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2^ Lezione
• Equazioni di 1° .
• Equazioni di 2° .
• Equazioni fattoriali .
• Equazioni biquadratiche .
• Equazioni binomie .
• Equazioni fratte .
Corso di Analisi: Algebra di Base
• Allegato Esercizi .
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EQUAZIONI ALGEBRICHE
EQUAZIONI DI 1° GRADO
Con il termine di equazione intendiamo una uguaglianza tra due espressioni algebriche,contenenti una incognita (x). Risolvere tale equazione significa determinare quel particolarevalore da attribuire alla incognita (x) , per il quale risulti verificata l’eguaglianza .
Es. ax b+ = 0 a
bx
a
b
a
axbax
−=⇒
−=⇒−=⇒ ⇒
a
bx −=
Es. risolvere : 2 4 0x + = ⇒ 2 4x = − ⇒ 22
4−=⇒−= xx
verifica : 0004404)2(2 =⇒=+−⇒=+−
Es. risolvere : − + =3 9 0x ⇒ − = −3 9x ⇒ 3 9x = ⇒ x =9
3 ⇒ x = 3
Es. risolvere : ( )xx −=+− 323
232 ⇒
( )3
36
3
296 xx −=
+− ⇒ xx 618296 −=+−
⇒ 291866 −+=+ xx ⇒ 2512 =x ⇒ 12
25=x
Es. risolvere : ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 231221322 −−=−−+−+−+− xxxxx
⇒ [ ] 23243342 −−=−−−+−+− xxxxx ⇒ 142372 −+−=+−+− xxxx
⇒ 45 +=− x ⇒ 45 −=x ⇒ 5
4−=x
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EQUAZIONI DI 2° GRADO
equazione completa ed ordinata
le soluzioni ( o radici ) dell'equazione si ottengono dall' applicazione diretta della formula :
detta formula risolutiva .
dove si chiama discriminante dell’equazione .
Allo stesso modo si può utilizzare quella che si chiama formula ridotta ( notevolmentevantaggiosa in certi casi )
02 =++ cbxax
a
acbbx
2
42
21
−±−=
∆ = −b ac2 4
a
acbb
x−±−
= 42
2
21
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Caratteristiche principali dell'equazione di 2° grado :
Casi particolari dell’equazione di 2° grado : ( )ax bx c2 0+ + =
1) Se l’equazione diventa ax bx2 0+ = detta anche equaz. SPURIA
applicando la formula risolutiva abbiamo :
xb b ac
a
b b
a
b b
a
xb b
a
b
a
b
a
xb b
a
12
2 2 1
2
4
2 2 22
2
2
20
=− ± −
=− ±
=− ±
==
− −=
−=
−
=− +
=
02 =++ cbxax
1) 0≥∆ 2 soluzioni 21 xx ≠ reali e distinte .
2) 0=∆ 2 soluzioni 21 xx = reali e coincidenti . ( il polinomio è il quadrato di un binomio ).
3) 0<∆ ∀/ ℜ∈x ( nessuna soluzione in ℜ ) .
c = 0
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Gli stessi risultati li possiamo ottenere molto più semplicemente usando il raccoglimento afattore comune :
ax bx2 0+ = ⇒⇒ x ax b( )+ = 0 ⇒
−=⇒=+
=
a
bxbax
x
1
2
0
0
Es. 3 4 02x x− = ⇒ x x
x
x( )3 4 0
0
4
3
1
2
− = ⇒=
=
2) Se l’equaz. diventa ax c2 0+ = detta anche equaz. PURA
applicando nuovamente la formula risolutiva abbiamo :
xac
a
ac
a
c
a1
2 2
4
2
4
4= ±
−= ±
−= ±
−
−−=
−+=⇒
a
cx
a
cx
2
1
Equivalentemente potremo risolvere anche così :
ax c2 0+ = ⇒ xc
a2 =
− ⇒ x
c
a= ±
−
−−=
−+=⇒
a
cx
a
cx
2
1
NOTA BENE : dal momento che stiamo operando nel campo dei numeri reali le soluzionidi un’equazione pura sono accettabili se e solo se i valori dei coefficienti a e c sono disegno discorde.
b = 0
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Quindi :
><<>
⇔ℜ∈0,0
0,0, 21 ca
caxx
Es. 4 16 02x − = ⇒ x 2 16
4= ⇒ 2±=x ( )0,0 <> ca
x 2 8 0+ = ⇒ x 2 8= − ⇒ x = ± − 8 ⇒ ℜ∈∀/ x
In questo caso si poteva ragionare in modo semplice considerando che un quadrato ( x2 )che esprime una quantità positiva non può mai essere uguale ad un numero negativo.
Ricordiamo che il grado di un'equazione è dato dal grado massimo di un suo monomio e che ilgrado esprime altresì il numero massimo di soluzioni ( radici ) della stessa . Il monomio privo difattore letterale ( incognita ) è detto termine noto dell'equazione ; la mancanza di tale terminequalifica l'equazione come omogenea .
Sintetizzando :
0............ 021 =++++ −− zxcxbxax nnn equazione ordinata ( potenze decrescenti ) e completa ( presenza del termine noto )
0............ 02 =+++ − zxcxax nn equazione ordinata ( potenze decrescenti ) e incompleta ( mancanza di un termine )
0............ 121 =++++ −− vxcxbxax nnn equazione ordinata omogenea ( potenze decrescenti ) e incompleta ( mancanza del termine noto )
EQUAZIONI FATTORIALI
Si ottengono applicando le regole della scomposizione alle equazioni di grado superiore alsecondo.
Es. P xn ( ) = 0 ⇒ A x B x C x Z x( ) ( ) ( ) ...... ( )⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 0
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Es. risolvere : x x x3 23 3 0− + − =
Applicando le regole della scomposizione abbiamo :
0)3(1)3(2 =−+− xxx raccogl. parziale o successivo
( )x − ⋅3 ( )x 2 1+ = 0
A x B x( ) ( )⋅ = 0 quindi un’equazione fattoriale altro non è che il prodotto di due o più fattori ( rappresentati da singoli polinomi ).
E’ del tutto evidente che un prodotto di due o più fattori è nullo se almeno uno dei fattorilo è. Quindi risolveremo un’equazione fattoriale discutendo l’annullamento di ogni singolofattore.
Tale procedimento deriva dalla cosiddetta LEGGE DELL’ANNULLAMENTO DELPRODOTTO.
A x
B x
( )
( )
==
0
0
Riprendendo l’esempio sopra avremo che :
ℜ∈∀/−=⇒=+
=⇒=−⇒=+⋅−
)(10)1(
30)3(0)1()3(
222
realesoluzionenessunaxxx
xxxx
Altro Es. risolvere : x x x3 23 3 1 0− + − = equaz. di 3° grado
tramite Ruffini : ( ) ( ) ( )x x x− ⋅ − ⋅ − =1 1 1 0
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A x B x C x( ) ( ) ( )⋅ ⋅ = 0
=⇒=−=⇒=−=⇒=−
10)1(
10)1(
10)1(
xx
xx
xx
Equivalentemente : ( )x −1 3 = 0 101 =⇒=−⇒ xx ( radice o soluzione tripla)
EQUAZIONI BIQUADRATICHE
Un caso particolare di equazione di grado superiore al 2° è dato da un polinomiodi 4° grado mancante dei termini di grado dispari ; tale tipo di equazione viene chiamatabiquadratica .
Simbolicamente assumerà la forma ax bx c4 2 0+ + =
La risoluzione di tale tipo di equazione avverrà tramite il metodo di sostituzione :
dopo aver posto x t2 = andremo a risolvere una semplice equazione di 2° grado ; avremodunque alla fine i corrispondenti valori di t che dovranno essere risostituiti nella condizioneposta inizialmente per risolvere l’equazione pura corrispondente .
Es: risolvere : 0123 24 =−− xx
txxx =⇒=−− 224 0123 ⇒
=
−==+±=⇒=−−
13
1
6
12420123
2
12
21
t
tttt
e di qui si ha :
+=−=
⇒=
ℜ∈∀/⇒−=
1
11
3
1
2
12
2
x
xx
xx
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EQUAZIONI BINOMIE
Un tipo di equazione di grado superiore al 2° costituita da un polinomio di soli due termini( binomio ) definisce quella che si chiama equazione binomia .
La forma sarà del tipo 0=+ baxn
La risoluzione corretta di tale tipo di equazione avverrà tramite corrispondente equazionefattoriale .
Es: risolvere : 014 =−x
( )( ) 101101 224 ±=⇒=+−⇒=− xxxx
Es: risolvere : 083 =−x
( )( ) 2042208 23 =⇒=++−⇒=− xxxxx
Es: risolvere : 0646 =−x
( ) ( ) ( )( ) 2016440202 242323266 ±=⇒=++−⇒=−⇒=− xxxxxx
Da un punto di vista oggettivamente pratico , benchè il metodo corretto sia quello enunciato dianzi ,possiamo determinare le radici reali di un’equazione binomia :
a) come un’equazione di 2° grado pura ( se di indice n-pari ) ,b) come un’equazione di 1° grado , con la relativa estrazione di radice , ( se di indice n-dispari ) .
Sinteticamente :
)(0
)(0
disparina
bx
a
bxbax
parina
bx
a
bxbax
nnn
nnn
−−=⇒−=⇒=+
−−±=⇒−=⇒=+
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Riesaminando gli esempi precedenti si ha :
Es: risolvere : 014 =−x ⇒ 111 44 ±=⇒±=⇒= xxx
Es: risolvere : 083 =−x ⇒ 2288 3 333 =⇒=⇒=⇒= xxxx
Es: risolvere : 0646 =−x ⇒ 226464 6 666 ±=⇒±=⇒±=⇒= xxxx
Es: risolvere : 033 =+x ⇒ 333 333 −=⇒−=⇒−= xxx
Es: risolvere : 058 =+x ⇒ ℜ∈∀/⇒−= xx 58
EQUAZIONI FRATTE
Per equazione fratta si intende un’equazione la cui variabile ( incognita x ) compare anche aldenominatore.
A x
B x
( )
( )= 0
Tale tipo di equazione si risolve considerando l’equazione formata dal solo numeratore, dopola discussione del denominatore ( con la conseguente sua esclusione ). Sostanzialmente siapplicauna delle proprietà fondamentali dell'algebra : moltiplicando ambedue i termini di una uguaglianzaper uno stesso numero il risultato non cambia
( ) ( )xBxB
xAxB ⋅=⋅ 0
)(
)(
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Posto quindi B x( ) ≠ 0 andremo a risolvere A x( ) = 0
Le soluzioni finali dell’equazione saranno accettabili se e solo se compatibili con ladiscussione fatta inizialmente.
Es. risolvere : x x
x
2 4 1
10
− +−
=
posto dunque 10)1( ≠⇒≠− xx
risolveremo
+=
−=⇒=+−
32
32014
2
12
x
xxx entrambe accettabili
poiché diverse da 1
Es. risolvere : x
x
2 1
10
−+
=
posto 101 −≠⇒≠+ xx
avremo 1012 ±=⇒=− xx
−=+=
⇒1
1
2
1
x
x con x2 non accett.
Quindi la sola soluzione dell’equazione data rimane x = 1 .
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Es. 01
232
=+
+−x
xx
posto 101 −≠⇒≠+ xx
avremo 2
8930232 −±+
=⇒=+− xxx
+=+=
⇒1
2
2
1
x
x entrambe soluzioni .
NOTA : Vogliamo ricordare che le soluzioni (o radici ) di un’equazione sono al massimo pari al grado dell’equazione.
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ESERCIZI SULLE EQUAZIONI BINOMIE (SPURIE)
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI DI 1°GRADO
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI BINOMIE (PURE)
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 2°
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI FRATTE
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI DI 2°GRADO
Esercizi della 2°lezione di Algebra di base
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USO DEI PULSANTI
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Risolvere le seguenti equazioni di primo grado :
1. ( )3 5 2 1 0x x− + − + =
( ) 30225301253 =⇒=+−−⇒=+−+− xxxxx
2. ( )3 7 5 2 5− − + = +x x
( )
5
37
37553352752357352573
=⇒
=⇒+−=−⇒+=−+⇒+=+−−
x
xxxxxxx
3. ( )( ) ( )4 5 2 2 2 1 5 4 32x x x x x x− − + + − + = − + −
( )( ) ( ) ( )
2
25
2523220424345222054
3452245434512225422
222
=⇒
−=−⇒−−−=−−⇒−+−=+−+−⇒
−+−=+−−−⇒−+−=+−++−−
x
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
4. ( ) ( )24 2 3 5 3 2 8 2 4 92 2+ − − − + − = + −x x x x x x
( ) ( )
2
1416524266
641635322464282353224
22
22222
=⇒+++−=++−⇒
−+=−−−−+⇒−+=−+−−−+
xxxx
xxxxxxxxxx
5. ( ) ( ) ( )x x x x x+ + − − = − − − − +6 2 4 7 3 2 5 3
( ) ( ) ( )
4
11228521631482
35142182635237426
−=⇒−=⇒+−−=++−−⇒
−+−−=−−+⇒+−−−−=−−++
xxxxxxx
xxxxxxxxxx
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6. ( )xx
xx
−+ − +
=
− +
− − +
3
22
5
47
3 2
85 3
( )
33
464633
4014201224162148
24401421
8
2016124
354
7
8
21
2
52
2
335
8
237
4
52
2
3
=⇒=⇒
++−+=+−+⇒−++−
=+−−
−++−=+−−
⇒+−−
+−
=
+−+−
xx
xxxxxxxx
xxxx
xx
xx
7. ( )2 3
3
5 2
4
3 2
63 3
−+
+
=
− +
− + −
x x xx
( )
45
262645
36468366151212
363646
12
615128
12
363646
12
61512833
6
23
4
25
3
32
=⇒=⇒
++−−=+++−⇒+−+−
=++−
⇒
+−+−=++−⇒−+−
+−=
++−
xx
xxxxxxxx
xxxxx
xxx
8. ( )+ − + ++
=
− +
−
−
2 2
3
12
3 2
3
2
4x
x x x
( )
8
373786834831224
12
63812
12
34824
4
2
3
23
12
322
=⇒−=−⇒++−−=+++−⇒
+−+−=
+++−⇒
−
−
+−
=
+
++−+
xxxxxx
xxxxxxxx
9. ( )xx
xx
−+ − +
=
− −
− − +
3
54
5
32
3 5
152
( )
36
71713610030109156603
15
1530106
15
10060932
15
532
3
54
5
3
−=⇒=−⇒−+−+=++−
−+−−=
+−−⇒+−−
−−
=
+−+
−
xxxxxx
xxxxx
xx
x
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10. ( )− − +
= − + +
+
−2 3
5
25 2
3 2
33x x
x
( )
3
55030188303012636
6
18812306
6
30363
3
2325
2
532
=⇒=⇒−++=−+⇒
−+++−=
−+⇒−
+
++−=
+−−
xxxxx
xxxxxx
![Page 18: 2^ Lezione - pers.ge.imati.cnr.itpers.ge.imati.cnr.it/cerri/OFA/Giorno2/equazioni.pdf · 2^ Lezione • Equazioni di 1° . • Equazioni di 2° . • Equazioni fattoriali . • Equazioni](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022042612/5f56dc628fbe5c5524690e25/html5/thumbnails/18.jpg)
Risolvere le seguenti equazioni binomie di secondo grado, mancanti del termine noto (spurie).
11. x x2 3 0+ =
−=
=⇒
−=
=⇒=+
3
0003
2
1
2
12
x
x
a
bx
xchericordandoxx
12. 5 3 02x x− =
=
=⇒
−=
=⇒=−
5
3
00035
2
1
2
12
x
x
a
bx
xchericordandoxx
13. x x2 5 0− =
=
=⇒
−=
=⇒=−
5
0005
2
1
2
12
x
x
a
bx
xchericordandoxx
14. 2 3 02x x+ =
−=
=⇒
−=
=⇒=+
2
3
00032
2
1
2
12
x
x
a
bx
xchericordandoxx
15. x
xx2 2
32 3
12
6− = +
−
012121826
1218
6
122
6
1232
322
2222
=+−−−⇒−+
=−
⇒−
+=− xxxxxxx
xx
=
=⇒
−=
=⇒=−
18
00
0182
1
2
12
x
x
a
bx
xchericordandoxx
16. x x
x2 21
31
4
6
+− =
−+
0462626
64
6
622
6
41
3
1 222222
=+−+−−⇒+−
=−+
⇒+−
=−+
xxxxxx
xxx
![Page 19: 2^ Lezione - pers.ge.imati.cnr.itpers.ge.imati.cnr.it/cerri/OFA/Giorno2/equazioni.pdf · 2^ Lezione • Equazioni di 1° . • Equazioni di 2° . • Equazioni fattoriali . • Equazioni](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022042612/5f56dc628fbe5c5524690e25/html5/thumbnails/19.jpg)
=
=⇒
−=
=⇒=−
6
0006
2
1
2
12
x
x
a
bx
xchericordandoxx
17. x x x2 22
3
1
41
7
12
+−
+= −
+
0712383412
712
12
3384
12
71
4
1
3
2 222222
=+−−++−⇒−−
=−−+
⇒+
−=+
−+
xxxxxxxxx
−=
=⇒
−=
=⇒=+
1
000
2
1
2
12
x
x
a
bx
xchericordandoxx
18. ( )x x x x x−
+−
=−
++2
4
4
3
3
2
1
6
( )0103
12
22186
12
16463
6
1
2
3
3
4
4
2 22
=−⇒++−
=−+−
⇒+
+−
=−
+−
xxxxxxxxxxxx
=
=⇒
−=
=⇒=−
3
10
000103
2
1
2
12
x
x
a
bx
xchericordandoxx
19. ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x x x x+ −
+− +
=+ −3 2
4
1 1
5
1 17
10
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0377034322443055
17162446520
17172
20
14
20
6325
20
1712
20
114
20
235
10
171
5
11
4
23
2222
222222
=+⇒=++−−+−+⇒
−−=−+−+⇒−+−
=−
+−+−
⇒
−+=
+−+
−+⇒
−+=
+−+
−+
xxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
−=
=⇒
−=
=⇒=+
7
37
000377
2
1
2
12
x
x
a
bx
xchericordandoxx
![Page 20: 2^ Lezione - pers.ge.imati.cnr.itpers.ge.imati.cnr.it/cerri/OFA/Giorno2/equazioni.pdf · 2^ Lezione • Equazioni di 1° . • Equazioni di 2° . • Equazioni fattoriali . • Equazioni](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022042612/5f56dc628fbe5c5524690e25/html5/thumbnails/20.jpg)
20. ( )
( )x x x
x−
−+
=−
+ +1
2
3
6
2
4
1
23 1
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
0182123661863266126
12
13663
12
261613
2
1
4
2
6
3
2
1
2222
2222
=−−−−⇒++−=−−+−⇒
++−=
−−−⇒++
−=
+−
−
xxxxxxxxxx
xxxxx
xxx
=
=⇒
−=
=⇒=−
3
32
000323
2
1
2
12
x
x
a
bx
xchericordandoxx
![Page 21: 2^ Lezione - pers.ge.imati.cnr.itpers.ge.imati.cnr.it/cerri/OFA/Giorno2/equazioni.pdf · 2^ Lezione • Equazioni di 1° . • Equazioni di 2° . • Equazioni fattoriali . • Equazioni](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022042612/5f56dc628fbe5c5524690e25/html5/thumbnails/21.jpg)
Risolvere le seguenti equazioni binomie di secondo grado (pure) :
21. x 2 9 0− =
3
0,0
0,009
21
21
2
±=
><<>
−±=⇒=−
x
ca
case
a
cxchericordandox
22. 4 49 02x − =
2
7
0,0
0,00494
21
21
2
±=
><<>
−±=⇒=−
x
ca
case
a
cxchericordandox
23. − + =36 4 02x
3
0,0
0,00436
21
21
2
±=
><<>
−±=⇒=+−
x
ca
case
a
cxchericordandox
24. 8 64 02x − =
22
0,0
0,00648
21
21
2
±=
><<>
−±=⇒=−
x
ca
case
a
cxchericordandox
25. − + =x 2 16 0
4
0,0
0,0016
21
21
2
±=
><<>
−±=⇒=+−
x
ca
case
a
cxchericordandox
![Page 22: 2^ Lezione - pers.ge.imati.cnr.itpers.ge.imati.cnr.it/cerri/OFA/Giorno2/equazioni.pdf · 2^ Lezione • Equazioni di 1° . • Equazioni di 2° . • Equazioni fattoriali . • Equazioni](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022042612/5f56dc628fbe5c5524690e25/html5/thumbnails/22.jpg)
26. 25 9 02x − =
5
3
0,0
0,00925
21
21
2
±=
><<>
−±=⇒=−
x
ca
case
a
cxchericordandox
27. − − =49 16 02x
ℜ∈∀/
><<>
−±=⇒=−−
x
ca
case
a
cxchericordandox
0,0
0,001649
21
2
28. 48 4 02x − =
32
1
0,0
0,00448
21
21
2
±=
><<>
−±=⇒=−
x
ca
case
a
cxchericordandox
29. 121 9 02x + =
ℜ∈∀/
><<>
−±=⇒=+
x
ca
case
a
cxchericordandox
0,0
0,009121
21
2
30. − + =x 2 1 0
1
0,0
0,00448
21
21
2
±=
><<>
−±=⇒=−
x
ca
case
a
cxchericordandox
![Page 23: 2^ Lezione - pers.ge.imati.cnr.itpers.ge.imati.cnr.it/cerri/OFA/Giorno2/equazioni.pdf · 2^ Lezione • Equazioni di 1° . • Equazioni di 2° . • Equazioni fattoriali . • Equazioni](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022042612/5f56dc628fbe5c5524690e25/html5/thumbnails/23.jpg)
Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado ( complete )
31. x x2 5 6 0− + =
==
=±
=>=∆⇒=+−2
3
2
15:01065
2
1
21
2
x
xxhasipoichèxx
32. x x2 8 12 0+ + =
−=−=
=±−=>=∆
⇒=++6
244:04
40128
2
1
21
2
x
xxhasipoichèxx
33. x x2 10 21 0+ + =
−=−=
=±−=>=∆⇒=++7
345:04
402110
2
1
21
2
x
xxhasipoichèxx
34. − + − =x x2 5 6 0
==
=−±−=>=∆⇒=−+−
3
2
2
15:01065
2
1
21
2
x
xxhasipoichèxx
35. x x2 5 7 0+ + =
ℜ∈∀/<−=∆⇒=++ xhasipoichèxx :030752
36. x x2 6 0− − =
−==
=±=>=∆⇒=−−2
3
2
251:02506
2
1
21
2
x
xxhasipoichèxx
37. x x2 8 9 0− + =
−=
+==±=>=
∆⇒=+−
74
7474:07
4098
2
1
21
2
x
xxhasipoichèxx
38. x
x x−
− = −1
3
3
212
04766
66
6
9221
2
3
3
1 22
2 =−+⇒−
=−−
⇒−=−−
xxxxx
xxx
![Page 24: 2^ Lezione - pers.ge.imati.cnr.itpers.ge.imati.cnr.it/cerri/OFA/Giorno2/equazioni.pdf · 2^ Lezione • Equazioni di 1° . • Equazioni di 2° . • Equazioni fattoriali . • Equazioni](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022042612/5f56dc628fbe5c5524690e25/html5/thumbnails/24.jpg)
−−=
+−=
=±−
=>=∆⇒=−+
12
1457
12
1457
12
1457:01450476
2
1
21
2
x
xxhasipoichèxx
39. 2 1
4
3 2
22x x
x−
−+
=
05444
4
4
4612
2
23
4
12 22
2 =++⇒=−−−
⇒=+
−−
xxxxx
xxx
ℜ∈∀/<−=∆
⇒=++ xhasipoichèxx :0164
0544 2
40. 5 3
6
2 3
4
2−− =
−xx
x
043612
96
12
12610
4
32
6
35 222
=−+⇒−
=−−
⇒−
=−−
xxxxxx
xx
−−=
+−=
=±−
=>=∆⇒=−+
12
1053
12
1053
12
1053:01050436
2
1
21
2
x
xxhasipoichèxx
![Page 25: 2^ Lezione - pers.ge.imati.cnr.itpers.ge.imati.cnr.it/cerri/OFA/Giorno2/equazioni.pdf · 2^ Lezione • Equazioni di 1° . • Equazioni di 2° . • Equazioni fattoriali . • Equazioni](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022042612/5f56dc628fbe5c5524690e25/html5/thumbnails/25.jpg)
Risolvere le seguenti equazioni di grado superiore al secondo :
41. x x3 2 1 0− + =
Applicando Ruffini si ha :
( )( ) 011 2 =−+− xxx che per l'appunto definisce una equazione fattoriale .
da cui :
−−=
+−==
±−=⇒>=∆⇒=−+
=
⇒
=−+
=−
2
51
2
51
2
510501
1
01
01
2
1
21
22
x
xxxx
x
xx
x
e quindi riassumendo le soluzioni sono :
±−2
51;1
42. 3 4 1 03 2x x− + =
Applicando Ruffini si ha :
( )( ) 0131 2 =−−− xxx che per l'appunto definisce una equazione fattoriale .
+ 1 0 - 2 + 1
x = + 1 + 1 + 1 - 1
+ 1 + 1 - 1 0
+ 3 - 4 0 + 1
x = + 1 + 3 - 1 - 1
+ 3 - 1 - 1 0
![Page 26: 2^ Lezione - pers.ge.imati.cnr.itpers.ge.imati.cnr.it/cerri/OFA/Giorno2/equazioni.pdf · 2^ Lezione • Equazioni di 1° . • Equazioni di 2° . • Equazioni fattoriali . • Equazioni](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022042612/5f56dc628fbe5c5524690e25/html5/thumbnails/26.jpg)
da cui :
−=
+=
=±
=⇒>=∆⇒=−−
=
⇒
=−−
=−
6
131
6
131
6
131013013
1
013
01
2
1
21
22
x
xxxx
x
xx
x
e quindi riassumendo le soluzioni sono :
±6
131;1
43. x x4 22 1 0− + =
Applicando Ruffini si ha :
( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )( ) 01110111011 2223 =−+−⇒=+−+−⇒=−−+− xxxxxxxxxxx
che per l'appunto definisce una equazione fattoriale .
da cui :
±=⇒>=∆⇒=−
−==
⇒
=−
=+=−
10401
1
1
01
01
01
21
22 xx
x
x
x
x
x
e quindi riassumendo le soluzioni sono : ( )1;1 +−
+ 1 0 - 2 0 + 1
x = + 1 + 1 + 1 - 1 - 1
+ 1 + 1 - 1 - 1 0
![Page 27: 2^ Lezione - pers.ge.imati.cnr.itpers.ge.imati.cnr.it/cerri/OFA/Giorno2/equazioni.pdf · 2^ Lezione • Equazioni di 1° . • Equazioni di 2° . • Equazioni fattoriali . • Equazioni](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022042612/5f56dc628fbe5c5524690e25/html5/thumbnails/27.jpg)
Avremmo potuto anche risolvere l'equazione come biquadratica :
x x4 22 1 0− + =
posto 100122
122 =⇒=∆=+−⇒= tpoichètttx
e risostituendo : 112 ±=⇒= xx
Sarebbe stato più semplice se da subito avessimo notato che :
( ) ( )( )
±=⇒=−
±=⇒=−⇒=−−⇒=−⇒=+−
101
10101101012
2
2222224
xx
xxxxxxx
44. x x3 2 21 0− − =
Applicando Ruffini si ha :
( )( ) 0733 2 =++− xxx che per l'appunto definisce una equazione fattoriale .
da cui :
ℜ∈∀/⇒<−=∆⇒=++
=⇒
=++
=−
xxx
x
xx
x
019073
3
073
0322
e quindi riassumendo le soluzioni sono : ( )3
+ 1 0 - 2 - 21
x = + 3 + 3 + 9 + 21
+ 1 + 3 + 7 0
![Page 28: 2^ Lezione - pers.ge.imati.cnr.itpers.ge.imati.cnr.it/cerri/OFA/Giorno2/equazioni.pdf · 2^ Lezione • Equazioni di 1° . • Equazioni di 2° . • Equazioni fattoriali . • Equazioni](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022042612/5f56dc628fbe5c5524690e25/html5/thumbnails/28.jpg)
45. 01623 23 =−−− xx Applicando Ruffini si ha :
( )( ) 08432 2 =−+−+ xxx che per l'appunto definisce una equazione fattoriale .
da cui :
ℜ∈∀/⇒<−=∆
⇒=+−
−=⇒
=−+−
=+
xxx
x
xx
x
0204
0843
2
0843
0222
e quindi riassumendo le soluzioni sono : ( )2−
46. 023 24 =+− xx
posto
==
=±=⇒>=∆=+−⇒=1
2
2
1301023
2
1
21
22
t
ttpoichètttx
e risostituendo :
±=±=
⇒
=
=
1
2
1
22
2
x
x
x
x
47. 02 43 =− xx
( )
=⇒=−
=⇒=⇒=−⇒=−
2
1021
).(0002102
3
343
xx
triplasolxxxxxx
- 3 - 2 0 - 16
x = - 2 + 6 - 8 + 16
- 3 + 4 - 8 0
![Page 29: 2^ Lezione - pers.ge.imati.cnr.itpers.ge.imati.cnr.it/cerri/OFA/Giorno2/equazioni.pdf · 2^ Lezione • Equazioni di 1° . • Equazioni di 2° . • Equazioni fattoriali . • Equazioni](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022042612/5f56dc628fbe5c5524690e25/html5/thumbnails/29.jpg)
48. 083 =+x
( )( )
ℜ∈∀/⇒<−=∆
⇒=+−
−=⇒
=+−
=+⇒=+−+⇒=+⇒=+
xxx
x
xx
xxxxxx
034
042
2
042
0204220208
2
22333
molto più semplicemente :
228808 3 3333 −=⇒−=⇒−=⇒−=⇒=+ xxxxx
49. 0164 =−x
( ) ( )( )
ℜ∈∀/⇒<−=∆⇒=+
±=⇒
=+
=−⇒=+−⇒=−⇒=−
xx
x
x
xxxxx
0404
2
04
0404404016
2
21
2
2222224
molto più semplicemente :
221616016 4 4444 ±=⇒±=⇒±=⇒=⇒=− xxxxx
50. 015 =+x
11101 555 −=⇒−=⇒−=⇒=+ xxxx
![Page 30: 2^ Lezione - pers.ge.imati.cnr.itpers.ge.imati.cnr.it/cerri/OFA/Giorno2/equazioni.pdf · 2^ Lezione • Equazioni di 1° . • Equazioni di 2° . • Equazioni fattoriali . • Equazioni](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022042612/5f56dc628fbe5c5524690e25/html5/thumbnails/30.jpg)
Risolvere le seguenti equazioni fratte :
51. x x
x
x
x
2 3
2
2
10
−−
−−
=
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
±=⇒=+−
==+−⇒=+−
=+−
≠⇒≠−≠⇒≠
≠−⇒=−
+−
=−
+−+−−⇒=
−−−−−
⇒=−−
−−
23076
0076076
076:101
0020120
12
76
012
42330
12
22130
1
2
2
3
21
2223
2323
222322
xxx
xxxxxxx
xxxhasixx
xxxxposto
xx
xxx
xx
xxxxxx
xx
xxxxx
x
x
x
xx
e quindi le soluzioni sono:
±= 23
21x
52. 3 1 4
12
x
x x x
+−
=−
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 101:101
00010
11
01413
14
113
01
4113
1413
2
=⇒=−
≠⇒≠−≠⇒≠
≠−⇒=−
−
=−−+⇒
−=
−+⇒=
−=
−+⇒
−=
−+
xxhasixx
xxxxposto
xxx
xxxx
xxx
xxx
xxxx
xxx
x
e quindi le soluzioni sono: ( )ℜ∈∀/ x
![Page 31: 2^ Lezione - pers.ge.imati.cnr.itpers.ge.imati.cnr.it/cerri/OFA/Giorno2/equazioni.pdf · 2^ Lezione • Equazioni di 1° . • Equazioni di 2° . • Equazioni fattoriali . • Equazioni](https://reader034.vdocumenti.com/reader034/viewer/2022042612/5f56dc628fbe5c5524690e25/html5/thumbnails/31.jpg)
53. − +
+ =+2 2
42
2
x
xx
x
{
ℜ∈∀/⇒<−=∆=+−⇒
=+−≠⇒≠≠⇒=+−
=+−−−
⇒+
=++−
⇒+
=++−
xpoichèexx
xxhasixxxpostox
xx
x
xxxx
x
xx
x
xxxx
x
x
0190467
0467:0020202
467
02
4248
2
2
2
844
2
24
22
2
22
2222
54. 33 1
1
3
2x
x
x
x−
−− +
=−
( ) ( )( )
( )( )( ) ( ) ( )
( )
ℜ∈∀/⇒<−=∆=+−⇒
=+−≠⇒≠−⇒=−
+−
−+−=
−+−−⇒
−−−=
−−−−⇒−=
+−−−
xpoichèexx
xxhasixxpostox
xx
xxx
xxxx
xxx
xxxxx
xx
x
034
0147
0147:001012
147
1243
122666
1213
1213216
23
113
3
2
22
22
55. x
x
x
x2 4
1
1
5
2−−
−+
=
( ) ( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( )
21024
06126:1,2
0120122
6126
122
25
122
232
122
125
122
1221
2
5
1
1
42
21
2
2222
±=⇒>=∆
=++−−≠≠⇒
≠+−⇒=+−++−
⇒+−
−−=
+−+−−+
⇒
+−+−
=+−
−−−+⇒=
+−
−−
xpoichèexxhasixx
xxpostoxx
xx
xx
xx
xx
xxxx
xx
xx
xx
xxxx
x
x
x
x
e quindi le soluzioni sono:
±= 21
21x
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56. 3 5 2 3
22
−+
+=
x
x
x
x
( ) ( )
−=
+=
=±=⇒>=∆=−−⇒
=−−≠⇒≠⇒=−−
=++−
⇒=++−
⇒=+
+−
5
2128
5
2128
5
2128084
404165
04165:00202
4165
2
3
2
41026
2
3
2
2523223253
2
1
21
2
222
2
2
2
2
2
2
2
22
x
xxpoichèexx
xxhasixxpostox
xx
x
x
x
xxx
x
x
x
xxx
x
xx
x
e quindi le soluzioni sono:
±=
5
21282
1x
57. x
x x
+−
− =3
3
1
22
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
−=
+=
=±=⇒>=∆=−−⇒
=−−≠≠⇒≠−⇒=−
−−
−−=
−+−+⇒
−−=
−−−+⇒=−
−+
4
31317
4
31317
431317
031303172
03172:3,0032032
3172
32124
32362
3234
32332
221
33
2
1
21
2
22
22
x
xxpoichèexx
xxhasixxxxpostoxx
xx
xxxx
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxx
e quindi le soluzioni sono:
±=
4
313172
1x
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58. 4
3
3
4
3
4
−−
= −−
x
x x
( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
ℜ∈∀/⇒<−=∆=+−⇒
=+−≠≠⇒≠−−⇒=−−+−
−−+−
=−−
+−⇒
−−−−−−
=−−
−⇒
−−=
−−
xpoichèexx
xxhasixxxxpostoxxxx
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
xx
x
xx
x
0111064417
064417:3,4034034464417
344
93
344
8164
344
312433
344
44
4
3
4
3
3
4
2
22
222
59. 2
2 1
4
112
−+ +
−−+
=x
x x
x
x
( )( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
21024
012
0363:10101
363
1
12
1
4342
1
1
1
1421
1
4
12
2
21
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
22
±=⇒>=∆=−−⇒
=−−−≠⇒≠+⇒=+
−−
+++=
+−−+−⇒
++=
++−−−⇒=
+−−
++−
xpoichèexx
xxhasixxpostox
xx
x
xx
x
xxx
x
x
x
xxx
x
x
xx
x
e quindi le soluzioni sono:
±= 21
21x
60. x
x
x
x
++
− =−
9
32
4
2
( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
−=
==
±−=⇒>=∆=−+⇒
=−+−≠≠⇒≠+−⇒=+−−+
+−+=
+−+−⇒
+−+=
+−+−−+−⇒
−=−
++
63
1
6
36117036106173
06173:3,2032032
6173
32124
3265
3234
3232292
24
239
2
1
21
2
22
22
x
xxpoichèexx
xxhasixxxxpostoxx
xx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxxx
xx
xx
e quindi le soluzioni sono:
−== 6,
3
121 xx