assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito lezione 11 prodotti strutturati di tasso
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Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito
Lezione 11
Prodotti Strutturati di Tasso
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Derivati di tasso
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Formula di Black
• La formula di Black, che viene utilizzata per le opzioni sui futures, è in effetti un semplice modo di riscrivere la formula di Black e Scholes utilizzando il prezzo forward come sottostante, piuttosto che il prezzo spot.
• Ricordando ancora che il prezzo forward è definito come F(Y,t) = Y(t)/v(t,T) e le formule di Black e Scholes otteniamo immediatamente
Call = v(t,T)[F(Y,t)N(d1) – KN(d2)]Put = v(t,T)[– F(Y,t)N(– d1) + KN(– d2)]
• Per motivi tecnici che non spieghiamo in questo corso l’utilizzo del prezzo forward piuttosto che di quello a pronti è un criterio di largo utilizzo nei derivati su tassi di interesse e su titoli obbligazionari, e questo rende la formula di Black largamente utilizzata.
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Opzioni su titoli di debitoUtilizzo
• Opzioni su titoli di debito sono utilizzate soprattutto per modificare il piano di rimborso dei titoli obbligazionari (titoli extendible/retractable)
• Titoli putable: titoli che contengono una put sul titolo, a disposizione dell’investitore, tipicamente per un rimborso al nominale (es. i vecchi CTO)
• Titoli callable: titoli che contengono una call sul titolo, a disposizione dell’emittente, per richiamare il debito (presente in molti titoli corporate)
• Titoli exchangeable: cambio del piano di rimborso
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Exchangeable bond2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
S1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Flu
ssi
BEI 20FB2017
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Opzioni su titoli obbligazionariValutazione
• Il principio di fondo della valutazione di opzioni su titoli obbligazionari è che il sottostante cui è riferita l’opzione è il prezzo forward del titolo, piuttosto che il suo prezzo a pronti, e anche la volatilità deve essere riferita al prezzo forward.
• Intuitivamente, questo conduce a utilizzare la formula di Black. Un’opzione call su un coupon bond con scadenza T e cedola fissa c, per esercizio al tempo e strike K è dato da
Call = v(t,)[F(P(t,T;c),t)N(d1) – KN(d2)]dove
F(P(t,T;c),t) = [P(t,T;c) – I(t, )]/v(t,)e I(t,) è il valore attuale del flusso di interessi che verrà maturato dal titolo tra la data corrente e quella di esercizio dell’opzione.
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Il portafoglio di replica
• Consideriamo un’opzione call su un titolo P(t,T;c) con scadenza T e cedola c per un ammontare nominale L e data e prezzo di esercizio e K rispettivamente.
• Il valore dell’opzione corrisponde a– Una posizione lunga per LN(d1) di valore nominale del
titolo– Una posizione corta in un flusso di cedole di ammontare
cLN(d1) con scadenze ti – Una posizione corta in uno ZCB per un ammontare
nominale LKN(d2) e scadenza .
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La volatilità del prezzo forward• La variabile chiave per la valutazione delle opzioni su titoli
obbligazionari è la volatilità• Nel modello di Black la volatilità è riferita a variazioni
percentuali del fattore di sconto, nell’assunzione che questo sia distribuito normalmente.
• Poiché sul mercato è quotata la volatilità del tasso, la volatilità del fattore di sconto è recuperata calcolando
Vol. sconto = vol.tasso x duration x tassodove il tasso di rendimento e la duration sono riferiti al contratto a termine che costituisce il vero sottostante del contratto.
• Si noti che in generale la formula coinvolge il fattore di rischio, che in questo caso è rappresentato dal tasso interno di rendimento, e dalla sensitività del fattore di sconto a questo fattore di rischio, la duration.
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Contratti derivati su tassiCap e floor
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Opzioni su tassi di interesseUtilizzo
• Le opzioni su tassi di interesse sono utilizzate per porre un limite superiore (cap) o inferiore (floor) al valore di una cedola indicizzata
• Un cap/floor è un portafoglio di opzioni call/put sul tasso di interesse, tipicamente definito sullo scadenzario di un flusso di cedole indicizzate
• La singola opzione del portafoglio è chiamata caplet/floorlet. L’utilizzo èTasso indice – max(Tasso Indice – Strike, 0) Tasso indice + max(Strike – Tasso Indice, 0)
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Call – Put = v(t,)(F – Strike)
• Ricordando la relazione di parità tra put e call e applicandola a cap/floor otteniamoCaplet(strike) – Floorlet(strike)
=v(t,)[cedola attesa – strike]=v(t,)[f(t,,T) – strike]
• Questo suggerisce immediatamente che il sottostante del caplet e del floorlet deve essere il tasso d’interesse forward, e la volatilità deve essere quella riferita a tale tasso.
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Opzioni su tassi di interesseValutazione
• Ciascuna delle opzioni sui tassi di interesse caplet /floorlet sono prezzate individualmente e sommate per ottenere il valore del cap/floor
• Una ricetta semplice consiste nell’utilizzare la formula di Black & Scholes avendo cura di– Considerare il tasso forward e la volatilità
corrispondente anziché il tasso spot– Il valore così ottenuto viene scontato utilizzando il
fattore di sconto corrispondente alla data di esercizio
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Cap/Floor: copertura
• Utilizzando la formula di Black, otteniamo
Caplet = (v(t,tj) – v(t,tj+1))N(d1) – v(t,tj+1) KN(d2) Floorlet =
(v(t,tj+1) – v(t,tj))N(– d1) + v(t,tj+1) KN(– d2) • La formula suggerisce immediatamente una
strategia di replica o copertura basata su posizioni lunghe (corte) sulla scadenza tj e corte (lunghe) sulla scadenza tj+i per caplet (floorlet)
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Cap/FloorConvezioni di mercato
• I contratti tipicamente scambiati sul mercato sono con cadenza trimestrale sotto la scadenza di un anno e semestrali per scadenze più lunghe
• Un cap/floor è detto at-the-money se il prezzo strike è uguale al tasso forward swap definito sullo stesso scadenzario del contratto.
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Swaption
• Le swaption sono opzioni che consentono di entrare in un swap fisso contro variable a un tasso strike, ad una data prefissata.
• Una payer-swaption dà il diritto a entrare in un payer swap e corrisponde a un’opzione call, mentre una receiver-swaption dà diritto a entrare in un receiver swap e corrisponde a un’opzione put.
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Cap/floor e swaption
• Come cap e floor, anche la swaption è definita at-the-money se lo strike è uguale al tasso forward swap su un contratto per lo stesso scadenzario.
• Si noti che mentre un cap è un portafoglio di opzioni, una swaption è un’opzione su un portafoglio (un’opzione basket).
• Per questo motivo una swaption vale sempre meno del corrispondente cap (stesso scadenzario e strike)
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Swap e forward start swap
• Un swap permette al detentore di scambiare un flusso di pagamenti fissi con un flusso di pagamenti indicizzati.
• Il tasso swap è il tasso fisso stabilito all’origine, in modo che, scambiato con pagamenti indicizzati, rende il valore del contratto pari a zero.
• Un swap forward è un swap che inizia ad una data futura, diciamo tn
• Il tasso forward swap è il tasso fisso, stabilito in t, che, scambiato con un flusso di cedole indicizzate, rende il valore del swap forward pari a zero.
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Swaption• Una swaption fornisce al detentore il diritto, ma non
l’obbligo, di entrare in un contratto swap ad una data futura tn con un tasso swap pari a Rs.
• Date di reset {tn , tn+1,……tN} per il swap, con pagamenti dovuti alle date {tn +1 , tn +2,……tN + 1}
• Definiamo i = ti +1– ti il tempo tra le date di pagamento e di reset delle cedole ed una combinazione lineare di fattori di sconto
N
niii ttvNntA 1,,;
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Il pay-off di una swaption…
• Una swaption con strike Rs dà al detentore il diritto di entrare in un swap nel quale paga fisso e riceve variabile può essere vista come una sequenza di pay-off…
i max[R(tn;n,N) - Rs ,0]
dove R(tn;n,N) è il tasso swap che verrà osservato al tempo di esercizio tn mentre il valore attuale del pay-off sarà,
A(tn;n,N) max[R(tn;n,N) - Rs ,0]
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…e la valutazione
• Il valore della swaption è calcolato quindi usando
Swaption = A(t;n,N) EA{max[R(tn;n,N) - Rs ,0]}
• Notate che il sottostante dell’opzione è un tasso, piuttosto che un prezzo. Se assumiamo che esso abbia distribuzione log-normale, possiamo recuperare il prezzo utilizzando ancora una volta la formula di Black
Swaption = A(t;n,N) Black[S(t;n,N),K,tn,(n,N)]
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Swaption: ricetta di valutazione
• La valutazione della swaption è complessa, ma la ricetta finale è simile a quella utilizzata per la valutazione di cap e floor.
• Possiamo utilizzare la formula di Black, avendo cura di– Considerare il tasso forward swap e la volatilità
corrispondente anziché il tasso swap– Scontare il risultato così ottenuto utilizzando la somma
dei fattori di sconto sullo scadenzario del swap sottostante.
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Swaption: copertura
• Utilizzando la formula di Black, otteniamoSwaption =
(v(t,tj) – v(t,tN))N(d1) – iv(t,ti) KN(d2) • La formula suggerisce immediatamente una strategia di
replica, suggerita o copertura basata su – Una posizione lunga sulla scadenza di pagamento del primo
flusso per un ammontare N(d1) – Una posizione corta in corrispondenza del pagamento
dell’ultimo flusso per un ammontare N(d1)– Una posizione corta in un portafoglio di titoli sullo
scadenzario per un ammontare N(d2)
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Esercizio su un contratto swap
• Scadenzario:– Data iniziale 24/12/2001– Prima scadenza 24/12/2002– Seconda scadenza 24/12/2003– Scadenza finale 24/12/2006
• Periodicità cedole: trimestrale, act/360• Data primo fixing Euribor: 20/12/01• Data primo fixing Libor US $: 20/12/02
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I flussi di pagamento
• La banca paga: Euribor 3 mesi, posticipato• Il cliente paga:
– Dalla data iniziale alla 1a scadenza: 2.85%– Dalla 1a alla 2a scadenza
• 4.20% se Libor US < 5.25%• Libor US se Libor US 5.25%
– Dalla 2a scadenza alla scadenza finale• 5.20% se Libor US < 6.25%• Libor US pagato in Euro se Libor US 6.25%