capítulo 33: circuitos ac - recinto universitario de...
TRANSCRIPT
![Page 1: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/1.jpg)
Capítulo 33: Circuitos AC
![Page 2: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/2.jpg)
Representaremos un generador AC en un circuito usando
![Page 3: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/3.jpg)
cosB NA B NBAΦ = ⋅ = θA
Bθ
Pero θ=ωt, por lo tanto
cosB NBA tΦ = ωLa EMF inducida es:
( )sinBd NBA tdtΦ
=− =− −ω ωE
max max
sin
sin ,
NBA t
t NBA
= ω ω
= ω = ω
E
E E E
![Page 4: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/5.jpg)
max sin t= ωE E
+ −
Aplicando la ley de Kirchoff para los voltajes tenemos:
max0 , sinV IR IR t= = − ∴ = = ω∑ E E E
![Page 6: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/6.jpg)
maxmaxsin sinI t I t
R= ω = ωE
maxmaxI R
=Edonde es la corriente máxima.
NOTA: La corriente y el voltaje están en fase, según ilustrado en la figura.
![Page 7: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/7.jpg)
Promedio RMS (“root-mean-squared”)
2 2 2 2max max max
2max
1sin , sin
212rms
I I t I I t I
I I I
= ω = ω =
= = Similar para el voltaje.
![Page 8: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/8.jpg)
max sin t= ωE E
+
+
−
−
Aplicando la ley de Kirchoff para los voltajes tenemos:
max0 sinq q
V tC C
= − = ∴ = = ω∑ E E E
![Page 9: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/9.jpg)
max sinq C t= ωE
( )max maxcos cosdq
I C t C tdt
= = ω ω = ω ωE E
max max maxcos ,I I t donde I C= ω = ω E
Usando la identidad cos(ωt)=sin(ωt+90°), tenemos:
( )max sin 90I I t= ω +NOTA: La corriente está adelantada por 90 grados con respecto al voltaje (o el voltaje está atrasado por 90 grados respecto a la corriente).
![Page 10: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/10.jpg)
Vimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual al voltaje en ésta dividida por la resistencia, esto es, I = V/R (Ley de Ohm). Tratando de usar esta idea escribimos la corriente Imax de la siguiente manera:
max maxmax max 1
C
I CX
C
= ω = =
ω
E EE
1CX C=
ωLa cantidad XC dada por
se conoce como reactancia capacitiva y sus unidades son omios.
![Page 11: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/11.jpg)
max sin t= ωE EAplicando la ley de Kirchoff para los voltajes tenemos:
+ −
+ −
max0 sindI dI
V L L tdt dt
⎛ ⎞⎟⎜= + − = ∴ = = ω⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∑ E E E
![Page 12: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/12.jpg)
max
max max
max
sin
cossin
cos
dI t dtL
tI t dt
L L
I tL
= ω
− ω⎛ ⎞⎟⎜= ω = ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ω
= − ωω
∫
E
E E
E
( )
Usando la identidad -cos(ωt)=sin(ωt-90°), tenemos:
maxmax maxsin 90I I t donde I
L= ω − =
ωE
NOTA: La corriente está atrasada por 90 grados con respecto al voltaje (o el voltaje está adelantado por 90 grados respecto a la corriente).
![Page 13: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/13.jpg)
Podemos escribir Imax en forma de la ley de Ohm definiendo una nueva cantidad XL llamada reactancia inductiva:
max maxmax
L
IL X
= =ωE E
La cantidad XL dada porLX L= ω
es la reactancia inductiva y sus unidades son omios.
![Page 14: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/14.jpg)
+
+ +− −
−
I aumentando
max sin t= ωE E
Aplicando la ley de Kirchoff para los voltajes tenemos:
( ) 0dI q
V IR Ldt C
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= + − + − + − =⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ E
![Page 15: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/15.jpg)
La ecuación a resolver es:
max sin ,dI q dqL IR t donde Idt C dt
+ + = ω =E
La solución es:
( )max sinI I t= ω −φdonde
tan L CX XR−
φ =
( )max max
max 22L C
IZR X X
= =+ −
E E
![Page 16: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/16.jpg)
( )22L CZ R X X= + −La cantidad
es la impedancia del circuito. En términos de la impedancia, la corriente está dada por:
( )max sinI tZ
= ω −φE
Podemos expresar estos resultados usando un diagrama de fasores, ilustrado en la siguiente figura.
![Page 17: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/17.jpg)
LV
CVRV
L CV V−
RV
E
Tratamos los voltajes como si fuesen vectores. La magnitud de cada vector es
,max max ,max max
,max max max max
,
,
R R L L L
C C C
V V I R V V I X
V V I X I Z
= = = =
= = = =E E
I
![Page 18: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/18.jpg)
De la figura (b) tenemos
( )( )
( )
( )
22 2max ,max ,max ,max
22 2 2max max
2 2max max
max maxmax 2 2
L C R
L C
L C
L C
V V V
I X X I R
I X X R
IZX X R
= − +
= − +
= − +
= =− +
E
E
E E
Del dibujo tenemos:( ),max ,max max
,max max
tan
tan
L C L C
R
L C
V V I X X
V I R
X XR
− −φ = =
−φ =
EL CV V−
RV
![Page 19: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/19.jpg)
Considera el siguiente circuito donde R=30 Ω, L=60 mH y C=10 µF.El voltaje máximo del generador es 170 voltios y su frecuencia angular es 1000 rad/seg. Calcula (a) la impedancia del circuito, (b) la corriente RMS, (c) la constante de fase del circuito. ¿Cómo está el voltaje, atrasado o adelantado relativo a la corriente?
![Page 20: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/20.jpg)
Resonancia
Si la frecuencia del generador es tal que XL=XC, entonces la constante de fase φ es cero y decimos que el circuito está en resonancia. Observamos lo siguiente:
1. La corriente y el voltaje están en fase.
2. La impedancia tiene su valor más pequeño:
( ) ( )2 22 2 0L CZ R X X R R= + − = + =
3. La corriente Imax (y la RMS) tiene su valor más grande:
rmsrmsó I
R⎛ ⎞⎟⎜ = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Emax maxmaxI Z R
= =E E
![Page 21: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/21.jpg)
Frecuencia de Resonancia
Calculamos la frecuencia de resonancia a partir de la condición XL=XC.
00
20
0
1
1
1
L CX X
LC
LC
LC
=
ω =ω
ω =
ω =
![Page 22: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/22.jpg)
¿En el ejemplo anterior, cuál es la frecuencia de resonancia? ¿Cuál es el valor de la corriente RMS si el circuito estuviese en resonancia?
![Page 23: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/23.jpg)
Potencia en Circuitos AC
La potencia instantánea del generador es:
( ) ( )( )( )
max max
max max
sin sin
sin sin
P I t I t
I t t
= = ω ω −φ
= ω ω −φ
E E
E
Usar la identidad: ( )sin sin cos cos sint t tω −φ = ω φ− ω φ
2max max
1sin22
cos sin sin sin cost
P I t t tω
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= φ ω − φ ω ω⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠E
![Page 24: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/24.jpg)
Potencia en Circuitos AC - continuaciónLa potencia promedio es:
2max max
012
max max max max
1cos sin sin sin2
2
1 1 1cos cos
2 2 2cosrms rms
P I t t
I I
I
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= φ ω − φ ω⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= φ = φ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠
= φ
E
E E
E
Usando
2,rmsrms rms rms rms
RP I I R P I R
Z Z⎛ ⎞⎟⎜= = =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠E
E
cosRZ
φ = tenemos:
![Page 25: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/25.jpg)
El Transformador IdealB
p p
Bs s
pB s
p s
ss p
p
dV N
dtd
V Ndt
Vd Vdt N N
NV V
N
φ= = −
φ= −
φ= − = −
=
E
Por conservación de energía tenemos:p
p p s s s ps
NI V IV I I
N= ∴ =
![Page 26: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/26.jpg)
3
100
4 10
p
p
I A
V v
=
= × 52.4 10 240
30
?
s
línea
s
V v kV
R
I
= × =
= Ω
=
Calcular corriente Is:
3
5
4 10100
2.4 10
1.67
p p s s
ps p
s
s
I V I V
V vI I A
V v
I A
=
⎛ ⎞ ×⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ×⎝ ⎠=
![Page 27: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/27.jpg)
La potencia suplida por la planta es:
( )( )3100 4 10
400,000 400
planta p pP I V A v
W kW
= = ×
= =
La potencia perdida en la línea usando el transformador es:
( ) ( )22 1.67 30 83.3
83.3% 100% 100%
400,000
0.02%
línea s
línea
planta
P I R A W
WPde pérdida
P W
= = Ω =
= × = ×
=
![Page 28: Capítulo 33: Circuitos AC - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/jalemar/cap33confe1.pdfVimos en circuitos DC que la corriente a través de una resistencia es igual](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022052616/60a56310ab4a3f476a041d01/html5/thumbnails/28.jpg)
La potencia suplida si no se usa transformador:
En ese caso la corriente que pasa por la línea es 100 A.
( ) ( )22 100 30 300,000 300
300,000% 100% 100%
400,000
75%
línea
línea
planta
P I R A W kW
WPde pérdida
P W
= = Ω = =
= × = ×
=