Matematica 188 / 212
![Page 341: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/341.jpg)
Statistica La varianza
La varianza dei dati di una statistica è data dallarelazione:
σ2 =N∑
i=1
(xi −µ)2
N=
N∑i=1
x2i −2µxi +µ2
N=
=N∑
i=1
x2i
N−2µ
N∑i=1
xi
N+ Nµ2
N=
N∑i=1
x2i
N−2µ2 +µ2 =
=N∑
i=1
x2i
N−µ2
Michele prof. Perini Matematica 189 / 212
![Page 342: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/342.jpg)
Statistica La deviazione standard
La deviazione standard o scarto quadratico medio èdato dalla:
σ=√√√√ N∑
i=1
(xi −µ)2
N=
√√√√ N∑i=1
x2i
N−µ2
oppure in termini di frequenze assolute:
σ=√
n∑i=1
fi (xi −µ)2
N
Michele prof. Perini Matematica 190 / 212
![Page 343: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/343.jpg)
Statistica Test del χ2 di Cramer
Lo scopo che ci prefiggiamo di raggiungere è didefinire un indice che dia conto della dipendenzastatistica tra due caratteri X e Y . Tabuliamo lefrequenze con cui compaiono i caratteri oggetto distudio per meglio comprendere quale sia la relazioneche intercorre tra le due. Denoteremo con f (xi , y j )la frequenza con cui vengono rilevati entrambi icaratteri xi e y j (frequenze congiunte) e con f (xi ) ef (y j ) la totalità delle frequenze rispettivamente dixi e y j (frequenze marginali). L’insieme dellefrequenze marginali è detto distribuzione marginale.
Michele prof. Perini Matematica 191 / 212
![Page 344: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/344.jpg)
Statistica Test del χ2 di Cramer
Tabella delle frequenze:y1 . . . y j . . . yh Totale
x1 f (x1, y1) . . . f (x1, y j ) . . . f (x1, yh) f (x1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xi f (xi , y1) . . . f (xi , y j ) . . . f (xi , yh) f (xi ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xk f (xk , y1) . . . f (xk , y j ) . . . f (xk , yh) f (xk )
Totale f (y1) . . . f (y j ) . . . f (yh) n
Frequenze marginali di X : f (xi ) =h∑
j=1f (xi , y j )
Frequenze marginali di Y : f (y j ) =k∑
i=1f (xi , y j )
Totale delle frequenze: n =k∑
i=1f (xi ) =
h∑j=1
f (y j ) =k∑
i=1
h∑j=1
f (xi , y j )
Michele prof. Perini Matematica 192 / 212
![Page 345: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/345.jpg)
Statistica Test del χ2 di Cramer
Tabella delle frequenze nell’ipotesi che X e Y siano indipendenti:y1 . . . y j . . . yh Totale
x1 f ′(x1, y1) . . . f ′(x1, y j ) . . . f ′(x1, yh) f (x1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xi f ′(xi , y1) . . . f ′(xi , y j ) . . . f ′(xi , yh) f (xi ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xk f ′(xk , y1) . . . f ′(xk , y j ) . . . f ′(xk , yh) f (xk )
Totale f (y1) . . . f (y j ) . . . f (yh) n
Frequenze teoriche: f ′(xi , y j ) = n
(f (xi )
n
)(f (y j )
n
)= f (xi ) f (y j )
n
Freq. marginali di X :h∑
j=1f ′(xi , y j ) =
h∑j=1
f (xi ) f (y j )
n= f (xi )
n
h∑j=1
f (y j ) = f (xi )
Freq. marginali di Y :k∑
i=1f ′(xi , y j ) =
k∑i=1
f (xi ) f (y j )
n= f (y j )
n
k∑i=1
f (xi ) = f (y j )
Michele prof. Perini Matematica 193 / 212
![Page 346: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/346.jpg)
Statistica Test del χ2 di Cramer
Tabella delle contingenze (differenza tra frequenze rilevate eteoriche):
y1 . . . y j . . . yh Totalex1 c(x1, y1) . . . c(x1, y j ) . . . c(x1, yh) 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0xi c(xi , y1) . . . c(xi , y j ) . . . c(xi , yh) 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0xk c(xk , y1) . . . c(xk , y j ) . . . c(xk , yh) 0
Totale 0 0 0 0 0 0
Contingenze: c(xi , y j ) = f (xi , y j )− f ′(xi , y j )
F. m. cont. di X :h∑
j=1c(xi , y j ) =
h∑j=1
f (xi , y j )−h∑
j=1f ′(xi , y j ) = f (xi )− f (xi ) = 0
F. m. cont. di Y :k∑
i=1c(xi , y j ) =
k∑i=1
f (xi , y j )−k∑
i=1f ′(xi , y j ) = f (y j )− f (y j ) = 0
Michele prof. Perini Matematica 194 / 212
![Page 347: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/347.jpg)
Statistica Test del χ2 di CramerLe contingenze sono a somma nulla, per ottenere unindice complessivo non identicamente nullo si scegliedi tenere conto dei quadrati delle contingenze divisiper la frequenza teorica.
Tabella delle d(x1, y j ) = c2(xi ,y j )f ′(xi ,y j ) :
y1 . . . y j . . . yh Totalex1 d(x1, y1) . . . d(x1, y j ) . . . d(x1, yh) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xi d(xi , y1) . . . d(xi , y j ) . . . d(xi , yh) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xk d(xk , y1) . . . d(xk , y j ) . . . d(xk , yh) . . .
Totale . . . . . . . . . . . . . . . χ2
Chi quadro: χ2 =k∑
i=1
h∑j=1
c2(xi , y j )
f ′(xi , y j )
Michele prof. Perini Matematica 195 / 212
![Page 348: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/348.jpg)
Statistica Test del χ2 di Cramer
Se X e Y sono indipendenti si haf (xi , y j ) = f ′(xi , y j ) e quindi c2(xi ,y j )
f ′(xi ,y j ) = 0
Tabella delle d(x1, y j ) = c2(xi ,y j )f ′(xi ,y j ) in caso di X e Y indipendenti:
y1 . . . y j . . . yh Totalex1 0 . . . 0 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0xi 0 . . . 0 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0xk 0 . . . 0 . . . 0 0
Totale 0 0 0 0 0 χ2 = 0
Michele prof. Perini Matematica 196 / 212
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Statistica Test del χ2 di CramerSe X e Y sono dipendenti si ha
f (xi , y j ) ={
0 se i 6= jf (xi ) = f (yi ) se i = j
f (xi ) = 0 se i > min(h,k), f (y j ) = 0 se j > min(h,k)
Tabella delle frequenze nel caso di X e Y dipendenti:y1 . . . yi . . . yk . . . yh Totale
x1 f (x1) 0 0 0 0 0 0 f (x1). . . 0 . . . 0 0 0 0 0 . . .xi 0 0 f (xi ) 0 0 0 0 f (xi ). . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . .xk 0 0 0 0 f (xk ) 0 0 f (xk )
Totale f (x1) . . . f (xi ) . . . f (xk ) 0 0 n
La perfetta dipendenza si ha se xi → yi e viceversa per ogni i , il massimonumero di connessioni è min(k,h).
Michele prof. Perini Matematica 197 / 212
![Page 350: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/350.jpg)
Statistica Test del χ2 di Cramer
Se X e Y sono dipendenti le frequenze teoriche diventano:
f ′(xi , y j ) ={
f (xi ) f (y j )n se i ≤ min(h,k)∧ j ≤ min(h,k)
0 se i > min(h,k)∨ j > min(h,k)
Tabella delle frequenze nel caso di X e Y dipendenti:y1 . . . yi . . . yk . . . yh Totale
x1f 2(x1)
n . . . f ′(x1, yi ) . . . f ′(x1, yk ) 0 0 f (x1). . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . .xi f ′(xi , y1) . . . f 2(xi )
n . . . f ′(xi , yk ) 0 0 f (xi ). . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . .xk f ′(xk , y1) . . . f ′(xk , yi ) . . . f 2(xk )
n 0 0 f (xk )Totale f (x1) . . . f (xi ) . . . f (xk ) 0 0 n
Michele prof. Perini Matematica 198 / 212
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Statistica Test del χ2 di Cramer
c2(xi , y j )
f ′(xi , y j )=
(f (xi , y j )− f ′(xi , y j )
)2
f ′(xi , y j )=
=(
f (xi , y j )− f (xi ) f (y j )
n
)2 n
f (xi ) f (y j )=
=(
f 2(xi , y j )−2f (xi , y j ) f (xi ) f (y j )
n+ f 2(xi ) f 2(y j )
n2
)n
f (xi ) f (y j )=
= n f 2(xi , y j )
f (xi ) f (y j )−2 f (xi , y j )+ f (xi ) f (y j )
n
Michele prof. Perini Matematica 199 / 212
![Page 352: Matematica - Appunti di Matematica 3](https://reader031.vdocumenti.com/reader031/viewer/2022012023/6169cedc11a7b741a34b97b2/html5/thumbnails/352.jpg)
Statistica Test del χ2 di Cramer
Nel caso della perfetta dipendenza si ha:
c2(xi , y j )
f ′(xi , y j )=
0 se i ∨ j > min(h,k)
n −2 f (xi )+ f 2(xi )n se i = j
f (xi ) f (y j )
n se i 6= j ≤ min(h,k)
per la somma di tutte le celle (χ2):min(h,k)∑
i=1
(n −2 f (xi )+ f 2(xi )
n
)︸ ︷︷ ︸
i= j
+min(h,k)∑
i=1
min(h,k)∑j=1
f (xi ) f (y j )
n︸ ︷︷ ︸i∧ j≤min(h,k)
−min(h,k)∑
i=1
f 2(xi )
n︸ ︷︷ ︸i= j≤min(h,k)︸ ︷︷ ︸
i 6= j≤min(h,k)
=
Michele prof. Perini Matematica 200 / 212
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Statistica Test del χ2 di Cramer
=min(h,k)∑
i=1
(n −2 f (xi )
)+min(h,k)∑i=1
min(h,k)∑j=1
f (xi ) f (y j )
n=
= n ·min(h,k)−2n + 1
n
min(h,k)∑i=1
f (xi )min(h,k)∑
j=1
f (y j ) =
= n ·min(h,k)−2n + n2
n= n(min(h,k)−1)
Michele prof. Perini Matematica 201 / 212
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Statistica Test del χ2 di CramerFormula alternativa per il χ2:
χ2 =k∑
i=1
h∑j=1
c2(xi , y j )
f ′(xi , y j )=
=k∑
i=1
h∑j=1
(n f 2(xi , y j )
f (xi ) f (y j )−2 f (xi , y j )+ f (xi ) f (y j )
n
)=
=k∑
i=1
h∑j=1
n f 2(xi , y j )
f (xi ) f (y j )−2n +n =
= n
(k∑
i=1
h∑j=1
f 2(xi , y j )
f (xi ) f (y j )−1
)Michele prof. Perini Matematica 202 / 212
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Statistica Test del χ2 di Cramer
In sintesi la tabella delle d(x1, y j ) = c2(xi ,y j )f ′(xi ,y j ) :
y1 . . . y j . . . yh Totalex1 d(x1, y1) . . . d(x1, y j ) . . . d(x1, yh) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xi d(xi , y1) . . . d(xi , y j ) . . . d(xi , yh) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xk d(xk , y1) . . . d(xk , y j ) . . . d(xk , yh) . . .
Totale . . . . . . . . . . . . . . . χ2
χ2 =k∑
i=1
h∑j=1
c2(xi , y j )
f ′(xi , y j )= n
(k∑
i=1
h∑j=1
f 2(xi , y j )
f (xi ) f (y j )−1
)
0 ≤χ2 ≤ n(min(h,k)−1)
Michele prof. Perini Matematica 203 / 212
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Statistica Test del χ2 di Cramer
Per ottenere un indice compreso tra zero e uno,dove zero indica la perfetta indipendenza tra duecaratteri e uno la perfetta dipendenza,normalizziamo il χ2:
χ2normalizzato =
χ2
n(min(h,k)−1)
Michele prof. Perini Matematica 204 / 212
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Statistica Regressione lineareDato un certo numero di punti su un piano ciproponiamo di trovare un metodo che consenta dideterminare se questi punti sono linearmentecorrelati e di determinare la retta che eventualmenteli correli.
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Statistica Regressione lineareDati gli n punti Pi (xi , yi ) si ha:
media ascisse: x =n∑
i=1
xi
n, varianza: σ2
x =n∑
i=1
(xi −x)2
n=
n∑i=1
x2i
n−x2
media ordinate: y =n∑
i=1
yi
n, varianza: σ2
y =n∑
i=1
(yi − y)2
n=
n∑i=1
y2i
n−y2
retta interpolante: y = mx +q → y = mx +q
varianza sulle yteor i che − yd ati : σ2 =n∑
i=1
(yi − (mxi +q))2
n
covarianza: σx y =n∑
i=1
(xi −x)(yi − y)
n=
n∑i=1
xi yi −xi y −x yi +x y
n=
=n∑
i=1
xi yi
n− y
n∑i=1
xi
n−x
n∑i=1
yi
n+x y =
n∑i=1
xi yi
n−x y
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Statistica Regressione lineareVogliamo che la retta di regressione renda minimala varianza sulla differenza tra le yteor i che e le yd ati ,deve cioè essere minima la quantità:
n∑i=1
(yi − (mxi +q))2 =n∑
i=1
(yi −mxi −q)2 =
=n∑
i=1
(m2x2i +2mqxi −2mxi yi +q2 −2q yi + y2
i ) =
ricordando che q = y −mx:
=n∑
i=1(x2m2−2xm2xi+m2x2
i −2x ym+2xmyi+2ymxi−2mxi yi+y2−2y yi+y2i ) =
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Statistica Regressione lineare
ricordando che∑ni=1 xi = nx,
∑ni=1 yi = ny ,
∑ni=1 x2
i = nσ2x +
nx2,∑n
i=1 y2i = nσ2
y +ny2 ∑ni=1 xi yi = nσx y +nx y si
ottiene:=σ2
xnm2 −2σx y nm +nσ2y
il polinomio di secondo grado in m assume valoreminimo per:
m = 2σx y n
2σ2xn
= σx y
σ2x
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Statistica Regressione lineare
La retta che meglio interpola i dati è la retta:
y = σx y
σ2x
x + y − σx y
σ2x
x
oppure:y − y = σx y
σ2x
(x −x)
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Statistica Regressione lineare
Una possibile misura della bontà della linearità delladistribuzione di punti di cui abbiamo ricavato laretta di regressione può essere data dalla varianzasulla differenza tra y teoriche e quelle dei dati, cheper la m della retta di regressione diventa:
σ2 =σ2
xn(σx y
σ2x
)2 −2σx y n(σx y
σ2x
)+nσ2
y
n=
=−σ2
x y
σ2x
+σ2y =
σ2yσ
2x −σ2
x y
σ2x
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Statistica Regressione lineare
La relazione σ2 = σ2yσ
2x−σ2
x y
σ2x
ci permette di ricavare:
σ2yσ
2x −σ2
x y
σ2x
≥ 0 →σ2x y ≤σ2
yσ2x →
−σyσx ≤σx y ≤σyσx
vi è perfetta linearità se σ2 = 0 →σx y =±σyσx
i punti da cui si ricava la retta di regressionesono sempre più lontani da una distribuzionelineare al crescere di σ2 cioè per σ2
x y = 0.
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Statistica Regressione lineare
La relazione σ2 = σ2yσ
2x−σ2
x y
σ2x
ci permette di ricavare:
σ2yσ
2x −σ2
x y
σ2x
≥ 0 →σ2x y ≤σ2
yσ2x →
−σyσx ≤σx y ≤σyσx
vi è perfetta linearità se σ2 = 0 →σx y =±σyσx
i punti da cui si ricava la retta di regressionesono sempre più lontani da una distribuzionelineare al crescere di σ2 cioè per σ2
x y = 0.
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Statistica Regressione linearePer quanto detto possiamo definire un coefficiente,detto di correlazione lineare, come:
r = σx y
σyσx→−1 ≤ r ≤ 1
e da questo definiamo anche il coefficiente dideterminazione come:
r 2 =σ2
x y
σ2yσ
2x
→ 0 ≤ r 2 ≤ 1
vi è perfetta linearità se r 2 = 1
i punti da cui si ricava la retta di regressione sono moltolontani da una distribuzione lineare se r 2 = 0.
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Statistica Regressione linearePer quanto detto possiamo definire un coefficiente,detto di correlazione lineare, come:
r = σx y
σyσx→−1 ≤ r ≤ 1
e da questo definiamo anche il coefficiente dideterminazione come:
r 2 =σ2
x y
σ2yσ
2x
→ 0 ≤ r 2 ≤ 1
vi è perfetta linearità se r 2 = 1
i punti da cui si ricava la retta di regressione sono moltolontani da una distribuzione lineare se r 2 = 0.
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