andando in qua e là : introduzione al concetto di struttura
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Andando in qua e là : introduzione al concetto di struttura. Liceo Scientifico G. Galilei 6 febbraio 2013. Giochi di Archimede ---- 2006. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Andando in qua e là:introduzione al concetto di struttura
Liceo Scientifico G. Galilei6 febbraio 2013
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Giochi di Archimede ---- 2006
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 10 cm verso est, nel secondo minuto 20 cm verso nord, nel terzo minuto 30 cm verso ovest, nel quarto minuto 40 cm verso sud. E così via.
Dopo 2013 minuti, a che distanza dal punto O si trova il ragno?
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PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 10 cm verso est, nel secondo minuto 20 cm verso nord, nel terzo minuto 30 cm verso ovest, nel quarto minuto 40 cm verso sud. E così via. Dopo 2013 minuti, a
che distanza dal punto O si trova il ragno?
O
al quinto minuto: 50 cm a est
al sesto minuto: 60 cm a nord......
Est
Nord
Ovest
Sud
REGOLA : minuto dopo minuto, per la direzione il ragno segue la sequenza E N O S, mentre la distanza percorsa aumenta sempre di 10 cm.
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Tirare a indovinare
Forza bruta
Metodo matematico
MENONE: Differenza fra retta opinione e Scienza
Platone
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 10 cm verso est, nel secondo minuto 20 cm verso nord, nel terzo minuto 30 cm verso ovest, nel quarto minuto 40 cm verso sud. E così via. Dopo 2013 minuti, a
che distanza dal punto O si trova il ragno?
METODI
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O
REGOLA : minuto dopo minuto, per la direzione il ragno segue la sequenza E N O S, mentre la distanza percorsa aumenta sempre di 10 cm.
idee? ciclo
Alla fine di ogni ciclo di 4 minuti, il ragno ha percorso 20 cm a sud e 20 cm a ovest
= 4 movimenti(cioè 4 minuti)
Metodo matematico
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Soluzione
1) Siccome 2013 : 4 fa 503 e avanza 1, in 2013 minuti il ragno ha fatto 503 cicli più un movimento (verso Est).
2) Dopo i 503 cicli, il ragno si trova 503 x 20 = 10060 cm a Ovest e 10060 cm e Sud del punto di partenza.
3) Nell’ultimo minuto il ragno si è mosso di 2013 x 10 = 20130 cm verso Est
4) Quindi, dopo 2013 minuti, il ragno si trova nel punto P che è 20130 - 10060 = 10070 cm a Est e 10060 cm a Sud di O
5) La distanza di P da O è:
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A R R I V E D E R C I ALT!
Dobbiamo ancora capire bene cosa abbiamo fatto
Un ottimo modo per vedere se abbiamo capito è affrontare variazioni sul tema
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Soluzione
1) Siccome 2013 : 4 fa 503 e avanza 1, in 2013 minuti il ragno ha fatto 503 cicli più un movimento (verso Est).
2) Dopo i 503 cicli, il ragno si trova 503 x 20 = 10060 cm a Ovest e 10060 cm e Sud del punto di partenza.
3) Nell’ultimo minuto il ragno si è mosso di 2013 x 10 = 20130 cm verso Est
4) Quindi, dopo 2013 minuti, il ragno si trova nel punto P che è 20130 - 10060 = 10070 cm a Est e 10060 cm a Sud di O
5) La distanza di P da O è:
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DIMOSTRAZIONE
In ogni ciclo il ragno fa x cm verso Est, x + 10 cm verso Nord, x + 20 cm verso Ovest e x + 30 cm verso Sud.
x cm verso Est = - x cm verso Ovest
x + 10 cm verso Nord = - x - 10 cm verso Sud
In ogni ciclo il ragno fa - x cm verso Ovest, - x - 10 cm verso Sud, x + 20 cm verso Ovest e x + 30 cm verso Sud.quindi il ragno fa - x + x + 20 = 20 cm verso Ovest e - x – 10 + x + 30 = 20 cm verso Sud.
Soluzione
1) Siccome 2013 : 4 fa 503 e avanza 1, in 2013 minuti il ragno ha fatto 503 cicli più un movimento (verso Est).
2) Dopo i 503 cicli, il ragno si trova 503 x 20 = 10060 cm a Ovest e 10060 cm e Sud del punto di partenza.
?
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O
Nord
A1
A4 A5
A2A3
A6
A1 = (10 , 0)
O = (0 , 0)
A2 = (10 , 20)
A3 = (- 20 , 20)
A4 = (- 20 , - 20)
A5 = (30 , - 20)
A6 = (30 , 40)
x =
y =
0 10 10 -20 -20 30 30
0 0 20 20 -20 -20 40
Quali numeri secondo logica aggiungeresti?
-40 -40
40 -40
dimostrazione
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y = 0 0 20 20 -20 -20 40 40 -40
x = 0 10 10 -20 -20 30 30 -40 -40
x = 0 10 -20 30 -40
10 -30 50 -70
y = 0 20 -20 40 -40
20 -40 60 -80
REGOLA : minuto dopo minuto, per la direzione il ragno segue la sequenza E N O S, mentre la distanza percorsa aumenta sempre di 10 cm.
REGOLA al passo N il ragno fa:
se N è pari, n = 2m + 2
se N è dispari, n = 2m + 1
verso Est(20m+10)
verso Nord(20m+20)
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REGOLA al passo N il ragno fa:
se N è pari, n=2m + 2
se N è dispari, n=2m + 1
verso Est(20m+10)
verso Nord(20m+20)
formula apertadescrizione analitica
descrizione locale
ciò che otteniamo dagli esperimenti
nello spazio e nel tempo
ventopressionetemperaturavariazione del ventovariazione di pressionevariazione di temperatura...
previsione
esempio meteo
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Come ottenere una visione globale?
lungo x 10 0 -30 0 50 0 -70 0 90 ... dopo N passi? 10 - 30 + 50 - 70 + 90 ...
(10 - 30) +(50 - 70) +(90 ... (- 20) + (- 20) + ...
serie numerica
si scrive m = 2 a + b b = 0, 1
se b = 0 (cioè m è pari), la somma è -20 a
se b = 1 (cioè m è dispari), la somma è -20 a + 20 m = 20 a + 10
in un colpo solo, la somma è (-1)b+1 20 a + 10 b
...
...
m si ottiene da Nscrivendo N = 2m – r r = 0,1
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REGOLA dopo N minuti il ragno è:
x = (-1)b+1(20 u) + 10 b N = 4 u + ww = -1, 0, 1, 2b = INT(w+1)/2
formula chiusadescrizione algebrica
descrizione globale
y = (-1)b+1(40 u) + 20 b N = 4 u + ww = 0, 1, 2, 3b = |INT(w-1)/2|
?????
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REGOLA al passo N il ragno fa:
se N è pari, n=2m + 2
se N è dispari, n=2m + 1
verso Est(10m+10)
verso Nord(20m+20)
descrizione analitica
descrizione algebrica
REGOLA dopo N minuti il ragno è:
x = (-1)b+1(20 u) + 10 b N = 4 u + ww = -1, 0, 1, 2b = INT(w+1)/2
y = (-1)b+1(20 u) + 20 b N = 4 u + ww = 0, 1, 2, 3b = |INT(w-1)/2|
DUALITA’
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descrizione analitica
descrizione algebrica
DUALITA’
descrizione locale
ciò che otteniamo dagli esperimenti
nello spazio e nel tempo
più facile da ricavare
descrizione globale
ciò che otteniamo dalla elaborazione
nello spazio e nel tempo
più facile da usare
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REGOLA dopo N minuti il ragno è:
x = (-1)b+1(20 u) + 10 b N = 4 u + ww = -1, 0, 1, 2b = INT(w+1)/2
y = (-1)b+1(20 u) + 20 b N = 4 u + ww = 0, 1, 2, 3b = |INT(w-1)/2|
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 10 cm verso est, nel secondo minuto 20 cm verso nord, nel terzo minuto 30 cm verso ovest, nel quarto minuto 40 cm verso sud. E così via. Dopo 2013 minuti, a
che distanza dal punto O si trova il ragno?
ogni minuto la distanza percorsa aumenta di 10 cm.
prima variazione sul tema
e se invece aumentasse di 20 cm? o di 5 cm? o di 4,8123 cm? o di π cm?
o (in generale) di k cm?
2k k
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PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 4 cm verso ovest, nel quarto minuto 8 cm verso sud. E così via.
e se invece ogni minuto la distanza percorsa raddoppiasse?
seconda variazione sul tema
movimentilungo x = 1 0 -4 0 16 0 -64 0 256 0 -1024 0 ...
(tralasciando gli zeri)
serie di potenzea segni alterni
- 3 - 48 - 768
- 3 x 1 - 3 x 16 - 3 x 162 ...
ciclo
ma questa come si somma?
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ma questa come si somma?
a = 1 somma di m volte 1 m
a = 2
1 + 3 + 9 + 27 + .... + 3m
2m+1 - 1
sistema binario 1 1 1 .... 1 1 1 +
1
1 0 0 .... 0 0 0 0 2m+1
a = 3
1 + 2 + 4 + 8 + .... + 2m
sistema ternario 1 1 1 .... 1 1 1
1 1 1 .... 1 1 1 +
+
1
1 0 0 .... 0 0 0 0 3m+1
3m+1 - 1
2
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1 + 16 + 256 + .... + 16m
=
a = 16
sistema esadecimale0123456789ABCDEF
1 1 1 .... 1 1 1
E E E .... E E E +
+
1
1 0 0 .... 0 0 0 0 16m+1
am+1 - 1
a-1
=16m+1 - 1
15
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 4 cm verso ovest, nel quarto minuto 8 cm verso sud. E così via.
movimentilungo x = 1 0 -4 0 16 0 -64 0 256 0 -1024 0 ...
dopo m cicli = -16m+1 - 1
15
ecc. ecc.
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PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 m verso est, nel secondo minuto 1/2 cm verso nord, nel terzo minuto 1/4 m verso ovest, nel quarto minuto 1/8 m verso sud. E così via.
e se invece ogni minuto la distanza percorsa dimezzasse?
terza variazione sul tema
O
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PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 m verso est, nel secondo minuto 1/2 cm verso nord, nel terzo minuto 1/4 m verso ovest, nel quarto minuto 1/8 m verso sud. E così via.
movimentilungo x = 1 0 -1/4 0 1/16 0 -1/64 0 1/256 0 -1/1024 0 ...
3/4 3/64 3/1024
ciclo
=16m+1 - 1
15 x
(3/4)
a = 1/16
am+1 - 1
a-1 (3/4) =
16m dopo m cicli
movimentilungo y =
16m+1 - 1
15 x
(3/8)16m
dopo m cicli =
ecc. ecc. dopo 2013 minuti?
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PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 m verso est, nel secondo minuto 1/2 cm verso nord, nel terzo minuto 1/4 m verso ovest, nel quarto minuto 1/8 m verso sud. E così via.
16m+1 - 1
15 x
(3/4)( =16m
posizione del ragno dopo m cicli
16m+1 - 1
15 x
(3/8)16m
,
dopo 4m minuti.
)
O
e dopo infiniti minuti?
16m+1 - 1
15 x
(3/4)( 16m
16m+1 - 1
15 x
(3/8)16m , ) =
4
5
( , 2
5
)
4/5
2/5
punto limite
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16m+1 - 1
15 x
(3/4)( 16m
16m+1 - 1
15 x
(3/8)16m
, ) e dopo infiniti minuti?
un momento!! m è il numero dei cicli, non dei minuti
movimentilungo x = 1 + 0 -1/4 + 0 + 1/16 + 0 -1/64 + 0 + 1/256 + 0 -1/1024 + 0 + ...
= (1 + 0 -1/4 + 0) + (1/16 + 0 -1/64 + 0) + (1/256 + 0 -1/1024 + 0) + ...
se ho un numero finito di addendi, ok (proprietà associativa)
ma se il numero di addendi è infinito?
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...
(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) ... = 0 + 0 + 0 + 0 ... 0
1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 ... 1
la proprietà associativa, nelle somme infinite, può fallire.
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la proprietà associativa, nelle somme infinite, può fallire.
(cioè il passaggio dai singoli passi ai cicli)
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... qui fallisce
1 + 0 -1/4 + 0 + 1/16 + 0 -1/64 + 0 + 1/256 + 0 -1/1024 + 0 + ...
qui non fallisce
ARCHIMEDE raggiunse grandi traguardi perché aveva la capacità innata di utilizzare correttamente i procedimenti di somma di infinite quantità, ciascuna infinitesima.
I filosofi medioevali non avevano tecniche per comprendere i procedimenti di somme infinite e mancando loro la sensibilità di Archimede, non potevano utilizzarle, pena la comparsa di paradossi (come 1 = 0).
Solo con NEWTON e LEIBNIZ furono poste le basi moderne per il calcolo infinitesimo
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Solo con NEWTON e LEIBNIZ furono poste le basi moderne per il calcolo infinitesimo
F = m a d2s/dt2
descrizione analitica
descrizione globale
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quarta variazione sul tema
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 4 cm verso ovest, nel quarto minuto 8 cm verso sud. E così via.
???
PROBLEMA : Un ragno si muove, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 3 cm in alto, nel quarto minuto 4 cm verso ovest, nel quinto minuto 5 cm verso sud, nel sesto minuto 6 cm verso il basso. Eccetera. Dopo 2013 minuti, dove si trova il ragno?
O
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PROBLEMA : Un ragno si muove, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 3 cm in alto, nel quarto minuto 4 cm verso ovest, nel quinto minuto 5 cm verso sud, nel sesto minuto 6 cm verso il basso. Eccetera. Dopo 2013 minuti, dove si trova il ragno?
O
variazioniogni punto è definito da 3 coordinate.
(1 , 0 , 0) (1 , 2 , 3)(1 , 2 , 0) (-3 , 2 , 3) (-3 , -3 , 3)(0 , 0 , 0) (-3 , -3 , -3)
e così via
il ciclo è composto da 6 passi.
soluz = (1006 , 1007 , 1008)
(1 , 2 , 3)
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O
in dimensione 4
ogni punto è definito da 4 coordinate.
il ciclo è composto da 8 passi.
e perché non salire ancora di dimensione?
(0 , 0 , 0 , 0) (1 , 0 , 0 , 0) (1 , 2 , 0 , 0) (1 , 2 , 3 , 0) (1 , 2 , 3 , 4)
(-4 , 2 , 3 , 4) (-4 , -4 , 3 , 4) (-4 , -4 , -4 , 4) (-4 , -4 , -4 , -4) ...
ma l’esercizio può essere risolto!
solo calcoli.
no disegno
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ogni punto è definito da 4 coordinate.
e perché non salire ancora di dimensione?
(0 , 0 , 0 , 0)
dimensione = numero di coordinate
Arthur Clarke
2001: Odissea nello spazio
...
Come era ovvio, come era necessario il rapporto dei lati del monolito, la sequenza 1 : 4 : 9!
E quale ingenuità avere immaginato che la sequenza terminasse a quel punto, con appena 3 dimensioni!
...
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ma torniamo un attimo sul pianeta Terra ...
Cosa succede se facciamo muovere il ragno sulla superficie (curva) terrestre?
aereo
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PROBLEMA : Un aereo si muove, partendo dal punto O e percorrendo prima 1000 km verso est, poi 2000 km verso nord, poi 3000 km verso ovest, poi 4000 km verso sud. E
così via. Dopo 2013 passi, a che distanza dal punto O si trova l’aereo?
PROBLEMA : Un aereo si muove, partendo dal punto O e percorrendo prima 4000 km verso est, poi 4000 km verso nord, poi 4000 km verso ovest, poi 4000 km verso sud.
A che distanza dal punto O si trova ora l’aereo?
sul piano è chiaro:
al punto di partenza
ma sulla superficie
sferica NO
Geometria non-Euclidea
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Un esploratore cammina 1 km verso sud, 1 km verso est, 1 km verso nord e si accorge di essere tornato al punto di partenza.Vede un orso e lo cattura.Di che colore è l’orso? W
W
PROBLEMA DEGLI ORSI :
polo nord
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punto di partenza?
angolo w
AB = R sen(w)
2πR sen(w) = 1
w = arcsen(1/(2πR))
arco d
d = wR = R arcsen(1/(2πR)))
punto di partenza 1 + R arcsen(1/(2πR)) = circa 1,16 Km dal polo
AB
polo sud
P
P
PA = 1 km
A = ?
A
il giro del mondo partendo da A è lungo un 1 km
quanto dista A dal polo?
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PROBLEMA DELL’AEREO: Un aereo viaggia 1000 km verso est, 1000 km verso sud, 1000 km verso ovest, 1000 km verso nord e si accorge di essere tornato al punto di partenza.Da dove è partito?
punto di partenza?
ESERCIZIO!
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Cosa sono Nord Sud Est Ovest?
???
nord
ovest
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Il pianeta Ciambella
nord
ovest
Liceo Scientifico Statale "Galileo Galilei" di Siena
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"poesia della Matematica"
ITALO CALVINO
nato a Cuba 1923
morto a Siena 1985
Le città invisibili (1972)
MARCO Di una città non godi le sette, o le settantasette meraviglie, ma la risposta che dà ad una tua domanda
KAN O le domande che ti pone, costringendoti a rispondere. Come Tebe, per bocca della Sfinge.
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Il CONCETTO di STRUTTURA
O
un ciclo è una struttura
In tutti i problemi precedenti, il punto chiave consisteva nel riconoscere correttamente una struttura
come ad esempio un ciclo
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Osservazioni sul riconoscimento di STRUTTURE
saper riconoscere correttamente le struttureutili a risolvere un problemaè compito fondamentale nella Matematicanella Fisica, nell’Ingegneria, nell’Informatica, nell’Economia ....
retta opinione
vediamo alcuni esempi in cui la nostra percezione di struttura si comporta in modo distorto.
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Osservazioni sul riconoscimento di STRUTTURE
PROBLEMA : Per raggiungere la sua mela, un lombrico deve salire 6 scalini. Ogni giorno sale 2 scalini, mentre ogni notte ne scende 1.Dopo quante giornate il lombrico raggiungerà la sua mela?
2 -1 2 -1 2 -1 2 ....
1 1 1 .... 6 giorni
2 1 3 2 4 3 5 4 6 giorno1 giorno2 giorno3 giorno4 giorno5
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Osservazioni sul riconoscimento di STRUTTURE
2 42+ =
+ =
+ =
+ =
2 2 4frutti frutti frutti+ =
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2 42+ =
+ =4 oggetti
+ =
2 + =2 6paia di calzini calzini calzini
???4
1 2paio di calzini calzini=
mi raccomando 2 + 2 = 4
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Grazie per l’attenzione
ciao
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Le città invisibili (1972)
... Il Kan cercava di immedesimarsi nel gioco, ma ora era il perchè del gioco a sfuggirgli. Quale era la posta? Allo scacco matto, sotto il piede del re sbalzato dal vincitore, non rimaneva che una casella vuota, un tassello di legno piallato: il nulla ...
Allora Marco parlò – La tua scacchiera, Sire, è intarsio di due legni: ebano e acero. Il tassello sul quale si fissa il tuo sguardo illuminato fu tagliato su uno strato del tronco che crebbe in un anno di siccità: vedi infatti come sono strette le fibre? Ecco un poro più grosso, indice di una malattia della pianta, che forse portò al suo abbattimento ... – e continuava.
Il Kan era stupito. La quantità di cose che si potevano leggere su un pezzetto di legno piallato lo sommergeva. E già Marco era venuto a parlare dei boschi di ebano, di zattere sui fiumi, e di approdi, e di donne alle finestre ...