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ELEMENTI DI PROIETTIVA
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Gli enti geometrici fondamentali sono: il punto, la retta e il piano
Gli enti geometrici fondamentali sono descritti dai postulati esistenziali (verità non dimostrabili assunte come principi base di tutta la geometria descrittiva):
Il punto non ha dimensioni
La retta è un insieme infinito di punti ed ha una sola direzione
Il piano è un insieme infinito di rette ed ha due dimensioni
È consuetudine indicare i punti con lettere maiuscole (P, A, B….), le rette con lettere minuscole (r, a, b…) e i piani con lettere dell’alfabeto greco (α, β…)
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Postulati di appartenenza I postulati di appartenenza descrivono le relazioni immediate fra enti:
1. Due punti distinti, A eB, individuano una retta
2. Due piani distinti α e β individuano una retta (αβ)
3. Tre punti non allineati individuano un piano
4. Tre piani distinti, che non appartengo alla stessa retta, individuano un punto
5. Una retta e un punto che non si appartengono individuano un piano
6. Una retta e un piano che non si appartengono individuano un punto
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Operazioni geometriche fondamentali: proiezione e sezione
Proiezione
Il centro di proiezione può essere un punto proprio, o improprio
Proiettare un punto P da un centro S significa costruire una retta che passa per entrambi e prende il nome di retta proiettante
Se proiettiamo da un centro S finito un numero qualsiasi di punti appartenenti ad un piano otteniamo un fascio di rette, se i punti proiettanti non appartengono ad un piano otteniamo una stella di rette.
Se proiettiamo da un centro S una retta r otteniamo un piano, detto anche piano proiettante.
Retta proiettante
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Fascio di rette
Stella di rette
Stella di rette e di piani
Retta punteggiata
Piano rigato e punteggiato
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SezioneL’operazione di sezione si può svolgere nel piano, ad esempio sezionando un fascio di rette, o nello spazio sezionando per esempio una stella di rette. Nel primo caso la sezione avviene utilizzando una retta e si ottiene una retta punteggiata, nel secondo caso (il più diffuso) utilizzando un piano detto piano di sezione, di proiezione, di quadro o ancora, piano iconico e si ottiene un piano rigato e punteggiato.
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Enti impropri
Lo spazio euclideo, finito, ampliato del concetto di infinito si dice spazio proiettivo. Data una retta r e un punto esterno ad essa (S) possiamo tracciare la parallela alla retta data immaginando di collegare S con un punto P che si allontana dal punto A infinitamente. Le due rette saranno parallele quando S si unirà con il punto P appartenente a r e posto all’infinito. La retta r è composta quinti di un numero infinito di punti propri e di un punto improprio. Per indicare quest’ultimo si usa il termine direzione.
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La giacitura è l’insieme delle infinite direzioni delle rette di un piano, la giacitura è detta anche retta impropria del piano e può essere giustificata con un procedimento analogo a quello appena illustrato per la direzione di una retta.(per ulteriori delucidazioni su questo argomento vedi pagg.1-19 di Docci, Migliari, La scienza della rappresentazione)
Centro di proiezione proprio S
Centro di proiezione improprio S∞
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La geometria proiettiva studia le proprietà invariantive delle figure piane sottoposte ad operazioni di proiezione e sezione.
Le proprietà proiettive sono tre:
Appartenenza, Allineamento, Incidenza
Appartenenza
Se il punto P appartiene alla retta r anche la sua immagine P’ appartiene alla proiezione r’ della retta r.
Allineamento
Se A B e C sono tre punti allineati anche le loro immagini A’,B’ e C’ sono allineate.
Incidenza
Se due o più rette complanari sono incidenti in un punto P’ anche le loro immagini sono incidenti nel punto P’.
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I FERRI DEL MESTIERE
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Occorrente per disegnare:
Carta: da schizzo, carta lucida, carta opaca (fogli formato A4 e A3) cartoncino liscio (disegno tecnico) e ruvido (disegno a mano libera)
Nastro adesivo di carta, o da carrozziere
Matite: portamine con mine da 2 mm. La durezza delle mine varia da quelle molto dure 4H, 2H a quelle dure HB, fino a quelle morbide 2B 4B
Colori: si possono usare, al posto dei pastelli tradizionali, le mine colorate. Queste ultime consentono di tracciare linee rette e sottili. Per campiture ampie e sfumate è meglio ricorrere ai pastelli o, per chi ha un minimo di esperienza, agli acquarelli.
Gomme: per cancellare la matita su fogli opachi va bene una gomma a pasta bianca, per il disegno a mano libera è meglio la gomma pane e per i dettagli la gomma/matita; per i disegni a china, sul lucido, l’unica è la lametta da barba. Dopo aver cancellato con la lametta da barba bisogna ripassare con una gomma dura e ripristinare lo strato grasso della carta con un po’ di borotalco.
Squadrette: vanno scelte di buona qualità (Vittorio Martini) e tenute nella custodia per evitare che i bordi possano sbeccarsi. Per coppia si intende una squadretta con angoli 30°, 90° e 60° e una con angoli 45°, 90° e 45°. La dotazione minima prevede una coppia di squadrette grande (25 cm circa) e una piccola (10 cm circa)
Compasso: i migliori hanno una vite che consente di regolarne l’ampiezza con la massima precisione, hanno una prolunga, per archi di cerchio molto grandi, e l’attacco per i pennini.
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Esercitazione del 4.10.2009
1. Attaccare il foglio sul tavolo con il nostro adesivo di carta
2. Ridurre il foglio formato A4 (21 cm X 29,7 cm) in un foglio quadrato (20 cm x 20 cm)
3. Realizzare una serie di rette verticali distanti 1 cm
4. Realizzare, sullo stesso foglio una serie di rette orizzontali distanti 1 cm
5. Ridurre il foglio formato A4 (21 cm X 29,7 cm) in un foglio quadrato (20 cm x 20 cm)
6. Realizzare una serie di rette inclinate a quarantacinque gradi rispetto il bordo del foglio e distanti 1 cm
7. Ridurre il foglio formato A4 (21 cm X 29,7 cm) in un foglio quadrato (20 cm x 20 cm)
8. Realizzare 36 rette verticali disposte alla stessa distanza l’una dall’altra
9. Ridurre, con il compasso, il foglio formato A4 (21 cm X 29,7 cm) in un foglio quadrato (20 cm x 20 cm)
10. Realizzare delle rette orizzontali distanti 1.27 cm l’una dall’altra
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Prendendo spunto da questa immagine realizzare sedici differenti tipi di texture a mano libera
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Ritagliare nove quadrati aventi il lato di 2 cm e provare a realizzare una composizione grafica astratta….
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Lavoro da fare a casa:
Stampare il Programma, e praticare un foro nei punti indicati in copertina; fissare i fogli con piccoli anelli …
Se non trovate gli anelli fissate i fogli con delle piccole clips
Scaricare la foto realizzata in aula, stamparla formato 20 X 20 e inserirla nel programma
Ritagliare l’autoritratto in formato 20 X 20 e inserirlo nel programma
Inserire nel Programma del corso le esercitazioni fatte in aula
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Raccogliere il materiale relativo al tema assegnato10 immagini di panorami reali (riportare per ognuno la località e la nazione)3-5 descrizioni letterarie (di autori importanti!)Vi suggerisco alcuni nomi:Spazio: Isaac Asimov, Notturno ; Verne, Nuvole:vedi De Andrè, Le Nuvole, Luigi Ghirri (è un fotografo), Quasi niente; Aristofane, Le nuvole;la nuvola può essere anche quella atomica, quella minacciosa dei temporali…Foreste: Calvino, Il barone rampante; Fiume: Lago: Manzoni…(vedi anche la ragazza del Lago è un film) oppure le descrizioni fiabesche…Mare: Pedrag Matvejevic, Il Mediterraneo, Garzanti, 1992 , Sciascia, Il mare color del vino; Deserto: Italo Calvino, Collezione di sabbia, Mondatori, 1990 3-5 immagini tratte da film
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Rispondete intuitivamente alle domande seguenti e provate a graficizzare la risposta1. Il luogo assegnato può essere rappresentato più facilmente da: punti, linee, o superfici?(se può essere esemplificato da linee definire se queste sono orizzontali o verticali, se sono rette, spezzate o linee sinuose. Per i piani la differenza può essere fatta fra superfici piane, superfici composite (composte da più piani) superfici ondulate.)2. Qual è il colore prevalente? È piatto o presenta sfumature?Prova a campionarlo: inserisci più tessere relative al colore o ai colori che rappresentano il sito.3. Quali aggettivi puoi usare per definire la materia che lo compone?Ruvida/lisciaCompatta/scioltaDura/morbidaFredda/caldaSolida/fluidaTrasparente/opaca …4. Che tipo di luce lo illumina?Abbagliante, flebile, opaca, scomposta, uniforme, puntuale …