appunti di meccanica quantistica - webalice.it quantistica/appunti... · capitolo i: presupposti...
Post on 07-Feb-2018
219 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
MECCANICA QAUNTISTICA
Appunti di Teoria
Massimiliano Carfagna
Dipartimento di Fisica
1
INDICE
PRESUPPOSTI DELLA MECCANICA QUANTISTICA ...............3 I. Descrizione di un sistema continuo: la corda vibrante .............................................. 3
2
Capitolo I: Presupposti della Meccanica Quantistica
A.A 2004/05 – Massimiliano Carfagna Corso di laurea in Fisica ed Astrofisica
3
CAPITOLO I.
PRESUPPOSTI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
I. Descrizione di un sistema continuo: la corda vibrante Supponiamo di avere una corda lunga L ancorata a due punti fissi detti A e B . Se
questo sistema fisico, inizialmente all’equilibrio, viene successivamente sollecitato, la sua struttura interna modifica la sua disposizione, istante per istante.
Per descrivere matematicamente questo sistema possiamo seguire due tipi di approcci differenti: 1. consideriamo ogni singolo atomo componente la fune, e descriviamo l’interazione che esso subisce ed esercita dopo la sollecitazione (interpretazione discreta); 2. consideriamo la corda nella sua totalità, pensandola come un sistema continuo.
Appare evidente che la prima interpretazione potrebbe sembrare apparentemente più laboriosa, seppur concettualmente più intuitiva, per questo partiamo da essa per sviluppare, mediante un’operazione di passaggio al limite, l’interpretazione continua.
Nello stato di equilibrio ogni atomo è distante dal suo vicino per un tratto che chiameremo passo reticolare a
ndicheremo con i; i η invece, la distanza che intercorre tra l’atomo i-esimo ed il suo precedente. Come si può notare anche dal disegno, la distanza dall’origine dell’atomo i-esimo è data, in generale dalla:
( )tiax ii η+= 1.
Nella quale ia è la distanza dell’atomo nello stato di equilibrio, mentre la funzione ( )tiη è la funzione che dipende dalla sollecitazione. Derivando rispetto al tempo la (1.) si ottiene che:
( )tx ii η&& = 2.
A questo punto, per descrivere il sistema fisico, utilizziamo la meccanica hamiltoniana, ovverosia, scriviamo, sottoforma di funzione hamiltoniana H , l’energia totale posseduta dalla corda:
Capitolo I: Presupposti della Meccanica Quantistica
A.A 2004/05 – Massimiliano Carfagna Corso di laurea in Fisica ed Astrofisica
4
( ) ( )Ni
N
i
i VtmH ηηηη ,,,,2 1
1
2 KK& +⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=∑
=
3.
Nella precedente relazione, però, il potenziale è incognito, nel senso che è meglio non
fare alcun tipo di ipotesi sul potenziale stesso, ma utilizzare uno sviluppo in serie di Taylor centrato nella posizione di equilibrio dei ogni atomo, cosicché risulti che, se l’atomo è in equilibrio, allora 0=iη . Si ha pertanto:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= =
+
=
+−+∂
∂+==
N
i
N
i
iiii
iii okV
VVi1 1
321
02
0 ηηηηη
ηηη
4.
Possiamo notare due caratteristiche di questo sviluppo:
1. il secondo termine dello sviluppo è nullo in quanto risulta chiaro che, il potenziale, all’equilibrio risulta essere minimo, ciò comporta che la derivata prima del potenziale, calcolata nel punto di equilibrio, è nulla per tutti gli atomi;
2. il terzo termine dello sviluppo vede una costante la quale è proporzionale alle derivate seconde del potenziale rispetto alle singole distanze
kiη , calcolate
nei rispettivi punti di equilibrio. Ciò vuol dire che, nel nostro caso, essendo gli atomi equidistanti l’uno dall’altro, esse assumeranno tutte uno stesso valore che può essere messo in evidenza.
Risulta evidente che qualsiasi sistema, a prescindere dal tipo di potenziale che esso possiede, può essere egregiamente descritto dallo sviluppo appena eseguito. L’unica ipotesi che deve essere sempre valida è quella classica dei sistemi perturbativi: gli atomi non devono allontanarsi troppo dalle posizioni di equilibrio stabile. Ciò si formalizza dicendo che ai <<η , per ogni atomo considerato. Riscriviamo quindi il potenziale:
( ) ( ) ( ) ( )∑=
+ +−+=N
i
iiii okVV1
3212
0 ηηηη 5.
Un’altra osservazione importante da fare è la seguente: nella formulazione eseguita gli
atomi risentono solo l’interazione con il vicino, senza che l’interazione con gli altri venga minimamente rilevata. Ciò è fisicamente errato. Si dimostra, però, che seppure venissero inseriti, all’interno del potenziale, termini che descrivano l’interazione tra atomi distanti tra loro (sempre appartenenti alla corda), il termine riguardante i vicini sarebbe di gran lunga dominante.
A questo punto calcoliamo le equazioni del moto di ogni singolo atomo, derivando il potenziale rispetto ad iη :
( ) ( )[ 11 ++ −−−−=∂
]∂−= iiii
ii kVm ηηηη
ηη&& 6.
dalla quale possiamo notare che la formalizzazione matematica rispetta la realtà dei fatti, in quanto nell’eq,ne del moto di ogni singolo atomo si tiene conto dell’interazione che esso ha con i vicini. Passiamo alla fase due: facciamo un salto verso il continuo utilizzando la modalità di passaggio al limite: affinché il sistema diventi continuo cosa deve avvenire? Semplicemente che
Capitolo I: Presupposti della Meccanica Quantistica
A.A 2004/05 – Massimiliano Carfagna Corso di laurea in Fisica ed Astrofisica
5
le distanze tra gli atomi tendano a zero, ovverosia: , ma ciò comporta una serie di conseguenze così riassunte:
0→a
LaNNa →∞→→ ;;0 7.
Ma questa ipotesi stravolge anche la funzione ( )tiη che adesso non sarà solo dipendente dal
tempo, ma, per via del passaggio al continuo la scriveremo come ( )tx,η , per cui avremo che:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t
txtxdt
dttxt
ai
i
a
i ∂∂
====→→ ,,;,
00 ηηη
ηηη && 8.
Cosa accadrà all’hamiltoniana del sistema? Per prima cosa riscriviamola moltiplicando e dividendo per i suoi membri: a
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) =++⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=
=++⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=
=++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
∑∑
∑∑
=
+
=
+
=
+
=
021
21
021
21
022
1
3
1
212
3
1
212
1
32
12
1
2
Voa
Yta
Voa
aktama
Voa
katamaH
i
N
i
iii
i
N
i
iii
N
i
iii
N
i
i
ηηη
ηµ
ηηη
η
ηηη
η
&
&
&
9.
Possiamo notare che, mandando e quindi 0→a ∞→N si ha che:
• ( ) ( )∫∑ •=•⋅=
∞→
LN
iN
dxa01
lim
• ( ) ( ) ( )
xtx
atxtax
a a
i
a ∂∂
=−+
=−
→
+
→
,,,limlim0
11
0
ηηηηη
• ( ) ( )t
txta
i ∂∂
=∞→ ,ηη&
per cui l’hamiltoniana può essere riscritta nel seguente modo:
( ) ( )∫ ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=
L
dxx
txYt
txH0
22 ,21,
21 ηηµ 10.
Non ci resta che modificare le equazioni del moto, trascrivendole il veste continua
Capitolo I: Presupposti della Meccanica Quantistica
A.A 2004/05 – Massimiliano Carfagna Corso di laurea in Fisica ed Astrofisica
6
( ) ( )[ ]
( ) ( )( ) ( ) (( )[ ])
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )2
2
02
2
0
2
2
0
2
2
0
2
211
,,1lim
,,
,,,,
,,,,
xY
xtx
xtax
aY
t
xtx
xtaxak
tama
ataxtx
atxtaxak
tm
taxtxtxtaxkt
m
km
a
a
a
a
iiiii
∂∂
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
−∂+∂
−=∂∂
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
−∂+∂
−=∂∂
⋅
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−
−−+
−=∂∂
=+−−−+−=∂∂
−−−−=
→
→
→
→
++
ηηηηµ
ηηη
ηηηηη
ηηηηη
ηηηηη&&
11.
Operando tutta quest’algebra si giunge così alla ben nota equazione delle onde, infatti possiamo scrivere che:
02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
xY
tηηµ 12.
Così come è stata calcolata l’hamiltoniana del sistema, appare evidente che, seguendo un ragionamento del tutto analogo, possiamo risalire alla lagrangiana, la quale risulterà identica ma con il segno differente, ovverosia:
( ) ( )∫ ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=
L
dxx
txYt
txL0
22 ,21,
21 ηηµ 13.
Una volta ricavata la lagrangiana del sistema, possiamo ricavare il cosiddetto integrale d’azione o più semplicemente l’azione, per cui, integrando tra l’istante iniziale e quello finale della perturbazione, si ottiene che:
( ) ( )∫ ∫∫ ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=⋅=
f
i
f
i
t
t
Lt
t
dxx
txYt
txdtdtL0
22 ,21,
21 ηηµδ 14.
Le equazioni del moto, scritte nella forma continua, possono essere anche ricavate a partire dalle equazioni di Lagrange, ovverosia scrivendo che:
⎩⎨⎧
==
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂∂
∂=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂ ∑∑
==txxxL
x
Lx
Lx
j
j
jj jj 2
12
1
2
1
;δηδ
ηδ
δηδδ&
15.
le quali scritte in forma esplicita diventano le seguenti:
0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂∂
∂+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂∂
∂
t
Lt
x
Lx ηδ
δηδ
δ
16.
Capitolo I: Presupposti della Meccanica Quantistica
A.A 2004/05 – Massimiliano Carfagna Corso di laurea in Fisica ed Astrofisica
7
In cui il fattore η∂∂L è nullo perché la lagrangiana non dipende da η ma solo dalle sue derivate parziali. Andando a calcolare singolarmente i due addendi si ottiene che:
( ) ( )
( ) ( )t
txt
tx
t
L
xtxY
xtxY
x
L
∂∂
=∂
∂⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
−=∂
∂⋅−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
,,212
,,212
ηµηµηδ
δ
ηηηδ
δ
17.
Quindi, sostituendo nella relazione prima ricavata, derivando nuovamente e dividendo ambo i membri per Y si ottiene l’equazione di un onda:
µηη Yv
xtv==
∂∂
+∂∂ ;01
2
2
2
2
2 18.
top related