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DAI CERCHI SACRI …
AL CERCHIO LIMITE
Liceo Scientifico Statale “L. Siciliani” Catanzaro
Convegno “Esperienze a confronto” Matematica & Realtà
6-8 Maggio 2013 - Perugia
Tutor:Prof.ssa Anna Alfieri
Studenti:Fabiola BoccutoGiuseppe LazzaroLucrezia MenganiMariagiulia Orlando
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INDICEIntroduzione:
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE:
simmetrie e omotetie
Frattali e loro proprietà
I cerchi sacri:
rosoni romanici e gotici
la Radionica
Il cerchio limite: Escher
Le nostre costruzioni e i nostri paper works
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TRASFORMAZIONI GEOMETRICHEUna trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano stesso.
A(x;y)→ A’(x’;y’)
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4
b in b (in una posizione diversa)
TRASLAZIONE
b b
byy
axx
'
'
b
a
y
x
y
x
10
01
'
'
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5
b in q
bq
ROTAZIONI
cossin'
sincos'
yxy
yxx
y
x
y
x
cossin
sincos
'
'
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6
GLISSO RIFLESSIONI
bp p
yy
axx
yy
xx
'
'
'
'
010
01
'
' a
y
x
y
x
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7
Le trasformazioni si possono combinare
DUE RIFLESSIONI =
ROTAZIONE
d bp
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OMOTETIEDati un numero reale k diverso da zero e un punto P del piano,
l’omotetia di rapporto k e centro O è quella
trasformazione geometrica che associa a P il punto P’ tale che:
OP’=k(OP)b b→
y
x
k
k
y
x
0
0
'
'
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Dalla fine del XIX sec. la scienza si è orientata verso lo studio dei sistemi complessi. Queste problematiche hanno dato l’avvio allo studio del “caos deterministico”, ossia di situazioni di disordine ottenute però da processi
matematico-fisici deterministici.
Nell’universo reale sono presenti infiniti elementi “perturbatori”.
Tale complessità può essere semplificata dai…
Figure geometriche complesse e caotiche determinate per approssimazione di una funzione ricorsiva.
Più semplicemente:
Una figura geometrica in cui un motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta.
Merletto di Koch
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UN FRATTALE DEVE POSSEDERE ALCUNE CARATTERISTICHE FONDAMENTALI:
• Autosomiglianza:
Se alcuni dettagli vengono osservati a scale differenti, si nota sempre una certa somiglianza approssimativa con il frattale originale.
• Risoluzione indefinita:
Non è possibile definire in modo netto e assoluto i confini dell’insieme (i bordi dell’immagine).
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Tutti i frattali hanno una dimensione non intera, ma non le normali figure geometriche . Le quali hanno una dimensione geometrica
Un segmento ad esempio ha dimensione 1 A B
Un quadrato ha dimensione 2
A B
C D
Un cubo ha dimensione 3
B C A D
F H E
G
• Dimensione frazionaria:
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Preso un oggetto che ha dimensione euclidea D e riducendola di un fattore 1/r, la sua misura (perimetro , area, volume) aumenta di:
N=r D
Dove N indica il ricoprimento mentre D indica la dimensione. Per calcolare D dobbiamo ricorrere all’utilizzo dei logaritmi, mentre r indica la riduzione
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Deriva dal latino fractus, rotto, spezzato infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria.
Il fondatore della geometria frattale fu: Benoit MandelbrotUn matematico contemporaneo che, all’inizio degli anni ’80, ha pubblicato i risultati delle sue ricerche nel volume “The fractal geometry of nature” fondando quella che viene chiamata geometria dei frattali.
Le Origini dei frattali
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DAI CERCHI SACRI…
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… AL CERCHIO LIMITE
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Le forme della geometria piana, così simmetriche e regolari sono
state utilizzate nella Geometria sacra, da cui è derivata anche la
Radionica.Sono forme armonizzanti e
riequilibranti.Tuttavia , sebbene armoniche
come forme, dopo un po’ diventano
costrittive e di chiusura con il divenire dell’esistenza.
LA RADIONICALe forme della geometria piana, così simmetriche e regolari, come già
detto, sono state poi utilizzate nella Geometria sacra, da cui è derivata anche la Radionica.
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Il rosone è un elemento decorativo applicato alle facciate delle chiese di stile romanico e gotico.
IL ROSONE
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ROSONI
ROMANICI GOTICI
SIGNIFICATONella forma del rosone è possibile riconoscere
1. Il mandala 2. Il Fiore d’Oro
3. La rosa
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ROSONE DI SAN NICOLA
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Animazione del rosone costituito da 12 triangoli simmetrici
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Il rosone di san Nicola presenta la struttura dell’ IPOCICLOIDE.
L'ipocicloide è una curva piana appartenente alla categoria delle rullette ovvero delle curve generate da una figura che rotola su di un'altra. L'ipocicloide infatti è definita come la curva generata da una circonferenza che rotola sulla parte interna di un'altra circonferenza. Essa è un caso particolare di ipotrocoide.
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ROSONE DI SANTA CHIARA (ASSISI)
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Animazione del rosone costituito da 15 triangoli simmetrici
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Maurits Cornelis Escher M. C. Escher nacque in Olanda il 17 Giugno del 1898. Frequentò la scuola di Architettura e Arti Decorative di Harlem in Olanda e nel 1923 venne in Italia. Le sue opere si basavano sul sottile gioco tra lo sfondo e la figura, che si completano. Morì il 27 Marzo del 1971.
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Nel 1954 Escher incontrò Coxeter, un famoso geometra, in un meeting internazionale di matematica. In seguito, nel 1957, Coxeter inviò a Escher un’illustrazione del piano di Poincarè e guardando la tassellatura di questo cerchio, riuscì a capire le regole del gioco.
Cerchio di Coxeter Piano di Poincarè Cerchio limite di Escher
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I CERCHI LIMITE
Prima di poter parlare di cerchio limite dobbiamo introdurre il concetto di punto limite. Questo si ottiene con delle traslazioni composte a delle riduzioni .
L + L/2 + L/4 + L/8 + … = 2L
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Ecco qui i cerchi limite riprodotti da Escher :
Cerchio limite I
Cerchio limite II
Cerchio limite III Cerchio limite IV
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Dal punto di vista architettonico le sue opere sono caratterizzate da una forte componente matematica. I punti principali su cui si concentrano i suoi lavori sono :
L’infinito
Spazi differenti che si incastrano scambievolmente
Fredda logica delle scienze esatte e mondi naturali differenti
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Possiamo distinguere i vari cerchi limite in due categorie:
• Nella prima il limite delle figure disegnate tende verso l’interno del cerchio
• Nella seconda il limite delle figure disegnate tende verso l’interno del cerchio
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•Farfalle (1959) xilografia
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• Circle Limit III
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Il nostro punto di partenza è un foglio origami
Abbiamo dunque piegato il foglio lungo la sua diagonale per poi piegarlo a metà
1
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A questo punto pieghiamo 1/3 del triangolo ottenuto e poi l’altra parte in modo da ottenere una «coda di rondine»
Tagliamo dunque la parte in eccesso in modo da ottenere un triangolo grande un terzo rispetto a quello iniziale
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7 8
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Partendo dal nostro triangolo iniziamo a ritagliare la sagoma di mezza farfalla per poter poi, aprendo il foglio, ottenere una farfalla intera.
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10 11
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Ritagliamo dunque su entrambi i lati la sagoma delle farfalle
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Dopo aver ritagliato le sagome tagliamo la punta del triangolo
Infine apriamo il foglio ed otteniamo un disegno riportato nella figura 15
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Riconsideriamo le prime 6 fasi precedentemente illustrate per poter costruire la << coda di rondine>>
1 Disegnamo dunque il motivo caratterizzante del rosone sul foglio origami
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3 Con un taglierino ritagliamo il contorno della sagoma
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5 Tagliamo dunque la punta del triangolo
Come ultimo passaggio non ci resta che aprire il foglio per ottenere un rosone simile a quello precedentemente analizzato
6
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1
2
Partendo sempre dal sesto punto della prima costruzione e dopo aver studiato la costruzione geometrica effettuata con Geogebra riportiamo le figure goemetriche che caratterizzano questo rosone
Ritagliamo con un taglierino le figure precedentemente disegnate
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3
4
Tagliamo la punta del triangolo
Quando apriamo il foglio otteniamo una copia del rosone della chiesa di Santa Chiara ad Assisi
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Bibliografia :
• http://www.mcescher.com/• Trasformazioni geometriche e strutture algebriche di Massimo
Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi • I frattali a fumetti di N. Lesmoir-Gordon , W.Rood, R.Edney