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Esercitazione di Meccanica Applicata alle Macchine - 04/12/2013

Vibrazioni di una puleggia oscillante con massa, molla e smorzatore

Vibrazioni libere di un sistema ad un grado di libertà

SVOLGIMENTO

Sia data una puleggia mobile omogenea di massa M al

perno della quale sia appeso un blocco di massa m.

Un ramo della fune è fisso mentre l’altro è collegato al

telaio tramite una molla di costante k e uno smorzatore

di coefficiente c agenti in parallelo.

Determinare la pulsazione s delle oscillazioni

smorzate.

Sono dati:

M = 3 kg

m = 1 kg

k = 300 N/m

c = 30 Ns/m

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Analizzando il comportamento dei due membri presi separatamente (puleggia e blocco), si possono

scrivere le equazioni di equilibrio alla traslazione verticale ed alla rotazione attorno al baricentro

della puleggia:

3

3 1 2

1 2

0 (equilibrio alla traslazione verticale del blocco)

0 (equilibrio alla traslazione verticale della puleggia)

0 (equilibrio alla rotazione della puleggia)

mg T mx

T Mg T T Mx

rT rT I

(1)

in cui si è considerato come verso positivo delle rotazioni quello orario e per gli spostamenti

verticali quello diretto verso il basso; inoltre si è indicato con r il raggio della puleggia.

Le forze di inerzia sono date da m ẍ ed M ẍ, mentre il momento di inerzia è espresso da I Ӫ.

Avendo indicato con x lo spostamento verticale del baricentro della puleggia rispetto alla posizione

di riposo, si osserva che il corrispondente allungamento della molla vale 2x (la molla è collegata al

ramo destro oscillante della fune, se la puleggia scende di una lunghezza x allora il ramo sinistrodella fune rimane incastrato al telaio e quindi il ramo destro scende di una lunghezza doppia 2x).

Inoltre, ipotizzando che la fune non strisci sulla puleggia (rotolamento senza strisciamento), lo

spostamento della puleggia è collegato alla sua rotazione da:

r x (2)

La tensione T 2 nel ramo destro della fune è data dall’equazione costitutiva di molla e smorzatore

viscoso:

22 2 0kx cx T (3)

Mettendo a sistema le equazioni (1) e (3), inserendo nelle equazioni la relazione (2) ed usando per

la puleggia il valore del momento di inerzia

2

2

1 Mr I (4)

si ottiene:

3

1 2 3

2

1 2

2 2

2

T mg mx

T T T Mg Mx

T kx cx

M T T x

(5)

che risulta un sistema di 4 equazioni in 4 incognite (T 1, T 2, T 3, x).

Risolvendo il sistema (5) si trova:

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3

1 2 3

2

1 2

2 2

2 22 2

T mg mx

T T T Mg Mx

T kx cx

M M T T x kx cx x

(6)

Sostituendo la prima, la terza e la quarta equazione all’interno della seco nda equazione del sistema

(6) si ricava la seguente equazione del moto:

g M mkx xc x M m

44

2

3 (7)

Per trovare la pulsazione delle oscillazioni smorzate ω s occorre ricavare prima l’espressione delle

oscillazioni naturali ωn e del fattore di smorzamento ζ ; per far ciò si riporta l’equazione (7) nella

forma canonica:

22 n n x x x f t (8)

L’equazione (7) può essere riscritta nella forma seguente

4 4

3 3 32 2 2

m M c k x x x g

m M m M m M

(9)

Ponendo per comodità

M m M

2

3' , mediante sostituzione nella equazione (9) si ottiene:

g

M

M m x

M

k x

M

c x

'

4

'

4 (10)

e quindi confrontando le equazioni (8) e (10) possiamo scrivere:

2 4 4 814.8 rad/s

' ' 2 3n n

k k k

M M m M

(11)

4 22 0.74

' ' 2 3n

c c c

M kM k m M

(12)

dove ωn rappresenta la pulsazione delle oscillazioni naturali e ζ denota il fattore di smorzamento.

Per le oscillazioni smorzate, infine, si ottiene una pulsazione ω s di:

21 10 rad/s s n (13)

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e quindi una frequenza f s pari a:

211.6 Hz

2 2

s s n f

(14)

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